2021-2022学年辽宁省沈阳市第四十中学高一下学期6月月考数学试题（解析版）

2021-2022学年辽宁省沈阳市第四十中学高一下学期6月月考数学试题

一、单选题

1．复数，，则

A． B． C． D．

【答案】D

【详解】复数，则 ，则，故选D.

2．若，则（   ）

A．或  B．或  C．1或3 D．1或

【答案】B

【分析】用二倍角公式化为单角，再变为的二次齐次式，化为即可求值．

【详解】∵，

∴或．

故选B．

【点睛】本题考查二倍角公式，同角间的三角函数关系．解题关键是“1”的代换，把关于的二次式化为二次齐次式，从而可转化为．

3．已知非零单位向量满足，则与的夹角是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】由等式两边同时平方可得，同时计算出的值，设与的夹角为，代入公式，计算可得答案.

【详解】解：由等式两边同时平方可得：，

化简可得：，又因为，

所以，

设与的夹角为，

则，

又，所以，

故选：D .

【点睛】本题主要考查向量的模、夹角及平面向量数量积的公式，考查学生的计算能力，属于中档题.

4．求值：4cos 50°－tan 40°＝(　　)

A． B． C． D．2－1

【答案】C

【分析】原式第一项利用诱导公式化简，第二项利用同角三角函数间的基本关系切化弦，通分后利用同分母分式的减法法则计算，再利用诱导公式及两角和与差的正弦函数公式化简，整理后利用两角和与差的余弦函数公式化为一个角的余弦函数，约分即可得到结果．

【详解】4cos50°﹣tan40°=4sin40°﹣tan40°=

==

===．

故选C．

【点睛】本题考查了两角和与差的正弦、余弦函数公式，同角三角函数间的基本关系，以及诱导公式的作用，熟练掌握公式是解本题的关键．

5．函数的图象在[0，2]上恰有两个最大值点，则ω的取值范围为（    ）

A．[π，2π） B． C． D．

【答案】D

【分析】首先代入求的取值范围，再根据三角函数的图象，列式求的取值范围.

【详解】当时，，若函数在此区间恰取得两个最大值，则，解得：.

故选：D

6．两个圆锥的底面是一个球的同一截面，顶点均在球面上，若球的体积为，两个圆锥的高之比为，则这两个圆锥的体积之和为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】作出图形，计算球体的半径，可计算得出两圆锥的高，利用三角形相似计算出圆锥的底面圆半径，再利用锥体体积公式可求得结果.

【详解】如下图所示，设两个圆锥的底面圆圆心为点，

设圆锥和圆锥的高之比为，即，

设球的半径为，则，可得，所以，，

所以，，，

，则，所以，，

又因为，所以，，

所以，，，

因此，这两个圆锥的体积之和为.

故选：B.

7．已知是的重心，过点作直线与，交于点，且，，，则的最小值是

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】首先根据三点共线得到，也就是，再利用得到，最后利用基本不等式求的最小值.

【详解】

因为三点共线，故，因为，所以，又为重心，故，而不共线，所以，也即是.

，由基本不等式可以得到：

，当且仅当等号成立，故的最小值为，故选D.

【点睛】应用基本不等式求最值时，需遵循“一正二定三相等”，如果原代数式中没有积为定值或和为定值，则需要对给定的代数式变形以产生和为定值或积为定值的局部结构.求最值时要关注取等条件的验证.

8．在中，角所对的边分别为，若，且，则的面积的最大值为

A． B． C． D．

【答案】C

【详解】由，可得，得，由余弦定理可得，解得，所以，从而，故选C.

9．已知i为虚数单位，复数z满足，则下列判断正确的是（    ）

A．z的虚部为i B． C． D．

【答案】C

【解析】先整理已知的复数，再根据复数的概念、运算及其性质即可判断结论．

【详解】，其虚部为1，A错误；

，B错误；

，C正确；

，D错误.

故选：C.

【点睛】本题主要考查复数的概念、运算及其性质，属于基础题.

二、多选题

10．已知函数，下列结论中正确的是（    ）

A． B．函数的图象关于直线对称

C．的最小正周期为 D．的值域为

【答案】ABC

【分析】利用二倍角公式、同角三角函数的基本关系式化简，结合三角函数的对称性、最小正周期、值域等知识求得正确答案.

【详解】，A选项正确，

，所以函数的图象关于直线对称，B选项正确，

的最小正周期为，C选项正确，

的值域为，D选项错误.

故选：ABC

11．下列说法不正确的是（    ）

A．已知均为非零向量，则 存在唯一的实数，使得

B．若向量共线，则点必在同一直线上

C．若且，则

D．若点为的重心，则

【答案】BC

【分析】根据平行向量基本定理可判断A，根据平面向量共线的含义可判断B，根据平面向量的数量积可判断C，根据平面向量的运算与三角形重心的性质可判断D．

【详解】解：由平行向量的基本定理可知，选项A是正确的；

向量共线的意思是向量所在的基线平行或共线，只有当向量，所在的直线线共线时，点，，，才在同一直线上，即B不正确；

由平面向量的数量积可知，若，则，所以，无法得到，即C不正确；

设线段的中点为，若点为的重心，则，而，所以，即D正确；

故选：BC．

12．已知函数，判断下列给出的四个命题，其中正确的命题有(    )

A．对任意的，都有

B．将函数的图象向左平移个单位，可以得到偶函数

C．函数在区间上是减函数

D．“函数取得最大值”的一个充分条件是“”

【答案】BCD

【分析】首先利用二倍角公式，辅助角公式化简函数，再根据函数的性质，采用代入法，判断选项.

【详解】

，

当时，，所以不关于对称，故A错误；

函数图象向左平移个单位，得函数，是偶函数，故B正确；

当，则，函数单调递减，故C正确；

当时，，所以，函数取得最大值，故D正确.

故选：BCD

三、填空题

13．已知复数z满足，其中为虚数单位，则z的共轭复数为___________.

【答案】##

【分析】利用复数运算求得，进而求得的共轭复数.

【详解】由于，所以，

所以.

故答案为：

14．已知，若满足且，则___________.

【答案】

【分析】设出，根据向量垂直和平行列方程，从而求得，

【详解】设，

，

由于且，

所以，解得，

所以.

故答案为：

15．一个棱锥被平行于底面的平面所截截面面积恰好是棱锥底面面积的一半，则截得的小棱锥与原棱锥的高之比是___________.

【答案】

【分析】利用相似比求得正确答案.

【详解】依题意，截面面积与底面面积的比为，相似比为，

所以截得的小棱锥与原棱锥的高之比是.

故答案为：

16．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，则cosB的值为___________.

【答案】##

【分析】结合三角恒等变换、正弦定理化简已知条件，求得，利用余弦定理求得.

【详解】依题意，，，

，

，由正弦定理得，

所以.

故答案为：

四、解答题

17．已知复数.

（1）若对应复平面上的点在第四象限，求m的范围；

（2）若是纯虚数，求m的值.

【答案】（1）（2）

【解析】（1）实部大于零且虚部小于零得出m的范围；

（2）实部等于零且虚部不为零得出m的范围；

【详解】（1）由题意可得，解得

（2）由题意可得，解得

18．已知角的终边经过点.

（1）求，；

（2）求的值.

【答案】（1），；（2）.

【解析】（1）先求出，再由三角函数定义可得，；

（2）由（1）可知，，再结合诱导公式求得.

【详解】解：（1）由题意可得：，

由角的终边上的点的性质可得，；

（2）由（1）可知，，再结合诱导公式得：

，

所以

【点睛】本题考查根据角的终边上的点求三角函数值、根据诱导公式化简求值，是基础题.

19．已知在中，，求：

(1)tanC的值；

(2)tan(2A+2B)的值.

【答案】(1)

(2)

【分析】(1)在中，根据题意，利用同角三角函数的基本关系求出角的正切值，然后再利用两角和的正切公式即可求解；

(2)结合(1)的结论，利用二倍角的正切公式即可求解.

【详解】（1）由题意可知：在中，

因为，所以，则，

又，所以，

则，

（2）由(1)可知：，

所以.

20．学生到工厂劳动实践，利用3D打印技术制作模型．如图，该模型为长方体ABCD﹣A1B1C1D1挖去四棱锥O﹣EFGH后所得的几何体，其中O为长方体的中心，E，F，G，H分别为所在棱的中点，AB＝BC＝6cm，AA1＝4cm.3D打印所用原料密度为0.9g/cm3．说明过程，不要求严格证明，不考虑打印损耗的情况下，

（1）计算制作该模型所需原料的质量；

（2）计算该模型的表面积（精确到0.1）

参考数据：，，

【答案】（1）118.8；（2）cm2．

【分析】先计算出该模型的体积，体积等于长方体的体积减去四棱锥的体积，再用体积乘以密度即可求出所需原料的质量；

（2）由已知数据计算出四棱锥的侧面积，则该模型的表面积

【详解】解：（1）因为E，F，G，H，分别为所在矩形各棱的中点，所以四边形EFGH为菱形．

由AB＝BC＝6cm，AA1＝4cm，得

又因为O为长方体的中心，所四棱锥O﹣EFGH的高．

，

．

∴该模型体积为：

cm3．

∵3D打印所用原料密度为0.9g/cm3，不考虑打印损耗，

∴制作该模型所需原料的质量为：132×0.9＝118.8g．

（2）记面的中心为，连接，，，

则，，．

由题意，四棱锥O﹣EFGH的四个侧面为全等三角形．

在等腰中，取的中点，连接，

，

所以．

∴该模型表面积为：

cm3

cm2．

21．已知函数

（1）求的值；

（2）求函数的单调递减区间.

【答案】（1）；（2）

【分析】（1）先化简，再代值即可；

（2）由求解x即可

【详解】

（1）；

（2）由，

解得

故函数的单调递减区间为

22．如图，在平面内将两块直角三角板接在一起，已知，记.

（1）试用表示向量;

（2）若，求.

【答案】（1），；（2）.

【分析】（1）由题易知，再结合即可得，进而即可得答案；

（2）由题知，，进而根据向量数量积运算求解即可.

【详解】（1）因为，所以，

由题意可知， ，

所以，则，

（2）因为，所以， ，

所以