数学选择性必修 第一册1.6 平面直角坐标系中的距离公式课时练习

1.6　平面直角坐标系中的距离公式

1.已知点(a,1)到直线x-y+1=0的距离为1,则a的值为(　　).

A.1 B.-1

C. D.±

解析:由题意知=1,

得|a|=,则a=±.

答案:D

2.两条平行直线l1:3x+4y-2=0,l2:9x+12y-10=0间的距离等于(　　).

A. B. C. D.

解析:直线l1的方程可化为9x+12y-6=0,由两条平行直线间的距离公式,得距离d=.

答案:C

3.点P(2,3)到直线ax+(a-1)y+3=0的距离d取最大值时,d与a的值依次为(　　).

A.3,-3 B.5,2 C.5,1 D.7,1

解析:直线ax+(a-1)y+3=0恒过点A(-3,3),根据已知条件可知当直线ax+(a-1)y+3=0与AP垂直时,d取最大值,此时d=|AP|=5,a=1.故选C.

答案:C

4.已知△ABC的三个顶点分别为A(2,6),B(-4,3),C(2,-3),则点A到BC边的距离为(　　).

A. B. C. D.4

解析:BC边所在直线的方程为,即x+y+1=0,则所求距离d=.

答案:B

5.已知平行四边形相邻两边所在直线的方程分别是l1:x-2y+1=0和l2:3x-y-2=0,两条对角线的交点是P(2,3),则该平行四边形另外两边所在直线的方程是(　　).

A.2x-y+7=0和x-3y-4=0

B.x-2y+7=0和3x-y-4=0

C.x-2y+7=0和x-3y-4=0

D.2x-y+7=0和3x-y-4=0

解析:因为另外两边分别与l1,l2平行,所以可设该平行四边形另外两边所在直线分别为l3:x-2y+c1=0,l4:3x-y+c2=0.又由题意,可得点P到l1的距离等于点P到l3的距离,点P到l2的距离等于点P到l4的距离,所以由点到直线的距离公式可得,解得c1=7或c1=1(舍去).

同理可得c2=-4.故所求直线的方程分别为x-2y+7=0,3x-y-4=0.

答案:B

6.过点A(4,a)和B(5,b)的直线和直线y=x+m平行,则|AB|=　　　　　. 

解析:因为直线AB的斜率kAB==b-a,直线AB与直线y=x+m平行,所以b-a=1,所以|AB|=.

答案:

7.P,Q分别为直线3x+4y-12=0与直线6x+8y+6=0上的任意一点,则|PQ|的最小值为　　　　　. 

解析:直线方程6x+8y+6=0可变形为3x+4y+3=0,则|PQ|的最小值即两平行直线3x+4y-12=0与3x+4y+3=0间的距离,设为d,又d==3,

所以|PQ|的最小值为3.

答案:3

8.在△ABC中,A(3,2),B(-1,5),点C在直线3x-y+3=0上,若△ABC的面积为10,则点C的坐标为　　　　　. 

解析:设C(x,y),由|AB|=5,△ABC的面积为10,得点C到直线AB的距离为4,又线段AB所在直线方程为3x+4y-17=0,点C在直线3x-y+3=0上,

所以解得

所以点C的坐标为(-1,0)或.

答案:(-1,0)或

9.已知a,b,c为某一直角三角形的三边长,c为斜边长,若点P(m,n)在直线ax+by+2c=0上,则m2+n2的最小值为　　　　　. 

解析:由题设知a2+b2=c2,m2+n2表示直线l:ax+by+2c=0上的点P(m,n)到原点O的距离的平方,故当PO⊥l时,m2+n2取最小值d,d==4.

答案:4

10.已知x,y∈R,S=,则S的最小值是　　　　　. 

解析:S=可以看作是点(x,y)到点(-1,0)与点(1,0)的距离之和,数形结合易知最小值为2.

答案:2

11.如图,已知直线l1:x+y-1=0,现将直线l1向上平移到直线l2的位置,若直线l2,l1和坐标轴围成的梯形ABCD的面积为4,求直线l2的方程.

(第11题)

解:设直线l2的方程为y=-x+b(b>1),

则题图中点A(1,0),D(0,1),B(b,0),C(0,b),

于是|AD|=,|BC|=b.

梯形ABCD的高h就是点A到直线l2的距离,

故距离h=(b>1),

由梯形面积公式,得=4,

整理得b2=9,解得b=±3.

但b>1,于是b=3.

从而得到直线l2的方程是x+y-3=0.

12.如图,已知A(-2,0),B(2,-2),C(0,5),过点M(-4,2)且平行于AB的直线l将△ABC分成两部分,求这两部分面积的比.

(第12题)

解法一:由已知,可得直线AB的斜率kAB=-,所以过点M(-4,2)且平行于AB的直线l的方程为y-2=-(x+4),即x+2y=0.直线AC的方程为5x-2y+10=0,由方程组解得如答图,设直线l与AC的交点为P,则P,所以,设直线l与BC相交于点Q,

(第12题答图)

则直线l将三角形ABC分成△CPQ和梯形ABQP两部分,所以.

解法二:由直线方程的两点式,得直线AB的方程为,即x+2y+2=0.设过点M(-4,2)且平行于直线AB的直线l的方程为x+2y+m=0,将点M(-4,2)的坐标代入,得m=0,所以过点M(-4,2)且平行于AB的直线l的方程为x+2y=0.此直线将三角形ABC分成△CPQ和梯形ABQP两部分,其中△CPQ的边PQ上的高d1==2,△ABC的边AB上的高d2=,△CPQ的面积与△ABC的面积之比为,

所以.