第7周：勾股定理（单元诊断）-2020-2021学年八年级数学下学期周末补习培优（人教版） 试卷

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第7周：勾股定理（单元诊断）-2020-2021学年下学期周末补习培优八年级数学（人教版）  一、单选题1．以线段、b、c 的长为边长能构成直角三角形的是（   ）A．=3，b=4，c=6 B．=1，b=，c=C．=5，b=6，c=8 D．=，b=2，c=【答案】B【分析】根据勾股定理的逆定理对四个选项进行逐一分析即可．【详解】A、，C、，D、，故错误；B、，能构成直角三角形，本选项正确.故选B．【点评】本题考查了勾股定理的知识点，解题的关键是熟练的掌握勾股定理的定理与运算.2．如图，有一块直角三角形纸片，两直角边，．现将直角边沿直线折叠，使它落在斜边上，且与重合，则等于（　　）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据翻折的性质可知：AC＝AE＝6，CD＝DE，设CD＝DE＝x，在Rt△DEB中利用勾股定理解决．【详解】解：在Rt△ABC中，∵AC＝6，BC＝8，∴AB＝=＝10，△ADE是由△ACD翻折，∴AC＝AE＝6，EB＝AB−AE＝10−6＝4，设CD＝DE＝x，在Rt△DEB中，∵，∴，∴x＝3，∴CD＝3．故答案为：B．【点评】本题考查翻折的性质、勾股定理，利用翻折不变性是解决问题的关键，学会转化的思想去思考问题．3．我国古代数学家赵爽“的勾股圆方图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形（如图所示），如果大正方形的面积是25，小正方形的面积是1，直角三角形的两直角边分别是a、b，那么 的值为（   ）.A．49 B．25 C．13 D．1【答案】A【分析】根据正方形的面积公式以及勾股定理，结合图形进行分析发现：大正方形的面积即直角三角形斜边的平方25，也就是两条直角边的平方和是25，四个直角三角形的面积和是大正方形的面积减去小正方形的面积即2ab=12，据此即可得结果.【详解】根据题意，结合勾股定理a2+b2=25，四个三角形的面积=4×ab=25-1=24，∴2ab=24，联立解得：（a+b）2=25+24=49．故选A.4．下列结论中，矩形具有而菱形不一定具有的性质是（   ）A．内角和为360° B．对角线互相平分 C．对角线相等 D．对角线互相垂直【答案】C【分析】矩形与菱形相比，菱形的四条边相等、对角线互相垂直；矩形四个角是直角，对角线相等，由此结合选项即可得出答案．【详解】A、菱形、矩形的内角和都为360°，故本选项错误；B、对角互相平分，菱形、矩形都具有，故本选项错误；C、对角线相等菱形不具有，而矩形具有，故本选项正确D、对角线互相垂直，菱形具有而矩形不具有，故本选项错误，故选C．【点评】本题考查了菱形的性质及矩形的性质，熟练掌握矩形的性质与菱形的性质是解题的关键.5．如图，在数轴上点所表示的数为，则的值为（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】首先根据勾股定理得出圆弧的半径,然后得出点A的坐标.【详解】解： ∴由图可知：点A所表示的数为: 故选：A【点评】本题主要考查的就是数轴上点所表示的数,属于基础题型.解决这个问题的关键就是求出斜边的长度.在数轴上两点之间的距离是指两点所表示的数的差的绝对值.6．已知△ABC的三边分别是6，8，10，则△ABC的面积是（　　）A．24 B．30 C．40 D．48【答案】A【分析】已知△ABC的三边分别为6，10，8，由62+82=102，即可判定△ABC是直角三角形，两直角边是6，8，所以△ABC的面积为×6×8=24，故选A．7．如图，2002年8月在北京召开的国际数学家大会会徽取材于我国古代数学家赵爽的《勾股圆方图》（也称《赵爽弦图》），它是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形，如图所示，如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形的短直角边为a，较长直角边为b，那么的值为（    ）A．13 B．19 C．25 D．169【答案】C【分析】试题分析：根据题意得：=13，4×ab=13﹣1=12，即2ab=12，则==13+12=25，故选C．考点：勾股定理的证明；数学建模思想；构造法；等腰三角形与直角三角形．8．已知，为正数，且，如果以，的长为直角边作一个直角三角形，那么以这个直角三角形的斜边为边长的正方形的面积为（    ）A．5 B．25 C．7 D．15【答案】C【分析】本题可根据两个非负数相加和为0，则这两个非负数的值均为0解出x、y的值，然后运用勾股定理求出斜边的长．斜边长的平方即为正方形的面积．【详解】依题意得：，∴，斜边长，所以正方形的面积．故选C．考点：本题综合考查了勾股定理与非负数的性质点评：解这类题的关键是利用直角三角形，用勾股定理来寻求未知系数的等量关系．9．直线l1∥l2∥l3，且l1与l2的距离为1,l2与l3的距离为3.把一块含有45°角的直角三角板如图放置,顶点A、B、C恰好分别落在三条直线上，则△ABC的面积为（     ）A． B． C．12 D．25【答案】B【分析】作BE⊥l3于E，作AF⊥l3于F，得出BE=3，AF=3+1=4，再证明△BEC≌△CFA，得出CE=AF，根据勾股定理求出BC，即可得出结果．【详解】解：作BE⊥l3于D，作AF⊥l3于F，如图所示：则∠BEC=∠CFA=90°，BE=3，AF=3+1=4，∴∠ECB+∠EBC=90°，∵△ABC是等腰直角三角形，∴∠ACB=90°，AC=BC，∴∠ECB+∠FCA=90°，∴∠EBC=∠FCA，在△BEC和△CFA中，，∴△BEC≌△CFA（AAS），∴CE=AF=4，∴BC==5，∴AC=BC=5，∴S△ABC=AC•BC=×5×5=．故选B．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质、平行线之间的距离、勾股定理以及等腰直角三角形的性质；通过作辅助线证明三角形全等得出对应边相等是解决问题的关键．10．一根高9m的旗杆在离地4m高处折断，折断处仍相连，此时在3.9m远处耍的身高为1m的小明（　　）A．没有危险 B．有危险 C．可能有危险 D．无法判断【答案】B【分析】如图所示：
AB=9-4=5，AC=4-1=3，
由勾股定理得：BC=,∴此时在3.9m远处耍的身高为1m的小明有危险，
故选B．  二、填空题11．在一个长为8分米，宽为5分米，高为7分米的长方体上，截去一个长为6分米，宽为5分米，深为2分米的长方体后，得到一个如图所示的几何体．一只蚂蚁要从该几何体的顶点A处，沿着几何体的表面到几何体上和A相对的顶点B处吃食物，那么它需要爬行的最短路径的长是________分米．【答案】； 13或【分析】试题分析：把立体图展开可得①根据侧面展开图可由两点之间，线段最短，知AB最短，故根据勾股定理可求得AB=13分米；②根据立体图形可知把AC，BE向外展开，得到直角边长为5+1+=7，把中间凹面展开可得到直角边为6+2+2=10，，然后根据勾股定理可求得最短距离为；③同②的方式，得到两直角边分别为11和6，然后根据勾股定理求得最短距离为=．考点：立体图形的侧面展开图，两点之间，线段最短，勾股定理12．如图，一根旗杆在离地面5 m处断裂，旗杆顶部落在离旗杆底部12 m处，旗杆断裂之前的高为____. 【答案】18m【分析】旗杆折断后，落地点与旗杆底部的距离为12m，旗杆离地面5m折断，且旗杆与地面是垂直的，所以折断的旗杆与地面形成了一个直角三角形．根据勾股定理,折断的旗杆为=13m，所以旗杆折断之前高度为13m+5m=18m.故答案为18m.13．如图所示，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为7cm，正方形A，B，C的面积分别是8cm2，10cm2，14cm2，则正方形D的面积是__________cm2．【答案】17【分析】试题解析：根据勾股定理可知，∵S正方形1+S正方形2=S大正方形=49，S正方形C+S正方形D=S正方形2，S正方形A+S正方形B=S正方形1，∴S大正方形=S正方形C+S正方形D+S正方形A+S正方形B=49．∴正方形D的面积=49-8-10-14=17（cm2）.14．如图，在Rt△ABC中，∠C=30°，以直角顶点A为圆心，AB长为半径画弧交BC于点D，过D作DE⊥AC于点E．若DE=a，则△ABC的周长用含a的代数式表示为                ．【答案】．【详解】∵∠C=30°，∠BAC=90°，DE⊥AC，∴BC=2AB，CD=2DE=2a，∵AB=AD，∴点D是斜边BC的中点，∴BC=2CD=4a，AB=BC=2a，∴AC===，∴△ABC的周长=AB+BC+AC==．故答案为． 15．如图，在菱形中，点是边的中点，将沿折叠后得到，且点在矩形的内部．将延长交边于点，若，则_____________．【答案】【分析】连接EG，根据中点和折叠的性质可证Rt△ECG≌Rt△EFG，然后可得，设，从而可得，从而可得BC，再根据矩形的性质结合勾股定理即可求出AB，从而可得答案.【详解】连接．∵点是边的中点，∴．∴将沿折叠后得到，∴，∴．在和中，，∴，∴．设．∵，∴，∴．在矩形中，，∴．在中，，∴．故答案为：.【点评】本题是一道综合题，考查的是全等三角形的判定，矩形的性质和勾股定理，能够充分调动所学知识是解答本题的关键. 三、解答题16．在杭州西湖风景游船处，如图，在离水面高度为5m的岸上，有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子BC的长为13m，此人以0.5m/s的速度收绳.10s后船移动到点D的位置，问船向岸边移动了多少m？（假设绳子是直的，结果保留根号）【答案】【分析】在Rt△ABC中，利用勾股定理计算出AB长，再根据题意可得CD长，然后再次利用勾股定理计算出AD长，再利用BD=AB-AD可得BD长．【详解】解：∵在Rt△ABC中，∠CAB=90°，BC=13m，AC=5m，∴AB＝＝12 （m），∵此人以0.5m/s的速度收绳，10s后船移动到点D的位置，∴CD=13﹣0.5×10=8（m），∴AD＝＝＝（m），∴BD＝AB−AD＝(12−）（m）答：船向岸边移动了(12−）m．【点评】本题考查勾股定理的应用，关键是掌握从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用．17．如图，在4×3正方形网格中，每个小正方形的边长都是1.(1)分别求出线段AB，CD的长度；(2)在图中画线段EF，使得EF的长为，以AB，CD，EF三条线段能否构成直角三角形，并说明理由.【答案】；．（2）以AB、CD、EF三条线段可以组成直角三角形【分析】（1）利用勾股定理求出AB、CD的长即可；（2）根据勾股定理的逆定理，即可作出判断．【详解】（1）AB==；CD==2．（2）如图，EF==，∵CD2+EF2=8+5=13，AB2=13，∴CD2+EF2=AB2，∴以AB、CD、EF三条线段可以组成直角三角形．【点评】本题考查了勾股定理、勾股定理的逆定理，充分利用网格是解题的关键．18．图1是围墙的一部分，上部分是由不锈钢管焊成的等腰三角形栅栏如图2，请你根据图2所标注的尺寸，求焊成一个等腰三角形栅栏外框BCD至少需要不锈钢管多少米（焊接部分忽略不计）．【答案】等腰三角形栅栏外框BCD至少需要不锈钢管3.6米．【分析】首先根据等腰三角形的性质可得DO=CD=0.8m，再在Rt△BDO中利用勾股定理计算出BD的长，即可算出答案．【详解】由题意得：BO⊥CD，∵△BCD是等腰三角形，∴DO＝CD＝0.8m，在Rt△BDO中，∵BD2＝DO2+BO2，∴BD＝＝1（米），∴BC＝1米，∴等腰三角形栅栏外框BCD至少需要不锈钢管：1+1+1.6＝3.6（米）．【点评】本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是利用勾股定理计算出BD的长．19．如图所示，∠B＝∠OAF＝90°，BO＝3 cm，AB＝4 cm，AF＝12 cm，求图中半圆的面积．【答案】图中半圆的面积是cm2.【分析】先根据勾股定理求出AO,FO的长，再根据半圆面积计算公式计算半圆面积即可.【详解】解：如图，∵在直角△ABO中，∠B＝90°，BO＝3 cm，AB＝4 cm，∴AO＝＝5 cm.则在直角△AFO中，由勾股定理，得到FO＝＝13 cm，∴图中半圆的面积＝π×2＝π×(cm2)．答：图中半圆的面积是cm2.【点评】此题重点考察学生对勾股定理的实际应用能力，熟练掌握勾股定理是解题的关键.20．如图，在△ABC中，AB＝30 cm，BC＝35 cm，∠B＝60°，有一动点M自A向B以1 cm/s的速度运动，动点N自B向C以2 cm/s的速度运动，若M，N同时分别从A，B出发．(1)经过多少秒，△BMN为等边三角形；(2)经过多少秒，△BMN为直角三角形．【答案】(1) 出发10s后，△BMN为等边三角形；(2)出发6s或15s后，△BMN为直角三角形．【分析】（1）设时间为x，表示出AM=x、BN=2x、BM=30-x，根据等边三角形的判定列出方程，解之可得；
（2）分两种情况：①∠BNM=90°时，即可知∠BMN=30°，依据BN=BM列方程求解可得；②∠BMN=90°时，知∠BNM=30°，依据BM=BN列方程求解可得．【详解】解　(1)设经过x秒，△BMN为等边三角形，则AM＝x，BN＝2x，∴BM＝AB－AM＝30－x，根据题意得30－x＝2x，解得x＝10，答：经过10秒，△BMN为等边三角形；(2)经过x秒，△BMN是直角三角形，①当∠BNM＝90°时，∵∠B＝60°，∴∠BMN＝30°，∴BN＝BM，即2x＝(30－x)，解得x＝6；②当∠BMN＝90°时，∵∠B＝60°，∴∠BNM＝30°，∴BM＝BN，即30－x＝×2x，解得x＝15，答：经过6秒或15秒，△BMN是直角三角形．【点评】本题考查勾股定理的逆定理，等边三角形的判定.21．如图，A城气象台测得台风中心在A城正西方向600km的B处，以每小时200km的速度向北偏东60°的方向移动，距台风中心500km的范围内是受台风影响的区域．（1）A城是否受到这次台风的影响？为什么？（2）若A城受到这次台风的影响，那么A城遭受这次台风影响有多长时间？【答案】（1）A城受到台风的影响；（2）4.【分析】（1）点到直线的线段中垂线段最短，故应由A点向BC作垂线，垂足为M，若AM＞500则A城不受影响，否则受影响；（2）点A到直线BC的长为500千米的点有两点，分别设为D、G，则△ADG是等腰三角形，由于AM⊥BC，则M是DG的中点，在Rt△ADM中，解出MD的长，则可求DG长，在DG长的范围内都是受台风影响，再根据速度与距离的关系则可求时间．【详解】解：（1）A城受到这次台风的影响，理由：由A点向BC作垂线，垂足为M，在Rt△ABM中，∠ABM=30°，AB=600km，则AM=300km，因为300＜500，所以A城要受台风影响；（2）设BC上点D，DA=500千米，则还有一点G，有AG=500千米．因为DA=AG，所以△ADG是等腰三角形，因为AM⊥BC，所以AM是DG的垂直平分线，MD=GM，在Rt△ADM中，DA=500千米，AM=300千米，由勾股定理得，MD==400（千米），则DG=2DM=800千米，遭受台风影响的时间是：t=800÷200=4（小时），答：A城遭受这次台风影响时间为4小时．【点评】此题主要考查了勾股定理的应用以及点到直线的距离=速度×时间等，构造出直角三角形是解题关键．22．如图所示，在正方形ABCD中，M为AB的中点，N为AD上的一点，且AN＝AD，试猜测△CMN是什么三角形，请证明你的结论．【答案】△CMN是直角三角形，理由详见解析．【分析】由已知可求得AM，AN的长，根据勾股定理可求出MN的长，同理可得MC，NC的长，根据勾股定理的逆定理可知三角形CMN是直角三角形．【详解】猜想：△CMN是直角三角形．理由如下：设正方形ABCD的边长为4a，则AM=2a，AN=a，DN=3a．在Rt△AMN中，由勾股定理得：MN2=5a2．同理可得：CN2=25a2，CM2=20a2．所以MN2＋CM2=CN2．所以△CMN是直角三角形．【点评】本题考查了直角三角形的性质及勾股定理的逆定理，正方形的性质．设出正方形ABCD的边长是解题的关键．23．（1）问题发现：如图1，△ABC与△CDE均为等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，则线段AE、BD的数量关系为_______，AE、BD所在直线的位置关系为________；       （2）深入探究：在（1）的条件下，若点A，E，D在同一直线上，CM为△DCE中DE边上的高，请判断∠ADB的度数及线段CM，AD，BD之间的数量关系，并说明理由；（3）解决问题：如图3，已知△ABC中，AB=7，BC=3，∠ABC=45°，以AC为直角边作等腰直角△ACD，∠CAD=90°，AC=AD，连接BD，则的长为              ．【答案】（1）相等，垂直；（2）AD=2CM+BD；（3）或7﹣3【分析】（1）结论：AE＝BD，AE⊥BD．如图1中，延长AE交BD于点H，AH交BC于点O．只要证明△ACE≌△BCD（SAS），即可解决问题；（2）结论：AD＝2CM+BD，只要证明△ACE≌△BCD（SAS），即可解决问题；（3）分两种情形分别画出图形，构造全等三角形解决问题即可；【详解】（1）结论：AE＝BD，AE⊥BD．理由：如图1中，延长AE交BD于点H，AH交BC于点O．∵△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，∴AC＝BC，CD＝CE，∴∠ACE＝∠BCD，∴△ACE≌△BCD（SAS），∴AE＝BD，∠CAE＝∠CBD，∵∠CAE+∠AOC＝90°，∠AOC＝∠BOH，∴∠BOH+∠CBD＝90°∴∠AHB＝90°，∴AE⊥BD．故答案是：AE＝BD，AE⊥BD．（2）结论：AD＝2CM+BD，理由：如图2中，∵△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，∴AC＝BC，CD＝CE，∴∠ACE＝∠BCD，∴△ACE≌△BCD（SAS），∴AE＝BD，∠BDC＝∠AEC＝135°．∴∠ADB＝∠BDC﹣∠CDE＝135°﹣45°＝90°；在等腰直角三角形DCE中，CM为斜边DE上的高，∴CM＝DM＝ME，∴DE＝2CM．∴AD＝DE+AE＝2CM+BD．（3）情形1：如图3﹣1中，在△ABC的外部，以A为直角顶点作等腰直角△BAE，使∠BAE＝90°，AE＝AB，连接EA、EB、EC．∵∠ACD＝∠ADC＝45°，∴AC＝AD，∠CAD＝90°，∴∠BAE+∠BAC＝∠CAD+∠BAC，即∠EAC＝∠BAD，∴△EAC≌△BAD（SAS），∴BD＝CE．∵AE＝AB＝7，∴BE＝，∠ABE＝∠AEB＝45°，又∵∠ABC＝45°，∴∠ABC+∠ABE＝45°+45°＝90°，∴EC＝，∴BD＝CE＝．情形2：如图3﹣2中，作AE⊥AB交BC的延长线于E，则△ABE是等腰直角三角形，同法可证：△EAC≌△BAD（SAS），∴BD＝CE，∵AB＝AE＝7，∴BE＝7，∴EC＝BE＝CB＝7﹣3，综上所述，BD的长为或7﹣3．【点评】考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题.24．有一个如图所示的长方体的透明鱼缸，假设其长AD＝80 cm，高AB＝60 cm，水深AE＝40 cm，在水面上紧贴内壁G处有一鱼饵，G在水面线EF上，且EG＝60 cm.一小虫想从鱼缸外的点A处沿缸壁爬到鱼缸内G处吃鱼饵．(1)小虫应该走怎样的路线才可使爬行的路程最短？请画出它的爬行路线，并用箭头标注；(2)试求小虫爬行的最短路程．【答案】(1)如图所示见解析，AQ→QG为最短路线；(2)小虫爬行的最短路程为100 cm.【分析】(1)根据轴对称性质,通过作对称点将折线转化成两点之间线段距离最短.(2)根据AE＝40cm,AA′＝120cm,可得:A′E＝120－40＝80(cm),再根据EG＝60cm,可得:A′G2＝A′E2＋EG2＝802＋602＝10000,A′G＝100cm,进而可得:AQ＋QG＝A′Q＋QG＝A′G＝100cm.【详解】(1)如图所示,AQ→QG为最短路线,(2)因为AE＝40cm,AA′＝120cm,所以A′E＝120－40＝80(cm),因为EG＝60cm,所以A′G2＝A′E2＋EG2＝802＋602＝10000,所以A′G＝100cm,所以AQ＋QG＝A′Q＋QG＝A′G＝100cm,所以小虫爬行的最短路程为100cm.【点评】本题主要对称性质和勾股定理的应用,解决本题的关键是要熟练掌握利用轴对称性质和勾股定理解决实际问题的方法.25．台球是一项高雅的体育运动，其中包含了许多物理、几何学知识，图－①是一个台球桌，目标球F与本球之间有一个G球阻挡．  （1）击球者想通过击打E球，让E球先撞球台的AB边，经过一次反弹后再撞击F球，他应将E球打到AB边上的哪一点？请在图10－①中用尺规作出这一点H，并作出E球的运行路线；（不写画法，保留作图痕迹）（2）如图－②，现以D为原点，建立直角坐标系，记A（0，4），C（8，0），E（4，3），F（7，1），求E球按刚才方式运行到球的路线长度（忽略球的大小）【答案】（1）画出图形见解析；（2）E球运行到F球的路线长度为5【分析】入射角等于反射角，找出点关于的对称点，连接交于根据对称图形的特点及对顶角相等得出，求出及的长运用勾股定理求出的长，因对应边，即为所求.【详解】（1）画出正确的图形．如图（可作点3关于直线AB的对称点E1，连结E1F、E1F与AB交于点H，球E的运动路线就是EH→HF）:（2）过F作AB的平行线，交E1E的延长线于点N，由题意可知，E1N=4，FN=3，在Rt△FNE1中，E1F==5,因为是点E1是点E直线AB的对称点，所以EH=E1H，所以EH+HF=E1F=5,所以E球运行到F球的路线长度为5.【点评】本题考查应用数学知识解决生活中问题的能力，学生应该根据题意联系所学，运用相关的数学知识，合理构建数学模型.