高中数学北师大版 (2019)必修 第二册3.1 空间图形基本位置关系的认识精练

【名师】3.1 空间图形基本位置关系的认识-2作业练习

一．填空题

1．如图，在三棱锥中，点在以为直径的圆上运动，平面，，垂足为，，垂足为，若，，则三棱锥体积的最大值是______.

2．一个正方体的展开图如图所示，B．C．D为原正方体的顶点，A为原正方体一条棱的中点，在原来的正方体中，直线与所成角的余弦值为______．

3．长方体中，既与共面又与共面的棱的条数为________.

4．如图，三棱柱的底面是边长为的正三角形，，，为的中点，，则二面角的正切值为______.

5．在空间，“两条直线没有公共点”是“这两条直线平行”的______条件．

6．已知，是两条不同的直线，，是两个不同平面，则以下命题不成立的是__

（1）若，，，则

（2）若，，则

（3）若，，则

（4）若，，，则

7．矩形ABCD中，AB=1，AD=，现将△ABD绕BD旋转至的位置，当三棱锥的体积最大时，直线和直线CD所成角的余弦值为___________.

8．空间中三条直线两两垂直，若直线与直线所成角都为，则_______

9．下列命题中：（1）平行于同一直线的两个平面平行；（2）平行于同一平面的两个平面平行；（3）垂直于同一直线的两直线平行；（4）垂直于同一平面的两直线平行.其中正确的有__________.

10．如图，三棱锥P- ABC中，PA⊥底面ABC，底面ABC是边长为2的正三角形，且，若M是BC的中点，则异面直线PM与AC所成角的大小是__________（结果用反三角函数值表示）

11．在棱长为4的正方体中，分别为棱的中点，过作正方体的截面，则截面多边形的周长是___________.

12．已知等腰直角的腰长为2，现将沿底边上的中线折成一个直二面角，则此时的大小为________．

13．给出下列命题：

①若两条不同的直线垂直于第三条直线，则这两条直线互相平行；

②若两个不同的平面垂直于一条直线，则这两个平面互相平行；

③若一条直线平行于一个平面，另一条直线与这个平面垂直，则这两条直线互相垂直.

其中所有正确命题的序号为___________.

14．在棱长为2的正方体中，分别是的中点，用过三点的平面截正方体，则截面图像的周长为__________

15．已知正三棱柱中中，，，，分别是棱，的中点，则异面直线与所成角的正切值为______.

参考答案与试题解析

1．【答案】

【解析】分析：由已知证明，再由三角形相似列比例式可得，由结合基本不等式求得的最大值，可得三棱锥体积的最大值．

详解：解：由平面，得，又，，

平面，得，又，，

平面，得，而，，

平面，可得．

在中，由，得．

由，得，则，

在中，由，，得，

，

设三棱锥的高为h，则，即，

，

因为，当且仅当时取等号，

所以，

所以三棱锥体积的最大值是

故答案为： ．

2．【答案】

【解析】分析：把展开图还原成正方体，确定的位置，作出异面直线所成的角，然后求角的余弦．

详解：把展开图还原成正方体，如图中位置，

由正方体性质知与平行且相等，即是平行四边形，，直线与所成角为（或其补角），

同样棱与侧面垂直，垂直，则可得，

设正方体棱长为1，，，，

中，．

所以直线与所成角的余弦值为．

故答案为：．

3．【答案】5

【解析】分析：根据立体几何公理的推论2和3以及长方体性质即可得出答案.

详解：如下图，根据两条平行直线确定一个平面，两条相交直线确定一个平面知，既与共面又与共面的棱有，共5条棱.

故答案为：5

4．【答案】

【解析】分析：取的中点，连接，，然后可得，，即为二面角的平面角，然后在中利用余弦定理求解即可.

详解：

取的中点，连接，.

因为为的中点，是边长为的正三角形，

所以，，，，

所以为二面角的平面角.

在中，，，，

所以由余弦定理得，

所以，所以.

故答案为：

5．【答案】必要非充分

【解析】分析：先判断与的真假，再根据充要条件的定义给出结论；也可判断命题与命题所表示的范围，再根据“谁大谁必要，谁小谁充分”的原则，判断命题与命题的关系．

详解：解：在空间中，两条直线没有公共点，这两条直线可能是异面直线，

即由“两条直线没有公共点”不能推知“这两条直线平行”；

反过来，由“两条直线平行”可知“这两条直线没有公共点”．

因此，在空间中，“两条直线没有公共点”是“这两条直线平行”的必要不充分条件.

故答案为：必要非充分.

6．【答案】（1）（2）（4）

【解析】分析：由线线．线面．面面的位置关系，判断线．面有关命题的真假即可.

详解：由，是两条不同的直线，，是两个不同平面，知：

在（1）中，若，，，则与平行或异面，错误；

在（2）中，若，，则与相交．平行或，错误；

在（3）中，若，，则由面面垂直的判定定理得，正确；

在（4）中，若，，，则与相交或平行，错误．

故答案为：（1）（2）（4）．

7．【答案】

【解析】分析：由，得到和直线CD所成角转化为和所成角，再由三棱锥的体积最大时，得到平面ABCD，在中，利用余弦定理，即可求解.

详解：如图所示，因为矩形，可得，

所以直线和直线CD所成角即为和直线所成角，设，

当三棱锥的体积最大时，即平面ABCD，

因为，可得，

在直角中，可得，所以，

又由，

在中由余弦定理得，

所以直线和直线CD所成角的余弦值为.

故答案为：.

8．【答案】

【解析】分析：因三直线两两垂直，可以认为三直线就是正方体中同一顶点的三条棱，，，由此能够求出．

详解：因三直线两两垂直，可以认为三直线就是正方体中同一顶点的三条棱，，，如图：

直线与这三条直线所成的角都为，

，

从而．

故答案为：．

9．【答案】(2)(4).

【解析】分析：利用线面平行的判定定理可判断（1）；利用面面平行的性质可判断（2）；举反例可判断（3）错误；利用线面垂直的性质可判断（4）.综合可得出结论.

详解：对于（1），若平面平面，直线直线，且，，则，，但平面与平面不平行，（1）错误；

对于（2），由面面平行的性质可知，平行于同一平面的两个平面平行，（2）正确；

对于（3），如下图所示：

在长方体中，，，但与相交，（3）错误；

对于（4），由线面垂直的性质可知，垂直于同一平面的两直线平行，（4）正确.

故答案为：(2)(4).

10．【答案】

【解析】分析：取的中点，记为，连接，，由于，分为为，的中点，可推得，为异面直线与所成的角，在中，运用余弦定理，即可求解．

详解：解：如图所示，取的中点，记为，连接，，

，分为为，的中点，

，

为异面直线与所成的角，

，，，

在中，由余弦定理可得，

异面直线与所成角的大小是．

故答案为：．

11．【答案】

【解析】分析：在长方体中把截面补充完整，然后求得各边长，从而计算周长.

详解：如图所示，

过作交于M，由，，

则，，

延长MQ交于E点，联结，交于N点，则多边形即为截面，

根据平行线性质有，，则，，

因此，

又，，

所以多边形的周长为：

，

故答案为：

【点睛】

关键点点睛：找出平面在几何体中的完整截面，从而求得面积等.

12．【答案】

【解析】分析：折过后，且，可得折过后的，，三点构成等边三角形.

详解：折过后，等腰直角的腰长为2得，

此时，所以折过后的，，三点构成等边三角形，即．

故答案为：.

13．【答案】②③

【解析】分析：由垂直于同一直线的两直线的位置关系判断①；由直线与平面垂直的性质判断②；由空间中直线与平面的位置关系判断③．

详解：对于①，若两条不同的直线垂直于第三条直线，则这两条直线有三种位置关系：平行．相交或异面，故①错误；

对于②，根据线面垂直的性质可知，若两个不同的平面垂直于一条直线，则这两个平面互相平行，故②正确；

对于③，若一条直线平行于一个平面，则与该平面垂直的直线与该直线垂直，故③正确．

其中所有正确命题的序号为②③．

故答案为：②③．

14．【答案】

【解析】分析：根据题意画出截面图形，再利用相似和全等三角形求出截面图形的边长，即可得出答案.

详解：解：如图所示（保留作图痕迹）

作．的延长线交于点，连接并延长交的延长线于点，连接交于点，则五边形即为截面图像，

由三角形相似得：，，，

所以，，，，，

所以五边形的周长为，

即截面图像的周长为.

故答案为：.

15．【答案】

【解析】分析：作出辅助线，证得或其补角为异面直线与所成角，然后求出相关线段的长度，进而在中，利用余弦定理求出余弦值，进而可以求出结果.

详解：

取的中点，连接,因为分别是棱的中点，所以且，所以四边形为平行四边形，故，所以或其补角为异面直线与所成角，因为为等边三角形，分别是棱的中点，所以，所以，

在中，，

在中，，所以，

在中，，因为异面直线成角的范围是，故为异面直线与所成角，而，

故答案为：.