2021-2022学年辽宁省名校联盟高一（下）联考数学试卷（3月份）（含答案解析）

2021-2022学年辽宁省名校联盟高一（下）联考数学试卷（3月份）

1.  已知，则“”是“”的(    )

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件

2.  设集合，，则(    )

A.  B.  C.  D.

3.  已知是奇函数，且当时，，若，则实数a的值是(    )

A.  B.  C.  D. 3

4.  我国古代入民早在几千年以前就已经发现并应用勾股定理了，勾股定理最早的证明是东汉数学家赵爽在为《周髀算经》作注时给出的，被后人称为“赵爽弦图”．“赵爽弦图”是数形结合思想的体现，是中国古代数学的图腾，还被用作第24届国际数学家大会的会徽．如图，大正方形ABCD是由4个全等的直角三角形和中间的小正方形组成的，若，E为BF的中点，则(    )
 

A.  B.  C.  D.

5.  已知函数，若存在2个零点，则a的取值范围是(    )

A.  B.  C.  D.

6.  已知，则(    )

A.  B.  C. 2 D. 3

7.  函数的图象大致为(    )

A.  B.
C.  D.

8.  设，，则(    )

A.  B.  C.  D.

9.  有一组样本数据，，…，，由这组数据得到新样本数据，，…，，其中为非零常数，则(    )

A. 两组样本数据的样本平均数相同 B. 两组样本数据的样本中位数相同
C. 两组样本数据的样本标准差相同 D. 两组样本数据的样本极差相同

10.  已知，，且，则(    )

A.  B.
C.  D.

11.  已知是第二象限角，下列结论正确的是(    )

A.
B.
C. 的取值范围为
D. 若扇形AOB的圆心角，半径，则扇形所含弓形的面积为

12.  已知函数，则(    )

A. 是偶函数 B. 是奇函数
C. 在上单调递增 D. 在上单调递减

13.  已知角的终边过点，则的值是______ .

14.  写出一个同时具有下列性质①②③的函数__________.
①；
②；
③任取，且

15.  幂函数过点，则______，若，则实数a的取值范围是______.

16.  已知函数在区间上单调递增，则实数a的取值范围为______.

17.  已知平面内的三个向量，，
求的值；
若，求的值；
若向量与向量共线，求实数k的值．

18.  某公司为了解用户对其产品的满意度，从A，B两地区分别随机调查了20个用户，得到用户对产品的满意度评分如下：
A地区：62 73 81 92 95 85 74 64 53 76
      78 86 95 66 97 78 88 82 76 89
B地区：73 83 62 51 91 46 53 73 64 82
      93 48 65 81 74 56 54 76 65 79

根据两组数据完成两地区用户满意度评分的茎叶图，并通过茎叶图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度不要求计算出具体值，给出结论即可；
根据用户满意度评分，将用户的满意度从低到高分为三个等级：

记事件C：“A地区用户的满意度等级高于B地区用户的满意度等级”，假设两地区用户的评价结果相互独立，根据所给数据，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，求C的概率．

19.  设函数
若是偶函数，求实数k的值；
若存在，使得成立，求实数m的取值范围．

20.  中国“一带一路”倡议提出后，某科技企业为抓住“一带一路”带来的机遇，决定开发生产一款大型电子设备，生产这种设备的年固定成本为500万元，每生产x台需要另投入成本万元当年产量不足80台时，万元，当年产量不小于80台时，万元，若每台设备售价为100万元，通过市场分析，该企业生产的电子设备能全部售完.
求年利润万元关于年产量台的函数关系式.
年产量为多少台时，该企业在这一电子设备的生产中所获利润最大？并求出这个最大利润.

21.  某城市100户居民的月平均用电量单位：度，以分组的频率分布直方图如图．
求直方图中x的值；
求月平均用电量的众数和中位数；
在月平均用电量为的三组用户中，用分层抽样的方法抽取6户居民，并从抽取的6户中选2户参加一个访谈节目，求参加节目的2户来自不同组的概率．

22.  已知函数，，
若，求不等式的解集；
若函数有唯一的零点，求a的取值范围．

答案和解析

1.【答案】A 

【解析】

【分析】

本题主要考查充分条件和必要条件的判断，考查不等式的性质，属于基础题．
根据充分条件，必要条件和充要条件分别进行判断即可．

【解答】

解：由，可得或，
故，由，能够推出，故充分性成立，
由，不能够推出，故必要性不成立，
综上所述，是的充分不必要条件，
故选：

2.【答案】C 

【解析】

【分析】

本题主要考查集合的基本运算，是基础题.
利用条件求出集合A，B是解决本题的关键．

【解答】

解：丨丨丨丨，
丨，丨，
则丨，
故选
 

3.【答案】C 

【解析】解：是奇函数，且当时，，
当时，，
，
，
，即，
，
故选：
依题意，利用奇函数的性质可得：当时，，又，即，解之可得a的值．
本题主要考查了函数奇偶性的性质与判断，考查运算求解能力，属于中档题．
 

4.【答案】A 

【解析】

【分析】

本题考查了直角三角形的边角关系、三角函数求值、平面向量基本定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
建立直角坐标系．不妨设，，则利用勾股定理可得x，通过的边角关系，可得E的坐标，设，运用向量坐标运算性质即可得出．

【解答】

解：如图所示，建立直角坐标系．

不妨设，，则，解得
设，则，
，
设，则，

故选：

5.【答案】C 

【解析】

【分析】

本题考查分段函数的应用，利用函数与零点之间的关系转化为两个函数图象的交点问题是解决本题的关键，属于中档题.
由得，作出函数和的图象，根据图象交点个数与函数零点之间的关系进行转化求解即可．

【解答】

解：当时，，
作出函数和的图象如下图：

所以由图象可得，当直线的截距，即时，两个函数的图象有2个交点，
即函数存在2个零点，
故实数a的取值范围是
故本题选

6.【答案】B 

【解析】解：，
故选：
利用同角三角函数的平方关系、商数关系，将目标式化为，结合已知即可求值．
本题考查了三角函数的化简求值，属于基础题
 

7.【答案】B 

【解析】解：函数的定义域为
而，
为奇函数，排除A；
当时，
不存在．
可得函数的图象大致为
故选：
由函数为奇函数排除A，再由洛必达法则取极限判断．
本题考查函数图象，考查函数奇偶性的判定，训练了函数极限的求法，是中档题．
 

8.【答案】B 

【解析】解：，，；①
又，
又为上的减函数，
，即，②
由①②得：，
故选：
利用对数的性质可得，利用对数的运算性质进一步分析可得，进而可得答案．
本题考查对数的性质，求得是关键，考查运算求解能力，属于中档题．
 

9.【答案】CD 

【解析】

【分析】

本题考查平均数、中位数、标准差、极差，是基础题．
利用平均数、中位数、标准差、极差的定义直接判断即可．

【解答】

解：对于A，两组数据的平均数的差为c，故A错误；
对于B，两组样本数据的样本中位数的差是c，故B错误；
对于C，设原样本数据的样本方差和标准差分别为，，新数据的样本方差和标准差分别为，，
因为…，，，，即，
两组样本数据的样本标准差相同，故C正确；
对于D，…，，c为非零常数，
原数据组的样本极差为，新数据组的样本极差为，
两组样本数据的样本极差相同，故D正确．
故选：

10.【答案】ABD 

【解析】

【分析】

本题考查的知识要点：不等式的性质的应用，基本不等式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．
直接利用不等式的性质的应用和基本不等式的应用求出结果．

【解答】

解：①已知，，且，所以，则，故A正确．
②利用分析法：要证，只需证明即可，即，由于，，且，所以：，，故B正确．
③，故C错误．
④由于，，且，
利用分析法：要证成立，只需对关系式进行平方，整理得，即，故，当且仅当时，等号成立．故D正确．
故选：

11.【答案】ACD 

【解析】解：对于A：由于是第二象限角，故，故A正确；
对于B：由于是第二象限角，所以，，
故：，当时，，故；当时，，故；
故的大小没法确定，故B错误；
对于C：由于是第二象限角，所以故C正确；
对于D：扇形AOB的圆心角，半径，则，故D正确；
故选：
直接利用象限角的定义和扇形及弓形的面积公式及三角函数的值的应用求出结果．
本题考查的知识要点：象限角的定义，三角函数的值，扇形和弓形的面积公式，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．
 

12.【答案】BCD 

【解析】解：，且，
，
为奇函数，故A错误，B正确；
又当时，，
为增函数，为减函数，为增函数，
当时，为增函数，故C正确；
当时，
在上单调递减，在上单调递增，
由复合函数的单调性可知，在上为减函数，故D正确，
故选：
利用奇偶函数的定义可判断A与B的正误；利用函数的单调性可判断C与D的正误．
本题考查函数奇偶性的性质与判断，考查转换与化归思想及运算求解能力，属于中档题．
 

13.【答案】 

【解析】解：由题意可得 ，，，
，，，
故答案为：
由题意可得  ，，，可得，，从而得到 的值．
本题考查任意角的三角函数的定义，两点间的距离公式的应用，求出和的值，是解题的关键．
 

14.【答案】答案不唯一 

【解析】

【分析】

此题属于开放性的问题，考查了函数的性质，属于基础题．
由②得到为偶函数；由③得到在上为增函数；再由①得到的运算规律．

【解答】

解：由②可得为偶函数；
由③任取，且可知在上为增函数；
由①可知的运算规律符合幂函数运算．
故答案为：答案不唯一

15.【答案】   

【解析】解：幂函数过点，
，即，
，在上为减函数，
，
解得，
故答案为：；
利用幂函数过点，可求得其解析式，利用求得的函数的单调性，脱“f”，计算可得答案．
本题考查幂函数的概念与性质，考查运算求解能力，属于基础题．
 

16.【答案】 

【解析】解：令，则，
由在递增，
又由复合函数的单调性：同增异减，可得函数在区间上单调递增且为正实数，
所以，且，即，
解得，
故答案为：
令，由复合函数的单调性可得函数在区间上单调递增且为正实数，故有，且，由此可得a的取值范围．
本题考查复合函数的单调性，以及对数函数、二次函数的单调性，考查转化思想和运算能力，属于中档题．
 

17.【答案】解：，，

，，
，
，
，解得，

，，
与共线，
，解得 

【解析】根据已知条件，结合向量模公式，即可求解．
根据已知条件，结合向量的坐标运算法则，即可求解．
根据已知条件，结合共线向量的性质，即可求解．
本题主要考查向量的坐标运算法则，以及共线向量的性质，属于基础题．
 

18.【答案】解：两地区用户满意度评分的茎叶图如下

通过茎叶图可以看出，A地区用户满意评分的平均值高于B地区用户满意评分的平均值；A地区用户满意度评分比较集中，B地区用户满意度评分比较分散；
记表示事件“A地区用户满意度等级为满意或非常满意”，
记表示事件“A地区用户满意度等级为非常满意”，
记表示事件“B地区用户满意度等级为不满意”，
记表示事件“B地区用户满意度等级为满意”，
则与独立，与独立，与互斥，
则，

，
由所给的数据，，，，发生的频率为，，，，
所以，，，，
所以 

【解析】根据茎叶图的画法，以及有关茎叶图的知识，比较即可；
根据概率的互斥和对立，以及概率的运算公式，计算即可．
本题考查了茎叶图，概率的互斥与对立，属于中档题．
 

19.【答案】解：若是偶函数，则，即，即，
则，即；
若存在，使得成立，即，
则，
设，，
，
，
令，
，
当时，函数取得最大值
则，所以实数m的取值范围为 

【解析】由，可求得实数k的值；
依题意，得当时，的最大值，设，利用二次函数的性质可求得的最大值，进而可得实数m的取值范围．
本题考查函数恒成立问题，考查转化与化归思想及分离参数法与二次函数配方法的应用，考查运算求解能力，属于难题．
 

20.【答案】解：当时，，
当时，
于是，；
由可知，当时，，
此时当时，y取得最大值为万元，
当时，
当且仅当，即时，y取得最大值为万元
综上所述，当年产量为90台时，该企业在这一电子设备的生产中所获利润最大，
最大利润为1500万元． 

【解析】由题意分段写出年利润万元关于年产量台的函数关系式；
利用配方法与基本不等式分段求最值，取最大值中的最大者得结论．
本题考查函数模型的选择及应用，训练了利用二次函数及不等式求最值，是中档题．
 

21.【答案】解：由，
得：，
所以直方图中x的值是…………………………………………分
月平均用电量的众数是：，…………………………………………分
因为，
所以月均平均用电量的中位数在内，
设中位数为a，由，
解得：，
所以月均平均用电量的中位数是……………………………………………………分
月平均用电量在的用户有户，………………分
月平均用电量在的用户有户，……………………分
月平均用电量在的用户有户，……………………分
抽取比例为，
所以在中分别抽取3户，2户和1户．……………分
设参加节目的2户来自不同组为事件A，
基本事件总数，
其中事件A 中包含的基本事件个数，………………………………………………………分
参加节目的2户来自不同组的概率……………………………………………………………………………分 

【解析】由频率分布直方图的性质能求出直方图中x的值．
频率分布直方图能求出月平均用电量的众数和月均平均用电量的中位数．
月平均用电量在的用户有15户，月平均用电量在的用户有10户，月平均用电量在的用户有5户，抽取比例为，在中分别抽取3户，2户和1户，由此能求出参加节目的2户来自不同组的概率．
本题考查频率分布直方图的应用，考查概率的求法，考查频率分布直方图的性质、古典概型等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
 

22.【答案】解：因为，所以，
因为，
所以，
所以，
所以，即，
所以，
所以不等式的解集为；
因为，且函数有唯一的零点，
所以方程的解集中恰有一个元素，
即当时，方程的解集中恰有一个元素，
所以当时，方程的解集中恰有一个元素，
即当时，方程的解集中恰有一个元素，
当时，
有，此时，满足题意；
当时，
方程的根为，；
①当时，
，此时，满足题意；
②当时，
因为当时，方程的解集中恰有一个元素，
所以或，
所以或，
综上所述：实数a的取值范围为 

【解析】根据函数的单调性，将函数不等式转化为自变量的不等式，解不等式组即可；
依题意可得当时，方程的解集中恰有一个元素，即当时，方程的解集中恰有一个元素，对参数a分类讨论，分别计算最后取并集．
本题考查对数函数的性质的应用，解得的关键是将函数不等式方程转化为自变量的不等式方程，注意分类讨论思想的应用，属于中档题．