2022-2023学年河南省信阳市九年级上册数学期中专项提升模拟题（卷一卷二）含解析

这是一份2022-2023学年河南省信阳市九年级上册数学期中专项提升模拟题（卷一卷二）含解析，共49页。试卷主要包含了选一选，填 空 题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年河南省信阳市九年级上册数学期中专项提升模拟题（卷一）
一、选一选（本大题8个小题，每小题3分，满分24分）
1. 下列各数中比小的数是（ ）
A. B. C. D.
2. 四边形的外角和为（ ）
A 900 B. 180o C. 360o D. 720o
3. 随着经济的发展，社会消费水平日益提高，据统计，常德市2017年季度社会消费品零售总额达到了约199亿，累计增速11.6个百分点，将199亿用科学记数法可表示为（ ）
A 1.99×1011 B. 199×1010 C. 2.0×1010 D. 1.99×1010
4. 下列图标，既可以看作是对称图形又可以看作是轴对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
5. 在数学实践课中，小辉利用自己制作的一把“直角角尺”测量、计算一些圆的直径．如图，直角角尺中， ∠AOB=90°，将点O放在圆周上，分别确定OA，OB与圆的交点C，D，读得数据OC=8，OD=9，则此圆的直径约为（ ）

A. 17 B. 14 C. 12 D. 10
6. 下列几何体中，主视图和俯视图都为矩形的是（   ）
A. B. C. D.
7. 下列说法中，正确的有（　　）
（1）、的平方根是±5；（2）、五边形的内角和是540°；（3）、抛物线y=x2+2x+4与x轴无交点；（4）、等腰三角形两边长为6cm和4cm，则它的周长是16cm．
A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个
8. 古希腊的毕达哥拉斯学派把1、3、6、10…这样的数称为“三角形数”，而把1、4、9、16…这样的数称为“正方形数”．从图7中可以发现，任何一个大于1的“正方形数”都可以看作两个相邻“三角形数”之和．下列等式中，符合这一规律的是（ ）

A. B.
C. D.
二、填 空 题（本大题8个小题，每小题3分，满分24分）
9. 分解因式：=_________.
10. 已知函数关系式：，则自变量x的取值范围是___．
11. 如图，直线a∥b，直线a，b被直线c所截，∠1=37°，则∠2=_______．

12. 中超甲、乙两支足球队，每支球队队员身高数据的平均数都是1.95米，方差分别为，，其身高较整齐的球队是__________队．
13. 在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，以直线AC为轴，把△ABC旋转一周得到的圆锥的侧面积是______.
14. 一元二次方程+px-2=0的一个根为2，则p的值________．
15. 如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC＝2.将△ABC绕点C逆时针旋转60°，得到△MNC，连接BM，则BM的长是__________.

16. 如图，在平面直角坐标系中，将△ABO绕点A顺时针旋转到△AB1C1位置，点B、O分别落在点B1、C1处，点B1在x轴上，再将△AB1C1绕点B1顺时针旋转到△A1B1C2的位置，点C2在x轴上，将△A1B1C2绕点C2顺时针旋转到△A2B2C2的位置，点A2在x轴上，依次进行下去…，若点A（，0）、B（0，4），则点B2018的横坐标为___.

三、（本大题2小题，每小题5分，满分10分）
17. 计算：+（﹣1）2016+2sin45°﹣|﹣|．
18. 解没有等式，并求出它的非负整数解．
四、（本大题2个小题，每小题6分，满分 12分）
19. 先化简，再求值：其中x=－3．
20. 某烟机零件加工车间，甲组工人加工零件，工作中有停产检修机器，然后继续加工．由于任务紧急，乙组工人加入，与甲组工人一起生产零件．两组各自加工零件的数量y（个）与甲组工人加工时间t（时）之间的函数图象如图所示．
（l）求乙组加工零件的数量y与时间t之间的函数关系式．
（2）求甲组加工零件总量a．

五、（本大题2小题，每小题7分，满分14分）
21. 如图，有两部没有同型号的手机(分别记为A，B)和与之匹配的2个保护盖(分别记为a，b)散乱地放在桌子上．
(1)若从手机中随机取一部，再从保护盖中随机取一个，求恰好匹配的概率；
(2)若从手机和保护盖中随机取两个，用画树状图法或列表法求恰好匹配的概率．

22. 随着科技进步，信息技术越来越发达，人民获得社会新闻信息的途径日益增多，为了解常德市民“获取新闻的最主要途径”，某报社记者在全市城区范围内随机抽取了n名市民，对其获取新闻的最主要途径进行问卷．问卷中的途径有：A．电脑上网；B．手机上网；C．电视；D．报纸；E．其他．每位市民在问卷时都按要求只选择了其中一种最主要的途径．记者收回了全部问卷后，将收集到的数据整理并绘制成如图没有完整的统计图．

根据以上信息解答下列问题：
（l）求n的值．
（2）请补全条形统计图．
（3）根据统计结果，估计常德市城区80万人中．将B途径作为“获取新闻的最主要途径”的总人数．
六、（本大题2个小题，每个题8分，满分16分）
23. 海上有一小岛，为了测量小岛两端A、B的距离，测量人员设计了一种测量方法，如图所示，已知B点是CD的中点，E是BA延长线上的一点，测得AE=8.3海里，DE=30海里，且DE⊥EC，cos∠D=．

（1）求小岛两端A、B的距离；
（2）过点C作CF⊥AB交AB的延长线于点F，求sin∠BCF的值．
24. 如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，过点D作DE⊥AC于点E．
(1)求证：DE是⊙O的切线．
(2)若∠B=30°，AB=8，求DE的长．

七、（本大题2个小题，每小题10分，满分20分）
25. 在平面直角坐标系中，平行四边形ABOC如图放置，点A、C的坐标分别是(0，4)、(－1，0)，将此平行四边形绕点O顺时针旋转90°，得到平行四边形A′B′OC′.
(1)若抛物线过点C、A、A′，求此抛物线的解析式；
(2)点M是象限内抛物线上的一动点，问：当点M在何处时，△AMA′的面积？面积是多少？并求出此时点M的坐标；
(3)若P为抛物线上一动点，N为x轴上的一动点，点Q坐标为(1，0)，当P、N、B、Q构成平行四边形时，求点P的坐标，当这个平行四边形为矩形时，求点N的坐标．

26. 【探究证明】
(1)某班数学课题学习小组对矩形内两条互相垂直的线段与矩形两邻边的数量关系进行探究，提出下列问题，请你给出证明．
如图①，在矩形ABCD中，EF⊥GH，EF分别交AB，CD于点E，F，GH分别交AD，BC于点G，H.求证：；
【结论应用】
(2)如图②，在满足(1)的条件下，又AM⊥BN，点M，N分别在边BC，CD上，若，则的值为 ；
【联系拓展】
(3)如图③，四边形ABCD中，∠ABC=90°，AB=AD=10，BC=CD=5，AM⊥DN，点M，N分别在边BC，AB上，求的值．


















2022-2023学年河南省信阳市九年级上册数学期中专项提升模拟题（卷一）
一、选一选（本大题8个小题，每小题3分，满分24分）
1. 下列各数中比小的数是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】A

【分析】先根据正数都大于0，负数都小于0，可排除C、D，再根据两个负数，值大的反而小，可得比-2小的数是-3．
【详解】∵|-3|=3，|-1|=1，
又0＜1＜2＜3，
∴-3＜-2，
所以，所给出的四个数中比-2小的数是-3，
故选：A
本题考查了有理数的大小比较，其方法如下：（1）负数＜0＜正数；（2）两个负数，值大的反而小．
2. 四边形的外角和为（ ）
A. 900 B. 180o C. 360o D. 720o
【正确答案】C

【详解】分析：多边形的外角和是360°.
详解：因为多边形的外角和是360°，所以四边形的外角和是360°.
故选C.
点睛：本题考查了多边形的外角和，n边形的内角和是(n－2)180°，外角和是360°.
3. 随着经济的发展，社会消费水平日益提高，据统计，常德市2017年季度社会消费品零售总额达到了约199亿，累计增速11.6个百分点，将199亿用科学记数法可表示为（ ）
A. 1.99×1011 B. 199×1010 C. 2.0×1010 D. 1.99×1010
【正确答案】D

【详解】分析：科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，注意1亿=108．
详解：199亿＝199×108＝1.99×102×108＝1.99×1010.
故选D.
点睛：用科学记数法表示值小于1的数的关键是：①确定a的值，a的整数位数只有一位；②确定n的值，n为从左边起个没有为0的数字前面0的个数的相反数．
4. 下列图标，既可以看作是对称图形又可以看作是轴对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】B

【详解】A. 可以看作是对称图形，没有可以看作是轴对称图形，故本选项错误；
B. 既可以看作是对称图形，又可以看作是轴对称图形，故本选项正确；
C. 既没有可以看作是对称图形，又没有可以看作是轴对称图形，故本选项错误；
D. 既没有可以看作是对称图形，又没有可以看作是轴对称图形，故本选项错误．
故选B.
5. 在数学实践课中，小辉利用自己制作的一把“直角角尺”测量、计算一些圆的直径．如图，直角角尺中， ∠AOB=90°，将点O放在圆周上，分别确定OA，OB与圆的交点C，D，读得数据OC=8，OD=9，则此圆的直径约为（ ）


A. 17 B. 14 C. 12 D. 10
【正确答案】C

【分析】直角所对的弦是直径，即△OCD是直角三角形，由勾股定理计算CD的长.
【详解】解：因为∠AOB＝90°，所以CD是直径，
由勾股定理得，CD＝≈12.
故选：C.
本题考查了圆周角定理的推论及勾股定理，在圆中如果有90°的圆周角时，一般要和直径构成直角三角形，勾股定理求解.
6. 下列几何体中，主视图和俯视图都为矩形的是（   ）
A. B. C. D.
【正确答案】B

【详解】A、主视图为等腰三角形，俯视图为圆以及圆心，故A选项错误；
B、主视图为矩形，俯视图为矩形，故B选项正确；
C、主视图是矩形，俯视图均为圆，故C选项错误；
D、主视图为梯形，俯视图为矩形，故D选项错误.
故选：B.
7. 下列说法中，正确的有（　　）
（1）、的平方根是±5；（2）、五边形的内角和是540°；（3）、抛物线y=x2+2x+4与x轴无交点；（4）、等腰三角形两边长为6cm和4cm，则它的周长是16cm．
A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个
【正确答案】A

【分析】(1)＝5，的平方根即是5的平方根；(2)n边形内角和公式是(n－2)180°；(3)判断22－4×1×4的符号；(4)分6cm为等腰三角形的底和腰两种情况讨论.
【详解】详解：(1)因为＝5，而5的平方根是±，则(1)错误；
(2)五边形内角和是(5－2)×180°＝540°，则(2)正确；
(3)抛物线y＝x2＋2x＋4与x轴交点的横坐标即是x2＋2x＋4＝0的根，
因为22－4×1×4＜0，所以抛物线y＝x2＋2x＋4与x轴无交点，则(3)正确；
(4)当等腰三角形的腰长为6cm时，三边长为6，6，4，周长为16cm；
当等腰三角形的腰长为4cm时，三边长为6，4，4，周长为14cm，
则(4)错误.
故选A.
点睛：判断的平方根时要注意的值；没有明确等腰的底或腰时一般需要分类讨论，且要用三角形的三边关系判断能否组成三角形.
8. 古希腊的毕达哥拉斯学派把1、3、6、10…这样的数称为“三角形数”，而把1、4、9、16…这样的数称为“正方形数”．从图7中可以发现，任何一个大于1的“正方形数”都可以看作两个相邻“三角形数”之和．下列等式中，符合这一规律的是（ ）

A. B.
C. D.
【正确答案】C

【分析】根据给定的部分“三角形数”和“正方形数”找出“三角形数”可看成从1开始几个连续自然数的和以及“正方形数”可看成某个自然数的平方，依此规律逐一分析四个选项中的三个数是否符合该规律，由此即可得出结论．
【详解】解：A、13没有是正方形数，没有合题意；
B、9和16没有是三角形数，没有合题意；
C、36=62=（5+1）2，n=5；
两个三角形的数分别是：1+2+3+4+5=15；1+2+3+4+5+6=21；
故C符合题意；
D、18和31没有是三角形数，没有合题意；
故选：C．
本题考查了规律型中数字的变化类，根据给定的部分“三角形数”和“正方形数”找出“三角形数”和“正方形数”的特点是解题的关键．
二、填 空 题（本大题8个小题，每小题3分，满分24分）
9. 分解因式：=_________.
【正确答案】

【详解】提取公因式法和公式法因式分解．
【分析】要将一个多项式分解因式的一般步骤是首先看各项有没有公因式，若有公因式，则把它提取出来，之后再观察是否是完全平方式或平方差式，若是就考虑用公式法继续分解因式．因此，
．
10. 已知函数关系式：，则自变量x的取值范围是___．
【正确答案】

【分析】求函数自变量的取值范围，就是求函数解析式有意义的条件，根据二次根式被开方数必须是非负数的条件．
【详解】要使在实数范围内有意义，必须．
故答案为
11. 如图，直线a∥b，直线a，b被直线c所截，∠1=37°，则∠2=_______．

【正确答案】

【详解】
∵a∥b，∴∠1=∠3=37°，∴∠2=180°－37°=143°.
故答案为143°.
12. 中超甲、乙两支足球队，每支球队队员身高数据的平均数都是1.95米，方差分别为，，其身高较整齐的球队是__________队．
【正确答案】甲

【详解】分析：平均数相等时，方差越小，数据越稳定.
详解：因为＜，所以甲队的身高数据比较稳定，即身高较整齐的球队是甲队.
故答案是甲.
点睛：本题考查了方差的意义，方差是衡量一组数据波动大小的量，方差越大，数据的波动越大，方差越小，数据的波动越小.
13. 在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，以直线AC为轴，把△ABC旋转一周得到的圆锥的侧面积是______.
【正确答案】20π

【分析】利用勾股定理易得圆锥母线长，那么圆锥的侧面积=底面周长×母线长÷2．
【详解】解：AC=3，BC=4，由勾股定理得斜边AB=5，以直线AC为轴，把△ABC旋转一周得到的圆锥的底面半径为4，
底面周长=8π，侧面面积=×8π×5=20π．
点睛：本题利用了勾股定理，圆的周长公式和扇形面积公式求解．
14. 一元二次方程+px-2=0的一个根为2，则p的值________．
【正确答案】-1

【详解】把x=2代入方程x2+px﹣2=0得4+2p﹣2=0，解得p=﹣1．
故答案为﹣1．
15. 如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC＝2.将△ABC绕点C逆时针旋转60°，得到△MNC，连接BM，则BM的长是__________.

【正确答案】

【分析】连接AM，证明BM是线段AC的垂直平分线，勾股定理求解.
【详解】解：如图，连接AM，
由题意得：CA＝CM，∠ACM＝60°，
∴△ACM为等边三角形，
∴AM＝CM，∠MAC＝∠MCA＝∠AMC＝60°；
∵∠ABC＝90°，AB＝BC＝，
∴AC＝＝CM＝，
∵AB＝BC，CM＝AM，
∴BM垂直平分AC，
∴BO＝AC＝；OM＝＝.
∴BM＝BO＋OM＝.
故答案为.

本题考查了旋转的性质、线段垂直平分线的性质及勾股定理，要求学生应理解旋转变换是全等变换，即旋转前后的两个图形全等.
16. 如图，在平面直角坐标系中，将△ABO绕点A顺时针旋转到△AB1C1的位置，点B、O分别落在点B1、C1处，点B1在x轴上，再将△AB1C1绕点B1顺时针旋转到△A1B1C2的位置，点C2在x轴上，将△A1B1C2绕点C2顺时针旋转到△A2B2C2的位置，点A2在x轴上，依次进行下去…，若点A（，0）、B（0，4），则点B2018的横坐标为___.

【正确答案】10090

【分析】首先根据已知求出三角形三边长度，然后通过旋转发现，B、B2、B4…，即可得每偶数之间的B相差10个单位长度，根据这个规律可以求得B2018的坐标．
【详解】解：∵OA=，OB=4，∠AOB=90°，
∴AB=，
∴OA+AB1+B1C2=++4=10，
∴B2（10，4），
同理B4（20，4），B6（30，4），…，
∴B2018（，4），B2018（10090，4）．
∴点B2018横坐标为10090．
故10090．
本题考查了坐标与图形的变化，勾股定理等知识，解题的关键是从到一般探究规律，发现规律，利用规律解决问题．
三、（本大题2小题，每小题5分，满分10分）
17. 计算：+（﹣1）2016+2sin45°﹣|﹣|．
【正确答案】3.

【详解】分析：＝2，(﹣1)2016＝1，sin45°＝，|﹣|＝，分别计算各部分的值后，再加减.
详解：＋(﹣1)2016＋2sin45°﹣|﹣|
＝
＝3＋－
＝3.
点睛：此类问题容易出错的地方：一是符号，二是算术平方根，三是45°角的正弦值．实数的运算通常会一些角的三角函数值，整数指数幂(包括正整数指数幂，零指数幂，负整数指数幂)，二次根式，值等来考查．运算时应先“各个击破”．
18. 解没有等式，并求出它的非负整数解．
【正确答案】非负整数解为：0,1,2,3,4.

【详解】试题分析：先去分母和去括号得到6x+3≤4x-4+12，然后移项后合并得到x≤，再确定它的非负整数解即可．
试题解析：去分母得3（2x+1）≤4（x-1）+12，
去括号得6x+3≤4x﹣4+12，
移项得6x﹣4x≤-3﹣4+12，
合并得2x≤5，
系数化为1得，x≤，
它的非负整数解为：0，1，2.
考点：1.解一元没有等式；2.求没有等式的整数解．
四、（本大题2个小题，每小题6分，满分 12分）
19. 先化简，再求值：其中x=－3．
【正确答案】，．

【分析】先算括号里面的，再把除法变乘法，约分即可，把x的值代入计算．
【详解】解：
＝
＝
＝
＝，
当x＝﹣3时，原式＝＝＝．
本题考查了分式化简求值，通分和约分是解此题的关键，此题是基础知识要熟练掌握．
20. 某烟机零件加工车间，甲组工人加工零件，工作中有停产检修机器，然后继续加工．由于任务紧急，乙组工人加入，与甲组工人一起生产零件．两组各自加工零件的数量y（个）与甲组工人加工时间t（时）之间的函数图象如图所示．
（l）求乙组加工零件的数量y与时间t之间的函数关系式．
（2）求甲组加工零件总量a．

【正确答案】(1) y=120x﹣600；(2)280个.

【详解】分析：(1)由图象可知，乙组加工零件的数量y与时间t之间是函数的关系，函数图象过点(5，0)，(8，360)，用待定系数法求y与t之间的函数关系式；(2)把x＝7代入(1)所求的函数关系式求出x＝7时，y的值，即可得到甲在4时到8时之间每小时加工的零件数量，由此求出8小时时加工的零件数量.
详解：解：(1)当0≤t＜5时，y＝0，
当5≤t≤8时，设y与时间t之间的函数关系式为：y＝kx＋b，
将(5，0)，(8，360)代入得：，解得：，
∴y与时间t之间的函数关系式为：y＝120x﹣600；
(2)∵当t＝7时，y＝120×7﹣600＝240，
4时到8时之间每小时加工的零件数量为(240﹣120)÷(7﹣4)＝40.
∴a＝120＋40×(8﹣4)＝280(个).
点睛：从图象中获取信息，首先要明确两坐标轴的实际意义，抓住交点，起点，终点等关键点，明确函数图象的变化趋势.变化快慢的实际意义.对于双函数图象问题，会分段分析，并明确图象的上下或左右位置关系所对应的实际意义.
五、（本大题2小题，每小题7分，满分14分）
21. 如图，有两部没有同型号的手机(分别记为A，B)和与之匹配的2个保护盖(分别记为a，b)散乱地放在桌子上．
(1)若从手机中随机取一部，再从保护盖中随机取一个，求恰好匹配的概率；
(2)若从手机和保护盖中随机取两个，用画树状图法或列表法求恰好匹配的概率．

【正确答案】（1）（2）

【分析】（1）由题意可得有Aa，Ab，Ba，Bb四种情况．恰好匹配的有Aa，Bb两种情况，然后直接利用概率公式求解即可求得答案；
（2）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果以及恰好匹配的情况，再利用概率公式即可求得答案．
【详解】解：(1)从手机中随机抽取一个，再从保护盖中随机取一个，有Aa，Ab，Ba，Bb四种结果，每种结果出现的可能性相同．其中，恰好匹配的结果有两种：Aa，Bb，
∴P(恰好匹配)＝；
(2)画树状图如下：

总共有12种结果，每种结果出现的可能性相同．其中，恰好匹配的结果有4种，
∴P(恰好匹配)＝.
22. 随着科技的进步，信息技术越来越发达，人民获得社会新闻信息的途径日益增多，为了解常德市民“获取新闻的最主要途径”，某报社记者在全市城区范围内随机抽取了n名市民，对其获取新闻的最主要途径进行问卷．问卷中的途径有：A．电脑上网；B．手机上网；C．电视；D．报纸；E．其他．每位市民在问卷时都按要求只选择了其中一种最主要的途径．记者收回了全部问卷后，将收集到的数据整理并绘制成如图没有完整的统计图．

根据以上信息解答下列问题：
（l）求n的值．
（2）请补全条形统计图．
（3）根据统计结果，估计常德市城区80万人中．将B途径作为“获取新闻的最主要途径”的总人数．
【正确答案】（1）1000人；（2）补图见解析；（3）32万人

【详解】分析：(1)用电脑上网的人数除以所占的百分比求n；(2)用总人数乘以“报纸”人数点人数的百分比求出“报纸”的人数，即可画图；(3)用80万乘以人数中手机上网所占的百分比.
详解：解：(1)这次接受的市民总人数是：260÷26%＝1000；
(2)“报纸”的人数为：1000×10%＝100．
补全图形如图所示：

(3)估计将“电脑和手机上网”作为“获取新闻的最主要途径”的总人数为：
80×40%＝32(万人)．
点睛：本题主要考查了条形统计图与扇形统计图综合运用，从条形统计图和扇形统计图中获取有用的信息是解决这类问题的关键，的人数(样本容量)＝条形统计图中某一项的人数÷扇形统计图中对应项所占的百分比.
六、（本大题2个小题，每个题8分，满分16分）
23. 海上有一小岛，为了测量小岛两端A、B的距离，测量人员设计了一种测量方法，如图所示，已知B点是CD的中点，E是BA延长线上的一点，测得AE=8.3海里，DE=30海里，且DE⊥EC，cos∠D=．

（1）求小岛两端A、B的距离；
（2）过点C作CF⊥AB交AB的延长线于点F，求sin∠BCF的值．
【正确答案】解：（1）在Rt△CED中，∠CED=90°，DE=30海里，
∴．∴CE=40（海里），CD=50（海里）．
∵B点是CD的中点，∴BE=CD=25（海里）．
∴AB=BE﹣AE=25﹣8.3=16.7（海里）．
答：小岛两端A、B的距离为16.7海里．
（2）设BF=x海里，
在Rt△CFB中，∠CFB=90°，∴CF2=CB2﹣BF2=252﹣x2=625﹣x2．
在Rt△CFE中，∠CFE=90°，∴CF2+EF2=CE2，即625﹣x2+（25+x）2=1600．
解得x=7．
∴．

【详解】试题分析：（1）在Rt△CED中，利用三角函数求出CE，CD的长，根据中点的定义求得BE的长，AB=BE﹣AE即可求解．
（2）设BF=x海里．在Rt△CFB中，利用勾股定理求得CF2=CB2﹣BF2=252﹣x2=625﹣x2．在Rt△CFE中，列出关于x的方程，求得x的值，从而求得sin∠BCF的值．
24. 如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，过点D作DE⊥AC于点E．
(1)求证：DE是⊙O的切线．
(2)若∠B=30°，AB=8，求DE的长．

【正确答案】（1）证明见解析；（2）DE =2．

【分析】（1）要想证DE是 ⊙O切线，只要连接OD，求证∠ODE=90°即可；
（2）利用直角三角形和等腰三角形的性质即可求得DE的长．
【详解】解：（1）连接OD，则OD=OB，

∴∠B=ODB．
∵AB=AC，
∴∠B=∠C．
∴∠ODB=∠C．
∴OD∥AC．
∴∠ODE=∠DEC=90°．
∴DE是⊙O的切线．
（2）连接AD，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°．
∵∠B=30°，
∴，
∴．
又∵AB=AC，
∴CD=BD=，∠C=∠B=30°．
∴．
本题考查了切线的判定，直径所对的圆周角是直角，含30°角的直角三角形的性质，勾股定理，等腰三角形的性质等知识，题目没有难，但涉及的知识点较多，熟悉这些知识是解题的关键．
七、（本大题2个小题，每小题10分，满分20分）
25. 在平面直角坐标系中，平行四边形ABOC如图放置，点A、C的坐标分别是(0，4)、(－1，0)，将此平行四边形绕点O顺时针旋转90°，得到平行四边形A′B′OC′.
(1)若抛物线过点C、A、A′，求此抛物线的解析式；
(2)点M是象限内抛物线上的一动点，问：当点M在何处时，△AMA′的面积？面积是多少？并求出此时点M的坐标；
(3)若P为抛物线上的一动点，N为x轴上的一动点，点Q坐标为(1，0)，当P、N、B、Q构成平行四边形时，求点P的坐标，当这个平行四边形为矩形时，求点N的坐标．

【正确答案】（1）y＝－x2＋3x＋4.；（2）x＝2时，△AMA′的面积，值为8， M(2，6)．（3）P1（0，4），P2（3，4），P3（，﹣4），P4（，﹣4）；点N的坐标为：（0，0）或（3，0）．

【详解】试题分析：（1）先由OA′＝OA得到点A′的坐标，再用点C、A、A′的坐标即可求此抛物线的解析式；（2）连接AA′, 过点M 作MN⊥x轴，交AA′于点N,把△AMA′分割为△AMN和△A′MN, △AMA′的面积＝△AMA′的面积＋△AMN的面积＝OA′•MN,设点M的横坐标为x，借助抛物线的解析式和AA′的解析式，建立MN的长关于x的函数关系式，再据此建立△AMA′的面积关于x的二次函数关系式，再求△AMA′面积的值以及此时M的坐标；（3）在P、N、B、Q 这四个点中，B、Q 这两个点是固定点，因此可以考虑将BQ作为边、将BQ作为对角线分别构造符合题意的图形，再求解.
试题解析：（1）∵平行四边形ABOC绕点O顺时针旋转90°，得到平行四边形A′B′OC′，点A的坐标是（0，4），∴点A′的坐标为（4，0），点B的坐标为（1，4）.
∵抛物线过点C，A，A′，设抛物线的函数解析式为y＝ax2＋bx＋c（a≠0）,可得：
. 解得.∴抛物线的函数解析式为y＝－x2＋3x＋4.

（2）连接AA′，设直线AA′的函数解析式为y＝kx＋b，可得
.解得.
∴直线AA'的函数解析式是y＝－x＋4.
设M（x，－x2＋3x＋4），
S△AMA′＝×4×[－x2＋3x＋4一（一x＋4）]＝一2x2＋8x＝一2（x－2）2＋8.
∴x＝2时，△AMA′的面积S△AMA′＝8．
∴M（2，6）.
（3）设P点的坐标为（x，－x2＋3x＋4），当P、N、B、Q构成平行四边形时，
①当BQ为边时，PN∥BQ且PN＝BQ，
∵BQ＝4，∴一x2＋3x＋4＝±4.
当一x2＋3x＋4＝4时，x1＝0，x2＝3，即P1（0,4），P2（3，4）；
当一x2＋3x＋4＝一4时，x3＝，x4＝，即P3（,－4），P4（，－4）；
②当BQ为对角线时，PB∥x轴，即P1（0，4），P2（3，4）;
当这个平行四边形为矩形时，即Pl（0，4），P2（3，4）时，N1（0，0），N2（3，0）.
综上所述，当P1（0，4），P2（3，4），P3（,－4），P4（，－4）时，P、N、B、Q构成平行四边形；当这个平行四边形为矩形时，N1（0，0），N2（3，0）.
考点：二次函数综合题.
26. 【探究证明】
(1)某班数学课题学习小组对矩形内两条互相垂直的线段与矩形两邻边的数量关系进行探究，提出下列问题，请你给出证明．
如图①，在矩形ABCD中，EF⊥GH，EF分别交AB，CD于点E，F，GH分别交AD，BC于点G，H.求证：；
【结论应用】
(2)如图②，在满足(1)的条件下，又AM⊥BN，点M，N分别在边BC，CD上，若，则的值为 ；
【联系拓展】
(3)如图③，四边形ABCD中，∠ABC=90°，AB=AD=10，BC=CD=5，AM⊥DN，点M，N分别在边BC，AB上，求的值．

【正确答案】（1）证明见解析；（2）；（3）.

【分析】（1）过点A作AP∥EF,交CD于P,过点B作BQ∥GH,交AD于Q,如图1,易证AP=EF,GH=BQ,△PDA∽△QAB,然后运用相似三角形的性质就可解决问题,
（2）只需运用（1）中的结论,就可得到,就可解决问题,
（3）过点D作平行于AB的直线,交过点A平行于BC的直线于R,交BC的延长线于S,如图3,易证四边形ABSR是矩形,由（1）中的结论可得=．设SC=x,DS=y,则AR=BS=5+x,RD=10﹣y,在Rt△CSD中根据勾股定理可得①,在Rt△ARD中根据勾股定理可得+=100②,解①②就可求出x,即可得到AR,问题得以解决.
【详解】解: （1）过点A作AP∥EF,交CD于P,过点B作BQ∥GH,交AD于Q,如图1,

∵四边形ABCD是矩形,
∴AB∥DC,AD∥BC,
∴四边形AEFP,四边形BHGQ都是平行四边形,
∴AP=EF,GH=BQ,
又∵GH⊥EF,
∴AP⊥BQ,
∴∠QAT+∠AQT=90°,
∵四边形ABCD是矩形,
∴∠DAB=∠D=90°,
∴∠DAP+∠DPA=90°,
∴∠AQT=∠DPA,
∴△PDA∽△QAB,
∴,
∴,
（2）如图2,

∵EF⊥GH,AM⊥BN,
∴由（1）中结论可得,,
∴
故答案为:,
（2）过点D作平行于AB的直线,交过点A平行于BC的直线于R,交BC的延长线于S,如图3,则四边形ABSR是平行四边形,

∵∠ABC=90°,
∴▱ABSR是矩形,
∴∠R=∠S=90°,RS=AB=10,AR=BS,
∵AM⊥DN,
∴由（1）中的结论可得,
设SC=x,DS=y,则AR=BS=5+x,RD=10﹣y,
∴在Rt△CSD中,x2+y2=25①,
在Rt△ARD中,（5+x）2+（10﹣y）2=100②,
由②﹣①得x=2y﹣5③,
解方程组得
（舍去）,或,
∴AR=5+x=8,
∴.




2022-2023学年河南省信阳市九年级上册数学期中专项提升模拟题（卷二）
一、选一选（共10小题，每小题3分，满分30分）
1. 下列图形是对称图形的是【 】
A. B. C. D.
2. 一元二次方程x2+x﹣1＝0的根的情况是（ ）
A. 有两个没有相等实数根 B. 有两个相等的实数根
C. 没有实数根 D. 无法判断
3. 方程2x2+4x﹣6=0两根之积等于（　　）
A. 3 B. ﹣6 C. 6 D. ﹣3
4. 抛物线的顶点坐标是( )
A. （3，1） B. （3，﹣1） C. （﹣3，1） D. （﹣3，﹣1）
5. 如图，在平面直角坐标系中，点B、C、E在y轴上，Rt△ABC 变换得到Rt△ODE，若点C的坐标为(0，1)，AC=2，则这种变换可以是（ ）

A. △ABC绕点C顺时针旋转90°，再向下平移3
B. △ABC绕点C顺时针旋转90°，再向下平移1
C. △ABC绕点C逆时针旋转90°，再向下平移1
D. △ABC绕点C逆时针旋转90°，再向下平移3
6. 把抛物线y=﹣x2向下平移3个单位长度再向左平移2个单位长度的解析式为（　　）
A. y=﹣（x+2）2+3 B. y=﹣（x+2）2﹣3
C. y=﹣（x+3）2﹣2 D. y=﹣（x﹣3）2+2
7. 如图，在△ABC中，∠CAB=65°，将△ABC在平面内绕点A旋转到△AB′C′位置，使CC′∥AB，则旋转角的度数为（　　）

A. 30° B. 40° C. 50° D. 65°
8. 若二次函数y=x2+bx+c的图象的对称轴是点（2，0）且平行于y轴的直线，且过点（5，5），则关于x的方程x2+bx+c=5的解为（　　）
A. x1=0或x2=4 B. x1=1或x2=5 C. x1=﹣1或 x2=5 D. x1=1或x2=﹣5
9. 要组织排球邀请赛，参赛的每个队之间都要比赛一场，根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛．设比赛组织者应邀请x个队参赛，则x满足的关系式为（　　）
A. B.
C. x（x+1）＝28 D. x（x﹣1）＝28
10. 设二次函数的图象与函数的图象交于点，若函数的图象与轴仅有一个交点，则（　　）
A. B. C. D.
二、填 空 题（共6小题，每小题3分，共18分）
11. 方程x2﹣3x+1=0二次项系数是_____；项系数是_____；常数项是_____．
12. 若a2﹣3b=5，则6b﹣2a2=_____．
13. 函数y=x2﹣x+1的图象与y轴的交点坐标是_____．
14. 有一人患了流感，两轮传染后共有64人患了流感，按照这样的速度，平均每人传染_____人．
15. 如图是抛物线型拱桥，当拱顶离水面2m时，水面宽4m，水面下降2m，水面宽度增加______m.

16. 如图，一段抛物线：（0≤x≤3），记为C1，它与x轴交于点O，A1；
将C1绕点A1旋转180°得C2，交x 轴于点A2；
将C2绕点A2旋转180°得C3，交x 轴于点A3；
……
如此进行下去，直至得C13．若P（37，m）
在第13段抛物线C13上，则m =_______．

三、解 答 题（本大题共8个大题，共72分．）
17. 解方程：
（1）x2+2x﹣1=0
（2）x（x+4）=3x+12．
18. 如图：△ABC、△ECD都是等边三角形，且B、C、D在同一直线上．
（1）求证：BE=AD；
（2）△EBC可以看做是△DAC平移、轴对称或旋转得到，请说明得到△EBC的过程．

19. 已知关于x的一元二次方程（x-3）（x-2）=|m|．
（1）求证：对于任意实数m，方程总有两个没有等的实数根；
（2）若方程一个根是1，求m的值及方程的另一个根．
20. 如图，已知二次函数y=ax2+bx+3的图象过点A（﹣1，0），顶点坐标为（1，m）．
（1）求该二次函数的关系式和m值；
（2）图象，解答下列问题：（直接写出答案）
①当x取什么值时，该函数的图象在x轴下方？
②当﹣1＜x＜2时，直接写出函数y的取值范围．

21. 如图是由边长为1的小正三角形组成的网格图，点O和△ABC的顶点都在正三角形的格点上，将△ABC绕点O逆时针旋转120°得到△A′B′C′．
（1）在网格中画出旋转后的△A′B′C′；
（2）以O为原点AB所在直线为x轴建立坐标系直接写出A′、B′、C′三点的坐标．

22. 某网店打出促销广告：最潮新款服装30件,每件售价300元.若性购买没有超过10件时,售价没有变；若性购买超过10件时，每多买1件，所买的每件服装的售价均降低3元．已知该服装成本是每件200元，设顾客性购买服装x件时，该网店从中获利y元．
（1）求y与x函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（2）顾客性购买多少件时，该网店从中获利至多？
23. 如图1，点O是正方形ABCD两对角线的交点，分别延长OD到点G，OC到点E，使OG=2OD，OE=2OC，然后以OG、OE为邻边作正方形OEFG，连接AG，DE．

（1）求证：DE⊥AG；
（2）正方形ABCD固定，将正方形OEFG绕点O逆时针旋转α角（0°＜α＜360°）得到正方形OE′F′G′，如图2．
①在旋转过程中，当∠OAG′是直角时，求α的度数；
②若正方形ABCD的边长为1，在旋转过程中，求AF′长的值和此时α的度数，直接写出结果没有必说明理由．
24. 如图1，在平面直角坐标系中，抛物线C1：y=ax2+bx﹣a2关于y轴对称且有最小值﹣1．
（1）求抛物线C1的解析式；
（2）在图1中抛物线C1顶点为A，将抛物线C1绕 点B旋转180°后得到抛物线C2，直线y=kx﹣2k+4总一定点M，若过定点M的直线与抛物线C2只有一个公共点，求直线l的解析式．
（3）如图2，先将抛物线 C1向上平移使其顶点在原点O，再将其顶点沿直线y=x平移得到抛物线C3，设抛物线C3与直线y=于C、D两点，求线段CD的长．















2022-2023学年河南省信阳市九年级上册数学期中专项提升模拟题（卷二）
一、选一选（共10小题，每小题3分，满分30分）
1. 下列图形是对称图形的是【 】
A. B. C. D.
【正确答案】B

【分析】根据对称图形的概念，轴对称图形与对称图形是图形沿对称旋转180度后与原图重合,即可解题.
A、没有是对称图形，故本选项错误；
B、是对称图形，故本选项正确；
C、没有是对称图形，故本选项错误；
D、没有是对称图形，故本选项错误．
故选B.
考点：对称图形.
【详解】请在此输入详解！

2. 一元二次方程x2+x﹣1＝0的根的情况是（ ）
A. 有两个没有相等的实数根 B. 有两个相等的实数根
C. 没有实数根 D. 无法判断
【正确答案】A

【分析】判断上述方程的根的情况，只要看根的判别式的值的符号就可以了．
【详解】解：，，，
，
方程有两个没有相等的实数根．
故选A
本题考查了根的判别式，熟知一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△的关系是解答此题的关键．总结：一元二次方程根的情况与判别式的关系：
方程有两个没有相等的实数根；
方程有两个相等的实数根；
方程没有实数根．
3. 方程2x2+4x﹣6=0两根之积等于（　　）
A. 3 B. ﹣6 C. 6 D. ﹣3
【正确答案】D

【详解】试题解析：方程的两个之积为
故选D．
点睛：一元二次方程的两根分别是

4. 抛物线的顶点坐标是( )
A. （3，1） B. （3，﹣1） C. （﹣3，1） D. （﹣3，﹣1）
【正确答案】A

【分析】直接根据二次函数的顶点式进行解答即可．
【详解】解：抛物线的解析式为：，
其顶点坐标为：．
故选：A．
本题考查的是二次函数的性质，二次函数的顶点式为，此时顶点坐标是，对称轴是直线，此题考查了学生的应用能力．
5. 如图，在平面直角坐标系中，点B、C、E在y轴上，Rt△ABC 变换得到Rt△ODE，若点C的坐标为(0，1)，AC=2，则这种变换可以是（ ）

A. △ABC绕点C顺时针旋转90°，再向下平移3
B. △ABC绕点C顺时针旋转90°，再向下平移1
C. △ABC绕点C逆时针旋转90°，再向下平移1
D. △ABC绕点C逆时针旋转90°，再向下平移3
【正确答案】A

【详解】根据图形可以看出，△ABC绕点C顺时针旋转90°，再向下平移3个单位可以得到△ODE．
故选A．
本题考查坐标与图形变化-旋转，坐标与图形变化-平移．掌握旋转和平移的性质是解题关键．

6. 把抛物线y=﹣x2向下平移3个单位长度再向左平移2个单位长度的解析式为（　　）
A. y=﹣（x+2）2+3 B. y=﹣（x+2）2﹣3
C. y=﹣（x+3）2﹣2 D. y=﹣（x﹣3）2+2
【正确答案】B

【详解】试题解析：∵抛物线的顶点坐标是
∴抛物线向下平移3个单位长度再向左平移2个单位长度后，那么得到的抛物线的顶点坐标为：
则平移后抛物线的解析式为：
故选B．
7. 如图，在△ABC中，∠CAB=65°，将△ABC在平面内绕点A旋转到△AB′C′的位置，使CC′∥AB，则旋转角的度数为（　　）

A. 30° B. 40° C. 50° D. 65°
【正确答案】C

【详解】解：∵CC′∥AB，
∴∠ACC′=∠CAB=65°，
∵△ABC绕点A旋转得到△AB′C′，
∴AC=AC′，
∴∠CAC′=180°-2∠ACC′=180°-2×65°=50°，
∴∠CAC′=∠BAB′=50°
故选：C．
8. 若二次函数y=x2+bx+c的图象的对称轴是点（2，0）且平行于y轴的直线，且过点（5，5），则关于x的方程x2+bx+c=5的解为（　　）
A. x1=0或x2=4 B. x1=1或x2=5 C. x1=﹣1或 x2=5 D. x1=1或x2=﹣5
【正确答案】C

【详解】试题解析：根据题意得抛物线的对称轴为直线x=2，
则，解得
把代入 得，
所以二次函数解析式为
解方程得，
故选C．
点睛：二次函数的对称轴方程为：
9. 要组织排球邀请赛，参赛的每个队之间都要比赛一场，根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛．设比赛组织者应邀请x个队参赛，则x满足的关系式为（　　）
A. B.
C. x（x+1）＝28 D. x（x﹣1）＝28
【正确答案】B

【分析】根据参赛的每队之间都要比赛一场，总共28场，可列出一元二次方程；
【详解】设比赛组织者应邀请x个队参赛，
根据题意：，
得到：．
故答案选B．
本题主要考查了一元二次方程的应用，准确根据题意列式是解题的关键．

10. 设二次函数的图象与函数的图象交于点，若函数的图象与轴仅有一个交点，则（　　）
A. B. C. D.
【正确答案】B

【分析】首先根据函数的图象点 ，可得；然后根据函数的图象与轴仅有一个交点，可得函数与轴的交点为，再对称轴公式求解．
【详解】解：∵函数的图像过点，
∴，
∴，
又，
∴，
∵当时，，
∴当时，，
∵与轴仅有一个交点，
∴的图像与轴的交点为，
∴，
化简得．
故选：B．
此题主要考查了抛物线与轴的交点问题，以及曲线上点的坐标与方程的关系，解答此题的关键是判断出函数与轴的交点为．

二、填 空 题（共6小题，每小题3分，共18分）
11. 方程x2﹣3x+1=0的二次项系数是_____；项系数是_____；常数项是_____．
【正确答案】 ①. 1 ②. -3 ③. 1

【详解】试题解析：方程的二次项系数是：1；项系数是：；常数项是：1．
故答案为
12. 若a2﹣3b=5，则6b﹣2a2=_____．
【正确答案】-10

【详解】试题解析：∵
∴原式
故答案为
13. 函数y=x2﹣x+1的图象与y轴的交点坐标是_____．
【正确答案】（0，1）

【详解】试题解析：当x=0时，
所以抛物线与y轴的交点坐标为
故答案为
14. 有一人患了流感，两轮传染后共有64人患了流感，按照这样速度，平均每人传染_____人．
【正确答案】7

【详解】试题解析：设每轮传染中平均一个人传染了x人，则

解得（舍去）．
答：每轮传染中平均一个人传染了7个人．
故答案为7．
15. 如图是抛物线型拱桥，当拱顶离水面2m时，水面宽4m，水面下降2m，水面宽度增加______m.

【正确答案】

【分析】根据已知建立平面直角坐标系，进而求出二次函数解析式，再通过把代入抛物线解析式得出水面宽度，即可得出答案．
【详解】建立平面直角坐标系，设横轴x通过AB，纵轴y通过AB中点O且通过C点，则通过画图可得知O为原点，

抛物线以y轴为对称轴，且A，B两点，OA和OB可求出为AB的一半2米，抛物线顶点C坐标为
通过以上条件可设顶点式，其中可通过代入A点坐标
代入到抛物线解析式得出：所以抛物线解析式为
当水面下降2米，通过抛物线在图上的观察可转化为：
当时，对应的抛物线上两点之间的距离，也就是直线与抛物线相交的两点之间的距离，
可以通过把代入抛物线解析式得出：
解得：
所以水面宽度增加到米，比原先的宽度当然是增加了
故答案是：
考查了二次函数的应用，根据已知建立坐标系从而得出二次函数解析式是解决问题的关键．
16. 如图，一段抛物线：（0≤x≤3），记为C1，它与x轴交于点O，A1；
将C1绕点A1旋转180°得C2，交x 轴于点A2；
将C2绕点A2旋转180°得C3，交x 轴于点A3；
……
如此进行下去，直至得C13．若P（37，m）
在第13段抛物线C13上，则m =_______．

【正确答案】2

【详解】分析：根据题意，得
C1：（0≤x≤3）；
C2：（3≤x≤6）；
C3：（6≤x≤9）；
C4：（9≤x≤12）；
………
C13：（36≤x≤39）．
对于C13有：当x＝37时，y＝2，所以，m＝2．
三、解 答 题（本大题共8个大题，共72分．）
17. 解方程：
（1）x2+2x﹣1=0
（2）x（x+4）=3x+12．
【正确答案】（1）x1=﹣1+，x2=﹣1﹣；（2）x1=﹣4，x2=3

【详解】试题分析：根据解一元二次方程方法解方程即可.
试题解析：（1）



所以
（2）

或
所以
点睛：一元二次方程的常用解法：直接开方法，公式法，配方法，因式分解法.
18. 如图：△ABC、△ECD都是等边三角形，且B、C、D在同一直线上．
（1）求证：BE=AD；
（2）△EBC可以看做是△DAC平移、轴对称或旋转得到，请说明得到△EBC过程．

【正确答案】（1）证明见解析（2）以点C为旋转将△DAC逆时针旋转60°就得到△EBC

【详解】试题分析：由证明≌ .
观察图形即可求解.
试题解析：（1）和都是等边三角形，


即
在和中，
≌ .

（2）是等边三角形，

同理
以点为旋转将逆时针旋转就得到．
19. 已知关于x的一元二次方程（x-3）（x-2）=|m|．
（1）求证：对于任意实数m，方程总有两个没有等实数根；
（2）若方程的一个根是1，求m的值及方程的另一个根．
【正确答案】（1）证明见解析；（2）m的值为±2，方程的另一个根是4

【分析】（1）移项，整理化成方程的一般形式，求出根的判别式，即可判断方程根的情况.
（2）把x=1代入原方程，可得出m的值，再把m的值代回原方程，解出x的另一个值.
【详解】解：（1）移项整理成一般形式：，Δ==1+4，
∵≥0，∴1+4>0，
∴对于任意实数m，方程总有两个没有相等的实数根；
（2）若方程的一个根是1，则（1-3）（1-2）=，
∴m=±2,
∴，

故m的值是±2，方程的另一个根是4.

20. 如图，已知二次函数y=ax2+bx+3的图象过点A（﹣1，0），顶点坐标为（1，m）．
（1）求该二次函数的关系式和m值；
（2）图象，解答下列问题：（直接写出答案）
①当x取什么值时，该函数的图象在x轴下方？
②当﹣1＜x＜2时，直接写出函数y的取值范围．

【正确答案】（1）y=﹣x2+2x+3，4；（2）①当x＜﹣1或x＞3时，该函数的图象在x轴下方；②当﹣1＜x＜2时，函数y的取值范围是0＜y≤4

【详解】试题分析：二次函数的图象过点，顶点坐标为列出方程组求解即可.
根据函数图象，可得到开口向下，且图象与轴交点的坐标已知，即可得到答案；再根据将函数的解析式化为顶点式，可得到的最值，进而得到的取值范围.
试题解析：（1）二次函数的图象过点，顶点坐标为

解得：b=2
即二次函数的关系式是
把代入得：
①∵抛物线开口向下，且点
∴当时，函数图象在轴上方.
②∵抛物线的解析式为：
∴抛物线的顶点坐标为
∵抛物线开口向下，
∴x=1时，y有值，值为4.
∴当时，函数y的取值范围为
21. 如图是由边长为1的小正三角形组成的网格图，点O和△ABC的顶点都在正三角形的格点上，将△ABC绕点O逆时针旋转120°得到△A′B′C′．
（1）在网格中画出旋转后的△A′B′C′；
（2）以O为原点AB所在直线为x轴建立坐标系直接写出A′、B′、C′三点的坐标．

【正确答案】（1）图形见解析（2）（﹣，）．

【详解】试题分析：（1）利用网格特点、等边三角形的性质和旋转的性质画出点的对应点 从而得到
计算即可.
试题解析：（1）如图，即为所求；

（2）
坐标为

坐标为

坐标为
22. 某网店打出促销广告：最潮新款服装30件,每件售价300元.若性购买没有超过10件时,售价没有变；若性购买超过10件时，每多买1件，所买的每件服装的售价均降低3元．已知该服装成本是每件200元，设顾客性购买服装x件时，该网店从中获利y元．
（1）求y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（2）顾客性购买多少件时，该网店从中获利至多？
【正确答案】（1）、y=；（2）、22件.

【详解】试题分析：（1）根据题意可得出销量乘以每台利润进而得出总利润，进而得出答案；
（2）根据销量乘以每台利润进而得出总利润，即可求出即可．
试题解析：（1），
（2）在0≤x≤10时，y=100x，当x=10时，y有值1000；
在10＜x≤30时，y=-3x2+130x，
当x=21时，y取得值，
∵x为整数，根据抛物线的对称性得x=22时，y有值1408．
∵1408＞1000，
∴顾客购买22件时，该网站从中获利至多．
考点：二次函数的应用．
23. 如图1，点O是正方形ABCD两对角线的交点，分别延长OD到点G，OC到点E，使OG=2OD，OE=2OC，然后以OG、OE为邻边作正方形OEFG，连接AG，DE．

（1）求证：DE⊥AG；
（2）正方形ABCD固定，将正方形OEFG绕点O逆时针旋转α角（0°＜α＜360°）得到正方形OE′F′G′，如图2．
①在旋转过程中，当∠OAG′是直角时，求α的度数；
②若正方形ABCD的边长为1，在旋转过程中，求AF′长的值和此时α的度数，直接写出结果没有必说明理由．
【正确答案】（1）见解析；（2）30°或150°，的长值为，此时

【分析】（1）延长ED交AG于点H，易证△AOG≌△DOE，得到∠AGO=∠DEO，然后运用等量代换证明∠AHE=90°即可；
（2）①在旋转过程中，∠OAG′成为直角有两种情况：α由0°增大到90°过程中，当∠OAG′=90°时，α=30°，α由90°增大到180°过程中，当∠OAG′=90°时，α=150°；
②当旋转到A、O、F′在一条直线上时，AF′的长，AF′=AO+OF′=+2，此时α=315°．
【详解】解：（1）如图1，延长ED交AG于点H，

∵点O是正方形ABCD两对角线的交点，
∴OA=OD，OA⊥OD，
∵OG=OE，
在△AOG和△DOE中，
，
∴△AOG≌△DOE，
∴∠AGO=∠DEO，
∵∠AGO+∠GAO=90°，
∴∠GAO+∠DEO=90°，
∴∠AHE=90°，
即DE⊥AG；
（2）①在旋转过程中，∠OAG′成为直角有两种情况：
(Ⅰ)α由0°增大到90°过程中，当∠OAG′=90°时，
∵OA=OD=OG=OG′，
∴在Rt△OAG′中，sin∠AG′O==，
∴∠AG′O=30°，
∵OA⊥OD，OA⊥AG′，
∴OD∥AG′，
∴∠DOG′=∠AG′O=30°∘，
即α=30°；

(Ⅱ)α由90°增大到180°过程中，当∠OAG′=90°时，
同理可求∠BOG′=30°，
∴α=180°−30°=150°．
综上所述，当∠OAG′=90°时，α=30°或150°．
②如图3，当旋转到A． O、F′在一条直线上时，AF′的长，

∵正方形ABCD的边长为1，
∴OA=OD=OC=OB=，
∵OG=2OD，
∴OG′=OG=，
∴OF′=2，
∴AF′=AO+OF′=+2，
∵∠COE′=45°，
∴此时α=315°．
本题考查的是正方形的性质、旋转变换的性质以及锐角三角函数的定义，解题的关键是掌握正方形的四条边相等、四个角相等，旋转变换的性质，注意角的三角函数值的应用．
24. 如图1，在平面直角坐标系中，抛物线C1：y=ax2+bx﹣a2关于y轴对称且有最小值﹣1．
（1）求抛物线C1的解析式；
（2）在图1中抛物线C1顶点为A，将抛物线C1绕 点B旋转180°后得到抛物线C2，直线y=kx﹣2k+4总一定点M，若过定点M的直线与抛物线C2只有一个公共点，求直线l的解析式．
（3）如图2，先将抛物线 C1向上平移使其顶点在原点O，再将其顶点沿直线y=x平移得到抛物线C3，设抛物线C3与直线y=于C、D两点，求线段CD的长．

【正确答案】（1）y=x2﹣1（2）过定点M，共有三条直线l：x=2 或y=2x+4﹣4或y=﹣2x+4+4，它们分别与抛物线C3只有一个公共点（3）

【详解】试题分析：根据抛物线的对称轴为轴，求得抛物线有最小值，可求得，即可求出抛物线的解析式.
依题意可求出抛物线的解析式为：由直线总一定点M，可求得定点M为，①定点与轴平行的直线：与抛物线总有一个公共点．②定点的直线为函数时，与联立方程组，利用可得得 的值，即可得出 或，综上所述，过定点M，共有三条直线它们分别与抛物线只有一个公共点．
设抛物线的顶点为，依题意可得抛物线的解析式为： 与直线联立，可得的坐标，过点C作∥轴，过点D作DM∥y轴，可求出 即可得出的值．
试题解析：（1）抛物线的对称轴为轴，
解得
抛物线的解析式为
当抛物线有最小值，即 解得：或（舍去）．
抛物线的解析式
（2）抛物线的解析式

设抛物线与x轴的令一个交点为．
令得： 解得：

将抛物线绕点旋转后得到抛物线，
∴点对应点的坐标为，点对应点的坐标为.
设的解析式为将代入得： 解得
的解析式为
直线总一定点M，
∴定点M，
①定点与轴平行的直线：与抛物线总有一个公共点．
②将与联立得： 整理得：
∵过定点M的直线与抛物线只有一个公共点，
解得
∴过定点M的直线的解析式为 或，
综上所述，过定点M，共有三条直线l：或 或，它们分别与抛物线只有一个公共点．
（3）以平移后抛物线的顶点为坐标原点建立坐标系，则直线和抛物线在新坐标系的解析式为 与
将与联立，解得： 或
∴点和点在新坐标系内的坐标分别为