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2023-2024学年河南省信阳市息县九年级（上）期中数学试卷(含解析)
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这是一份2023-2024学年河南省信阳市息县九年级（上）期中数学试卷(含解析)，共25页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．围棋起源于中国，古代称之为“弈”，至今已有4000多年的历史．一棋谱中四部分的截图由黑白棋子摆成的图案是中心对称的是（ ）
A．B．
C．D．
2．将一元二次方程x（x+1）＝3﹣x2化为一般形式为（ ）
A．2x2+x＝3B．2x2+x﹣3＝0
C．﹣2x2+x﹣3＝0D．2x2﹣x﹣3＝0
3．用配方法解方程x2﹣4x﹣1＝0时，配方后正确的是（ ）
A．（x+2）2＝3B．（x+2）2＝17C．（x﹣2）2＝5D．（x﹣2）2＝17
4．若关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣k＝0没有实数根，则k的取值范围是（ ）
A．k＞﹣1B．k≥﹣1C．k＜﹣1D．k≤﹣1
5．二次函数y＝2（x﹣3）2+1的图象的顶点坐标是（ ）
A．（2，3）B．（2，1）C．（3，﹣1）D．（3，1）
6．在平面直角坐标系中，点P（﹣1，﹣2）关于原点对称的点的坐标是（ ）
A．（1，﹣2）B．（﹣1，2）C．（1，2）D．（﹣2，﹣1）
7．把抛物线y＝x2向上平移3个单位，得到的抛物线是（ ）
A．y＝（x﹣3）2B．y＝（x+3）2C．y＝x2﹣3D．y＝x2+3
8．如图，C，D在⊙O上，AB是直径，∠D＝64°，则∠BAC＝（ ）
A．64°B．34°C．26°D．24°
9．我国古代著作《四元玉鉴》记载“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，遣人去买几株椽．每株脚钱三文足，无钱准与一株椽．”其大意为：现请人代买一批椽，这批株的价钱为6210文．如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱．根据题意可列方程3x（x﹣1）＝6210，其中x表示（ ）
A．剩余椽的数量B．这批椽的数量
C．剩余椽的运费D．每株椽的价钱
10．如图，在平面直角坐标系中，点A在y轴上，点B的坐标为（6，0），将△ABO绕着点B顺时针旋转60°，得到△DBC，则点C的坐标是（ ）
A．（3，3）B．（3，3）C．（6，3）D．（3，6）
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．若一元二次方程x2﹣ax﹣2＝0的一个根为x＝2，则a＝ ．
12．《算学宝鉴》中记载了我国南宋数学家杨辉提出的一个问题：“直田积八百六十四步，之云阔不及长一十二步，问阔及长各几步？”译文：“一个矩形田地的面积等于864平方步，且它的宽比长少12步，问长与宽各是多少步？”若设矩形田地的长为x步，则可列方程为 ．
13．飞机着陆后滑行的距离s（单位：m）关于滑行的时间t（单位：s）的函数解析式是s＝60t﹣1.5t2，飞机着陆后滑行 米才能停下来．
14．如图，一圆弧过方格的格点A、B、C，在方格中建立平面直角坐标系，使点A的坐标为（0，3），则该圆弧所在圆的圆心坐标是 ．
15．如图，在正方形ABCD中，将边BC绕点B逆时针旋转至BC'，连接CC'，DC'，若∠CC'D＝90°，AB＝5，则线段C′D的长度为 ．
三、解答题（本大题共8个小题，共75分）
16．用适当的方法解下列方程．
（1）x2﹣2x﹣15＝0；
（2）2x2+3x＝1；
（3）5（2x﹣1）2＝x（2x﹣1）．
17．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点C的坐标为（﹣4，1）．
（1）画出△A1B1C1，使得△A1B1C1与△ABC关于原点O对称，并写出C1的坐标；
（2）以O为旋转中心，将△ABC逆时针旋转90°得到△A2B2C2，画出△A2B2C2并写出C2的坐标．
18．已知二次函数的顶点坐标为（1，4），且图象经过点（2，3）．
（1）求这个二次函数的表达式；
（2）列表描点画出这个二次函数的图象．
19．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°．将△ABC绕点C逆时针旋转得到△A'B'C，在旋转过程中，当点B落在AB的中点处时，求∠A′的度数．
20．中秋节是我国传统的节日之一．在中秋节来临前夕，一名在校大学生抓住机会，利用“互联网+”自主创业，在某平台上销售一种月饼．平台市场信息显示，销售此种月饼，每天所获的利润y（元）与该月饼的售价x（元/盒）之间关系式是y＝﹣x2+100x﹣1600．
（1）当售价定为每盒40元时，每天所获得的利润是多少？
（2）当售价定为多少时，可使每天获得最大利润，最大利润是多少？
（3）该商品的进价是每盒多少元？【单位利润＝售价﹣进价】
21．类比探究题：
（1）【旧知复习】一次函数和方程（组）以及不等式之间有着密切的联系，通过一次函数图象可以求得一元一次方程的解，一元一次不等式的解集，二元一次方程组的解等，所含的数学思想是 ，如图1，直接写出方程kx+b＝0的解为 ；不等式kx+b＞0的解集为 ；如图2，写出二元一次方程组的解为 ，不等式k1x+b1≥k2x+b2的解集为 ；
（2）【类比应用】类比一次函数的学习，可以延伸到其他函数，通过图象解决方程及不等式的问题．
已知，如图3，函数y＝﹣x2﹣3x+4的图象与x轴的交点为A（﹣4，0），B（1，0），则方程﹣x2﹣3x+4＝0的解为 ；不等式﹣x2﹣3x+4＞0的解集为 ；
（3）【拓展拔高】如图4，函数y＝﹣x2﹣3x+4的图象与过（0，4）且平行于x轴的直线交于两点C（﹣3，4），D（0，4），根据图象求：
①方程﹣x2﹣3x+4＝4的解；
②不等式﹣x2﹣3x+4≤4的解集．
22．阅读材料，解答问题：
关于圆的引理
古希腊数学家、物理学家阿基米德流传于世的数学著作有10余种，下面是《阿基米德全集》的《引理集》中记载的一个命题：
如图1，AB是⊙O的弦，点C在⊙O上，CD⊥AB于点D，在弦AB上取点E，使DE＝AD，点F是上的一点，且，连接BF，则BF＝BE．
小颖对这个问题很感兴趣，经过思考，写出了下面的证明过程：
证明：如图2，连接CA，CE，CF，BC，
∵CD⊥AB于点D，DE＝AD，
∴CA＝CE．
∴∠CAE＝∠CEA．
∵，
∴CF＝CA（依据1），∠CBF＝∠CBA．
∵四边形ABFC内接于⊙O，
∴∠CAB+∠CFB＝180°．（依据2）
……
（1）上述证明过程中的依据1为 ，依据2为 ；
（2）将上述证明过程补充完整．
23．如图1，正方形ABCD的边长为5，点E为正方形CD边上一动点，过点B作BP⊥AE于点P，将AP绕点A逆时针旋转90°得AP′，连接P'D．
（1）证明：PB＝P'D．
（2）延长BP交P'D于点F．判断四边形AP'FP的形状，并说明理由；
（3）若DF＝1，求线段AP的长度
选做题．
24．在平面直角坐标系xOy中，M（x1，y1），N（x2，y2）是抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）上任意两点，设抛物线的对称轴为x＝t．
（1）若对于x1＝1，x2＝2，有y1＝y2，求t的值；
（2）若对于0＜x1＜1，1＜x2＜2，都有y1＜y2，求t的取值范围．
参考答案
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．围棋起源于中国，古代称之为“弈”，至今已有4000多年的历史．一棋谱中四部分的截图由黑白棋子摆成的图案是中心对称的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，根据中心对称图形的概念求解．
解：选项A能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以是中心对称图形；
选项B、C、D不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形；
故选：A．
【点评】此题主要考查了中心对称图形定义，关键是找出对称中心．
2．将一元二次方程x（x+1）＝3﹣x2化为一般形式为（ ）
A．2x2+x＝3B．2x2+x﹣3＝0
C．﹣2x2+x﹣3＝0D．2x2﹣x﹣3＝0
【分析】首先去括号，移项，合并同类项，把右边化为0，变为一般式即可．
解：x（x+1）＝3﹣x2，
x2+x＝3﹣x2，
2x2+x﹣3＝0．
故选：B．
【点评】此题主要考查了一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c＝0（a，b，c是常数且a≠0）特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．
3．用配方法解方程x2﹣4x﹣1＝0时，配方后正确的是（ ）
A．（x+2）2＝3B．（x+2）2＝17C．（x﹣2）2＝5D．（x﹣2）2＝17
【分析】先把﹣1移到方程的右边，然后方程两边都加4，再把左边根据完全平方公式写成完全平方的形式即可．
解：∵x2﹣4x﹣1＝0，
∴x2﹣4x＝1，
∴x2﹣4x+4＝1+4，
∴（x﹣2）2＝5．
故选：C．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣配方法：将一元二次方程配成（x+m）2＝n（n≥0）的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法．
4．若关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣k＝0没有实数根，则k的取值范围是（ ）
A．k＞﹣1B．k≥﹣1C．k＜﹣1D．k≤﹣1
【分析】由关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣k＝0没有实数根，根据△的意义得到Δ＜0，即（﹣2）2﹣4×1×（﹣k）＜0，然后解不等式即可得到k的取值范围．
解：∵关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣k＝0没有实数根，
∴Δ＜0，即（﹣2）2﹣4×1×（﹣k）＜0，解得k＜﹣1，
∴k的取值范围是k＜﹣1．
故选：C．
【点评】本题考查了一元二次方ax2+bx+c＝0（a≠0）的根的判别式Δ＝b2﹣4ac：当Δ＞0，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0，方程没有实数根．
5．二次函数y＝2（x﹣3）2+1的图象的顶点坐标是（ ）
A．（2，3）B．（2，1）C．（3，﹣1）D．（3，1）
【分析】二次函数y＝a（x﹣h）2+k（a≠0）的顶点坐标是（h，k）．
解：根据二次函数的顶点式方程y＝2（x﹣3）2+1知，该抛物线的顶点坐标：（3，1）．
故选：D．
【点评】本题考查了二次函数的性质和二次函数的三种形式．解答该题时，需熟悉二次函数的顶点式方程y＝a（x﹣h）2+k中的h、k所表示的意义．
6．在平面直角坐标系中，点P（﹣1，﹣2）关于原点对称的点的坐标是（ ）
A．（1，﹣2）B．（﹣1，2）C．（1，2）D．（﹣2，﹣1）
【分析】根据平面直角坐标系中任意一点P（x，y），关于原点的对称点是（﹣x，﹣y），然后直接作答即可．
解：根据中心对称的性质，可知：点P（﹣1，﹣2）关于原点O中心对称的点的坐标为（1，2）．
故选：C．
【点评】此题主要考查了关于原点对称的点的坐标特点，关键是掌握点的坐标的变化规律．
7．把抛物线y＝x2向上平移3个单位，得到的抛物线是（ ）
A．y＝（x﹣3）2B．y＝（x+3）2C．y＝x2﹣3D．y＝x2+3
【分析】根据“左加右减，上加下减”的法则进行解答即可．
解：把抛物线y＝x2向上平移3个单位，得到的抛物线是y＝x2+3．
故选：D．
【点评】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知二次函数图象平移的法则是解答此题的关键．
8．如图，C，D在⊙O上，AB是直径，∠D＝64°，则∠BAC＝（ ）
A．64°B．34°C．26°D．24°
【分析】连接BC，先利用同弧所对的圆周角相等求出∠B，再根据直径所对的圆周角是直角求出∠ACB＝90°，最后利用直角三角形两锐角互余进行计算即可解答．
解：连接BC，
∵∠D＝64°，
∴∠D＝∠B＝64°，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠BAC＝90°﹣∠B＝26°，
故选：C．
【点评】本题考查了圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．
9．我国古代著作《四元玉鉴》记载“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，遣人去买几株椽．每株脚钱三文足，无钱准与一株椽．”其大意为：现请人代买一批椽，这批株的价钱为6210文．如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱．根据题意可列方程3x（x﹣1）＝6210，其中x表示（ ）
A．剩余椽的数量B．这批椽的数量
C．剩余椽的运费D．每株椽的价钱
【分析】由每株椽的运费及“少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱”，结合所列方程，即可找出x表示这批椽的数量．
解：∵每株椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，
∴所列方程中的x表示这批椽的数量，3（x﹣1）表示一株椽的价钱，所用的等量关系为单价×数量＝总价．
故选：B．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，根据所列方程所用的等量关系，找出未知数x的含义是解题的关键．
10．如图，在平面直角坐标系中，点A在y轴上，点B的坐标为（6，0），将△ABO绕着点B顺时针旋转60°，得到△DBC，则点C的坐标是（ ）
A．（3，3）B．（3，3）C．（6，3）D．（3，6）
【分析】作CM⊥x轴于M，再利用旋转的性质求出BC＝OB＝6，根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半求出BM，利用勾股定理列式求出CM，然后求出点C的横坐标，再写出点C的坐标即可．
解：作CM⊥x轴于M，
∵点B的坐标为（6，0），
∴BC＝OB＝6，
∵∠OBC＝60°，
∴BM＝，CM＝＝3，
∴OM＝OB﹣BM＝6﹣3＝3，
∴C（3，3）．
故选：B．
【点评】本题考查了坐标与图形变化﹣旋转，解直角三角形，求出OM、CM的长度是解题的关键．
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．若一元二次方程x2﹣ax﹣2＝0的一个根为x＝2，则a＝ 1 ．
【分析】把x＝2代入方程得出4﹣2a﹣2＝0，再求出方程的解即可．
解：∵一元二次方程x2﹣ax﹣2＝0的一个根为x＝2，
∴4﹣2a﹣2＝0，
解得a＝1，
故答案为：1．
【点评】本题考查了解一元二次方程，一元二次方程的解和解一元一次方程等知识点，能熟记一元二次方程的解的定义是解此题的关键．
12．《算学宝鉴》中记载了我国南宋数学家杨辉提出的一个问题：“直田积八百六十四步，之云阔不及长一十二步，问阔及长各几步？”译文：“一个矩形田地的面积等于864平方步，且它的宽比长少12步，问长与宽各是多少步？”若设矩形田地的长为x步，则可列方程为 x（x﹣12）＝864 ．
【分析】如果设矩形田地的长为x步，那么宽就应该是（x﹣12）步，根据面积为864，即可得出方程．
解：设矩形田地的长为x步，那么宽就应该是（x﹣12）步．
根据矩形面积＝长×宽，得：x（x﹣12）＝864．
故答案为：x（x﹣12）＝864．
【点评】本题为面积问题，考查了由实际问题抽象出一元二次方程，掌握好面积公式即可进行正确解答；矩形面积＝矩形的长×矩形的宽．
13．飞机着陆后滑行的距离s（单位：m）关于滑行的时间t（单位：s）的函数解析式是s＝60t﹣1.5t2，飞机着陆后滑行 600 米才能停下来．
【分析】将函数解析式配方成顶点式求出s的最大值即可得．
解：∵s＝﹣t2+60t＝﹣（t﹣20）2+600，
∴当t＝20时，s取得最大值600，即飞机着陆后滑行600米才能停下来，
故答案为：600．
【点评】本题主要考查二次函数的应用，理解题意得出飞机滑行的距离即为s的最大值是解题的关键．
14．如图，一圆弧过方格的格点A、B、C，在方格中建立平面直角坐标系，使点A的坐标为（0，3），则该圆弧所在圆的圆心坐标是 （1，0） ．
【分析】由题意建立直角坐标系，由垂径定理得到该圆弧所在圆的圆心是弦AC、AB的垂直平分线的交点，于是得到该圆弧所在圆的圆心坐标．∴
解：由题意建立直角坐标系，如图，
∵该圆弧所在圆的圆心是弦AC、AB的垂直平分线的交点O′，
∴该圆弧所在圆的圆心坐标是（1，0）．
故答案为：（1，0）．
【点评】本题考查坐标与图形的性质，垂径定理，关键是由垂径定理得到该圆弧所在圆的圆心是弦AC、AB的垂直平分线的交点．
15．如图，在正方形ABCD中，将边BC绕点B逆时针旋转至BC'，连接CC'，DC'，若∠CC'D＝90°，AB＝5，则线段C′D的长度为 ．
【分析】过点B作BE⊥CC'于点E，证明△BCE≌△CDC'（AAS），由全等三角形的性质得出CE＝C'D，由旋转的性质及等腰三角形的性质求出CE＝C'E＝C'D，由勾股定理可得出答案．
解：过点B作BE⊥CC'于点E，
∵四边形ABCD是正方形，
∴BC＝CD，∠BCD＝90°，
∴∠BCE+∠C'CD＝90°，
∵∠BCE+∠CBE＝90°，
∴∠C'CD＝∠CBE，
又∵∠BEC＝∠CC'D，
在△BCE和△CDC'中，
，
∴△BCE≌△CDC'（AAS），
∴CE＝C'D，
∵将边BC绕点B逆时针旋转至BC'，
∴BC＝BC'＝CD＝5，
又∵BE⊥CC'，
∴CE＝C'E＝C'D，
∵C'D2+C'C2＝CD2，
∴5C'D2＝25，
∴C'D＝（负值舍去），
故答案为：．
【点评】本题考查了正方形的性质，等腰三角形的性质，旋转的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，熟练掌握正方形的性质是解题的关键．
三、解答题（本大题共8个小题，共75分）
16．用适当的方法解下列方程．
（1）x2﹣2x﹣15＝0；
（2）2x2+3x＝1；
（3）5（2x﹣1）2＝x（2x﹣1）．
【分析】（1）方程利用配方法求出解即可；
（2）方程利用公式法求出解即可；
（3）方程利用因式分解法求出解即可．
解：（1）x2﹣2x﹣15＝0，
∴x2﹣2x＝15，
∴x2﹣2x+1＝15+1，即（x﹣1）2＝16，
∴x﹣1＝±4，
∴x1＝5，x2＝﹣3；
（2）2x2+3x＝1，
整理得：2x2+3x﹣1＝0，
∵Δ＝32﹣4×2×（﹣1）＝9+8＝17＞0，
∴，
∴，；
（3）5（2x﹣1）2＝x（2x﹣1），
∴5（2x﹣1）2﹣x（2x﹣1）＝0，
∴（2x﹣1）[5（2x﹣1）﹣x]＝0，
∴（2x﹣1）（9x﹣5）＝0，
∴2x﹣1＝0或9x﹣5＝0，
∴，．
【点评】本题考查了一元二次方程的解法，常用的方法有直接开平方法、配方法、因式分解法、求根公式法，熟练掌握各种方法是解答本题的关键．
17．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点C的坐标为（﹣4，1）．
（1）画出△A1B1C1，使得△A1B1C1与△ABC关于原点O对称，并写出C1的坐标；
（2）以O为旋转中心，将△ABC逆时针旋转90°得到△A2B2C2，画出△A2B2C2并写出C2的坐标．
【分析】（1）根据中心对称的性质找到A，B，C的对称点A1，B1，C1，顺次连接得到△A1B1C1，根据坐标系写出点的坐标即可求解；
（2）根据中心对称的性质找到A，B，C的旋转后的点A2，B2，C2，顺次连接得到△A2B2C2，根据坐标系写出点的坐标即可求解．
解：（1）如图，△A1B1C1即为所求．
C1（4，﹣1）；
（2）如图，△A2B2C2即为所求．
C2（﹣1，﹣4）．
【点评】本题考查了旋转作图，画中心对称图形，写出点的坐标，熟练掌握旋转的性质，中心对称的性质是解题的关键．
18．已知二次函数的顶点坐标为（1，4），且图象经过点（2，3）．
（1）求这个二次函数的表达式；
（2）列表描点画出这个二次函数的图象．
【分析】（1）由待定系数法即可求解；
（2）取点描点绘制函数图象即可．
解：（1）由题意得，函数的表达式为：y＝a（x﹣1）2+4，
将（2，3）代入上式得：3＝a（2﹣1）2+4，
解得：a＝﹣1，
故抛物线的表达式为：y＝﹣（x﹣1）2+4；
（2）取点如下：
描点绘制函数图象如下：
【点评】本题考查的是用待定系数法求函数表达式，题目难度不大．
19．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°．将△ABC绕点C逆时针旋转得到△A'B'C，在旋转过程中，当点B落在AB的中点处时，求∠A′的度数．
【分析】利用旋转的性质结合直角三角形的性质得出△CBB′是等边三角形，进而得出答案．
解：将△ABC绕点C逆时针旋转得到△A'B'C，
∴CB＝CB′，∠A＝∠A′，
∵点B′可以恰好落在AB的中点处，
∴点B′是AB的中点．
∵∠ACB＝90°，
∴CB′＝AB＝BB′，
∴CB＝CB′＝BB′，
即△CBB′是等边三角形．
∴∠B＝60°．
∵∠ACB＝90°，
∴∠A＝∠A′＝30°．
【点评】本题主要考查旋转的性质以及等边三角形的判定等知识，正确掌握直角三角形的性质是解答本题关键．
20．中秋节是我国传统的节日之一．在中秋节来临前夕，一名在校大学生抓住机会，利用“互联网+”自主创业，在某平台上销售一种月饼．平台市场信息显示，销售此种月饼，每天所获的利润y（元）与该月饼的售价x（元/盒）之间关系式是y＝﹣x2+100x﹣1600．
（1）当售价定为每盒40元时，每天所获得的利润是多少？
（2）当售价定为多少时，可使每天获得最大利润，最大利润是多少？
（3）该商品的进价是每盒多少元？【单位利润＝售价﹣进价】
【分析】（1）把 x＝40 代入y＝﹣x2+100x﹣1600求出y值即可；
（2）y＝﹣x2+100x﹣1600＝﹣（x2﹣100x+502﹣2500）﹣1600＝﹣（x﹣50）2+900，再根据二次函数性质可得答案；
（3）在y＝﹣x2+100x﹣1600中，令y＝0求出x的值并检验可得答案．
解：（1）把 x＝40 代入y＝﹣x2+100x﹣1600得：
y＝﹣1600+4000﹣1600＝800，
∴当售价定为每盒40元时，每天所获得的利润是800元；
（2）∵y＝﹣x2+100x﹣1600＝﹣（x2﹣100x+502﹣2500）﹣1600＝﹣（x﹣50）2+900，且﹣1＜0，
∴当x＝50 时，y取最大值900，
∴当售价定为每盒50元时，每天所获得的利润最大，最大利润是900元；
（3）在y＝﹣x2+100x﹣1600中，令y＝0得﹣x2+100x﹣1600＝0，
解得 x＝20或x2＝80（不符合题意，舍去），
∴该商品的进价是每盒20元．
【点评】本题考查二次函数的应用，解题的关键是读懂题意，能灵活应用二次函数性质．
21．类比探究题：
（1）【旧知复习】一次函数和方程（组）以及不等式之间有着密切的联系，通过一次函数图象可以求得一元一次方程的解，一元一次不等式的解集，二元一次方程组的解等，所含的数学思想是 函数思想 ，如图1，直接写出方程kx+b＝0的解为 x＝2 ；不等式kx+b＞0的解集为 x＞2 ；如图2，写出二元一次方程组的解为 ，不等式k1x+b1≥k2x+b2的解集为 x≤2 ；
（2）【类比应用】类比一次函数的学习，可以延伸到其他函数，通过图象解决方程及不等式的问题．
已知，如图3，函数y＝﹣x2﹣3x+4的图象与x轴的交点为A（﹣4，0），B（1，0），则方程﹣x2﹣3x+4＝0的解为 x＝﹣4或1 ；不等式﹣x2﹣3x+4＞0的解集为 ﹣4＜x＜1 ；
（3）【拓展拔高】如图4，函数y＝﹣x2﹣3x+4的图象与过（0，4）且平行于x轴的直线交于两点C（﹣3，4），D（0，4），根据图象求：
①方程﹣x2﹣3x+4＝4的解；
②不等式﹣x2﹣3x+4≤4的解集．
【分析】（1）利用函数思想，观察函数图象即可求解；
（2）利用函数思想，将等式或不等式理解为交点问题，再观察函数图象即可求解；
（3）利用函数思想，将等式或不等式理解为图象交点和函数的关系，即可求解；
解：（1）一次函数和方程（组）以及不等式之间有着密切的联系，通过一次函数图象可以求得一元一次方程的解，一元一次不等式的解集，二元一次方程组的解等，所含的数学思想是函数思想，方程kx+b＝0的解为：x＝2；不等式kx+b＞0的解集为 x＞2；二元一次方程组的解为 ，不等式k1x+b1≥k2x+b2的解集为：x≤2，
故答案为：函数思想，x＝2；x＞2； ，x≤2；
（2）从函数图象看，方程﹣x2﹣3x+4＝0的解为 x＝﹣4或1，不等式﹣x2﹣3x+4＞0的解集为：﹣4＜x＜1；
故答案为：x＝﹣4或1，﹣4＜x＜1；
（3）从函数图象看，①方程﹣x2﹣3x+4＝4的解为：x＝﹣3或0；
②不等式﹣x2﹣3x+4≤4的解集为：x≥0或x≤﹣3．
【点评】本题为二次函数综合题，涉及到一元二次不等式（组）、解方程（组）等，运用函数思想是解题的关键．
22．阅读材料，解答问题：
关于圆的引理
古希腊数学家、物理学家阿基米德流传于世的数学著作有10余种，下面是《阿基米德全集》的《引理集》中记载的一个命题：
如图1，AB是⊙O的弦，点C在⊙O上，CD⊥AB于点D，在弦AB上取点E，使DE＝AD，点F是上的一点，且，连接BF，则BF＝BE．
小颖对这个问题很感兴趣，经过思考，写出了下面的证明过程：
证明：如图2，连接CA，CE，CF，BC，
∵CD⊥AB于点D，DE＝AD，
∴CA＝CE．
∴∠CAE＝∠CEA．
∵，
∴CF＝CA（依据1），∠CBF＝∠CBA．
∵四边形ABFC内接于⊙O，
∴∠CAB+∠CFB＝180°．（依据2）
……
（1）上述证明过程中的依据1为 在同圆中相等的弧所对的弦相等 ，依据2为 圆内接四边形的对角互补 ；
（2）将上述证明过程补充完整．
【分析】（1）利用等腰三角形的判定和圆内接四边形的性质解答即可；
（2）在原题的基础上利用全等三角形的判定与性质解答即可得出结论．
【解答】（1）解：上述证明过程中的依据1为在同圆中相等的弧所对的弦相等，依据2为圆内接四边形的对角互补．
故答案为：在同圆中相等的弧所对的弦相等，圆内接四边形的对角互补；
（2）证明：如图2，连接CA，CE，CF，BC，
∵CD⊥AB于点D，DE＝AD，
∴CA＝CE．
∴∠CAB＝∠CEA．
∵，
∴CF＝CA，
∴∠CBF＝∠CBA．
∵四边形ABFC内接于⊙O，
∴∠CAB+∠CFB＝180°，
∵∠CEA+∠CEB＝180°，
∴∠CFB＝∠CEB，
在△CFB和△CEB中，
，
∴△CFB≌△CEB（AAS），
∴BF＝BE．
【点评】本题考查了圆内接四边形的性质、圆心角、弦、弧之间的关系定理、三角形全等的判定和性质以及线段垂直平分线的判定和性质，解题的关键是熟练掌握相关的判定和性质．
23．如图1，正方形ABCD的边长为5，点E为正方形CD边上一动点，过点B作BP⊥AE于点P，将AP绕点A逆时针旋转90°得AP′，连接P'D．
（1）证明：PB＝P'D．
（2）延长BP交P'D于点F．判断四边形AP'FP的形状，并说明理由；
（3）若DF＝1，求线段AP的长度
【分析】（1）由旋转的性质证明△ABP≌△ADP'，即可得出答案；
（2）先证明四边形AP'FP是矩形，根据邻边相等的矩形是正方形即可证明；
（3）设正方形AP'FP边长为x，在Rt△AP'D中用勾股定理即可求解．
【解答】（1）证明：由题意和旋转的性质可得：AP＝AP'，∠PAP'＝90°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD，∠BAD＝90°，
∴∠BAD＝∠PAP'＝90°，
∴∠BAD﹣∠DAP＝∠PAP'﹣∠DAP，即：∠BAP＝∠DAP'，
∵AP＝AP′，∠BAP＝∠DAP′，AD＝AB，
∴△ABP≌△ADP'（SAS），
∴PB＝P'D；
（2）解：四边形AP'FP是正方形，理由如下：
由（1）得：△ABP≌△ADP'，且BP⊥AE，
∴∠APF＝∠APB＝∠AP'D＝90°，
∴∠PAP'＝∠APF＝∠AP'D＝90°，
∴四边形AP'FP是矩形，
∵AP＝AP'，
∴四边形AP'FP是正方形；
（3）解：在正方形ABCD中，AB＝AD＝BC＝5，
在正方形AP'FP中，设AP＝AP'＝P'F＝x，
∵DF＝1，则P'D＝（x+1），
在Rt△AP'D中，∠AP'D＝90°，AP'2+P'D2＝AD2，
即：x2+（x+1）2＝52，
解得：x1＝﹣4（不符合题意，舍去），x2＝3，
∴x＝3，
∴AP＝AP′＝3，
故答案为：3．
【点评】本题主要考查全等三角形的判定、正方形的判定及性质、以及勾股定理的运用，旋转的性质，熟练掌握全等三角形的判定、正方形的判定方法是解题的关键，设所求线段为未知数，用勾股定理建立等量关系进行求解．
选做题．
24．在平面直角坐标系xOy中，M（x1，y1），N（x2，y2）是抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）上任意两点，设抛物线的对称轴为x＝t．
（1）若对于x1＝1，x2＝2，有y1＝y2，求t的值；
（2）若对于0＜x1＜1，1＜x2＜2，都有y1＜y2，求t的取值范围．
【分析】（1）根据二次函数的性质求得对称轴即可，
（2）根据题意判断出离对称轴更近的点，从而得出（x1，y1）与（x2，y2）的中点在对称轴的右侧，再根据对称性即可解答．
解：（1）∵对于x1＝1，x2＝2，有y1＝y2，
∴a+b+c＝4a+2b+c，
∴3a+b＝0，
∴＝﹣3．
∵对称轴为x＝﹣＝，
∴t＝．
（2）∵0＜x1＜1，1＜x2＜2，
∴，x1＜x2，
∵y1＜y2，a＞0，
∴（x1，y1）离对称轴更近，x1＜x2，则（x1，y1）与（x2，y2）的中点在对称轴的右侧，
∴＞t，
即t≤．
【点评】本题考查二次函数的性质，熟练掌握二次函数的对称性是解题关键．
x
…
…
y
…
…
x
…
…
y
…
…
x
…
﹣1
0
1
2
3
…
y
…
0
3
4
3
0
…
1．围棋起源于中国，古代称之为“弈”，至今已有4000多年的历史．一棋谱中四部分的截图由黑白棋子摆成的图案是中心对称的是（ ）
A．B．
C．D．
2．将一元二次方程x（x+1）＝3﹣x2化为一般形式为（ ）
A．2x2+x＝3B．2x2+x﹣3＝0
C．﹣2x2+x﹣3＝0D．2x2﹣x﹣3＝0
3．用配方法解方程x2﹣4x﹣1＝0时，配方后正确的是（ ）
A．（x+2）2＝3B．（x+2）2＝17C．（x﹣2）2＝5D．（x﹣2）2＝17
4．若关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣k＝0没有实数根，则k的取值范围是（ ）
A．k＞﹣1B．k≥﹣1C．k＜﹣1D．k≤﹣1
5．二次函数y＝2（x﹣3）2+1的图象的顶点坐标是（ ）
A．（2，3）B．（2，1）C．（3，﹣1）D．（3，1）
6．在平面直角坐标系中，点P（﹣1，﹣2）关于原点对称的点的坐标是（ ）
A．（1，﹣2）B．（﹣1，2）C．（1，2）D．（﹣2，﹣1）
7．把抛物线y＝x2向上平移3个单位，得到的抛物线是（ ）
A．y＝（x﹣3）2B．y＝（x+3）2C．y＝x2﹣3D．y＝x2+3
8．如图，C，D在⊙O上，AB是直径，∠D＝64°，则∠BAC＝（ ）
A．64°B．34°C．26°D．24°
9．我国古代著作《四元玉鉴》记载“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，遣人去买几株椽．每株脚钱三文足，无钱准与一株椽．”其大意为：现请人代买一批椽，这批株的价钱为6210文．如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱．根据题意可列方程3x（x﹣1）＝6210，其中x表示（ ）
A．剩余椽的数量B．这批椽的数量
C．剩余椽的运费D．每株椽的价钱
10．如图，在平面直角坐标系中，点A在y轴上，点B的坐标为（6，0），将△ABO绕着点B顺时针旋转60°，得到△DBC，则点C的坐标是（ ）
A．（3，3）B．（3，3）C．（6，3）D．（3，6）
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．若一元二次方程x2﹣ax﹣2＝0的一个根为x＝2，则a＝ ．
12．《算学宝鉴》中记载了我国南宋数学家杨辉提出的一个问题：“直田积八百六十四步，之云阔不及长一十二步，问阔及长各几步？”译文：“一个矩形田地的面积等于864平方步，且它的宽比长少12步，问长与宽各是多少步？”若设矩形田地的长为x步，则可列方程为 ．
13．飞机着陆后滑行的距离s（单位：m）关于滑行的时间t（单位：s）的函数解析式是s＝60t﹣1.5t2，飞机着陆后滑行 米才能停下来．
14．如图，一圆弧过方格的格点A、B、C，在方格中建立平面直角坐标系，使点A的坐标为（0，3），则该圆弧所在圆的圆心坐标是 ．
15．如图，在正方形ABCD中，将边BC绕点B逆时针旋转至BC'，连接CC'，DC'，若∠CC'D＝90°，AB＝5，则线段C′D的长度为 ．
三、解答题（本大题共8个小题，共75分）
16．用适当的方法解下列方程．
（1）x2﹣2x﹣15＝0；
（2）2x2+3x＝1；
（3）5（2x﹣1）2＝x（2x﹣1）．
17．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点C的坐标为（﹣4，1）．
（1）画出△A1B1C1，使得△A1B1C1与△ABC关于原点O对称，并写出C1的坐标；
（2）以O为旋转中心，将△ABC逆时针旋转90°得到△A2B2C2，画出△A2B2C2并写出C2的坐标．
18．已知二次函数的顶点坐标为（1，4），且图象经过点（2，3）．
（1）求这个二次函数的表达式；
（2）列表描点画出这个二次函数的图象．
19．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°．将△ABC绕点C逆时针旋转得到△A'B'C，在旋转过程中，当点B落在AB的中点处时，求∠A′的度数．
20．中秋节是我国传统的节日之一．在中秋节来临前夕，一名在校大学生抓住机会，利用“互联网+”自主创业，在某平台上销售一种月饼．平台市场信息显示，销售此种月饼，每天所获的利润y（元）与该月饼的售价x（元/盒）之间关系式是y＝﹣x2+100x﹣1600．
（1）当售价定为每盒40元时，每天所获得的利润是多少？
（2）当售价定为多少时，可使每天获得最大利润，最大利润是多少？
（3）该商品的进价是每盒多少元？【单位利润＝售价﹣进价】
21．类比探究题：
（1）【旧知复习】一次函数和方程（组）以及不等式之间有着密切的联系，通过一次函数图象可以求得一元一次方程的解，一元一次不等式的解集，二元一次方程组的解等，所含的数学思想是 ，如图1，直接写出方程kx+b＝0的解为 ；不等式kx+b＞0的解集为 ；如图2，写出二元一次方程组的解为 ，不等式k1x+b1≥k2x+b2的解集为 ；
（2）【类比应用】类比一次函数的学习，可以延伸到其他函数，通过图象解决方程及不等式的问题．
已知，如图3，函数y＝﹣x2﹣3x+4的图象与x轴的交点为A（﹣4，0），B（1，0），则方程﹣x2﹣3x+4＝0的解为 ；不等式﹣x2﹣3x+4＞0的解集为 ；
（3）【拓展拔高】如图4，函数y＝﹣x2﹣3x+4的图象与过（0，4）且平行于x轴的直线交于两点C（﹣3，4），D（0，4），根据图象求：
①方程﹣x2﹣3x+4＝4的解；
②不等式﹣x2﹣3x+4≤4的解集．
22．阅读材料，解答问题：
关于圆的引理
古希腊数学家、物理学家阿基米德流传于世的数学著作有10余种，下面是《阿基米德全集》的《引理集》中记载的一个命题：
如图1，AB是⊙O的弦，点C在⊙O上，CD⊥AB于点D，在弦AB上取点E，使DE＝AD，点F是上的一点，且，连接BF，则BF＝BE．
小颖对这个问题很感兴趣，经过思考，写出了下面的证明过程：
证明：如图2，连接CA，CE，CF，BC，
∵CD⊥AB于点D，DE＝AD，
∴CA＝CE．
∴∠CAE＝∠CEA．
∵，
∴CF＝CA（依据1），∠CBF＝∠CBA．
∵四边形ABFC内接于⊙O，
∴∠CAB+∠CFB＝180°．（依据2）
……
（1）上述证明过程中的依据1为 ，依据2为 ；
（2）将上述证明过程补充完整．
23．如图1，正方形ABCD的边长为5，点E为正方形CD边上一动点，过点B作BP⊥AE于点P，将AP绕点A逆时针旋转90°得AP′，连接P'D．
（1）证明：PB＝P'D．
（2）延长BP交P'D于点F．判断四边形AP'FP的形状，并说明理由；
（3）若DF＝1，求线段AP的长度
选做题．
24．在平面直角坐标系xOy中，M（x1，y1），N（x2，y2）是抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）上任意两点，设抛物线的对称轴为x＝t．
（1）若对于x1＝1，x2＝2，有y1＝y2，求t的值；
（2）若对于0＜x1＜1，1＜x2＜2，都有y1＜y2，求t的取值范围．
参考答案
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．围棋起源于中国，古代称之为“弈”，至今已有4000多年的历史．一棋谱中四部分的截图由黑白棋子摆成的图案是中心对称的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，根据中心对称图形的概念求解．
解：选项A能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以是中心对称图形；
选项B、C、D不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形；
故选：A．
【点评】此题主要考查了中心对称图形定义，关键是找出对称中心．
2．将一元二次方程x（x+1）＝3﹣x2化为一般形式为（ ）
A．2x2+x＝3B．2x2+x﹣3＝0
C．﹣2x2+x﹣3＝0D．2x2﹣x﹣3＝0
【分析】首先去括号，移项，合并同类项，把右边化为0，变为一般式即可．
解：x（x+1）＝3﹣x2，
x2+x＝3﹣x2，
2x2+x﹣3＝0．
故选：B．
【点评】此题主要考查了一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c＝0（a，b，c是常数且a≠0）特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．
3．用配方法解方程x2﹣4x﹣1＝0时，配方后正确的是（ ）
A．（x+2）2＝3B．（x+2）2＝17C．（x﹣2）2＝5D．（x﹣2）2＝17
【分析】先把﹣1移到方程的右边，然后方程两边都加4，再把左边根据完全平方公式写成完全平方的形式即可．
解：∵x2﹣4x﹣1＝0，
∴x2﹣4x＝1，
∴x2﹣4x+4＝1+4，
∴（x﹣2）2＝5．
故选：C．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣配方法：将一元二次方程配成（x+m）2＝n（n≥0）的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法．
4．若关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣k＝0没有实数根，则k的取值范围是（ ）
A．k＞﹣1B．k≥﹣1C．k＜﹣1D．k≤﹣1
【分析】由关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣k＝0没有实数根，根据△的意义得到Δ＜0，即（﹣2）2﹣4×1×（﹣k）＜0，然后解不等式即可得到k的取值范围．
解：∵关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣k＝0没有实数根，
∴Δ＜0，即（﹣2）2﹣4×1×（﹣k）＜0，解得k＜﹣1，
∴k的取值范围是k＜﹣1．
故选：C．
【点评】本题考查了一元二次方ax2+bx+c＝0（a≠0）的根的判别式Δ＝b2﹣4ac：当Δ＞0，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0，方程没有实数根．
5．二次函数y＝2（x﹣3）2+1的图象的顶点坐标是（ ）
A．（2，3）B．（2，1）C．（3，﹣1）D．（3，1）
【分析】二次函数y＝a（x﹣h）2+k（a≠0）的顶点坐标是（h，k）．
解：根据二次函数的顶点式方程y＝2（x﹣3）2+1知，该抛物线的顶点坐标：（3，1）．
故选：D．
【点评】本题考查了二次函数的性质和二次函数的三种形式．解答该题时，需熟悉二次函数的顶点式方程y＝a（x﹣h）2+k中的h、k所表示的意义．
6．在平面直角坐标系中，点P（﹣1，﹣2）关于原点对称的点的坐标是（ ）
A．（1，﹣2）B．（﹣1，2）C．（1，2）D．（﹣2，﹣1）
【分析】根据平面直角坐标系中任意一点P（x，y），关于原点的对称点是（﹣x，﹣y），然后直接作答即可．
解：根据中心对称的性质，可知：点P（﹣1，﹣2）关于原点O中心对称的点的坐标为（1，2）．
故选：C．
【点评】此题主要考查了关于原点对称的点的坐标特点，关键是掌握点的坐标的变化规律．
7．把抛物线y＝x2向上平移3个单位，得到的抛物线是（ ）
A．y＝（x﹣3）2B．y＝（x+3）2C．y＝x2﹣3D．y＝x2+3
【分析】根据“左加右减，上加下减”的法则进行解答即可．
解：把抛物线y＝x2向上平移3个单位，得到的抛物线是y＝x2+3．
故选：D．
【点评】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知二次函数图象平移的法则是解答此题的关键．
8．如图，C，D在⊙O上，AB是直径，∠D＝64°，则∠BAC＝（ ）
A．64°B．34°C．26°D．24°
【分析】连接BC，先利用同弧所对的圆周角相等求出∠B，再根据直径所对的圆周角是直角求出∠ACB＝90°，最后利用直角三角形两锐角互余进行计算即可解答．
解：连接BC，
∵∠D＝64°，
∴∠D＝∠B＝64°，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠BAC＝90°﹣∠B＝26°，
故选：C．
【点评】本题考查了圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．
9．我国古代著作《四元玉鉴》记载“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，遣人去买几株椽．每株脚钱三文足，无钱准与一株椽．”其大意为：现请人代买一批椽，这批株的价钱为6210文．如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱．根据题意可列方程3x（x﹣1）＝6210，其中x表示（ ）
A．剩余椽的数量B．这批椽的数量
C．剩余椽的运费D．每株椽的价钱
【分析】由每株椽的运费及“少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱”，结合所列方程，即可找出x表示这批椽的数量．
解：∵每株椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，
∴所列方程中的x表示这批椽的数量，3（x﹣1）表示一株椽的价钱，所用的等量关系为单价×数量＝总价．
故选：B．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，根据所列方程所用的等量关系，找出未知数x的含义是解题的关键．
10．如图，在平面直角坐标系中，点A在y轴上，点B的坐标为（6，0），将△ABO绕着点B顺时针旋转60°，得到△DBC，则点C的坐标是（ ）
A．（3，3）B．（3，3）C．（6，3）D．（3，6）
【分析】作CM⊥x轴于M，再利用旋转的性质求出BC＝OB＝6，根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半求出BM，利用勾股定理列式求出CM，然后求出点C的横坐标，再写出点C的坐标即可．
解：作CM⊥x轴于M，
∵点B的坐标为（6，0），
∴BC＝OB＝6，
∵∠OBC＝60°，
∴BM＝，CM＝＝3，
∴OM＝OB﹣BM＝6﹣3＝3，
∴C（3，3）．
故选：B．
【点评】本题考查了坐标与图形变化﹣旋转，解直角三角形，求出OM、CM的长度是解题的关键．
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．若一元二次方程x2﹣ax﹣2＝0的一个根为x＝2，则a＝ 1 ．
【分析】把x＝2代入方程得出4﹣2a﹣2＝0，再求出方程的解即可．
解：∵一元二次方程x2﹣ax﹣2＝0的一个根为x＝2，
∴4﹣2a﹣2＝0，
解得a＝1，
故答案为：1．
【点评】本题考查了解一元二次方程，一元二次方程的解和解一元一次方程等知识点，能熟记一元二次方程的解的定义是解此题的关键．
12．《算学宝鉴》中记载了我国南宋数学家杨辉提出的一个问题：“直田积八百六十四步，之云阔不及长一十二步，问阔及长各几步？”译文：“一个矩形田地的面积等于864平方步，且它的宽比长少12步，问长与宽各是多少步？”若设矩形田地的长为x步，则可列方程为 x（x﹣12）＝864 ．
【分析】如果设矩形田地的长为x步，那么宽就应该是（x﹣12）步，根据面积为864，即可得出方程．
解：设矩形田地的长为x步，那么宽就应该是（x﹣12）步．
根据矩形面积＝长×宽，得：x（x﹣12）＝864．
故答案为：x（x﹣12）＝864．
【点评】本题为面积问题，考查了由实际问题抽象出一元二次方程，掌握好面积公式即可进行正确解答；矩形面积＝矩形的长×矩形的宽．
13．飞机着陆后滑行的距离s（单位：m）关于滑行的时间t（单位：s）的函数解析式是s＝60t﹣1.5t2，飞机着陆后滑行 600 米才能停下来．
【分析】将函数解析式配方成顶点式求出s的最大值即可得．
解：∵s＝﹣t2+60t＝﹣（t﹣20）2+600，
∴当t＝20时，s取得最大值600，即飞机着陆后滑行600米才能停下来，
故答案为：600．
【点评】本题主要考查二次函数的应用，理解题意得出飞机滑行的距离即为s的最大值是解题的关键．
14．如图，一圆弧过方格的格点A、B、C，在方格中建立平面直角坐标系，使点A的坐标为（0，3），则该圆弧所在圆的圆心坐标是 （1，0） ．
【分析】由题意建立直角坐标系，由垂径定理得到该圆弧所在圆的圆心是弦AC、AB的垂直平分线的交点，于是得到该圆弧所在圆的圆心坐标．∴
解：由题意建立直角坐标系，如图，
∵该圆弧所在圆的圆心是弦AC、AB的垂直平分线的交点O′，
∴该圆弧所在圆的圆心坐标是（1，0）．
故答案为：（1，0）．
【点评】本题考查坐标与图形的性质，垂径定理，关键是由垂径定理得到该圆弧所在圆的圆心是弦AC、AB的垂直平分线的交点．
15．如图，在正方形ABCD中，将边BC绕点B逆时针旋转至BC'，连接CC'，DC'，若∠CC'D＝90°，AB＝5，则线段C′D的长度为 ．
【分析】过点B作BE⊥CC'于点E，证明△BCE≌△CDC'（AAS），由全等三角形的性质得出CE＝C'D，由旋转的性质及等腰三角形的性质求出CE＝C'E＝C'D，由勾股定理可得出答案．
解：过点B作BE⊥CC'于点E，
∵四边形ABCD是正方形，
∴BC＝CD，∠BCD＝90°，
∴∠BCE+∠C'CD＝90°，
∵∠BCE+∠CBE＝90°，
∴∠C'CD＝∠CBE，
又∵∠BEC＝∠CC'D，
在△BCE和△CDC'中，
，
∴△BCE≌△CDC'（AAS），
∴CE＝C'D，
∵将边BC绕点B逆时针旋转至BC'，
∴BC＝BC'＝CD＝5，
又∵BE⊥CC'，
∴CE＝C'E＝C'D，
∵C'D2+C'C2＝CD2，
∴5C'D2＝25，
∴C'D＝（负值舍去），
故答案为：．
【点评】本题考查了正方形的性质，等腰三角形的性质，旋转的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，熟练掌握正方形的性质是解题的关键．
三、解答题（本大题共8个小题，共75分）
16．用适当的方法解下列方程．
（1）x2﹣2x﹣15＝0；
（2）2x2+3x＝1；
（3）5（2x﹣1）2＝x（2x﹣1）．
【分析】（1）方程利用配方法求出解即可；
（2）方程利用公式法求出解即可；
（3）方程利用因式分解法求出解即可．
解：（1）x2﹣2x﹣15＝0，
∴x2﹣2x＝15，
∴x2﹣2x+1＝15+1，即（x﹣1）2＝16，
∴x﹣1＝±4，
∴x1＝5，x2＝﹣3；
（2）2x2+3x＝1，
整理得：2x2+3x﹣1＝0，
∵Δ＝32﹣4×2×（﹣1）＝9+8＝17＞0，
∴，
∴，；
（3）5（2x﹣1）2＝x（2x﹣1），
∴5（2x﹣1）2﹣x（2x﹣1）＝0，
∴（2x﹣1）[5（2x﹣1）﹣x]＝0，
∴（2x﹣1）（9x﹣5）＝0，
∴2x﹣1＝0或9x﹣5＝0，
∴，．
【点评】本题考查了一元二次方程的解法，常用的方法有直接开平方法、配方法、因式分解法、求根公式法，熟练掌握各种方法是解答本题的关键．
17．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点C的坐标为（﹣4，1）．
（1）画出△A1B1C1，使得△A1B1C1与△ABC关于原点O对称，并写出C1的坐标；
（2）以O为旋转中心，将△ABC逆时针旋转90°得到△A2B2C2，画出△A2B2C2并写出C2的坐标．
【分析】（1）根据中心对称的性质找到A，B，C的对称点A1，B1，C1，顺次连接得到△A1B1C1，根据坐标系写出点的坐标即可求解；
（2）根据中心对称的性质找到A，B，C的旋转后的点A2，B2，C2，顺次连接得到△A2B2C2，根据坐标系写出点的坐标即可求解．
解：（1）如图，△A1B1C1即为所求．
C1（4，﹣1）；
（2）如图，△A2B2C2即为所求．
C2（﹣1，﹣4）．
【点评】本题考查了旋转作图，画中心对称图形，写出点的坐标，熟练掌握旋转的性质，中心对称的性质是解题的关键．
18．已知二次函数的顶点坐标为（1，4），且图象经过点（2，3）．
（1）求这个二次函数的表达式；
（2）列表描点画出这个二次函数的图象．
【分析】（1）由待定系数法即可求解；
（2）取点描点绘制函数图象即可．
解：（1）由题意得，函数的表达式为：y＝a（x﹣1）2+4，
将（2，3）代入上式得：3＝a（2﹣1）2+4，
解得：a＝﹣1，
故抛物线的表达式为：y＝﹣（x﹣1）2+4；
（2）取点如下：
描点绘制函数图象如下：
【点评】本题考查的是用待定系数法求函数表达式，题目难度不大．
19．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°．将△ABC绕点C逆时针旋转得到△A'B'C，在旋转过程中，当点B落在AB的中点处时，求∠A′的度数．
【分析】利用旋转的性质结合直角三角形的性质得出△CBB′是等边三角形，进而得出答案．
解：将△ABC绕点C逆时针旋转得到△A'B'C，
∴CB＝CB′，∠A＝∠A′，
∵点B′可以恰好落在AB的中点处，
∴点B′是AB的中点．
∵∠ACB＝90°，
∴CB′＝AB＝BB′，
∴CB＝CB′＝BB′，
即△CBB′是等边三角形．
∴∠B＝60°．
∵∠ACB＝90°，
∴∠A＝∠A′＝30°．
【点评】本题主要考查旋转的性质以及等边三角形的判定等知识，正确掌握直角三角形的性质是解答本题关键．
20．中秋节是我国传统的节日之一．在中秋节来临前夕，一名在校大学生抓住机会，利用“互联网+”自主创业，在某平台上销售一种月饼．平台市场信息显示，销售此种月饼，每天所获的利润y（元）与该月饼的售价x（元/盒）之间关系式是y＝﹣x2+100x﹣1600．
（1）当售价定为每盒40元时，每天所获得的利润是多少？
（2）当售价定为多少时，可使每天获得最大利润，最大利润是多少？
（3）该商品的进价是每盒多少元？【单位利润＝售价﹣进价】
【分析】（1）把 x＝40 代入y＝﹣x2+100x﹣1600求出y值即可；
（2）y＝﹣x2+100x﹣1600＝﹣（x2﹣100x+502﹣2500）﹣1600＝﹣（x﹣50）2+900，再根据二次函数性质可得答案；
（3）在y＝﹣x2+100x﹣1600中，令y＝0求出x的值并检验可得答案．
解：（1）把 x＝40 代入y＝﹣x2+100x﹣1600得：
y＝﹣1600+4000﹣1600＝800，
∴当售价定为每盒40元时，每天所获得的利润是800元；
（2）∵y＝﹣x2+100x﹣1600＝﹣（x2﹣100x+502﹣2500）﹣1600＝﹣（x﹣50）2+900，且﹣1＜0，
∴当x＝50 时，y取最大值900，
∴当售价定为每盒50元时，每天所获得的利润最大，最大利润是900元；
（3）在y＝﹣x2+100x﹣1600中，令y＝0得﹣x2+100x﹣1600＝0，
解得 x＝20或x2＝80（不符合题意，舍去），
∴该商品的进价是每盒20元．
【点评】本题考查二次函数的应用，解题的关键是读懂题意，能灵活应用二次函数性质．
21．类比探究题：
（1）【旧知复习】一次函数和方程（组）以及不等式之间有着密切的联系，通过一次函数图象可以求得一元一次方程的解，一元一次不等式的解集，二元一次方程组的解等，所含的数学思想是 函数思想 ，如图1，直接写出方程kx+b＝0的解为 x＝2 ；不等式kx+b＞0的解集为 x＞2 ；如图2，写出二元一次方程组的解为 ，不等式k1x+b1≥k2x+b2的解集为 x≤2 ；
（2）【类比应用】类比一次函数的学习，可以延伸到其他函数，通过图象解决方程及不等式的问题．
已知，如图3，函数y＝﹣x2﹣3x+4的图象与x轴的交点为A（﹣4，0），B（1，0），则方程﹣x2﹣3x+4＝0的解为 x＝﹣4或1 ；不等式﹣x2﹣3x+4＞0的解集为 ﹣4＜x＜1 ；
（3）【拓展拔高】如图4，函数y＝﹣x2﹣3x+4的图象与过（0，4）且平行于x轴的直线交于两点C（﹣3，4），D（0，4），根据图象求：
①方程﹣x2﹣3x+4＝4的解；
②不等式﹣x2﹣3x+4≤4的解集．
【分析】（1）利用函数思想，观察函数图象即可求解；
（2）利用函数思想，将等式或不等式理解为交点问题，再观察函数图象即可求解；
（3）利用函数思想，将等式或不等式理解为图象交点和函数的关系，即可求解；
解：（1）一次函数和方程（组）以及不等式之间有着密切的联系，通过一次函数图象可以求得一元一次方程的解，一元一次不等式的解集，二元一次方程组的解等，所含的数学思想是函数思想，方程kx+b＝0的解为：x＝2；不等式kx+b＞0的解集为 x＞2；二元一次方程组的解为 ，不等式k1x+b1≥k2x+b2的解集为：x≤2，
故答案为：函数思想，x＝2；x＞2； ，x≤2；
（2）从函数图象看，方程﹣x2﹣3x+4＝0的解为 x＝﹣4或1，不等式﹣x2﹣3x+4＞0的解集为：﹣4＜x＜1；
故答案为：x＝﹣4或1，﹣4＜x＜1；
（3）从函数图象看，①方程﹣x2﹣3x+4＝4的解为：x＝﹣3或0；
②不等式﹣x2﹣3x+4≤4的解集为：x≥0或x≤﹣3．
【点评】本题为二次函数综合题，涉及到一元二次不等式（组）、解方程（组）等，运用函数思想是解题的关键．
22．阅读材料，解答问题：
关于圆的引理
古希腊数学家、物理学家阿基米德流传于世的数学著作有10余种，下面是《阿基米德全集》的《引理集》中记载的一个命题：
如图1，AB是⊙O的弦，点C在⊙O上，CD⊥AB于点D，在弦AB上取点E，使DE＝AD，点F是上的一点，且，连接BF，则BF＝BE．
小颖对这个问题很感兴趣，经过思考，写出了下面的证明过程：
证明：如图2，连接CA，CE，CF，BC，
∵CD⊥AB于点D，DE＝AD，
∴CA＝CE．
∴∠CAE＝∠CEA．
∵，
∴CF＝CA（依据1），∠CBF＝∠CBA．
∵四边形ABFC内接于⊙O，
∴∠CAB+∠CFB＝180°．（依据2）
……
（1）上述证明过程中的依据1为 在同圆中相等的弧所对的弦相等 ，依据2为 圆内接四边形的对角互补 ；
（2）将上述证明过程补充完整．
【分析】（1）利用等腰三角形的判定和圆内接四边形的性质解答即可；
（2）在原题的基础上利用全等三角形的判定与性质解答即可得出结论．
【解答】（1）解：上述证明过程中的依据1为在同圆中相等的弧所对的弦相等，依据2为圆内接四边形的对角互补．
故答案为：在同圆中相等的弧所对的弦相等，圆内接四边形的对角互补；
（2）证明：如图2，连接CA，CE，CF，BC，
∵CD⊥AB于点D，DE＝AD，
∴CA＝CE．
∴∠CAB＝∠CEA．
∵，
∴CF＝CA，
∴∠CBF＝∠CBA．
∵四边形ABFC内接于⊙O，
∴∠CAB+∠CFB＝180°，
∵∠CEA+∠CEB＝180°，
∴∠CFB＝∠CEB，
在△CFB和△CEB中，
，
∴△CFB≌△CEB（AAS），
∴BF＝BE．
【点评】本题考查了圆内接四边形的性质、圆心角、弦、弧之间的关系定理、三角形全等的判定和性质以及线段垂直平分线的判定和性质，解题的关键是熟练掌握相关的判定和性质．
23．如图1，正方形ABCD的边长为5，点E为正方形CD边上一动点，过点B作BP⊥AE于点P，将AP绕点A逆时针旋转90°得AP′，连接P'D．
（1）证明：PB＝P'D．
（2）延长BP交P'D于点F．判断四边形AP'FP的形状，并说明理由；
（3）若DF＝1，求线段AP的长度
【分析】（1）由旋转的性质证明△ABP≌△ADP'，即可得出答案；
（2）先证明四边形AP'FP是矩形，根据邻边相等的矩形是正方形即可证明；
（3）设正方形AP'FP边长为x，在Rt△AP'D中用勾股定理即可求解．
【解答】（1）证明：由题意和旋转的性质可得：AP＝AP'，∠PAP'＝90°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD，∠BAD＝90°，
∴∠BAD＝∠PAP'＝90°，
∴∠BAD﹣∠DAP＝∠PAP'﹣∠DAP，即：∠BAP＝∠DAP'，
∵AP＝AP′，∠BAP＝∠DAP′，AD＝AB，
∴△ABP≌△ADP'（SAS），
∴PB＝P'D；
（2）解：四边形AP'FP是正方形，理由如下：
由（1）得：△ABP≌△ADP'，且BP⊥AE，
∴∠APF＝∠APB＝∠AP'D＝90°，
∴∠PAP'＝∠APF＝∠AP'D＝90°，
∴四边形AP'FP是矩形，
∵AP＝AP'，
∴四边形AP'FP是正方形；
（3）解：在正方形ABCD中，AB＝AD＝BC＝5，
在正方形AP'FP中，设AP＝AP'＝P'F＝x，
∵DF＝1，则P'D＝（x+1），
在Rt△AP'D中，∠AP'D＝90°，AP'2+P'D2＝AD2，
即：x2+（x+1）2＝52，
解得：x1＝﹣4（不符合题意，舍去），x2＝3，
∴x＝3，
∴AP＝AP′＝3，
故答案为：3．
【点评】本题主要考查全等三角形的判定、正方形的判定及性质、以及勾股定理的运用，旋转的性质，熟练掌握全等三角形的判定、正方形的判定方法是解题的关键，设所求线段为未知数，用勾股定理建立等量关系进行求解．
选做题．
24．在平面直角坐标系xOy中，M（x1，y1），N（x2，y2）是抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）上任意两点，设抛物线的对称轴为x＝t．
（1）若对于x1＝1，x2＝2，有y1＝y2，求t的值；
（2）若对于0＜x1＜1，1＜x2＜2，都有y1＜y2，求t的取值范围．
【分析】（1）根据二次函数的性质求得对称轴即可，
（2）根据题意判断出离对称轴更近的点，从而得出（x1，y1）与（x2，y2）的中点在对称轴的右侧，再根据对称性即可解答．
解：（1）∵对于x1＝1，x2＝2，有y1＝y2，
∴a+b+c＝4a+2b+c，
∴3a+b＝0，
∴＝﹣3．
∵对称轴为x＝﹣＝，
∴t＝．
（2）∵0＜x1＜1，1＜x2＜2，
∴，x1＜x2，
∵y1＜y2，a＞0，
∴（x1，y1）离对称轴更近，x1＜x2，则（x1，y1）与（x2，y2）的中点在对称轴的右侧，
∴＞t，
即t≤．
【点评】本题考查二次函数的性质，熟练掌握二次函数的对称性是解题关键．
x
…
…
y
…
…
x
…
…
y
…
…
x
…
﹣1
0
1
2
3
…
y
…
0
3
4
3
0
…
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