高中数学北师大版 (2019)选择性必修 第二册1.1 平均变化率课时练习

【名师】1.1 平均变化率-1练习

一．填空题

1．

曲线在点处的切线方程为______.

2．如图，煤场的煤堆形如圆锥，设圆锥母线与底面所成角为，传输带以0. 9的速度送煤，则r关于时间t的函数是___________，当半径为时，r对时间t的变化率为___________.

3．若直线与曲线相切，则_________．

4．函数，则曲线在处的切线方程___________.

5．曲线在点处的切线方程为___________.

6．

在点处的切斜率为________.

7．已知曲线在处切线的斜率为1，则______．

8．曲线的一条切线过点，则该切线的斜率为_______．

9．

直线能作为下列函数的切线的有________．(写出所有正确的函数序号)

①；

②；

③；

④．

10．

点P是f(x)＝x2上任意一点，则点P到直线y＝x－1的最短距离是________．

11．

函数在处的切线方程为___________.

12．

切轴于点．对称轴平行于轴的抛物线和曲线交于点，并且两曲线在点的切线相互垂直，．两点的横坐标分别为．，和是正的常数，则的值为__________．

13．

函数的图象在点处的切线方程为___________.

14．曲线在x＝0处的切线方程是_________．

15．

曲线在点处的切线方程为_________．

16．与有一条斜率为2的公切线，则____________.

17．

已知函数有个不同的零点，且对任意实数，均有，则函数的最大值为___________.

18．

从抛物线的准线上一点引抛物线的两条切线．，且．为切点，若直线的倾斜角为，则点的横坐标为______.

参考答案与试题解析

1．【答案】

【解析】

设，

则，

所以，

所以曲线在点处的切线方程为，

即.

故答案为：

2．【答案】    . 

【解析】分析：利用三棱锥体积公式得到r关于时间t的函数；

详解：由题意知，，所以，函数求导得到变化率

设t时煤堆的体积为V，

则，①

所以，②

对t求导可得，③

当时，对应的时刻为，

由①得，

代入③式可得.

故答案为：；.

【点睛】

熟练掌握三棱锥体积公式及函数求导的几何意义是解题关键

3．【答案】

【解析】分析：设切点为，根据导数的几何意义可推导得到，根据切点坐标同时满足直线与曲线方程可构造方程求得，代入可得结果.

详解：设直线与曲线相切于点，

由得：，，，

又，，解得：，

.

故答案为：.

4．【答案】

【解析】分析：由已知函数解析式求得，进而求．，即可写出处的切线方程.

详解：由题意，，则，而，

∴曲线在处的切线方程为.

故答案为：

5．【答案】

【解析】分析：利用导数求出函数在处的导数值，利用点斜式可得出所求切线的方程.

详解：对函数求导得，则，

因此，曲线在点处的切线方程为，即.

故答案为：.

6．【答案】

【解析】

解：由，得，

所以在点处的切斜率为，

故答案为：

7．【答案】1

【解析】分析：先求出函数的导数，根据导数的几何意义可得答案.

详解：函数的导数为，所以，

由条件曲线在处切线的斜率为1，

所以.

故答案为：1.

8．【答案】

【解析】分析：设切点坐标为，求函数的导数，可得切线的斜率，切线的方程，代入，求切点坐标，切线的斜率．

详解：由，设切线斜率为，切点横坐标为，则，得，所以

故答案为：

9．【答案】②③

【解析】

解析：①，不符合；

②，符合；

③，符合；

④，不符合．

由此可知，可作为函数②③的切线．

故答案为：②③.

10．【答案】

【解析】

与直线y＝x－1平行的f(x)＝x2的切线的切点到直线y＝x－1的距离最小．

设切点为(x0，y0)，则f′(x0)＝2x0＝1，

∴x0＝ ，y0＝.即P到直线y＝x－1的距离最短．

∴d＝＝.

故答案为：.

11．【答案】

【解析】

，，又，

所求切线方程为：，即.

故答案为：.

12．【答案】

【解析】

因为点的横坐标为，

所以，可设抛物线方程为，即，

的定义域为，

因为抛物线和曲线交于点，点的横坐标为，

所以，即，

因为，所以，，，

则，，

因为两曲线在点的切线相互垂直，所以，

联立，整理得，

解得或（舍去），，

故答案为：.

13．【答案】

【解析】

解：由题意可得，则.

因为，所以所求切线方程为，即.

故答案为：.

14．【答案】y＝﹣x+1

【解析】分析：利用导数求出切线的斜率，利用点斜式求出点斜式方程.

详解：的导数为，

可得曲线在x＝0处的切线的斜率为k＝﹣1，

又切点为（0，1），

所以切线的方程为y＝﹣x+1.

故答案为：y＝﹣x+1.

15．【答案】

【解析】

由题设知：，

∴，而，

∴在点处的切线方程为：.

故答案为：.

16．【答案】

【解析】分析：设上切点坐标为，的切点坐标为，根据导数的几何意义求出切线方程，由两切线方程相同且斜率为2可结论．

详解：设图象上切点坐标为，图象上切点坐标为，

，则，切线方程为，即，由得，切线方程为，

，则，切线方程为，即，

所以，解得．

故答案为：．

【点睛】

关键点点睛：本题考查导数的几何意义，利用导数求切线的斜率，是函数图象上一点时，函数图象在点处的切线方程是，若是平面上任一点，则函数图象过点的切线方程，应设切点为，求出切线方程，利用切线过，代入点坐标求得，得出切线方程．

17．【答案】

【解析】

因为对任意实数，均有，所以函数的图象关于直线对称，

所以，即①，

又，

所以②，

联立①②解得或.

若，则，易得函数只有个零点，不符合题意；

若，则，此时函数只有个零点.

则，令，

令，当且仅当时，等号成立.

综上所述，函数的最大值为.

故答案为：.

18．【答案】

【解析】

设点，设点．，对函数求导得，

所以，直线的方程为，即，即，

同理可知，直线的方程为，

由于点为直线．的公共点，则，

所以，点．的坐标满足方程，

所以，直线的方程为，由题意可得，解得.

故答案为：.