高中数学北师大版 (2019)必修 第二册3.1 空间图形基本位置关系的认识练习

【基础】3.1 空间图形基本位置关系的认识-1练习

一．填空题

1．如图所示的圆锥中，轴截面是等腰直角三角形，是底面圆周上的中点，为的中点，则异面直线与所成角的正切值是______.

2．已知直线？和平面，若，，则与的关系是___________.

3．下列命题中正确的个数为_____________个

①若△ABC在平面a外，它的三条边所在的直线分别交a于P．Q．R，则P．Q．R三点共线；

②若三条直线a．b．c互相平行且分别交直线l于A．B．C三点，则这四条直线共面；

③若直线a．b异面，b．c异面，则a．c异面；

④若，，则；

4．在三棱柱中侧棱垂直底面且底面是为等边三角形且，在棱上，，则异面直线与所成角的余弦值___________.

5．如图，在正方体中，M，N分别是，的中点，P是上一点，且，则异面直线与所成角的余弦值为___________.

6．在正四棱锥中，，，分别是，的中点，设异面直线与所成角的大小为，则__________．

7．在棱长为的正方体中，分别是棱的中点，为线段的中点.若分别为的动点，则最小时直线与直线所成的角的余弦值为___________．

8．在四面体中，，，，则．所成的角的余弦值为__________．

9．给出下列说法：

①若直线平行于平面内的无数条直线，则；

②若直线在平面外，则；

③若空间中三条直线满足，则直线与一定垂直；

④垂直于同一直线的两条直线平行

其中正确说法的是__________

10．已知直三棱柱中，，，则异面直线与所成角的余弦值为____________．

11．在四棱锥中，底面是边长为的正方形，平面，，为的中点.则异面直线与所成角的余弦值为_____.

12．在正六棱柱的所有棱中任取两条，则它们所在的直线是互相垂直的异面直线的概率为______（结果用数字表示）．

13．在正方体中，M为AB中点，N为BC中点，P为线段上一动点（不含C）过M．N．P与正方体的截面记为，则下面三个判断，其中正确判断的序号有______．

①当P为中点时，截面为六边形；

②当时，截面为五边形；

③当截面为四边形时，它一定是等腰梯形；

14．在三棱锥中，平面，是棱的中点，，，，，则异面直线与所成角的余弦值为______.

15．已知直线与平面，给出下列三个命题：

①若，，则②若，，则③若，，则

其中正确命题的序号是________.

参考答案与试题解析

1．【答案】

【解析】分析：连接ON．OM，由题设可知且．．面，根据线面垂直的性质有，则异面直线与所成角的平面角为，进而求其正切值即可.

详解：连接ON．OM，由轴截面是等腰直角三角形，是底面圆周上的中点，为的中点，

∴且，，面.

若，则，而面，即，

∴异面直线与所成角的平面角为，在中有.

故答案为：.

【点睛】

关键点点睛：由圆锥的轴截面为等腰直角三角形且M．N分别是半圆．线段的中点，连接ON．OM，进而确定异面直线与所成角的平面角.

2．【答案】或．

【解析】分析：本题可以利用已知条件，然后在图中画出满足条件的图例，然后可以通过图例判断出直线与平面的位置关系．

详解：直线和平面，若，且，

则与的位置关系是：或．

如图：

故答案为：或．

3．【答案】3

【解析】分析：根据公理2及公理1可证①成立，根据公理3及其推论可证②成立，通过反例可得③不成立，从而可得③错误，由平行公理知④正确.

详解：对于①，因为，平面，因此平面，

同理平面，平面，故三点共线.故①正确.

对于②，如图

因为，故可确定一个平面，因为，

，故，所以.

在平面内过作直线，因为，故重合或者，

但，从而重合，也就是这四条直线共面，故②正确.

对于③，以四棱锥为例，

与异面，与异面，但与相交，并不异面，故③错误；

对于④若，，由平行公理可得正确，故④正确.

故答案为：3

4．【答案】

【解析】分析：取的中点，连接，，可得，所以或其补角即为异面直线与所成角，在中，求即可求解.

详解：

取的中点，连接，，，，，，

因为，所以且，

所以或其补角即为异面直线与所成角，

设，则，

所以，，

因为是等边三角形，，所以，

因为平面，平面，所以 ，

所以，

在中，，

因为异面直线所成的角为锐角或直角，

所以异面直线与所成角的余弦值为，

故答案为：

【点睛】

思路点睛：平移线段法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面直线的问题化归为共面直线问题来解决，具体步骤如下：

（1）平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角；

（2）认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角；

（3）计算：求该角的值，常利用解三角形；

（4）取舍：由异面直线所成的角的取值范围是，当所作的角为钝角时，应取它的补角作为两条异面直线所成的角．

5．【答案】

【解析】分析：在边上取点E，使得，连接，，在边上取点，使，连接，可证得，所以为异面直线与所成角，然后在中求解即可

详解：解：设，在边上取点E，使得，连接，，

因为，所以，

在边上取点，使，连接，则可得为平行四边形，所以∥,

因为，∥，，

所以∥，，

所以四边形为平行四边形，

所以∥，

所以

所以为异面直线与所成角.

因为，所以，

，

，

所以.

故答案为：

6．【答案】

【解析】分析：先建立空间直角坐标系，写出各点的坐标，然后用向量法求异面直线所成的角即可

详解：建立如图所示的空间直角坐标系，

设，，

设异面直线与所成角的大小为，

则

故答案为：

7．【答案】

【解析】分析：连结交于点，利用平面几何知识的线面垂直的判定定理以及性质定理得到，经过分析可知当点在处时，最小，然后利用三角形全等得到，从而，，三点共线时，最小，然后利用空间向量基本定理和模的求解，分别求出，，的值，利用余弦定理分析求解即可．

详解：解：连结交于点，

因为，分别是棱，的中点，则，

由和为底面正方形的两条对角线，

故，所以，

又侧棱底面，且底面，

故，

又和为平面内两条相交的直线，

所以平面，

故，

若点不在处，则，

故点在处时，最小，

连结，取的中点，

因为，，，

所以，

所以，

故，，三点共线时等号成立），

所以，，三点共线时，最小，

此时，

因为，所以，

则，，

所以

，

所以，

又

，

所以，

设最小时直线与直线所成的角为，

所以，

所以最小时直线与直线所成角的余弦值为．

故答案为：．

【点睛】

关键点点睛：求两个线段和的最值时通常会用到三角形两边和大于第三边，本题中关键就是用这个结论确定最小时的点的位置然后结合解三角形求解.

8．【答案】

【解析】分析：先将四面体放于长方体中，再由余弦定理即可求解.

详解：解：如图将四面体还原到一个长方体中，设该长方体的长．宽．高分别为a，b，c，

则，所以,又因为,所以．所成的角即为,又,由余弦定理得，

又因为异面直线的夹角范围为，故．所成的角的余弦值为.

故答案为：.

9．【答案】③

【解析】分析：根据空间中线线．线面的位置关系逐一判断①②③④的正确性，即可得答案.

详解：对于①：若直线平行于平面内的任意一条直线，直线，若直线平行于平面内的无数条直线，则，，故①不正确；

对于②：若直线在平面外，则或与相交，故②不正确；

对于③：若，则直线与一定垂直，故③正确；

对于④：垂直于同一条直线的两条直线可以相交．平行．异面，故④不正确；

故答案为：③.

10．【答案】

【解析】分析：连接交于点O，易知，得到即为异面直线与所成角，然后在中求解.

详解：如图所示：

连接交于点O，则点O为的中点，

取的中点D，连接．，

∴，

∴即为异面直线与所成角．

∵，

∴．

∴在中，．

故答案为：

11．【答案】

【解析】分析：取中点，根据平行关系可知异面直线与所成角即为或其补角，再根据线段长度以及余弦定理求解出的余弦值，则异面直线与所成角的余弦值可知.

详解：取中点，连接，如图所示：

因为位中点，所以，

所以异面直线与所成角即为或其补角，

因为，，

所以，所以异面直线与所成角的余弦值为，

故答案为：.

12．【答案】

【解析】分析：首先求出在正六棱柱的所有棱中任取两条的基本事件的个数，然后求出符合是异面直线且互相垂直的的个数，进而根据古典概型概率公式求解即可.

详解：由正六棱柱的18条棱中任取2条，共有种，考虑侧棱与底面垂直，与底面的直线都垂直，6条侧棱，每一条侧棱与一个底面中的4条直线是互相垂直的异面直线，有上下两个底面，则其中是互相垂直的异面直线共有种，所以它们所在的直线是互相垂直的异面直线的概率为.

故答案为：.

13．【答案】①③.

【解析】分析：①延长交于，交于，延长交于，取的中点，连接交于，连接，结合图形即可判断；

②延长交于，交于，连接交于，连接交于，此时截面为五边形，求出即可判断；

③当截面为四边形时，点与点重合，判断四边形的形状即可.

详解：解：如图①，延长交于，交于，延长交于，取的中点，连接交于，连接，

因为M为AB中点，N为BC中点，

所以，

同理，

又因，

所以，

同理，

所以共面，

此时六边形为截面，

所以截面为六边形；故①正确；

如图②，延长交于，交于，连接交于，连接交于，此时截面为五边形

因为，所以，

所以，即，

所以当时，截面为五边形；故②错误；

当截面为四边形时，点与点重合，如图，

由①得，，所以四边形即为截面，

设正方体的棱长为1，

则，，所以，

所以四边形是等腰梯形；故③正确.

故答案为：①③.

14．【答案】

【解析】分析：取中点，连接，.求得或其补角即为异面直线，所成的角.然后解三角形即可求解.

详解：取中点，连接，.

∵是棱的中点，∴，

∴或其补角即为异面直线，所成的角.

∵平面，

∴，，又，，，，

∴，，，∴，，，，

在中，，

∴异面直线与所成角的余弦值为.

故答案为：

15．【答案】②③

【解析】分析：根据线面平行与垂直的判定定理与性质定理判断可得；

详解：解：直线与平面，对于①若，，则与平行．相交．异面，故①错误；

对于②若，，则根据线面垂直的定义可得，故②正确；

对于③若，，根据线面垂直的性质定理可得，故③正确；

故答案为：②③