北师大版 (2019)必修 第二册3.1 空间图形基本位置关系的认识练习

【优编】3.1 空间图形基本位置关系的认识-2优选练习

一．填空题

1．设，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，有下列四个命题：

①若，，则；

②若，，，则；

③若，，，，则；

④若，，，则.

其中正确命题的序号为___________.

2．如图，在三棱锥的平面展开图中，，，，，；设三棱锥中两异面直线与所成的角为，则__________．

3．四面体中，，平面，，D是平面上异于的动点，且，设三棱锥的外接球的体积为V，与所成角为，与平面所成角为，在以下结论中，①V是定值；②V是变化的但有最大值；③是定值；④是定值；正确的结论序号为______．

4．在正方体中，，分别是，的中点，则直线与所成角的余弦值是_______．

5．已知正三棱锥的底面是边长为3的正三角形，其外接球O的表面积为，且点A到底面的距离小于外接球O的半径，E为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为______.

6．在正方体中，棱长为1，，分别为，的中点，为线段上异于，的动点，现有下列结论：

①与为异面直线；

②；

③周长的最小值为；

④三棱锥的体积为定值.

其中所有正确结论的编号是_______.

7．以下命题中：（1）若直线，和平面满足：，，那么；

（2）若直线和平面平行，那么与内的任何直线平行；

（3）平行于同一条直线的两个平面平行；

（4）若直线，和平面满足，，，则，正确的是______.

8．正方体的平面展开图如图所示，则还原成正方体后，AB与CD所成角的大小为___________.

9．已知是两个不同的平面，均为外的两条不同直线，给出四个论断：①;②;③;④. 请以其中三个为条件，余下的一个为结论，写出一个正确的命题_______________________（示例：请将答案写成如下形式：“①②③？④”）

10．如图，正方体的棱长为，线段上有两个动点？，且，则下列结论中正确的是___________.

（1）？？？四点共面

（2）

（3）三棱锥的体积为定值

（4）的面积与的面积相等

11．给出下列说法：

 ①和直线都相交的两条直线在同一个平面内；

 ②三条两两相交的直线一定在同一个平面内；

 ③有三个不同公共点的两个平面重合；

 ④两两相交且不过同一点的四条直线共面．

 其中正确说法的序号是______ ．

12．已知直线与平面所成角为，若直线，则与所成角的最小值为__________.

13．在已知空间四边形中，，分别是，的中点，若，且异面直线与所成的角为，则与所成角大小的取值集合为__________.

14．如图，在正三棱柱中，，，为的中点，是上一点，且由点沿棱柱侧面经过棱到的最短路线长为，设这条最短路线与的交点为，则该三棱柱的侧面展开图的对角线长为________；的长为________．

15．如图是表示一个正方体表面的一种平面展开图，图中的四条线段？？和在原正方体中相互异面的有___________对

参考答案与试题解析

1．【答案】②

【解析】分析：利用空间中线线．线面．面面间的位置关系求解.

详解：解：① 若，，则与平行或，故① 错误；

② 由，，得，又因为，得，故② 正确；

③ 若，，，，则与相交或平行，故③ 错误，

④ ，，，则与可能平行，所以④ 错误.

故答案为：② .

2．【答案】

【解析】分析：分别平移到中位线位置，确定异面直线与所成的角，结合余弦定理求解即可．

详解：如图所示：设的中点分别为，连接

则，故异面直线与所成的角等于直线与的夹角，

依题意得，

因为，，又，则平面，所以

又，则

由余弦定理得

所以

故答案为：

【点睛】

思路点睛：平移线段法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面直线的问题化归为共面直线问题来解决，具体步骤如下：

（1）平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角；

（2）认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角；

（3）计算：求该角的值，常利用解三角形；

（4）取舍：由异面直线所成的角的取值范围是，当所作的角为钝角时，应取它的补角作为两条异面直线所成的角．

3．【答案】①④

【解析】分析：计算出三棱锥外接球的直径，由此判断①②的正确性.根据线线角．线面角的知识判断③④的正确性.

详解：由，又，则D在的外接圆上，三棱锥的外接球是四棱锥的外接球，外接球直径定值，故①对，②错.

由于，，所以平面，所以.平面，所以在平面上的射影为.D在的外接圆上运动时，是变化的，当时，为最大值，③错.

由于，，所以平面，所以，故④对．

故答案为：①④

4．【答案】

【解析】分析：利用线线平行，将异面直线所成角转化为平面角，再利用余弦定理即可解出答案.

详解：如图所示：

在中，分别是，的中点，

所以为的中位线.

所以

所以异面直线与所成角为.

设正方体边长为,则，，.

所以.

故答案为：.

5．【答案】

【解析】分析：先求解出外接球的半径及正三棱锥的高，通过平移直线将异面直线所成角移到平面三角形中，结合余弦定理求解答案.

详解：如图，分别是， 为的交点

根据题意，M为底面三角形BCD的外心，且正三棱锥的外接球球心在直线AM上，如右边平面图所示，

图中，，或其补角即为异面直线 AB与CE所成角.

依题意，外接球的半径，中

等边中，，

中，

中，

中，，由余弦定理可得：

中，由余弦定理得：

中，根据余弦定理得：

因为异面直线所成角的范围为：

所以异面直线AB与CE所成角的余弦值为：

故答案为：.

6．【答案】①②④

【解析】分析：在正方体中，由线线，线面关系可判断①和②；而③周长，当为线段上异于，的动点时，显然是中点时最小；④三棱锥的体积可考虑底面和高是否分别为定值即可.

详解：①在正方体 中，易得与为异面直线,所以①正确；

②在正方体 中，易得，又, ，，所以面 ，又面，所以，故，所以②正确；

③当移动到线段中点时，周长的最小值，此时周长

，所以③错误；

④在三棱锥中，当在线段中移动时，底面中，不变，到的距离不变，所以面积为定值，又连接，交于，则易得面，所以为三棱锥的高，且为定值，所以三棱锥的体积为定值，所以④正确；

故答案为：①②④.

【点睛】

立体几何问题中与动点相关问题，可以从一下几点考虑:

（1）找出动点所在的线段或轨迹；

（2）判断与动点相关的条件是否成立常需结合动点所在的线段或轨迹,利用线线．线面．面面位置关系求解，或线线．线面．面面位置关系的判定或性质求解，或建立空间直角坐标系利用向量法求解.

7．【答案】（4）

【解析】分析：利用直线与平面之间的位置关系逐一进行判断即可.

详解：（1）中，，，那么，或者，故错误；

（2）中，若直线和平面平行，那么与内的直线平行或者异面，故错误；

（3）中，平行于同一条直线的两个平面可以平行，可以相交，故错误；

（4）中，根据线面平行的判定定理可知，，，，则，故正确.

故答案为：（4）.

8．【答案】

【解析】分析：还原几何体，利用平移直线即得异面直线所成的角．

详解：由题意还原几何体，连接CE,DE，所以AB与CD所成角即 CE与CD所成的角，

是正三角形，所以CE与CD所成的角为 ，即AB与CD所成角为．

故答案为：

9．【答案】①③④？②（或②③④？①）.

【解析】分析：根据平面垂直关系的相关性质即可判断.

详解：若①;②;③成立，则与可能平行也可能相交，即④不一定成立；

若①;②;④成立，则与可能平行也可能相交，即③不一定成立；

若①;③;④成立，因为，，所以或，又，所以，即①③④？②；

若②;③;④成立，因为，，所以或，又，所以，即②③④？①.

故答案为：①③④？②（或②③④？①）.

10．【答案】（2）（3）

【解析】分析：由正方体的性质以及异面直线的定义可判断（1）错误；由线面垂直的判定定理可证明平面，进而可判断，从而判断（2）正确；由到平面的距离为定值以及△BEF的面积为定值可判断（3）正确；A到B1D1的距离大于B到B1D1的距离可判断（4）错误.

详解：解：（1）由正方体的几何性质可知：与异面，又为线段上的两点，

则与异面，所以四点不共面，故（1）错误；

（2）因为为正方体，则，又，，

所以平面，平面，所以；故（2）正确；

（3）到平面的距离为，△BEF的面积为定值，

∴三棱锥A﹣BEF的体积为定值，故（3）正确．

（4）B到B1D1的距离为BB1＝1，A到B1D1的距离大于上下底面中心的连线，

则A到B1D1的距离大于1，∴△AEF的面积大于△BEF的面积，故（4）错误；

故答案为：（2）（3）.

【点睛】

知识点点睛：（1）异面直线的定义：过平面内一点和平面外一点的直线与平面内不过该点的直线是异面直线；（2）判断三棱锥的体积是否为定值，可判断底面面积和顶点到底面的距离是否为定值；

11．【答案】④

【解析】如图，在正方体中，，，但是 异面，故①错误.又交于点，但不共面，故②错误.如果两个平面有3个不同公共点，且它们共线，则这两个平面可以相交，故③错误.如图，因为，故共面于，因为，故，故即，而，故，故即即共面，故④正确.

12．【答案】

【解析】分析：根据直线与平面所成角的定义得出答案.

详解：根据直线与平面所成角的定义，直线与平面所成角等于直线和它在平面上的射影所成的角

是直线与平面内所有直线所成角中最小的角，

题中直线l与平面所成角为30°，且，所以直线 l与直线m所成角的最小值为30°.

故答案为：30°.

13．【答案】

【解析】分析：作出图示，取的中点，根据异面直线所成角的概念得到的大小，再根据等腰三角形求解出的大小，由此即可求解出与所成角大小的取值集合.

详解：如图所示，取的中点，连接，，

所以，，因为与所成的角为，

所以或，因为，所以，

所以或，

所以与所成角的大小为或.

故答案为：.

【点睛】

关键点点睛：解答本题的关键在于对异面直线所成角的理解，利用平行关系求解异面直线所成角时，要注意两直线所成角可以是异面直线所成角也可以是其补角.

14．【答案】    2

【解析】由展开图为矩形，用勾股定理求对角线的长；在侧面展开图中三角形是直角三角形，可以求出线段的长度，进而可以求出的长度.

详解：正三棱柱的侧面展开图是一个长为9，宽为4的矩形，其对角线长为

；将三棱柱沿展开，如图所示，设，则，在直角三

角形中，，

即，解得，所以.

故答案为：；

【点睛】

本题考查三棱柱的侧面展开图以及三棱柱表面上的最短距离问题，考查学生空间想象能力．数学运算能力，是一道中档题.

15．【答案】3

【解析】分析：还原正方体，标记出各点所处的位置，观察图象可得结果.

详解：如图，将各点在原图中标记出来，观察发现，在．．和四条线中，

相互异面的只有3对：和．和．和.

故答案为：3.