2023高考数学二轮真题与模拟训练26讲 专题12 数列求和解析

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专题12 数列求和第一部分 真题分类1．（2021·浙江高考真题）已知数列满足.记数列的前n项和为，则（ ）A． B． C． D．【答案】A【解析】因为，所以，．由，即根据累加法可得，，当且仅当时取等号，，由累乘法可得，当且仅当时取等号，由裂项求和法得：所以，即．故选：A．2．（2021·全国高考真题）某校学生在研究民间剪纸艺术时，发现剪纸时经常会沿纸的某条对称轴把纸对折，规格为的长方形纸，对折1次共可以得到，两种规格的图形，它们的面积之和，对折2次共可以得到，，三种规格的图形，它们的面积之和，以此类推，则对折4次共可以得到不同规格图形的种数为______；如果对折次，那么______.【答案】5 【解析】（1）由对折2次共可以得到，，三种规格的图形，所以对着三次的结果有：，共4种不同规格（单位；故对折4次可得到如下规格：，，，，，共5种不同规格；（2）由于每次对着后的图形的面积都减小为原来的一半，故各次对着后的图形，不论规格如何，其面积成公比为的等比数列，首项为120,第n次对折后的图形面积为，对于第n此对折后的图形的规格形状种数，根据（1）的过程和结论，猜想为种（证明从略），故得猜想，设，则，两式作差得：，因此，.故答案为：；.3．（2020·江苏高考真题）设{an}是公差为d的等差数列，{bn}是公比为q的等比数列．已知数列{an+bn}的前n项和，则d+q的值是_______．【答案】【解析】设等差数列的公差为，等比数列的公比为，根据题意.等差数列的前项和公式为，等比数列的前项和公式为，依题意，即，通过对比系数可知，故.故答案为：4．（2021·天津高考真题）已知是公差为2的等差数列，其前8项和为64．是公比大于0的等比数列，．（I）求和的通项公式；（II）记，（i）证明是等比数列；（ii）证明【答案】（I），；（II）（i）证明见解析；（ii）证明见解析.【解析】（I）因为是公差为2的等差数列，其前8项和为64．所以，所以，所以；设等比数列的公比为，所以，解得（负值舍去），所以；（II）（i）由题意，，所以，所以，且，所以数列是等比数列；（ii）由题意知，，所以，所以，设，则，两式相减得，所以，所以.5．（2021·全国高考真题（文））设是首项为1的等比数列，数列满足．已知，，成等差数列．（1）求和的通项公式；（2）记和分别为和的前n项和．证明：．【答案】（1），；（2）证明见解析.【解析】因为是首项为1的等比数列且，，成等差数列，所以，所以，即，解得，所以，所以.（2）证明：由（1）可得，，①，②①②得 ，所以，所以，所以.6．（2021·江苏高考真题）已知数列满足，且.（1）求证：数列为等比数列；（2）求数列的通项公式；（3）求数列的前项和.【答案】（1）见解析；（2）；（3）【解析】（1）由，得，∴，又，∴是首项为3，公比为3的等比数列. （2），∴.（3）.7．（2020·天津高考真题）已知为等差数列，为等比数列，．（Ⅰ）求和的通项公式；（Ⅱ）记的前项和为，求证：；（Ⅲ）对任意的正整数，设求数列的前项和．【答案】（Ⅰ），；（Ⅱ）证明见解析；（Ⅲ）.【解析】(Ⅰ)设等差数列的公差为，等比数列的公比为q.由，，可得d=1.从而的通项公式为.由，又q≠0，可得，解得q=2，从而的通项公式为.(Ⅱ)证明：由(Ⅰ)可得，故，，从而，所以.(Ⅲ)当n为奇数时，，当n为偶数时，，对任意的正整数n，有，和 ①由①得 ②由①②得，由于，从而得：.因此，.所以，数列的前2n项和为.8．（2020·全国高考真题（理））设数列{an}满足a1=3，．（1）计算a2，a3，猜想{an}的通项公式并加以证明；（2）求数列{2nan}的前n项和Sn．【答案】（1），，，证明见解析；（2）.【解析】（1）由题意可得，，由数列的前三项可猜想数列是以为首项，2为公差的等差数列，即，证明如下：当时，成立；假设时，成立.那么时，也成立.则对任意的，都有成立；（2）由（1）可知，，①，②由①②得：，即.9．（2020·全国高考真题（理））设是公比不为1的等比数列，为，的等差中项．（1）求的公比；（2）若，求数列的前项和．【答案】（1）；（2）.【解析】（1）设的公比为，为的等差中项，，；（2）设的前项和为，，，①，②①②得，，.第二部分 模拟训练一、单选题1．定义表示不超过的最大整数，如，．若数列的通项公式为，为数列的前项和，则（ ）A． B．C． D．【答案】D【解析】，，当时，，即（共1项）；当时，，即（共2项）；当时，，即（共4项）；…当时，，即（共项），由，得．即，所以．所以，则，两式相减得，．故选：D．2．已知数列满足，设，为数列的前n项和.若对任意恒成立，则实数t的最小值为（ ）A．1 B．2 C． D．【答案】C【解析】时，，因为，所以时，，两式相减得到，故时不适合此式，所以，当时，，当时，，所以；所以t的最小值；故选：C.3．设等差数列的前项和为，且满足，，将，，，中去掉一项后，剩下的三项按原来的顺序恰为等比数列的前三项，则数列的前10项的和（ ）A． B． C． D．【答案】A【解析】设等差数列的公差为，因为，所以, 解得，则，可得，，，，所以4，8，16为等比数列的前三项，所以，公比，则，所以，，，两式相减可得，所以，则数列的前10项和，故选：A.4．已知数列中，，，则数列的前10项的和为（ ）A． B． C． D．【答案】C【解析】由题意得，所以是以1为首项，1为公差的等差数列，所以，得.记数列的前n项和为，则，，作差得，得，即，所以.故选：C.5．已知数列为等差数列，是其前项和，，.数列的前项和为，若对一切都有恒成立，则能取到的最小整数为（ ）A． B．0 C．1 D．2【答案】B【解析】因为数列为等差数列，是其前项和，，.设首项为，公差为，所以，解得，故，所以，所以.因为对于一切都有恒成立，所以，解得，故的最小整数为0.故选：B.6．已知为等差数列的前项和，且，，记，则数列的前20项和为（ ）A． B． C． D．【答案】C【解析】设等差数列的公差为，根据题意，得所以，即解得，．所以，所以，所以数列的前20项和为．故选：C．7．已知数列中，，为数列的前项和，令，则数列的前项和的取值范围是（ ）A． B． C． D．【答案】A【解析】数列中，，∴数列是以1为首项，2为公差的等差数列，∴，∴，∴，∴，当时.故选：A.8．已知等差数列满足，，则数列的前10项的和为（ ）A． B． C． D．【答案】D【解析】依题意等差数列满足，，所以，所以，所以.所以数列的前10项的和为.故选：D二、填空题9．已知数列的前项和为，，且对任意的，都有，则______.【答案】5【解析】∵，∴，∴.故答案为：510．已知数列的前n项和为，且，若，则数列的前n项和______.【答案】【解析】，当时，，当时，，满足，，，当为偶数时，，当为奇数时，，.故答案为：11．已知数列满足，若，则数列的前项和________.【答案】【解析】因为，所以，两式相减得，当时也满足，故，，故.故答案为：12．已知数列的各项均为正数，其前项和满足，设，为数列的前项和，则______．【答案】【解析】由于正项数列的前项和为，且.当时，，得，，解得；当时，由得，两式作差得，可得，，对任意的，，则，，所以，数列是以为首项，以为公差的等差数列，.，，所以，可视为数列的前项和，因此，.故答案为：.三、解答题13．等比数列的各项均为正数，且.（1）求数列的通项公式；（2）设bn＝log3a1＋log3a2＋…＋log3an，求数列的前项和.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）设数列{an}的公比为q,由＝9a2a6得＝9,所以q2＝.由条件可知q＞0,故q＝.由2a1＋3a2＝1得2a1＋3a1q＝1,所以a1＝.故数列{an}的通项公式为an＝.（2）bn＝log3a1＋log3a2＋…＋log3an＝－（1＋2＋…＋n）＝－.故.所以数列的前n项和为14．已知数列满足，．（1）求数列的通项公式；（2）设等差数列的前项和为，且，令，求数列的前项和．【答案】（1）；（2） ．【解析】（1）当时，，；当时，由，①得，②①②得，，，也符合，因此，数列的通项公式为；（2）由题意，设等差数列的公差为，则，，解得，，；由（1）知，，故．15．已知数列满足恒成立.（1）若且，当成等差数列时，求的值；（2）若且，当、时，求以及的通项公式；（3）若，，，，设是的前项之和，求的最大值.【答案】（1） ；（2），；（3）【解析】（1）若且，所以，即，当成等差数列时，，所以，解得： ；（2），令可得，即，令可得，即所以，因为，所以，解得，由可得，所以是首项为，公比为的等比数列，所以，所以，，， ，以上式子累乘得：，所以，（3）由可得，所以，因为，所以，即，所以， 因为，所以，所以，因为，所以即，，因为，，所以，因为，所以，所以，可得，所以，令，设，，对称轴为，是开口向上的抛物线，在单调递增，所以时取得最大值，故最大值为，所以最大值为.16．已知数列满足：.（1）求数列的通项公式；（2）设，数列的前项和为，试比较与的大小.【答案】（1）；（2）.【解析】解：（1）因为数列满足：，所以，当时，当时，，相减可得，所以综上可得，（2）因为，所以时，.所以综上，对都有，.