2022-2023学年辽宁省沈阳市第八十三中学高二上学期开学考试数学试题（解析版）

2022-2023学年辽宁省沈阳市第八十三中学高二上学期开学考试数学试题

一、单选题

1．过点且倾斜角为的直线方程为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】由倾斜角为求出直线的斜率，再利用点斜式可求出直线方程

【详解】解：因为直线的倾斜角为，所以直线的斜率为，

所以直线方程为，即，

故选：D

2．与两平行线：，：等距离的直线的方程为（    ）

A． B．

C．或 D．

【答案】A

【分析】设与两直线平行的直线方程为，再根据平行直线间的距离公式求解即可.

【详解】设与两直线平行的直线方程为，

又：，：，故，

即，故或，故，

所求直线方程为，即.

故选：A

3．如图所示，在空间四边形中，，点在上，且，为中点，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】由向量的加法和减法运算法则计算即可．

【详解】

故选：B

4．正方体中，E，F分别为，的中点，则异面直线AE与FC所成角的余弦值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】建立空间直接坐标系，利用空间向量求解.

【详解】如图，建立空间直接坐标系，设正方体的棱长为2，

因为E，F分别为，的中点，易知，A(2，0，0)，E(0，1，2)，

C(0，2，0)，F(2，2，1)，所以，，

所以<>=.

因为异面直线AE与FC所成角为锐角.

所以异面直线AE与FC所成角的余弦值为.故A，B，C错误.

故选：D.

5．已知两点，直线与线段相交，则直线的斜率取值范围是

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】求出直线所过定点，画出图形，再求出，的斜率，数形结合得答案．

【详解】解：直线过定点，

，，

直线与线段相交，则直线的斜率取值范围是．

故选．

【点睛】本题考查直线系方程的应用，考查直线斜率的求法，体现了数形结合的解题思想方法，是基础题．

6．关于空间向量，以下说法不正确的是（        ）

A．若两个不同平面α，β的法向量分别是，且，则

B．若直线l的方向向量为，平面α的法向量为，则直线l//α

C．若对空间中任意一点O，有，则P，A，B，C四点共面

D．两个非零向量与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则这两个向量共线

【答案】B

【分析】由面面垂直的向量表示可判断A；由线面平行的向量表示可判断B；根据向量共线定理，可判断C；由空间向量基底的表示可判断D.

【详解】对于A，，所以，A正确；

对于B， ，所以，B错误

对于C，对空间中任意一点O，有，满足，则P，A，B，C四点共面，可知C正确；

对于D，两个非零向量与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则这两个向量共线，所以D正确.

故选：B.

7．l1，l2是分别经过，两点的两条平行直线，当l1，l2间的距离最大时，直线l1的方程为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】由题意可得，，间的距离最大时，和这两条直线都垂直．利用斜率计算公式及其相互垂直的直线斜率之间的关系即可得出．

【详解】解：由题意可得，，间的距离最大时，和这两条直线都垂直．

由于的率为，故直线的斜率为，

故它的方程是，化简为，

故选：A

8．已知，为正整数，且直线与直线互相平行，则的最小值为（    ）

A．7 B．9 C．11 D．16

【答案】B

【解析】由已知两直线平行得出满足的关系，然后由基本不等式求得最小值．

【详解】由题意，，即，

∴，当且仅当，即（满足是正整数）时等号成立．

∴的最小值是9．

故选：B．

【点睛】本题考查两直线平行的条件，考查用基本不等式求最值．在用基本不等式求最值时，注意其条件：一正二定三相等，其中定值有时需要凑配，“1”的代换是常用方法．

二、多选题

9．已知直线：和直线：，则（    ）

A．若，则或 B．若在轴和轴上的截距相等，则

C．若，则或2 D．若，则与间的距离为

【答案】CD

【分析】由两直线平行，即可求出，则可判断出A选项，结合两直线的距离公式即可判断出D选项；由在轴和轴上截距相等等价于过原点或其斜率为，即可列出等式，解出或2，则可判断出B选项；由两直线垂直，即可求出或2，则可判断出C选项.

【详解】若，由，解得或，

经检验当时，，重合，当时，，

所以，故A错误；

若在轴和轴上截距相等，则过原点或其斜率为，则或，则或，故B错误；

若，则，解得或2，故C正确；

当时，，则：，：，

即：，则与间的距离为，故D正确．

故选：CD．

10．下列四个命题中，正确命题的有（    ）

A．若一向量在基底下的坐标为，则向量在基底下的坐标为；

B．若向量，且与的夹角为钝角，则实数的取值范围为；

C．已知直线的方向向量为，点在上，则点到的距离为；

D．若两个不同平面，的法向量分别是，，且，，则.

【答案】CD

【分析】根据题意，逐项分析，结合相关公式和概念即可求解.

【详解】对于A，因为向量在基底下的坐标为（，，），则，

设向量在基底下的坐标为（，，，），

则，

所以，解得，，，

所以向量在基底，下的坐标为.故选项A不正确；

对于B，∵向量，，且与的夹角为钝角，

∴，且，解得，且，，故选项B不正确；

对于C，直线的方向向量为，点在上，

则点到的距离为：

，故选项C正确；

对于D，两个不同平面，的法向量分别是，，且，，因为，所以，则，故选项D正确.

故选：CD.

11．下列说法中，表述正确的是(    )

A．向量在直线l上，则直线l的倾斜角为

B．若直线l与x轴交于点A，其倾斜角为，直线l绕点A顺时针旋转后得直线，则直线的倾斜角为

C．若实数、满足，，则代数式的取值范围为

D．若直线、的倾斜角分别为、，则是的充要条件

【答案】AC

【分析】A：根据向量求出直线斜率，根据直线斜率即可求其倾斜角；B：当＜时，＜0，但直线倾斜角为非负，据此即可判断；C：可看作(x，y)与(－2，－3)连线斜率，数形结合即可判断；D：两直线垂直，则，据此即可判断．

【详解】①向量在直线l上，则直线l的斜率为，故直线倾斜角为，故A正确；

②若直线l与x轴交于点A，其倾斜角为，直线l绕点A顺时针旋转后得直线，则≤θ＜π时，直线的倾斜角为；当0≤＜时，直线的倾斜角为π＋()＝；故B错误；

③若实数、满足，，设A(－1，4)，B(1，2)，

则代数式表示线段AB上任意一点(x，y)和点C(－2，－3)连线的斜率，

由图可知，，故C正确；

④若直线、的倾斜角分别为、，则，，，

∴，则；

当时，；故是充分不必要条件，故D错误﹒

故选：AC﹒

12．如图，在正方体中，点P在线段上运动，则（    ）

A．直线平面

B．三棱锥的体积为定值

C．异面直线AP与所成角的取值范围是

D．直线与平面所成角的正弦值的最大值为

【答案】AB

【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量垂直的坐标表示公式、空间向量夹角公式、三棱锥的体积性质逐一判断即可.

【详解】建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体的棱长为，

，

设，设，

即.

A：，

因为，

所以，

而平面，

所以直线平面，因此本选项结论正确；

B：侧面的对角线交点为，所以，，

而平面，平面，

所以，而平面，

所以平面，

为定值，因此本选项结论正确；

C：，

设异面直线AP与所成角为，

则有，

当时，；

当时，，

因为，所以，

因此，

，即，所以，

综上所述：，所以本选项结论不正确；

D：设平面的法向量为，，

所以有，

直线与平面所成角的正弦值为：

因为，所以当时，有最小值，最小值为，

所以直线与平面所成角的正弦值的最大值为，因此本选项结论不正确，

故选：AB

【点睛】关键点睛：利用空间向量夹角公式是解题的关键.

三、填空题

13．设空间向量，，若，则 ___．

【答案】

【分析】先利用空间向量共线的坐标表示列方程求出和的值，进而可得的坐标，再由模长公式即可求解.

【详解】因为空间向量，，且，

所以，

即，

可得，解得：，，

所以，，

则，

所以．

故答案为：．

14．已知直线的方程为，直线的方程为，若，则直线与的交点坐标为______．

【答案】

【分析】先由两直线垂直求出，再联立两直线方程求出交点坐标即可.

【详解】由可得，解得，由解得，即交点坐标.

故答案为：.

15．如图，锐二面角的棱上有，两点，直线，分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于.已知，，，则锐二面角的平面角的余弦值是___________.

【答案】

【分析】根据题意得，两边平方，利用向量的数量积运算，即可得到答案；

【详解】设锐二面角的平面角为，

，则

，则

.

故答案为：

16．设，求的最小值是___________.

【答案】

【分析】由配方化简可得d可看作点和到直线上的点的距离之和，作关于直线对称的点，连接，计算可得所求最小值.

【详解】解：

，

即d可看作点和到直线上的点的距离之和，

作关于直线对称的点，

由题意得，解得

故，

则.

故答案为：.

四、解答题

17．已知直线.

(1)当直线l在x轴上的截距是它在y上的截距3倍时，求实数a的值：

(2)当直线l不通过第四象限时，求实数a的取值范围.

【答案】(1)或

(2)

【分析】（1）先求出且，再求出直线l在x轴上的截距，在y上的截距，列出方程，求出a的值；

（2）考虑直线斜率不存在和直线斜率存在两种情况，列出不等式组，求出实数a的取值范围.

【详解】(1)由条件知，且，

在直线l的方程中，令得，令得

∴，解得：，或，

经检验，，均符合要求.

(2)当时，l的方程为：.即，此时l不通过第四象限；

当时，直线/的方程为：.

l不通过第四象限，即，解得

综上所述，当直线不通过第四象限时，a的取值范围为

18．如图，在正四棱柱中，已知，，E，F分别为，上的点，且．

(1)求证：平面ACF：

(2)求点B到平面ACF的距离．

【答案】(1)证明见详解.

(2).

【分析】（1）以为坐标原点，为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系通过证明与平面的一个法向量重合来证明平面.

（2）利用点面距离公式即可计算出点到平面的距离.

【详解】(1)以为坐标原点，为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系，如下图所示：

则,

设面的一个法向量为，，

可得，即，不妨令则,

平面.

(2)，则点到平面的距离为.

19．已知直线l：x+2y-2=0．试求：

（1）点P（-2，-1）关于直线l的对称点坐标；

（2）直线l关于点（1，1）对称的直线方程．

【答案】（1）；（2）.

【详解】试题分析: (1)设出点关于直线的对称点坐标,根据两点间线段的中点在直线上与两点所在直线与直线互相垂直,由中点坐标公式和两直线垂直斜率乘积为可得关于对称点坐标的方程组,解得点的坐标;(2)设出直线上任一点的坐标,利用此点关于的对称点与直线的方程,可得所求的直线方程.

试题解析：（1） 设点关于直线的对称点为，

则线段的中点在对称轴上,且.

∴即的坐标为.

(2)设直线关于点的对称直线为,则直线上任一点关于点的对称点一定在直线上,反之也成立.由

将的坐标代入直线的方程得.

∴直线的方程为.

点睛:点关于直线的对称点,一般利用的中点在直线上且的连线与直线垂直建立方程组 ;直线关于点的对称可转化为点关于点的对称问题来解决,直线关于直线的对称可转化为点关于直线的对称问题来解决.

20．如图，在直三棱柱中，，，是中点.

(1)求证：平面；

(2)若棱上存在一点，满足，求的长；

(3)求平面与平面所成锐二面角的余弦值.

【答案】(1)证明见详解.

(2)1.

(3).

【分析】（1）利用中位线以及线面平行的判定定理；

（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量进行求解；

（3）建立空间直角坐标系，利用空间向量进行求解.

【详解】(1)连接，交于点N，连接，如图

直三棱柱中，是的中点，又是中点，

所以，又平面，平面，

所以平面.

(2)如图，以A为原点，AB为x轴，AC为y轴，为z轴建立空间直角坐标系，则

，，，，，，

设，所以，，

因为，所以，解得，所以.

(3)因为，，设平面的法向量为，

则有，得，

令，则，，所以取，

因为平面，取平面的法向量为，

所以，

所以平面与平面所成锐二面角的余弦值.

21．已知直线过点（1，2）.

(1)若直线与平行，求直线的方程；

(2)若直线与x轴正半轴交于A点，与y轴正半轴交于B点，O为坐标原点，求的面积的最小值.

【答案】(1)

(2)4

【分析】（1）由两直线平行可得直线的斜率，利用点斜式即可写出直线的方程；

（2）由题意，直线的斜率存在，设，且，令，求出A、B两点的坐标，然后根据面积公式可求得的面积，最后利用均值不等式即可求得的面积的最小值.

【详解】(1)解：因为直线与平行，所以直线的斜率为2，

又直线过点（1，2），

所以直线的方程为，即；

(2)解：由题意，直线的斜率存在，设，且，

令，可得，令，可得，

所以，当且仅当，即时等号成立，

所以的面积的最小值为4.

22．四棱锥中，四边形为梯形，其中，，，平面平面．

(1)证明：；

(2)若，且与平面所成角的正弦值为，点在线段上且满足，求二面角的余弦值．

【答案】(1)证明见解析；

(2).

【分析】（1）由题设可得，利用面面垂直的性质可得面，再由线面垂直的性质证；

（2）若为中点，连接，首先求证，两两垂直，构建空间直角坐标系，确定相关点坐标并令且，根据线面角及向量夹角的坐标表示求参数m，进而可得，再求面、面的法向量，应用向量夹角的坐标运算求二面角余弦值.

【详解】(1)由题设，△为等边三角形，则，

又四边形为梯形，，则，

在△中，，即，

面面，面面，面，则面，

又面，故.

(2)若为中点，，则，

面面，面面，面，则面，

连接，则，且面，故，

综上，，两两垂直，

构建以为原点，为x、y、z轴正方向的空间直角坐标系，

所以，，，，若且，则，

而面的一个法向量为，，

所以，可得，故，

所以，，，

若是面的一个法向量，则，

取，

若是面的一个法向量，则，取，

所以，

由图知：锐二面角的余弦值.