2023高考数学二轮真题与模拟训练26讲 专题23 抛物线解析

专题23 抛物线

第一部分 真题分类

1．（2021·全国高考真题）抛物线的焦点到直线的距离为，则（    ）

A．1 B．2 C． D．4

【答案】B

【解析】抛物线的焦点坐标为，

其到直线的距离：，

解得：(舍去).

故选：B.

2．（2020·北京高考真题）设抛物线的顶点为，焦点为，准线为．是抛物线上异于的一点，过作于，则线段的垂直平分线（    ）．

A．经过点 B．经过点

C．平行于直线 D．垂直于直线

【答案】B

【解析】如图所示：．

因为线段的垂直平分线上的点到的距离相等，又点在抛物线上，根据定义可知，，所以线段的垂直平分线经过点.

故选：B.

3．（2019·全国高考真题（文））若抛物线y2=2px（p>0）的焦点是椭圆的一个焦点，则p=

A．2 B．3

C．4 D．8

【答案】D

【解析】因为抛物线的焦点是椭圆的一个焦点，所以，解得，故选D．

4．（2021·北京高考真题）已知抛物线，焦点为，点为抛物线上的点，且，则的横坐标是_______；作轴于，则_______．

【答案】5       

【解析】因为抛物线的方程为，故且.

因为，，解得，故，

所以，

故答案为：5，.

5．（2021·全国高考真题（文））抛物线C的顶点为坐标原点O．焦点在x轴上，直线l：交C于P，Q两点，且．已知点，且与l相切．

（1）求C，的方程；

（2）设是C上的三个点，直线，均与相切．判断直线与的位置关系，并说明理由．

【答案】（1）抛物线，方程为；（2）相切，理由见解析

【解析】（1）依题意设抛物线，

，

所以抛物线的方程为，

与相切，所以半径为，

所以的方程为；

（2）设

若斜率不存在，则方程为或，

若方程为，根据对称性不妨设，

则过与圆相切的另一条直线方程为，

此时该直线与抛物线只有一个交点，即不存在，不合题意；

若方程为，根据对称性不妨设

则过与圆相切的直线为，

又，

，此时直线关于轴对称，

所以直线与圆相切；

若直线斜率均存在，

则，

所以直线方程为，

整理得，

同理直线的方程为，

直线的方程为，

与圆相切，

整理得，

与圆相切，同理

所以为方程的两根，

，

到直线的距离为：

，

所以直线与圆相切；

综上若直线与圆相切，则直线与圆相切.

6．（2021·浙江高考真题）如图，已知F是抛物线的焦点，M是抛物线的准线与x轴的交点，且，

（1）求抛物线的方程；

（2）设过点F的直线交抛物线与A､B两点，斜率为2的直线l与直线，x轴依次交于点P，Q，R，N，且，求直线l在x轴上截距的范围.

【答案】（1）；（2）.

【解析】（1）因为，故，故抛物线的方程为：.

（2）设，，，

所以直线，由题设可得且.

由可得，故，

因为，故，故.

又，由可得，

同理，

由可得，

所以，

整理得到，

故，

令，则且，

故，

故即，

解得或或.

故直线在轴上的截距的范围为或或.

7．（2020·浙江高考真题）如图，已知椭圆，抛物线，点A是椭圆与抛物线的交点，过点A的直线l交椭圆于点B，交抛物线于M（B，M不同于A）．

（Ⅰ）若，求抛物线的焦点坐标；

（Ⅱ）若存在不过原点的直线l使M为线段AB的中点，求p的最大值．

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）

【解析】（Ⅰ）当时，的方程为，故抛物线的焦点坐标为；

（Ⅱ）设，

由，

，

由在抛物线上，所以，

又，

，，

.

由即

，

所以，，，

所以，的最大值为，此时.

法2：设直线，.

将直线的方程代入椭圆得：，

所以点的纵坐标为.

将直线的方程代入抛物线得：，

所以，解得，因此，

由解得，

所以当时，取到最大值为.

8．（2019·北京高考真题（理））已知抛物线C：x2=−2py经过点（2，−1）．

（Ⅰ）求抛物线C的方程及其准线方程；

（Ⅱ）设O为原点，过抛物线C的焦点作斜率不为0的直线l交抛物线C于两点M，N，直线y=−1分别交直线OM，ON于点A和点B.求证：以AB为直径的圆经过y轴上的两个定点．

【答案】(Ⅰ) ，；

(Ⅱ)见解析.

【解析】(Ⅰ)将点代入抛物线方程：可得：，

故抛物线方程为：，其准线方程为：.

(Ⅱ)很明显直线的斜率存在，焦点坐标为，

设直线方程为，与抛物线方程联立可得：.

故：.

设，则，

直线的方程为，与联立可得：，同理可得，

易知以AB为直径的圆的圆心坐标为：，圆的半径为：，

且：，，

则圆的方程为：，

令整理可得：，解得：，

即以AB为直径的圆经过y轴上的两个定点.

第二部分 模拟训练

1．已知抛物线的焦点为，过的直线与抛物线相交于，两点，．若，则（    ）．

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】由题意可知，，设，，

则，，

因为，且，，三点共线，则由可得，

所以，即，

解得或（舍），所以.

设直线的方程为，与抛物线方程联立，

得，消去得，则，所以.

则.

所以.

故选：D.

2．已知抛物线的焦点为，若点在抛物线上，且，则点到轴的距离为（    ）

A．2 B． C．4 D．

【答案】A

【解析】根据抛物线的定义，得到，解得，

即点到轴的距离为2.

故选：A.

3．已知抛物线的焦点为，准线为，过点的直线交抛物线于、两点，过点作准线的垂线，垂足为，当点的坐标为时，为正三角形，则此时的面积为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【解析】由抛物线定义得：，

由为正三角形知，直线的倾斜角为60°，，

故，，

直线的方程为，

抛物线方程为：，

联立，得：，

所以点的坐标为，

所以.

故选：A.

3．已知以圆：的圆心为焦点的抛物线与圆在第一象限交于点，点是抛物线：上任意一点，与直线垂直，垂足为，则的最大值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】因为的圆心

所以以为焦点的抛物线方程为，

由，解得，

抛物线的焦点为，准线方程为，如图，

即有，

当且仅当在之间）三点共线，可得最大值，

故选：A

4．已知抛物线的焦点为，为坐标原点，为抛物线上两点，，且，则的斜率不可能是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】因为为抛物线的焦点，所以，

又，即为等腰三角形，所以，又点在抛物线上，

所以，则，即，

所以由抛物线的焦半径公式可得：，

又，所以，即，所以，

则，即，所以；

当，时，的斜率为；

当，时，的斜率为；

当，时，的斜率为；

当，时，的斜率为；

故ABC都能取到，D不能取到.

故选：D.

5．已知，为的两个顶点，点在抛物线上，且到焦点的距离为13，则的面积为（    ）

A．12 B．13 C．14 D．15

【答案】A

【解析】解:因为点在抛物线上,设，

抛物线的准线方程为，

根据抛物线的性质,抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离.

由，得，

所以.

故选:A

6．若抛物线的准线与曲线只有一个交点，则实数满足的条件是__________.

【答案】

【解析】抛物线的准线为，

当时，表示椭圆在轴上方部分以及左右顶点

所以，

若与曲线只有一个交点，

则，解得，

当时，表示双曲线的在轴上方部分即上支，

此时，

此时满足与曲线只有一个交点，所以，

综上所述：实数满足的条件是或，

故答案为：

7．过抛物线焦点的直线交抛物线于、两点，其中点，且，则__________.

【答案】

【解析】因为抛物线的准线为，点在抛物线上，所以，解得，所以抛物线的方程为.

设，由点在抛物线上，可得，

由抛物线的对称性不妨设，

又，所以直线的斜率，

所以直线的方程为，

代入抛物线方程得，所以，

所以.

故答案为：.

8．已知抛物线：上的点到的焦点的距离为10，点在直线上的射影为，点关于轴的对称点为，则四边形的周长为______．

【答案】32

【解析】由抛物线的方程可知，焦点，直线为抛物线的准线，

所以，四边形为直角梯形．

因为，所以根据抛物线的定义，得，

过点作轴于点，

则．在中，

由勾股定理得，所以，

所以四边形的周长为．

故答案为：32.

9．已知双曲线的一条渐近线方程为，且一个焦点在抛物线的准线上，则该双曲线的方程为__．

【答案】

【解析】解：双曲线的一条渐近线方程为，，①

抛物线的准线方程为，

该双曲线一个焦点在抛物线的准线上，

，而，，②

由①②，得，，

双曲线的方程为．

故答案为：．

10．已知抛物线的焦点为F，点为抛物线C上一点，且，过点作抛物线C的切线AN（斜率不为0），设切点为N．

（1）求抛物线C的标准方程；

（2）求证：以FN为直径的圆过点A．

【答案】（1）；（2）证明见解析.

【解析】（1）因为为抛物线上一点，

所以的长等于到抛物线准线的距离，

即，解得，

所以抛物线C的标准方程为：．

（2）直线斜率不存在时，直线不是抛物线的切线，

所以可设切线AN的方程为：， ，

联立直线与抛物线方程得，消去y可得，

因为直线与抛物线相切，∴，解得．

，

所以切点，，，

∴，，∴．

∴，以FN为直径的圆过点A．

11．已知动点到直线的距离比到点的距离大.

（1）求动点所在的曲线的方程；

（2）已知点，是曲线上的两个动点，如果直线的斜率与直线的斜率互为相反数，证明直线的斜率为定值，并求出这个定值；

（3）已知点，是曲线上的两个动点，如果直线的斜率与直线的斜率之和为，证明：直线过定点.

【答案】（1）；（2）证明见解析，定值；（3）证明见解析.

【解析】（1）已知动点到直线的距离比到点的距离大，

等价于动点到直线的距离和到点的距离相等，

由抛物线的定义可得曲线的轨迹时以为焦点，以直线为准线的方程，

且，所以曲线的方程为.

（2）设直线的斜率为，

因为直线的斜率与直线的斜率互为相反数，所以直线的斜率为，

则，

联立方程组，整理得，

即，可得

联立方程组，整理得，

即，可得

所以，即直线的斜率为定值.

（3）设直线的斜率为，所以直线的斜率为，

则，

两类方程组，整理得，

即，可得，

联立方程组，可得，

即，可得

所以，

所以，整理得

所以直线恒过.