高中数学北师大版 (2019)必修 第二册3.1 空间图形基本位置关系的认识同步练习题

【优选】3.1 空间图形基本位置关系的认识-2同步练习

一．填空题

1．已知直线？，平面？，给出下列命题：

①若，，且，则；

②若，，且，则；

③若，，，则；

④若则；

其中正确的命题序号是___________

2．在三棱锥中，，且P点在底面内的射影恰好为的重心O，PO=4，将绕着AB旋转，使P点落在平面ABC上的点处(如图所示)，则直线CP与直线所成的角的余弦值为___________.

3．设表示不同平面，表示不同直线，则以下命题中，正确的命题是__________(填写正确命题的序号)

①若，则；

②若，则或；

③若，则；

④若，则．

4．已知两条不重合的直线，和两个不重合的平面，，有下列命题：

①若，则；

②若，，则；

③若，是两条异面直线，，，，，则；

④若，，，则

其中正确的命题序号是___________.

5．已知三棱柱中，棱长均为，顶点在底面上的射影恰为的中点，为的中点，则直线与直线所成角的余弦值为________．

6．正三棱柱的所有棱长都相等，则异面直线与所成的角余弦值是______．

7．三棱锥的高为，若三条侧棱．．两两垂直，则为的______心.

8．下列判断中：①三点确定一个平面；②一条直线和一点确定一个平面；③两条直线确定一个平面；④三角形和梯形一定是平面图形；⑤四边形一定是平面图形；⑥六边形一定是平面图形；⑦两两相交的三条直线确定一个平面.其中正确的是___________.

9．已知四点都在以为直径的球的表面上，若球的体积为，则异面直线与所成角的正切值为_______________________．

10．已知圆锥的顶点为，底面圆周上的两点．满足为等边三角形，且面积为，又知与圆锥底面所成的角为，则圆锥的表面积为___________.

11．在直三棱柱中(侧棱与底面垂直的三棱柱)，，，四边形为正方形，M为中点，则直线与直线所成角的余弦值为___________.

12．空间三条直线，，两两异面，则与三条直线都相交的直线有___________条.

13．某种游戏中，黑？黄两个“电子狗”从棱长为1的正方体的顶点出发沿棱向前爬行，每爬完一条棱称为“爬完一段”.黑“电子狗”爬行的路线是，黄“电子狗”爬行的路线是，它们都遵循如下规则：所爬行的第段与第段所在直线必须是异面直线(其中是正整数).设黑“电子狗”爬完2008段？黄“电子狗”爬完2009段后各自停止在正方体的某个顶点处，这时黑？黄“电子狗”间的距离是___________.

14．如图，在正方体中，点分别是棱上的动点．给出下面四个命题

①直线与直线平行；

②若直线与直线共面，则直线与直线相交；

③直线到平面的距离为定值；

④直线与直线所成角的最大值是．

其中，真命题的个数是（    ）

A．1 B．2 C．3 D．4

15．设，，为平面，，，为直线，则对于下列条件：①，，；②，，；③，，；④，，.其中为的充分条件的是___________(将你认为正确的所有序号都填上).

参考答案与试题解析

1．【答案】①④

【解析】分析：①用平面与平面垂直的判定定理判断；②用运动思想寻找反例判断；③根据线面位置关系用运动思想寻找反例判断；④用直线与平面平行的判断定理判断．

详解：解：对于①，如图，在空间取点，在平面．外，在直线．外，

过作交于点，过作交于点，

设确定的平面为，，

为二面角的平面角；

，；，，

即为直线与的成角，

显然有，

所以四点．．．共圆，所以；

于是，所以①对；

对于②，，，且，此时与可能相交，未必，所以②错；

对于③，，，，此时与可能平行，未必，所以③错；

对于④，，，，，所以④对；

故答案为：①④．

2．【答案】

【解析】分析：根据条件先求出，再在运用余弦定理求解即可.

详解：

如图，设D为AB的中点，连接CD，OA，OB.因为O为的重心，D为AB的中点，所以易知C，O，D三点共线，又因为，即为等腰三角形，所以CD⊥AB，所以.因为PO=4，即点P到平面ABC的距离等于4，，所以，，从而可知，所以四边形为菱形，所以，所以或其补角即为直线CP与直线所成的角，在中，由余弦定理得

.

故答案为：.

【点睛】

关键点睛：解决本题的关键一是求，得出四边形为菱形，二是相关线段的计算.

3．【答案】②③

【解析】分析：根据空间直线平面间的位置关系判断．

详解：①若，则或相交于一点，①错；

②若，则或，正确；

③若，只要在上任取点，过作直线，根据面面垂直的性质，则，所以，即与重合，则，③正确；

④若，间可以相交，平行，异面，不一定有，④错．

故答案为：②③

4．【答案】②③④

【解析】分析：根据线面平行的性质．面面平行的判定定理．面面垂直的性质定理进行逐一判断即可.

详解：①:当时，也可以满足，，所以本命题是假命题；

②：因为，，所以，又因为，所以，因此本命题是真命题；

③：设是直线上任意一点，过作直线，因为，，所以，

而，，所以，因此本命题是真命题；

④：由面面垂直的性质定理可知本命题是真命题，

故答案为：②③④

5．【答案】

【解析】分析：根据三棱柱性质与题中的中点条件，可将所求直线与直线所成角的余弦值转化为求直线与直线所成角的余弦值，那么就要通过多次转化最终求得中三边长，然后直接在中运用余弦定理即可.

详解：如图，取中点，连接,由三棱柱的性质易证得,所以四边形为平行四边形，所以,所以下面即求直线与直线所成角的余弦值.

由题意知，平面,因为平面,所以，在中，,求得.

所以在菱形中，.

在中，,求得.

所以在中，根据余弦定理得,所以.

在中根据余弦定理得.

在中，,根据余弦定理得,

所以直线与直线所成角的余弦值为，即直线与直线所成角的余弦值为.

故答案为:

6．【答案】

【解析】分析：分别取AB,BB1,B1C1,的中点L,M,N,则∥，∥，进而（或其补角）是直线与所成角，然后解出的三边，进而用余弦定理即可解得.

详解：设三棱锥棱长为2，取AB,BB1,B1C1,BC的中点分别为L,M,N,P，连接，

∴∥，∥，设直线，所成角为，∴.

连接，容易判断NP⊥LP，易知：,∴,

易知：LB=BM=1，∠LBM=90°，∴，同理：.

在中，由余弦定理：，∴.

故答案为：.

7．【答案】垂

【解析】分析：根据题意可证明面PBC，结合PH为三棱锥的高可以证明，同理：，进而得到答案.

详解：如图，因为，所以面PBC，则PA⊥BC，

又PH⊥平面ABC，所以PH⊥BC，而，所以面PAH，所以，同理可证：，所以点H为垂心.

故答案为：垂.

8．【答案】④

【解析】分析：根据平面的公理及推论进行判断得解

详解：解①根据公理2知，必须是不共线的三点确定一个平面，故①不对；

②根据一条直线和直线外的一点确定一个平面知，故②不对；

③由异面直线的定义知，两条直线不一定确定一个平面，故③不对；

④因梯形的一组对边平行，所以由“两条平行确定一个平面”知，梯形是一个平面图形，

又因三角形的三个顶点不共线，故④对；

⑤比如空间四边形则不是平面图形，故⑤不对；

⑥比如空间六边形则不是平面图形，故⑥不对；

⑦两两相交于同一点的三条直线，如三棱锥的三个侧面，它们确定了三个平面，故⑦不对．

故答案为：④．

9．【答案】

【解析】分析：先根据条件得一个三棱锥，再在这个三棱锥中确定线线关系，最后根据平移以及余弦定理求结果.

详解：

的外心为的中点，

平面，

易证

平面．

从而球的半径．

又

过作，过作，．交于，

计算可得

,

因此，即异面直线与所成角的余弦值为，

所以．

故答案为：

【点睛】

方法点睛：

线线角的寻找，主要找平移，即作平行线，进而根据三角形求线线角.线面角的寻找，主要找射影，即需从线面垂直出发确定射影，进而确定线面角. 二面角的寻找，主要找面的垂线，即需从面面垂直出发确定线面垂直，进而确定二面角.

10．【答案】

【解析】分析：利用三角形的面积公式求出，利用线面角求出底面圆的半径，再利用圆锥的表面积公式可求得结果.

详解：如下图所示：

设圆锥底面圆的圆心为点，则平面，则与底面所成角为，

因为等边的面积为，可得，

由已知条件可得，因为平面，平面，故，

所以，为等腰直角三角形，设底面圆的半径为，则，可得，

因此，该圆锥的表面积为.

故答案为：.

11．【答案】

【解析】分析：取中点，连结，，可得或其补角为异面直线所成角，在中，计算可得结果.

详解：不妨设，因为，，所以，

取中点，连结，，所以，所以或其补角为异面直线所成角，

因为三棱柱为直三棱柱，所以平面，所以，

因为，，所以平面，

所以，因为，

所以，

在中，，，所以，

则.

故答案为：

【点睛】

思路点睛：平移线段法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面直线的问题化归为共面直线问题来解决，具体步骤如下：

（1）平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角；

（2）认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角；

（3）计算：求该角的值，常利用解三角形；

（4）取舍：由异面直线所成的角的取值范围是，当所作的角为钝角时，应取它的补角作为两条异面直线所成的角．

12．【答案】无数

【解析】分析：在．．上取三条线段．．，作一个平行六面体，如图所示．由直线上一点与直线确定的平面，和直线交于点，由面面平行的性质和平行线的性质得到与直线是相交直线，故直线是与，，都相交的一条直线．最后根据点的任意性，可得满足条件的直线有无数多条．

详解：在．．上取三条线段．．，

作一个平行六面体，如图所示

在上，即在直线上取一点，过．作一个平面

平面与交于．与交于，则

由面面平行的性质定理，得，

于是不与平行，但与共面．故与相交，得直线是与，，都相交的一条直线．

根据点的任意性，得与，，都相交的直线有无穷多条．

故答案为：无数

【点睛】

关键点点睛：本题考查给出空间两两异面的三条直线，求与它们都相交的直线的条数，考查了空间直线的位置关系和线面平行的性质等知识，解决本题的关键点是在．．上取三条线段．．，作一个平行六面体，结合面面平行的性质定理得出答案，考查学生空间想象能力，属于中档题．

13．【答案】1

【解析】分析：根据题意写出两个电子狗爬行的路线，结合周期性可求结果.

详解：由题意，黑"电子狗"爬行路线为

，即过6段后又回到起点，可以看作以6为周期，所以黑"电子狗"爬完2008段后实质是到达点;

同理，黄"电子狗"也是过6段后又回到起点.

黄“电子狗"爬完2009段后到达点;

此时的距离为.

故答案为: 1.

14．【答案】B

【解析】如图1，当与重合时，与重合时，直线与直线是异面直线，故①错误．

如图2，当与重合时，与重合时，四边形为矩形，

故直线与直线平行，故②错误．

因为平面平面，而平面，故平面，

所以直线到平面的距离为定值（正方体的棱长），故③正确．

建立如图3所示的空间直角坐标系，

设正方体的棱长为，则，，其中，

而，故， ，

设直线与直线所成角为，

则，

若直线与直线不平行，则，故，

故直线与直线所成角的最大值是，所以④正确．

故选：B．

15．【答案】②④

【解析】分析：根据线面垂直的判定定理和定义，结合充分条件的概念分析即可.

详解：若直线时，当满足，，时，成立，否则不成立，故①错误；

若，，则，由面面垂直的性质定理可知命题正确，故②正确；

若，，，因为关系不确定，可能平行可能相交，所以不一定成立，故③错误；

若，，则，当时，成立，故④正确.

故答案为：②④