数学必修 第二册3.1 空间图形基本位置关系的认识学案设计

§3　 空间点、直线、平面之间的位置关系

3．1　空间图形基本位置关系的认识

3．2　刻画空间点、线、面位置关系的公理(一)

知识点1　空间图形基本位置关系的认识

1.两个平面的交线可能是一条线段吗？

[提示]　不可能．由基本事实3知，两个平面的交线是一条直线．

1.若点M在直线a上，a在平面α内，则M，a，α之间的关系可记为(　　)

A．M∈a，a∈α　 B．M∈a，a⊂α

C．M⊂a，a⊂α     D．M⊂a，a∈α

B　[点与直线的关系为元素与集合的关系，能用“∈”，直线与平面的关系为集合间的关系，不能用“∈”．]

知识点2　直线、平面平行的画法

(1)直线与平面平行的画法：画直线和平面平行时，通常把表示直线的线段画在表示平面的平行四边形的外面，并且使它与平行四边形内的一条线段平行或与平行四边形的一边平行．

(2)平面与平面平行的画法：在画两个平行的平面时，通常把表示这两个平面的平行四边形的对应边画成互相平行的．

2.若一直线a在平面α内，则正确的作图是(　　)

A　　　　　　　　B

C　　　　　　　　D

A　[B中直线a不应超出平面α；C中直线a不在平面α内；D中直线a与平面α相交．]

知识点3　刻画空间点、线、面位置关系的公理

(1)三个基本事实

(2)基本事实的推论

推论1：一条直线和该直线外一点确定一个平面．

推论2：两条相交直线确定一个平面．

推论3：两条平行直线确定一个平面．

2.经过空间任意三点能确定一个平面吗？

[提示]　不一定．只有经过空间不共线的三点才能确定一个平面．

3.思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)

(1)两个平面α，β有一个公共点A，就说α，β相交于A点，记作α∩β＝A.   (　　)

(2)空间不同三点确定一个平面．  (　　)

(3)两两相交的三条直线最多可以确定三个平面． (　　)

[提示]　(1)错误．如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线．

(2)错误．空间不共线的三点确定一个平面．

(3)正确．

[答案]　(1)×　(2)×　(3)√

类型1　点、线、面的位置关系

【例1】　如图所示，在长方体ABCD­A1B1C1D1中，AC与BD相交于点M，则下列说法中正确的是(　　)

①点M在直线AC上，点B在直线A1B1外；②直线AC与BD相交，直线AC与A1D1相交；③平面AA1B1B与平面D1DCC1平行；④直线AC与平面A1B1C1D1相交；

A．①③④　 B．①②

C．①③     D．②③④

C　[①中，点M是直线AC与BD的交点，点M在直线AC上，点B显然在直线A1B1外，故①正确；②中，直线AC与A1D1不在一个平面内，不相交，故②错误；③中，两平面没有公共点，即互相平行，故③正确；④中，直线AC与平面A1B1C1D1平行，故④错误．]

(1)正确理解点、线、面之间的位置关系．

(2)能够用正确的符号表示点、线、面之间的位置关系．

(3)通过观察图形，能够更准确地判断点、线、面的位置关系．

1．如图，用符号表示下列图形中点、直线、平面之间的位置关系．

(1)　　　　　(2)

[解]　在(1)中，α∩β＝l，a∩α＝A，a∩β＝B，A∈α，B∈β.

在(2)中，α∩β＝l，a⊂α，b⊂β，a∩l＝P，b∩l＝P，P∈α，P∈β.

类型2　多点共线和多线共点问题

【例2】　如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，点M、N、E、F分别是棱CD、AB、DD1、AA1上的点，若MN与EF交于点Q，求证：D、A、Q三点共线．

[证明]　∵MN∩EF＝Q，∴Q∈直线MN，Q∈直线EF，

又∵M∈直线CD，N∈直线AB，

CD⊂平面ABCD，AB⊂平面ABCD.

∴M、N∈平面ABCD，

∴MN⊂平面ABCD，

∴Q∈平面ABCD.

同理，可得EF⊂平面ADD1A1，∴Q∈平面ADD1A1.

又∵平面ABCD∩平面ADD1A1＝AD，

∴Q∈直线AD，即D、A、Q三点共线．

(1)证明多点共线：证明多点共线通常利用基本事实3，即两相交平面交线的唯一性，通过证明点分别在两个平面内，证明点在相交平面的交线上，也可选择其中两点确定一条直线，然后证明其他点也在其上．

(2)证明三线共点：证明三线共点问题可把其中一条作为分别过其余两条直线的两个平面的交线，然后再证两条直线的交点在此直线上，此外还可先将其中一条直线看作某两个平面的交线，证明该交线与另两条直线分别交于两点，再证点重合，从而得三线共点．

2．已知：平面α，β，γ两两相交于三条直线l1，l2，l3，且l1，l2不平行．

求证：l1，l2，l3相交于一点．

[证明]　如图，α∩β＝l1，β∩γ＝l2，α∩γ＝l3.

∵l1⊂β，l2⊂β，且l1，l2不平行，

∴l1与l2必相交．设l1∩l2＝P，

则P∈l1⊂α，P∈l2⊂γ，

∴P∈α∩γ＝l3，

∴l1，l2，l3相交于一点．

类型3　点、线共面问题

【例3】　如图，已知：a⊂α，b⊂α，a∩b＝A，P∈b，PQ∥a，求证：PQ⊂α.

1.基本事实2的内容和作用是什么？

[提示]　如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内．基本事实2的作用是证明直线在平面内．

2. 确定一个平面有哪些条件？

[提示]　利用基本事实1及其三个推论可知，可以确定一个平面的条件有：

（1）不共线的三点；（2）直线和该直线外一点；（3）两条相交直线；（4）两条平行直线．

3.→→

[证明]　因为PQ∥a，所以PQ与a确定一个平面β，所以直线a⊂β，点P∈β.因为P∈b，b⊂α，所以P∈α.又因为a⊂α，P∉a，所以α与β重合，所以PQ⊂α.

在证明多线共面时，可用下面的两种方法来证明：

(1)纳入法：先由部分直线确定一个平面，再证明其他直线在这个平面内．

(2)重合法：先说明一些直线在一个平面内，另一些直线也在另一个平面内，再证明两个平面重合．

3.已知A∈l，B∈l，C∈l，D∉l，如图．

求证：直线AD，BD，CD共面．

[证明]　因为直线l与点D可以确定平面α，所以只需证明AD，BD，CD都在平面α内．

因为D∉l，所以l与D可以确定平面α(推论1).

因为A∈l，所以A∈α.又D∈α，所以AD⊂α(基本事实2).

同理，BD⊂α，CD⊂α，所以AD，BD，CD在同一平面α内，即它们共面．

1．能确定一个平面的条件是(　　)

A．空间三个点     B．一个点和一条直线

C．无数个点     D．两条相交直线

D　[A项，三个点可能共线，B项，点可能在直线上，C项，无数个点也可能在同一条直线上．]

2．(多选题)下列说法中不正确的是(　　)

A．三点确定一个平面

B．四边形一定是平面图形

C．梯形一定是平面图形

D．两个不同平面α和β有不在同一条直线上的三个公共点

ABD　[不共线的三点确定一个平面，故A不正确；四边形有时指空间四边形，故B不正确；梯形的上底和下底平行，可以确定一个平面，故C正确；两个平面如果相交，一定有一条交线，所有这两个平面的公共点都在这条交线上，故D不正确．故选ABD.]

3．三个点可以确定平面的个数是(　　)

A．0     B．1

C．2     D．1或无数个

D　[当这三点共线时可确定无数个平面，不共线时可确定一个平面，故选D.]

4．平面α与平面β相交，点A，B既在平面α内又在平面β内，则A、B必在________．

α与β的交线上　[设α∩β＝l，因为A、B∈α，且AB∈β，∴A，B∈l.]

5.如图，已知D，E是△ABC的边AC，BC上的点，平面α经过D，E两点，若直线AB与平面α的交点是P，则点P与直线DE的位置关系是________．

P∈直线DE　[因为P∈AB，AB⊂平面ABC，

所以P∈平面ABC.

又P∈α，平面ABC∩平面α＝DE，

所以P∈直线DE.]

回顾本节内容，自我完成以下问题：

1.三个基本事实的作用是什么？

[提示]　三个基本事实的作用：,基本事实1——判定点共面、线共面的依据；,基本事实2——判定直线在平面内的依据；,基本事实3——判定点共线、线共点的依据．

2.如何证明点共线、点线共面及线共点问题？

[提示]　(1)证明几点共线的方法：先考虑两个平面的交线，再证有关的点都是这两个平面的公共点．或先由某两点作一直线，再证明其他点也在这条直线上．

(2)证明点线共面的方法：先由有关元素确定一个基本平面，再证其他的点(或线)在这个平面内；或先由部分点线确定平面，再由其他点线确定平面，然后证明这些平面重合．注意对诸如“两平行直线确定一个平面”等依据的证明、记忆与运用．

(3)证明几线共点的方法：先证两线共点，再证这个点在其他直线上，而“其他”直线往往归结为平面与平面的交线．