2023届高三寒假数学二轮微专题45讲 44.条件概率

条件概率及其应用

条件概率在新教材的地位当然是大大提升，一方面是其重要的应用价值，毕竟，现实生活中很多事件都是相互影响的，另一方面则是它为引出全概率公式做了铺垫. 所以，在新教材与新高考中，我们务必重视条件概率的研究与应用，本节将对其常见应用做全面的介绍，也是为下一节引出全概率公式做铺垫.

一．基本原理（公众号：凌晨讲数学）

1.定义

一般地，设为两个随机事件，且，我们称为在事件发生的条件下，事件发生的条件概率，简称条件概率．

可以看到，的计算，亦可理解为在样本空间中，计算的概率. 于是就得到计算条件概率的第二种途，即

特别地，当时，即相互独立，则.

2．条件概率的性质

设，全样本空间定义为，则

（1）；

（2）如果与是两个互斥事件，则；

（3）设事件和互为对立事件，则．

二．典例分析

例1. 银行储存卡的密码由6位数字组成.某人在银行自助取款机上取钱时，忘记了密码的最后1位数字，求：

（1）任意按最后1位数字，不超过2次就按对的概率；

（2）如果记得密码的最后1位是偶数，不超过2次就按对的概率.

解析：（1）设“第次按对密码”（）,那么满足题意的情形有，故：

（2）设“最后1位密码是偶数”，则

例2.两台机床加工同一种机械零件如表：从这100个零件中任取一个零件，取得的零件是甲机床加工的合格品的概率是_______.

解析：记“在100个零件中任取一件是甲机床加工的零件”为事件，记“从100个零件中任取一件取得合格品”为事件．则.

上面两道例题均是关于条件概率较为简单的应用，下面我们来看这样一道问题，它说明了不放回式抽签的公平性，更重要的是，它给出了下一节的核心：全概率公式.

例3.从有个红球和个蓝球的袋子里，每次随机摸出一个球，摸出后不放回，试证明：第一次摸出红球后，第二次摸出红球的概率与第一次相同.（公众号：凌晨讲数学）

证明：显然，第一次摸出红球的概率为.用表示事件“第次摸到红球”，用表示事件“第次摸到蓝球”，.那么，，且与互斥，故可得：

.综上，表明不放回抽签与先后顺序无关.

点评：上述结论的证明过程不是显然的，通过条件概率，我们很好地给出了证明，再次说明条件概率的应用价值，毕竟，我们现实情境中很多事件之间是相互影响的.

例4.（2022新高考1卷）一医疗团队为研究某地的一种地方性疾病与当地居民的卫生习惯（卫生习惯分为良好和不够良好两类）的关系，在已患该疾病的病例中随机调查了100例（称为病例组），同时在未患该疾病的人群中随机调査了100人（称为对照组），得到如下数据：

（1）能否有99%的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异？

（2）从该地的人群中任选一人，表示事件“选到的人卫生习惯不够良好”，表示事件“选到的人患有该疾病”，与的比值是卫生习惯不够良好对患该疾病风险程度的一项度量指标，记该指标为．

（i）证明：；

（ii）利用该调査数据，给出的估计值，并利用（i）的结果给出的估计值．

附：，

解析：（1）假设患该疾病群体与未患疾病群体的卫生习惯没有差异，

则，

所以有99%的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异；

（2）（i）

          ，得证.

（ii）由调查数据可知，，

则，，所以．

注：此题第二问的证明和计算纯粹考察条件概率公式及其性质，第三问的计算则考察条件概率的计算，找到条件的相应事件的样本空间即可轻松计算.（公众号：凌晨讲数学）

三．习题演练

习题1．设袋中有5个黄球，3个红球，2个绿球，试按：

（1）有放回摸球三次，每次摸一球，求第三次才摸到绿球的概率；

（2）不放回摸球三次，每次摸一球，求第三次才摸到绿球的概率．

习题2．甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙罐中有4个红球，3个白球和3个黑球．先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以和表示由甲罐取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙罐中随机取出一球，以表示由乙罐取出的球是红球的事件，则下列结论中正确的是________（写出所有正确结论的编号）．

①；                           ②；

③事件与事件相互独立；             ④是两两互斥的事件；

⑤的值不能确定，因为它与中哪一个发生有关

习题1.解析：（1）设，，，则事件“第三次才摸到绿球”可表示为ABC．有放回时，，，，则．

（2）不放回时，，，，

则

习题2. 解析：由题意可知事件不可能同时发生，则是两两互斥的事件，则④正确；由题意得，故②正确；

，①⑤错；因为，

所以事件与事件不独立，③错；综上选②④，故答案为：②④.