高中数学北师大版 (2019)选择性必修 第一册1.6 平面直角坐标系中的距离公式第二课时学案

这是一份高中数学北师大版 (2019)选择性必修 第一册1.6 平面直角坐标系中的距离公式第二课时学案，共7页。

要点一 点到直线的距离公式
1．概念：点到直线的距离d就是点到直线的________的长．
2．公式：点P(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝____________________．
状元随笔 (1)点到直线的距离公式的形式是：分母是直线方程Ax＋By＋C＝0的x项、y项系数平方和的算术平方根，分子是用x0，y0替换直线方程中x，y所得实数的绝对值．
(2)当点P(x0，y0)在直线l上时，有Ax0＋By0＋C＝0，即d＝0.
(3)点到几种特殊直线的距离：
①点P(x0，y0)到x轴的距离d＝|y0|；
②点P(x0，y0)到y轴的距离d＝|x0|；
③点P(x0，y0)到直线y＝a的距离d＝|y0－a|；
④点P(x0，y0)到直线x＝b的距离d＝|x0－b|.
(4)若给出的直线方程不是一般式，则应先化为一般式再利用公式求距离．
要点二 两条平行直线间的距离
1．概念：两条平行直线间的距离就是夹在两条平行直线间的________的长．
2．公式：两条平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0(其中A，B不全为0，且C1≠C2)之间的距离d＝________．
状元随笔 ①求两平行线间的距离可以转化为求点到直线的距离，也可以利用公式．
②利用公式求平行线间的距离时，两直线方程必须是一般式，且x，y的系数对应相等．
③当两直线都与x轴(或y轴)垂直时，可利用数形结合来解决．
当两直线都与x轴垂直时，l1：x＝x1，l2：x＝x2，
则d＝|x2－x1|；
当两直线都与y轴垂直时，l1：y＝y1，l2：y＝y2，
则d＝|y2－y1|.
[基础自测]
1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)直线l1：Ax＋By＋C1＝0与l2：Ax＋By＋C2＝0的距离是|C1－C2|.( )
(2)原点到直线Ax＋By＋C＝0的距离公式是 .( )
(3)平行线间的距离是两平行线上两点间距离的最小值．( )
2．两条平行线l1：3x＋4y－7＝0和l2：3x＋4y－12＝0的距离为( )
A．3 B．2
C．1 D．
3．若第二象限内的点P(m，1)到直线x＋y＋1＝0的距离为，则m的值为________．
题型一 点到直线的距离公式的应用
例1 (1)已知点A(a，2)(a＞0)到直线l：x－y＋3＝0的距离为1，则a＝( )
A．B．2－
C．－1 D．＋1
(2)垂直于直线x＋3y－5＝0且与点P(－1，0)的距离是的直线l的方程是____________．
方法归纳
点到直线的距离的求解方法
(1)求点到直线的距离时，只需把直线方程化为一般式方程，直接应用点到直线的距离公式求解即可．
(2)对于与坐标轴平行(或重合)的直线x＝a或y＝b，求点到它们的距离时，既可以用点到直线的距离公式，也可以直接写成d＝|x0－a|或d＝|y0－b|.
(3)若已知点到直线的距离求参数时，只需根据点到直线的距离公式列方程求解参数即可．
跟踪训练1 (1)在平面直角坐标系xOy中，点P(2，2)到直线4x＋3y＋5＝0的距离为________．
(2)若直线l到直线x－2y＋4＝0的距离和原点到直线l的距离相等，则直线l的方程是________．
题型二 两条平行线间的距离
例2 (1)两直线3x＋y－3＝0和6x＋my－1＝0平行，则它们之间的距离为________．
(2)已知直线l与两直线l1：2x－y＋3＝0和l2：2x－y－1＝0的距离相等，则l的方程为________．
方法归纳
求两条平行线间距离的方法
求两平行线间的距离，一般是直接利用两平行线间的距离公式，当直线l1：y＝kx＋b1，l2：y＝kx＋b2，且b1≠b2时，d＝；当直线l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0且C1≠C2时，d＝.但必须注意两直线方程中x，y的系数对应相等．
跟踪训练2 (1)已知两平行直线l1，l2分别过点P(－1，3)，Q(2，－1)，它们分别绕P，Q旋转，但始终保持平行，则l1，l2之间的距离的取值范围是( )
A．(0，＋∞) B．[0，5]
C．(0，5] D．[0，]
(2)已知直线l1：2x＋3y＝1和直线l2：4x＋6y－9＝0，若直线l到直线l1的距离与到直线l2的距离之比为2∶1，则直线l的方程为________________.
题型三 对称问题
例3 如图，一束光线从原点O(0，0)出发，经过直线l：8x＋6y＝25反射后通过点P(－4，3)，求反射光线的方程及光线从O点到达P点所走过的路程．
先求出原点关于l的对称点，然后利用反射光线的反向延长线过对称点可求方程．
方法归纳
光线的入射、反射的问题以及在某定直线取点，使它与两定点距离之和最小这类问题均属于点关于直线对称的问题．
(1)点A(x0，y0)关于直线l：Ax＋By＋C＝0的对称点M(x，y)，
可由方程组求得．
(2)常用对称的特例有：
①A(a，b)关于x轴的对称点为A′(a，－b)；
②B(a，b)关于y轴的对称点为B′(－a，b)；
③C(a，b)关于直线y＝x的对称点为C′(b，a)；
④D(a，b)关于直线y＝－x的对称点为D′(－b，－a)；
⑤P(a，b)关于直线x＝m的对称点为P′(2m－a，b)；
⑥Q(a，b)关于直线y＝n的对称点为Q′(a，2n－b)．
跟踪训练3 若点P(m，0)到点A(－3，2)及B(2，8)的距离之和最小，求实数m的值．
易错辨析 选用直线方程的形式不当引发错误
例4 过点P(2，5)，且与点(－4，1)距离等于6的直线方程为________．
解析：当斜率存在时，设所求直线方程为y－5＝k(x－2)，即kx－y－2k＋5＝0，
由点到直线的距离公式得：＝6，解得k＝－，
故所求直线方程为5x＋12y－70＝0.
当斜率不存在时，直线平行于y轴，直线方程为x＝2，符合题意．
综上，所求直线方程为5x＋12y－70＝0或x＝2.
答案：5x＋12y－70＝0或x＝2
【易错警示】
[课堂十分钟]
1．原点到直线x＋2y－5＝0的距离d为( )
A．1 B．
C．2 D．
2．已知直线l1：x＋y＋1＝0，l2：x＋y－1＝0，则l1，l2之间的距离为( )
A．1 B．
C． D．2
3．[多选题]若直线l1与直线l：3x－4y－20＝0平行且距离为3，则直线l1的方程为( )
A．3x－4y－5＝0
B．3x－4y－35＝0
C．3x－4y－23＝0
D．3x－4y－17＝0
4．已知两条平行直线l1：3x＋4y＋5＝0，l2：6x＋by＋c＝0之间的距离为2，则b＋c＝________．
5．点A(2，2)关于直线2x－4y＋9＝0的对称点的坐标为________．
第2课时 点到直线的距离公式两条平行直线间的距离公式
新知初探·课前预习
要点一
1．垂线段
2. (A，B不全为0)
要点二
1．公垂线段
2.
[基础自测]
1．(1)× (2)√ (3)√
2．解析：由平行线间的距离公式得：d＝＝1，故选C.
答案：C
3．解析：由＝，得m＝－4或m＝0，
又∵m＜0，∴m＝－4.
答案：－4
题型探究·课堂解透
例1 解析：(1)由点到直线的距离公式知，d＝＝＝1，得a＝－1±.又∵a＞0，∴a＝－1.故选C.
(2)设与直线x＋3y－5＝0垂直的直线的方程为3x－y＋m＝0，
则由点到直线的距离公式知：
d＝＝＝.
所以|m－3|＝6，即m－3＝±6.
得m＝9或m＝－3，
故所求直线l的方程为3x－y＋9＝0或3x－y－3＝0.
答案：(1)C (2)3x－y＋9＝0或3x－y－3＝0
跟踪训练1 解析：(1)由点到直线的距离公式可得d＝＝.
(2)由题意设所求l的方程为x－2y＋C＝0，则＝，解得C＝2，故直线l的方程为x－2y＋2＝0.
答案：(1) (2)x－2y＋2＝0
例2 解析：(1)由题意，得＝，
∴m＝2，将直线3x＋y－3＝0化为6x＋2y－6＝0，
由两平行线间距离公式，得＝＝.
(2)设直线l的方程为2x－y＋C＝0，由题意，得＝，解得C＝1，∴直线l的方程为2x－y＋1＝0.
答案：(1) (2)2x－y＋1＝0
跟踪训练2 解析：(1)当直线l1，l2与直线PQ垂直时，它们之间的距离d达到最大，此时d＝＝5，∴0(2)直线l1的方程可转化为4x＋6y－2＝0.易知l1∥l2∥l，所以可设直线l的方程为4x＋6y＋C＝0(C≠－2且C≠－9).由题意，可得＝2×，解得C＝－16或C＝－.故直线l的方程为4x＋6y－16＝0或4x＋6y－＝0，即2x＋3y－8＝0或6x＋9y－10＝0.
答案：(1)C (2)2x＋3y－8＝0或6x＋9y－10＝0
例3 解析：设原点关于l的对称点A的坐标为(a，b)，由直线OA与l垂直和线段AO的中点在l上得
解得
∴A的坐标为(4，3)，
∵反射光线的反向延长线过A(4，3)，
又由反射光线过P(－4，3)，两点纵坐标相等．
故反射光线所在直线方程为y＝3.
由方程组
解得
由于反射光线为射线，
故反射光线的方程为y＝3(x≤).
由光的性质可知，光线从O到P的路程即为AP的长度|AP|，由A(4，3)，P(－4，3)知，|AP|＝4－(－4)＝8，
∴光线从O经直线l反射后到达P点所走过的路程为8.
跟踪训练3 解析：点A(－3，2)关于x轴的对称点为A′(－3，－2).
因为点P(m，0)在x轴上，由对称性可知|PA|＝|PA′|，
所以|PA|＋|PB|＝|PA′|＋|PB|，
所以当A′，P，B三点共线时，|PA|＋|PB|最小．
因为kA′B＝＝2，
所以直线A′B的方程为y－8＝2(x－2)，即y＝2x＋4.
令y＝0，得x＝－2，
即A′，P，B三点共线时，点P的坐标为(－2，0)，
所以所求实数m的值为－2.
[课堂十分钟]
1．解析：d＝＝＝.故选D.
答案：D
2．解析：l1的斜率为k1＝－1，l2的斜率为k2＝－1.∵k1＝k2，∴l1∥l2.∴l1，l2之间的距离为＝.故选B.
答案：B
3．解析：设l1的方程为3x－4y＋m＝0.
由题意得＝3，
解得m＝－5或m＝－35，
所以l1的方程为3x－4y－5＝0或3x－4y－35＝0.
故选AB.
答案：AB
4．解析：因为直线l1与l2平行，所以＝，解得b＝8，
则l2：6x＋8y＋c＝0，即3x＋4y＋＝0.
又l1与l2之间的距离d＝＝2，
解得c＝－10或c＝30，所以b＋c＝38或b＋c＝－2.
答案：38或－2
5．解析：设B(a，b)是A(2，2)关于直线2x－4y＋9＝0的对称点，
则有AB与已知直线垂直，且线段AB的中点在已知直线上．
∴
解得a＝1，b＝4.
∴所求对称点坐标为(1，4).
答案：(1，4)易错原因
纠错心得
忽略了直线的斜率不存在的情况而漏解致错．
一般地，求直线方程，设为点斜式或斜截式是常见的两种形式．因此，一定要考虑斜率不存在而直线存在的形式．