2023高考数学二轮真题与模拟训练26讲 专题26 计数原理与概率统计解析

专题26 计数原理与概率统计

第一部分 真题分类

1．（2021·天津高考真题）甲、乙两人在每次猜谜活动中各猜一个谜语，若一方猜对且另一方猜错，则猜对的一方获胜，否则本次平局，已知每次活动中，甲、乙猜对的概率分别为和，且每次活动中甲、乙猜对与否互不影响，各次活动也互不影响，则一次活动中，甲获胜的概率为____________，3次活动中，甲至少获胜2次的概率为______________．

【答案】       

【解析】由题可得一次活动中，甲获胜的概率为；

则在3次活动中，甲至少获胜2次的概率为.

故答案为：；.

2．（2021·江苏高考真题）下图是某项工程的网络图(单位:天)，则从开始节点①到终止节点⑧的路径共有（     ）

A．14条 B．12条 C．9条 D．7条

【答案】B

【解析】由图可知，由①④有3条路径，由④⑥有2条路径，由⑥⑧有2条路径，根据分步乘法计算原理可得从①⑧共有条路径.

故选：B

3．（2021·江苏高考真题）已知的展开式中的系数为40，则等于（    ）

A．5 B．6 C．7 D．8

【答案】A

【解析】，所以.

故选：A.

4．（2021·天津高考真题）从某网络平台推荐的影视作品中抽取部，统计其评分分数据，将所得个评分数据分为组：、、、，并整理得到如下的费率分布直方图，则评分在区间内的影视作品数量是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】由频率分布直方图可知，评分在区间内的影视作品数量为.

故选：D.

5．（2020·天津高考真题）从一批零件中抽取80个，测量其直径（单位：），将所得数据分为9组：，并整理得到如下频率分布直方图，则在被抽取的零件中，直径落在区间内的个数为（    ）

A．10 B．18 C．20 D．36

【答案】B

【解析】根据直方图，直径落在区间之间的零件频率为：，

则区间内零件的个数为：.

故选：B.

6．（2020·北京高考真题）在的展开式中，的系数为（    ）．

A． B．5 C． D．10

【答案】C

【解析】展开式的通项公式为：，

令可得：，则的系数为：.

故选：C.

7．（2020·海南高考真题）我国新冠肺炎疫情进入常态化，各地有序推进复工复产，下面是某地连续11天复工复产指数折线图，下列说法正确的是

A．这11天复工指数和复产指数均逐日增加;

B．这11天期间，复产指数增量大于复工指数的增量;

C．第3天至第11天复工复产指数均超过80%;

D．第9天至第11天复产指数增量大于复工指数的增量;

【答案】CD

【解析】由图可知，第1天到第2天复工指数减少，第7天到第8天复工指数减少，第10天到第11复工指数减少，第8天到第9天复产指数减少，故A错误；

由图可知，第一天的复产指标与复工指标的差大于第11天的复产指标与复工指标的差，所以这11天期间，复产指数增量小于复工指数的增量，故B错误;

由图可知，第3天至第11天复工复产指数均超过80%，故C正确;

由图可知，第9天至第11天复产指数增量大于复工指数的增量，故D正确;

8．（2021·江苏高考真题）已知关于的二次函数.

（1）若，，求事件在上是增函数}的概率;

（2）若，，求事件“方程没有实数根”的概率.

【答案】（1）；（2）.

【解析】（1）根据题意有：，且对称轴．

基本事件总数为，

满足事件的事件数为，，，，共有5个，

（A）；

（2）方程无实根，则，

，

又，，，，，

如图，

．

9．（2021·全国高考真题）一种微生物群体可以经过自身繁殖不断生存下来，设一个这种微生物为第0代，经过一次繁殖后为第1代，再经过一次繁殖后为第2代……，该微生物每代繁殖的个数是相互独立的且有相同的分布列，设X表示1个微生物个体繁殖下一代的个数，．

（1）已知，求；

（2）设p表示该种微生物经过多代繁殖后临近灭绝的概率，p是关于x的方程：的一个最小正实根，求证：当时，，当时，；

（3）根据你的理解说明（2）问结论的实际含义．

【答案】（1）1；（2）见解析；（3）见解析.

【解析】（1）.

（2）设，

因为，故，

若，则，故.

，

因为，，

故有两个不同零点，且，

且时，；时，；

故在，上为增函数，在上为减函数，

若，因为在为增函数且，

而当时，因为在上为减函数，故，

故为的一个最小正实根，

若，因为且在上为减函数，故1为的一个最小正实根，

综上，若，则.

若，则，故.

此时，，

故有两个不同零点，且，

且时，；时，；

故在，上为增函数，在上为减函数，

而，故，

又，故在存在一个零点，且.

所以为的一个最小正实根，此时，

故当时，.

（3）意义：每一个该种微生物繁殖后代的平均数不超过1，则若干代必然灭绝，若繁殖后代的平均数超过1，则若干代后被灭绝的概率小于1.

10．（2020·海南高考真题）为加强环境保护，治理空气污染，环境监测部门对某市空气质量进行调研，随机抽查了天空气中的和浓度（单位：），得下表：

（1）估计事件“该市一天空气中浓度不超过，且浓度不超过”的概率；

（2）根据所给数据，完成下面的列联表：

（3）根据（2）中的列联表，判断是否有的把握认为该市一天空气中浓度与浓度有关？

附：，

【答案】（1）；（2）答案见解析；（3）有.

【解析】（1）由表格可知，该市100天中，空气中的浓度不超过75，且浓度不超过150的天数有天，

所以该市一天中，空气中的浓度不超过75，且浓度不超过150的概率为；

（2）由所给数据，可得列联表为：

（3）根据列联表中的数据可得

，

因为根据临界值表可知，有的把握认为该市一天空气中浓度与浓度有关.

第二部分 模拟训练

1．三国时代吴国数学家赵爽所注《周髀算经》中给出了勾股定理的绝妙证明，下面是赵爽的弦图及注文，弦图是一个以勾股形之弦为边的正方形，其面积称为弦实，图中包含四个全等的勾股形及一个小正方形，分别涂成红（朱）色及黄色，其面积称为朱实、黄实，利用2勾股+（股-勾）=4朱实+黄实=弦实，化简，得勾+股=弦，设勾股中勾股比为，若向弦图内随机抛掷1000颗图钉（大小忽略不计），则落在红（朱）色图形内的图钉数大约为（    ）（参考数据：）

A．866 B．500 C．300 D．134

【答案】A

【解析】不妨设勾长，股长，

则朱色面积为，

大正方形的边长为，面积为，

所以落在红（朱）色图形内的图钉数大约为.

故选：A

2．琵琶、二胡、编钟、箫、笛、瑟、琴、埙、笙和鼓这十种民族乐器被称为“中国古代十大乐器”.为弘扬中国传统文化，某校以这十种乐器为题材，在周末学生兴趣活动中开展了“中国古代乐器”知识讲座，共连续安排四节课，一节课只讲一种乐器，一种乐器最多安排一节课，则琵琶、二胡一定安排，且这两种乐器互不相邻的概率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】由题意得：10种乐器种任选4种，故总的可能性有种，

琵琶、二胡一定安排且不相邻的可能性有种，

所以两种乐器互不相邻的概率.

故选：C

3．造纸术､印刷术､指南针､火药被称为中国古代四大发明，这四种发明对中国古代的政治､经济､文化的发展产生了巨大的推动作用；2017年5月，来自“一带一路”沿线的20国青年评选出了“中国的新四大发明”：高铁､扫码支付､共享单车和网购．若从这8个发明中任取两个发明，则两个都是新四大发明的概率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】从8个发明中任取两个发明共有种，

两个都是新四大发明的有种，

∴所求概率为，

故选：C

4．蟋蟀鸣叫可以说是大自然优美、和谐的音乐，殊不知蟋蟀鸣叫的频率x（每分钟鸣叫的次数）与气温y（单位：℃）存在着较强的线性相关关系．某地观测人员根据下表的观测数据，建立了y关于x的线性回归方程

则当蟋蟀每分钟鸣叫60次时，该地当时的气温预报值为（    ）

A．33℃ B．34℃ C．35℃ D．35.5℃

【答案】C

【解析】由题意，得，，则；

当时，.

故选：C.

5．将一线段AB分为两线段AC，CB，使得其中较长的一段AC是全长AB与另一段CB的比例中项，即满足＝＝≈0.618，后人把这个数称为黄金分割，把点C称为线段AB的黄金分割点．图中在中，若点P，Q为线段BC的两个黄金分割点，在内任取一点M，则点M落在内的概率为（    ）

A． B．－2

C． D．

【答案】B

【解析】由几何概型公式知，

所求概率为.

故选：B.

6．在新冠疫情的持续影响下，全国各地电影院等密闭式文娱场所停业近半年，电影行业面临巨大损失．2011～2020年上半年的票房走势如下图所示，则下列说法正确的是（     ）

A．自2011年以来，每年上半年的票房收入逐年增加

B．自2011年以来，每年上半年的票房收入增速为负的有5年

C．2018年上半年的票房收入增速最大

D．2020年上半年的票房收入增速最小

【答案】D

【解析】由图易知自2011年以来，每年上半年的票房收入相比前一年有增有减，增速为负的有3年，故A，B错误；

2017年上半年的票房收入增速最大，故C错误；

2020年上半年的票房收入增速最小，故D正确．

故选：D

7．某士特产超市为预估2021年元旦期间游客购买土特产的情况，对2020年元且期间的90位游客购买情况进行统计，得到如下人数分布表．

（1）根据以上数据完成列联表，并判断是否有95%的把握认为购买金额是否少于60元与性别有关．

（2）为吸引游客，该超市推出一种优惠方案，购买金额不少于60元可抽奖3次，每次中奖概率为P（每次抽奖互不影响，且P的值等于人数分布表中购买金额不少于60元的频率），中奖1次减5元，中奖2次减10元，中奖3次减15元若游客甲计划购买80元的土特产，请列出实际付款数X（元）的分布列并求其数学期望．

参考公式及数据：

，

附表：

【答案】（1）列联表见解析，有95%的把握认为购买金额是否少于60元与性别有关；（2）分布列见解析，.

【解析】（1）列联表如下：

，

因此有95%的把握认为购买金额是否少于60元与性别有关．

（2）X可能取值为65，70，75，80，且．

由题意知：

，，

，，

所以X的分布列为

.

8．一年一度的剁手狂欢节——“双十一”，使千万女性朋友们非常纠结.2020年双十一，淘宝点燃火炬瓜分2.5个亿，淘宝､京东､天猫等各大电商平台从10月20号就开始预订，进行了强大的销售攻势.天猫某知名服装经营店，在10月21号到10月27号一周内，每天销售预定服装的件数 (百件)与获得的纯利润(单位：百元)之间的一组数据关系如下表：

（1）若与具有线性相关关系，判断与是正相关还是负相关；

（2）试求与的线性回归方程；

（3）该服装经营店打算11月2号结束双十一预定活动，预计在结束活动之前，每天销售服装的件数 (百件)与获得的纯利润(单位：百元)之间的关系仍然服从（1）中的线性关系，若结束当天能销售服装14百件，估计这一天获得的纯利润与前一周的平均利润相差多少百元？(有关计算精确到小数点后两位)

参考公式与数据：，，..

【答案】（1）与是正相关；（2）；（3）结束当天获得的纯利润比前一周的平均利润多38.00百元.

【解析】解：（1）由题目中的数据表格可以看出，随着的增大而增大，

∴判断出与是正相关；

（2）由题设知，，

，

，

∴，

则，

∴线性回归直线方程为；

（3）由（1）知，当时，(百元)，

∴11月2号这天估计可获得的纯利润大约为117.86百元；

由（1）知，前一周的平均利润为(百元)，

故结束当天获得的纯利润比前一周的平均利润多38.00百元.