2021-2022学年江苏省徐州市睢宁县高一（下）期中数学试卷

2021-2022学年江苏省徐州市睢宁县高一（下）期中数学试卷

一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把答案填涂在䇗题卡相应位置上.

1．（5分）在复平面内，复数对应的点位于　　

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

2．（5分）已知，若，则　　

A． B． C． D．

3．（5分）已知，，，则与的夹角为　　

A． B． C． D．

4．（5分）　　

A． B． C． D．

5．（5分）如图所示，某登山队在山脚处测得山顶的仰角，沿倾斜角为的斜坡前进1000米后到达处，又测得山顶的仰角，则山高为　　

A．米 B．1000米 C．米 D．米

6．（5分）的值为　　

A．1 B． C． D．2

7．（5分）如图，在中，边上的高等于，则　　

A． B． C． D．

8．（5分）南宋时期，数学家秦九韶提出利用三角形的三边求面积的公式：如果一个三角形的三边长分别为，，，那么三角形的面积，后人称之为秦九韶公式．这与古希腊数学家海伦证明的面积公式实质是相同的．若在中，，，，则的内切圆半径的值为　　

A． B． C． D．

二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，请把答案填涂在答题卡相应位置上.全部选对得5分，部分选对得2分，不选或有选错的得0分.

9．（5分）如果是两个单位向量，那么下列四个结论中错误的是　　

A． B． C． D．

10．（5分）对于下列四个命题，其中正确的命题有　　

A．任何复数的模都是非负数 

B．若复数是纯虚数，则实数或 

C．，则这些复数的对应点共圆 

D．的最大值为，最小值为0

11．（5分）已知，以下选项正确的是　　

A． B． 

C． D．

12．（5分）下列命题中，正确的是　　

A．在中，若，则 

B．在中，若，则 

C．在中，若，则是等腰三角形或直角三角形 

D．等边边长为1，若，则

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.请把答案填写在答题卡相应位置上.

13．（5分）如图所示，在中，是中点．设，则　　（请用表示

14．（5分）计算：　　．

15．（5分）已知，则　　．

16．（5分）骑自行车是一种能有效改善心肺功能的耐力性有氧运动，深受大众喜爱，如图是某一自行车的平面结构示意图，已知图中的圆（前轮），圆（后轮）的半径均为1，，，均是边长为的等边三角形，设点为后轮上的一点，则在骑动该自行车的过程中，的取值范围是 　　．

四、解答题：本大题共6小题，共70分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤.

17．（10分）已知向量．在下列条件下分别求实数的值．

（1）与平行；

（2）与垂直．

18．（12分）已知复数，满足，的虚部是2，对应的点在第一象限．

（1）求；

（2）若，，在复平面上对应点分别为，，．求．

19．（12分）已知，为锐角，，．

（1）求的值；

（2）求的值．

20．（12分）设，均为实数，已知不共线，点满足．

（1）若，求证：，，三点共线；

（2）若，，三点共线，求证：．

21．（12分）已知中三边，，所对的角为，，，且．

（1）求角的大小；

（2）若为锐角三角形且，求的取值范围．

22．（12分）如图，某景区内有一半圆形花圃，其直径为6，是圆心，且．在上有一座观赏亭，其中，计划在上再建一座观赏亭，记．

（1）当时，求的大小；

（2）当越大时，游客在观赏亭处的观赏效果越佳，求游客在观赏亭处的观赏效果最佳时，角的正弦值．

2021-2022学年江苏省徐州市睢宁县高一（下）期中数学试卷

参考答案与试题解析

一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把答案填涂在䇗题卡相应位置上.

1．（5分）在复平面内，复数对应的点位于　　

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

【解答】解：，

故复数对应的点位于第一象限，

故选：．

2．（5分）已知，若，则　　

A． B． C． D．

【解答】解：，，，

，

故选：．

3．（5分）已知，，，则与的夹角为　　

A． B． C． D．

【解答】解：，，，

可得，可得，

所以，，

，，，

所以，．

故选：．

4．（5分）　　

A． B． C． D．

【解答】解：法一、

．

法二、

．

故选：．

5．（5分）如图所示，某登山队在山脚处测得山顶的仰角，沿倾斜角为的斜坡前进1000米后到达处，又测得山顶的仰角，则山高为　　

A．米 B．1000米 C．米 D．米

【解答】解：依题意，过点作于，于，

，米，

米，

依题意，在中，，

，

在中，，

，

在中，

米．

米．

故选：．

6．（5分）的值为　　

A．1 B． C． D．2

【解答】解：原式．

故选：．

7．（5分）如图，在中，边上的高等于，则　　

A． B． C． D．

【解答】解：在中，边上的高等于，

不妨取，则，，

，，

，为三角形的一个内角，

则，

故选：．

8．（5分）南宋时期，数学家秦九韶提出利用三角形的三边求面积的公式：如果一个三角形的三边长分别为，，，那么三角形的面积，后人称之为秦九韶公式．这与古希腊数学家海伦证明的面积公式实质是相同的．若在中，，，，则的内切圆半径的值为　　

A． B． C． D．

【解答】解：在中，，，，

所以，

则，

所以的面积，

设的内切圆半径为，

则由等面积法可得，，

即，解得，

所以的内切圆半径为．

故选：．

二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，请把答案填涂在答题卡相应位置上.全部选对得5分，部分选对得2分，不选或有选错的得0分.

9．（5分）如果是两个单位向量，那么下列四个结论中错误的是　　

A． B． C． D．

【解答】解：是两个单位向量，不妨取，

则，，故错误；

由单位向量的模相等，可得，，故正确．

故选．

10．（5分）对于下列四个命题，其中正确的命题有　　

A．任何复数的模都是非负数 

B．若复数是纯虚数，则实数或 

C．，则这些复数的对应点共圆 

D．的最大值为，最小值为0

【解答】解：对于，若，则，故正确，

对于，复数是纯虚数，则，解得，故错误，

对于，因为，，，，所以这些复数的对应点共圆，均在以原点为圆心，为半径的圆上，故正确，

对于，因为为定值，所以其最大为1，最小值为1，故错误，

故选：．

11．（5分）已知，以下选项正确的是　　

A． B． 

C． D．

【解答】解：，平方可得，

，和，一个为另一个为，故错误，正确；

再根据，故都正确，

故选：．

12．（5分）下列命题中，正确的是　　

A．在中，若，则 

B．在中，若，则 

C．在中，若，则是等腰三角形或直角三角形 

D．等边边长为1，若，则

【解答】解：在中，若，则，结合正弦定理可得，，故正确；

在中，若，则，

，或，故错误；

在中，若，则，

，得，

或，可得或，

为等腰或直角三角形，故正确；

等边边长为1，若，

则，故正确．

故选：．

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.请把答案填写在答题卡相应位置上.

13．（5分）如图所示，在中，是中点．设，则　　（请用表示

【解答】解：

，

故答案为：．

14．（5分）计算：　　．

【解答】解：，

答案：．

15．（5分）已知，则　　．

【解答】解：设复数对应，对应，则，

则，

解得，所以，

所以．

故答案为：．

16．（5分）骑自行车是一种能有效改善心肺功能的耐力性有氧运动，深受大众喜爱，如图是某一自行车的平面结构示意图，已知图中的圆（前轮），圆（后轮）的半径均为1，，，均是边长为的等边三角形，设点为后轮上的一点，则在骑动该自行车的过程中，的取值范围是 　，　．

【解答】解：如图，设与相交于点，

作平行于的圆的两条切线、，

且两切线分别交直线于点、，切点分别为、，

，

即等于与在上的投影知积．

由运动变化思想知：当分别在点、处时，

在上的投影分别取得最小值、最大值，

①当为时，在上的投影为线段长，

又圆的半径，，，均是边长为的等边三角形，

，，，

此时在上的投影为，

的最小值为；

②当为时，在上的投影为线段长，

又，

此时在上的投影为，

的最大值为，

的取值范围是，

故答案为：．

四、解答题：本大题共6小题，共70分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤.

17．（10分）已知向量．在下列条件下分别求实数的值．

（1）与平行；

（2）与垂直．

【解答】解：（1）根据题意，向量，

则，，

若与平行，则有，解可得，

故；

（2）根据题意，向量，

则，，

若与垂直，则有，

解可得：；

故．

18．（12分）已知复数，满足，的虚部是2，对应的点在第一象限．

（1）求；

（2）若，，在复平面上对应点分别为，，．求．

【解答】解：（1）复数，满足，的虚部是2，对应的点在第一象限，

可得，解得：．

．

（2），，在复平面上对应点分别为，，．

，，，

．

19．（12分）已知，为锐角，，．

（1）求的值；

（2）求的值．

【解答】解：（1）由，解得，

；

（2）由（1）得，，则．

，，，

．

则．

．

20．（12分）设，均为实数，已知不共线，点满足．

（1）若，求证：，，三点共线；

（2）若，，三点共线，求证：．

【解答】证明：（1），

，

，

即，

即，

故，，三点共线；

（2）不共线，

点、不重合，

即，

，，三点共线，

存在，使，

即，

即，

又，

，

即．

21．（12分）已知中三边，，所对的角为，，，且．

（1）求角的大小；

（2）若为锐角三角形且，求的取值范围．

【解答】解：（1）由，得，

即，

，，

，；

（2）与为锐角，且，即，

，，

，，

由正弦定理得：，，

，

，

，即，

则的范围为，．

22．（12分）如图，某景区内有一半圆形花圃，其直径为6，是圆心，且．在上有一座观赏亭，其中，计划在上再建一座观赏亭，记．

（1）当时，求的大小；

（2）当越大时，游客在观赏亭处的观赏效果越佳，求游客在观赏亭处的观赏效果最佳时，角的正弦值．

【解答】解：（1）设，在中，用正弦定理可得含，的关系式．

因为，所以，又，所以

在中，，设，则．

由正弦定理，得，即．

展开并整理，得，其中．

此时当时，．因为，所以．

故当时，．

（2）设．

则．

令，得，记锐角满足，

则，即

列表如下：

由上表可知，是极大值，也是最大值．

由（1）可知，则单调增

则当取最大值时，也取得最大值．

故游客在观赏亭处的观赏效果最佳时，．

声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2022/8/2 9:12:04；用户：高中数学6；邮箱：tdjyzx38@xyh.com；学号：42412367