2019-2023高考数学真题分项汇编-专题8 计数原理、概率及统计（新高考通用）

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五年（2019-2023）年高考真题分项汇编
专题08 计数原理、概率及统计





考点一 众数、中位数、平均数
1．【多选】（2023•新高考Ⅰ）有一组样本数据，，，，其中是最小值，是最大值，则　　
A．，，，的平均数等于，，，的平均数
B．，，，的中位数等于，，，的中位数
C．，，，的标准差不小于，，，的标准差
D．，，，的极差不大于，，，的极差
【解析】选项，，，，的平均数不一定等于，，，的平均数，错误；
选项，，，，的中位数等于，，，，的中位数等于，正确；
选项，设样本数据，，，为0，1，2，8，9，10，可知，，，的平均数是5，，，，的平均数是5，
，，，的方差，
，，，的方差，
，，错误．
选项，，，，正确．
故选：．
2．（2023•上海）现有某地一年四个季度的（亿元），第一季度为232（亿元），第四季度为241（亿元），四个季度的逐季度增长，且中位数与平均数相同，则该地一年的为 　　．
【解析】设第二季度为亿元，第三季度为亿元，则，
中位数与平均数相同，
，
，
该地一年的为（亿元）．
故答案为：946（亿元）．
3．（2020•上海）已知有四个数1，2，，，这四个数的中位数是3，平均数是4，则　　．
【解析】因为四个数的平均数为4，所以，
因为中位数是3，所以，解得，代入上式得，
所以，
故答案为：36．

考点二 极差、方差与标准差
4．【多选】（2021•新高考Ⅱ）下列统计量中，能度量样本，，，的离散程度的有　　
A．样本，，，的标准差 B．样本，，，的中位数
C．样本，，，的极差 D．样本，，，的平均数
【解析】中位数是反应数据的变化，
方差是反应数据与均值之间的偏离程度，
极差是用来表示统计资料中的变异量数，反映的是最大值与最小值之间的差距，
平均数是反应数据的平均水平，
故能反应一组数据离散程度的是标准差，极差．
故选：．
5．【多选】（2021•新高考Ⅰ）有一组样本数据，，，，由这组数据得到新样本数据，，，，其中，2，，，为非零常数，则　　
A．两组样本数据的样本平均数相同
B．两组样本数据的样本中位数相同
C．两组样本数据的样本标准差相同
D．两组样本数据的样本极差相同
【解析】对于，两组数据的平均数的差为，故错误；
对于，两组样本数据的样本中位数的差是，故错误；
对于，标准差，
两组样本数据的样本标准差相同，故正确；
对于，，2，，，为非零常数，
的极差为，的极差为，
两组样本数据的样本极差相同，故正确．
故选：．

考点三 古典概型及其概率计算公式
6．（2022•新高考Ⅰ）从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，则这2个数互质的概率为　　
A． B． C． D．
【解析】从2至8的7个整数中任取两个数共有种方式，
其中互质的有：23，25，27，34，35，37，38，45，47，56，57，58，67，78，共14种，
故所求概率为．
故选：．
7．（2022•上海）为了检测学生的身体素质指标，从游泳类1项，球类3项，田径类4项共8项项目中随机抽取4项进行检测，则每一类都被抽到的概率为 　　．
【解析】从游泳类1项，球类3项，田径类4项共8项项目中随机抽取4项进行检测，
则每一类都被抽到的方法共有种，
而所有的抽取方法共有种，
故每一类都被抽到的概率为，
故答案为：．
8．（2021•上海）已知花博会有四个不同的场馆，，，，甲、乙两人每人选2个去参观，则他们的选择中，恰有一个馆相同的概率为 　　．
【解析】甲选2个去参观，有种，乙选2个去参观，有种，共有种，
若甲乙恰有一个馆相同，则选确定相同的馆有种，然后从剩余3个馆种选2个进行排列，有种，共有种，
则对应概率，
故答案为：．
9．（2019•上海）某三位数密码，每位数字可在这10个数字中任选一个，则该三位数密码中，恰有两位数字相同的概率是 　　．
【解析】方法一、（直接法）某三位数密码锁，每位数字在数字中选取，
总的基本事件个数为1000，
其中恰有两位数字相同的个数为，
则其中恰有两位数字相同的概率是；
方法二、（排除法）某三位数密码锁，每位数字在数字中选取，
总的基本事件个数为1000，
其中三位数字均不同和全相同的个数为，
可得其中恰有两位数字相同的概率是．
故答案为：．

考点四 相互独立事件和相互独立事件的概率乘法公式
10．（2021•新高考Ⅰ）有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回的随机取两次，每次取1个球．甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”，则　　
A．甲与丙相互独立 B．甲与丁相互独立
C．乙与丙相互独立 D．丙与丁相互独立
【解析】由题意可知，两点数和为8的所有可能为：，，，，，
两点数和为7的所有可能为，，，，，，
（甲，（乙，（丙，（丁，
（甲丙）（甲（丙，
（甲丁）（甲（丁，
（乙丙）（乙（丙，
（丙丁）（丙（丁，
故选：．
11．【多选】（2023•新高考Ⅱ）在信道内传输0，1信号，信号的传输相互独立．发送0时，收到1的概率为，收到0的概率为；发送1时，收到0的概率为，收到1的概率为．考虑两种传输方案：单次传输和三次传输．单次传输是指每个信号只发送1次，三次传输是指每个信号重复发送3次．收到的信号需要译码，译码规则如下：单次传输时，收到的信号即为译码；三次传输时，收到的信号中出现次数多的即为译码（例如，若依次收到1，0，1，则译码为　　
A．采用单次传输方案，若依次发送1，0，1，则依次收到1，0，1的概率为
B．采用三次传输方案，若发送1，则依次收到1，0，1的概率为
C．采用三次传输方案，若发送1，则译码为1的概率为
D．当时，若发送0，则采用三次传输方案译码为0的概率大于采用单次传输方案译码为0的概率
【解析】采用单次传输方案，若依次发送1，0，1，则依次收到1，0，1的概率为：，故正确；
采用三次传输方案，若发送1，依次收到1，0，1的概率为：，故正确；
采用三次传输方案，若发送1，
则译码为1包含收到的信号为包含两个1或3个1，
故所求概率为：，故错误；
三次传输方案发送0，译码为0的概率，
单次传输发送0译码为0的概率，


，
当时，，
故，故正确．
故选：．

考点五 频率分布直方图
12．（2023•新高考Ⅱ）某研究小组经过研究发现某种疾病的患病者与未患病者的某项医学指标有明显差异，经过大量调查，得到如下的患病者和未患病者该指标的频率分布直方图：

利用该指标制定一个检测标准，需要确定临界值，将该指标大于的人判定为阳性，小于或等于的人判定为阴性，此检测标准的漏诊率是将患病者判定为阴性的概率，记为（c）；误诊率是将未患病者判定为阳性的概率，记为（c）．假设数据在组内均匀分布，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率．
（1）当漏诊率（c）时，求临界值和误诊率（c）；
（2）设函数（c）（c）（c）．当，，求（c）的解析式，并求（c）在区间，的最小值．
【解析】（1）当漏诊率（c）时，
则，解得；
（c）；
（2）当，时，
（c）（c）（c），
当，时，（c）（c）（c），
故（c），
所以（c）的最小值为0.02．
13．（2022•新高考Ⅱ）在某地区进行流行病学调查，随机调查了100位某种疾病患者的年龄，得到如下的样本数据的频率分布直方图：
（1）估计该地区这种疾病患者的平均年龄（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；
（2）估计该地区一位这种疾病患者的年龄位于区间，的概率；
（3）已知该地区这种疾病患者的患病率为，该地区年龄位于区间，的人口占该地区总人口的．从该地区中任选一人，若此人的年龄位于区间，，求此人患这种疾病的概率（以样本数据中患者的年龄位于各区间的频率作为患者的年龄位于该区间的概率，精确到0.0001 ．

【解析】（1）由频率分布直方图得该地区这种疾病患者的平均年龄为：
岁．
（2）该地区一位这种疾病患者的年龄位于区间，的频率为：
，
估计该地区一位这种疾病患者的年龄位于区间，的概率为0.89．
（3）设从该地区中任选一人，此人的年龄位于区间，为事件，此人患这种疾病为事件，
则．

考点六 分类加法计数原理
14． （2020•上海）已知，，，0，1，2，，、，则的情况有　　　　种．
【解析】当，0种，
当，2种，
当，4种；
当，6种，
当，4种；
当，2种，
当，0种，
故共有：．
故答案为：18．

考点七 排列、组合及简单计数问题
15．（2023•新高考Ⅱ）某学校为了了解学生参加体育运动的情况，用比例分配的分层随机抽样方法作抽样调查，拟从初中部和高中部两层共抽取60名学生，已知该校初中部和高中部分别有400名和200名学生，则不同的抽样结果共有　　
A．种 B．种
C．种 D．种
【解析】初中部和高中部分别有400和200名学生，
人数比例为，
则需要从初中部抽取40人，高中部取20人即可，
则有种．
故选：．
16．（2022•新高考Ⅱ）甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端，丙和丁相邻，则不同的排列方式共有　　
A．12种 B．24种 C．36种 D．48种
【解析】把丙和丁捆绑在一起，4个人任意排列，有种情况，
甲站在两端的情况有种情况，
甲不站在两端，丙和丁相邻的不同排列方式有种，
故选：．
17．（2020•海南）要安排3名学生到2个乡村做志愿者，每名学生只能选择去一个村，每个村里至少有一名志愿者，则不同的安排方法共有　　
A．2种 B．3种 C．6种 D．8种
【解析】要安排3名学生到2个乡村做志愿者，每名学生只能选择去一个村，
每个村里至少有一名志愿者，
则不同的安排方法共有：
．
故选：．
18．（2020•山东）6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去1个场馆，甲场馆安排1名，乙场馆安排2名，丙场馆安排3名，则不同的安排方法共有　　
A．120种 B．90种 C．60种 D．30种
【解析】因为每名同学只去1个场馆，甲场馆安排1名，乙场馆安排2名，丙场馆安排3名，
甲场馆从6人中挑一人有：种结果；
乙场馆从余下的5人中挑2人有：种结果；
余下的3人去丙场馆；
故共有：种安排方法；
故选：．
19．（2023•新高考Ⅰ）某学校开设了4门体育类选修课和4门艺术类选修课，学生需从这8门课中选修2门或3门课，并且每类选修课至少选修1门，则不同的选课方案共有 　　种（用数字作答）．
【解析】若选2门，则只能各选1门，有种，
如选3门，则分体育类选修课选2，艺术类选修课选1，或体育类选修课选1，艺术类选修课选2，
则有，
综上共有种不同的方案．
故答案为：64．
20．（2020•上海）从6个人挑选4个人去值班，每人值班一天，第一天安排1个人，第二天安排1个人，第三天安排2个人，则共有　　种安排情况．
【解析】根据题意，可得排法共有种．
故答案为：180．
21．（2019•上海）首届中国国际进口博览会在上海举行，某高校拟派4人参加连续5天的志愿者活动，其中甲连续参加2天，其他人各参加1天，则不同的安排方法有　　种（结果用数值表示）
【解析】在五天里，连续的2天，一共有4种，剩下的3人排列，故有种，
故答案为：24．

考点八 二项式定理
22．（2023•上海）已知，若存在，1，2，，使得，则的最大值为 　　．
【解析】二项式的通项为，，1，2，，，
二项式的通项为，，1，2，，，
，，1，2，，，
若，则为奇数，
此时，
，
，
，
又为奇数，
的最大值为49．
故答案为：49．
23．（2022•上海）二项式的展开式中，项的系数是常数项的5倍，则　　．
【解析】二项式的展开式中，项的系数是常数项的5倍，
即，即，
，
故答案为：10．
24．（2022•浙江）已知多项式，则　　，　　．
【解析】，
；
令，则，
令，则，
．
故答案为：8，．
25．（2022•新高考Ⅰ）的展开式中的系数为 　　（用数字作答）．
【解析】的通项公式为，
当时，，当时，，
的展开式中的系数为．
故答案为：．
26． （2021•浙江）已知多项式，则　　；　　．
【解析】即为展开式中的系数，
所以；
令，则有，
所以．
故答案为：5；10．
27．（2021•上海）已知二项式展开式中，的系数为80，则　　．
【解析】的展开式的通项公式为，
所以的系数为，解得．
故答案为：2．
28．（2021•上海）已知的展开式中，唯有的系数最大，则的系数和为　　．
【解析】由题意，，且，
所以，
所以令，的系数和为．
故答案为：64．
29．（2020•浙江）二项展开式，则　　，　　．
【解析】，则．
．
故答案为：80；122．
30．（2020•上海）已知二项式，则展开式中的系数为　　．
【解析】，所以展开式中的系数为10．
故答案为：10．
31．（2019•上海）已知二项式，则展开式中含项的系数为　　．
【解析】二项式的展开式的通项公式为，
令，求得，可得展开式中含项的系数值为，
故答案为：40．
32．（2019•浙江）在二项式展开式中，常数项是 　　，系数为有理数的项的个数是 　　．
【解析】二项式的展开式的通项为．
由，得常数项是；
当，3，5，7，9时，系数为有理数，
系数为有理数的项的个数是5个．
故答案为：，5．
33．（2019•上海）在的展开式中，常数项等于 　　．
【解析】展开式的通项为，，得，
故展开式的常数项为第5项：．
故答案为：15．

考点九 离散型随机变量及其分布列
34．（2019•浙江）设．随机变量的分布列是

0

1




则当在内增大时，　　
A．增大 B．减小
C．先增大后减小 D．先减小后增大
【解析】，


，先减小后增大
故选：．

考点十 离散型随机变量的期望与方差
35．（2022•浙江）现有7张卡片，分别写上数字1，2，2，3，4，5，6．从这7张卡片中随机抽取3张，记所抽取卡片上数字的最小值为，则　　，　　．
【解析】根据题意可得：的取值可为1，2，3，4，
又，
，
，
，
，
故答案为：；．
36．（2021•浙江）袋中有4个红球，个黄球，个绿球．现从中任取两个球，记取出的红球数为，若取出的两个球都是红球的概率为，一红一黄的概率为，则　　，　　．
【解析】由题意，，
又一红一黄的概率为，
所以，
解得，，故；
由题意，的可能取值为0，1，2，
所以，
，
，
所以．
故答案为：1；．
37．（2020•浙江）盒中有4个球，其中1个红球，1个绿球，2 个黄球．从盒中随机取球，每次取1个，不放回，直到取出红球为止．设此过程中取到黄球的个数为，则　　，　　．
【解析】【解法1】由题意知随机变量的可能取值分别为0，1，2；
表示取到红球后（停止取球）还没有取到黄球，有以下两种情况：
①第一次就取到红球，
②第一次取到绿球、第二次取到红球，
所以；
当时，有以下三种情况：①第一次取到1个黄球为，第二次红球为，停止取球；
②第一次取到1个黄球为，第二次取到绿球为，第三次取到红球为，停止取球；
③第一次取到绿球为，第二次取到黄球为，第三次取到红球为，停止取球；
所以；
；
所以的分布列为：

0
1
2




数学期望为．
【解法2】由题意知，随机变量的可能取值为0，1，2；
计算；
；
；
所以．
故答案为：，1．
38．（2023•上海）2023年6月7日，21世纪汽车博览会在上海举行，已知某汽车模型公司共有25个汽车模型，其外观和内饰的颜色分布如下表所示：

红色外观
蓝色外观
棕色内饰
12
8
米色内饰
2
3
（1）若小明从这些模型中随机拿一个模型，记事件为小明取到红色外观的模型，事件为小明取到棕色内饰的模型，求（B）和，并判断事件和事件是否独立；
（2）该公司举行了一个抽奖活动，规定在一次抽奖中，每人可以一次性从这些模型中拿两个汽车模型，给出以下假设：
假设1：拿到的两个模型会出现三种结果，即外观和内饰均为同色、外观和内饰都异色、以及仅外观或仅内饰同色；
假设2：按结果的可能性大小，概率越小奖项越高；
假设3：该抽奖活动的奖金额为：一等奖600元，二等奖300元、三等奖150元；
请你分析奖项对应的结果，设为奖金额，写出的分布列并求出的数学期望．
【解析】（1）若红色外观的模型，则分棕色内饰12个，米色内饰2个，则对应的概率（A），
若小明取到棕色内饰，分红色外观12，蓝色外观8，则对应的概率（B）．
取到红色外观的模型同时是棕色内饰的有12个，即，
则．
（A）（B），（A）（B），
即事件和事件不独立．
（2）由题意知，300，150，
则外观和内饰均为同色的概率、
外观和内饰都异色的概率、
仅外观或仅内饰同色的概率，
，
，，，
则的分布列为：

150
300
600




则（元．
39．（2023•新高考Ⅰ）甲、乙两人投篮，每次由其中一人投篮，规则如下：若命中则此人继续投篮，若未命中则换为对方投篮．无论之前投篮情况如何，甲每次投篮的命中率均为0.6，乙每次投篮的命中率均为0.8．由抽签确定第1次投篮的人选，第1次投篮的人是甲、乙的概率各为0.5．
（1）求第2次投篮的人是乙的概率；
（2）求第次投篮的人是甲的概率；
（3）已知：若随机变量服从两点分布，且，，2，，，则．记前次（即从第1次到第次投篮）中甲投篮的次数为，求．
【解析】（1）设第2次投篮的人是乙的概率为，
由题意得；
（2）由题意设为第次投篮的是甲，
则，
，
又，则是首项为，公比为0.4的等比数列，
，即，
第次投篮的人是甲的概率为；
（3）由（2）得，
由题意得甲第次投篮次数服从两点分布，且，
，
当时，；
当时，，
综上所述，，．
40．（2021•新高考Ⅱ）一种微生物群体可以经过自身繁殖不断生存下来，设一个这种微生物为第0代，经过一次繁殖后为第1代，再经过一次繁殖后为第2代，，该微生物每代繁殖的个数是相互独立的且有相同的分布列，设表示1个微生物个体繁殖下一代的个数，，1，2，．
（Ⅰ）已知，，，，求；
（Ⅱ）设表示该种微生物经过多代繁殖后临近灭绝的概率，是关于的方程：的一个最小正实根，求证：当时，，当时，；
（Ⅲ）根据你的理解说明（2）问结论的实际含义．
【解析】（Ⅰ）解：由题意，，，，，
故；
（Ⅱ）证明：由题意可知，，则，
所以，变形为，
所以，
即，
即，
令，
若时，则的对称轴为，
注意到，（1），
若时，（1），
当时，（1），的正实根，原方程的最小正实根，
当时，（1），的正实根，原方程的最小正实根，
（Ⅲ）解：当1个微生物个体繁殖下一代的期望小于等于1时，这种微生物经过多代繁殖后临近灭绝；
当1个微生物个体繁殖下一代的期望大于1时，这种微生物经过多代繁殖后还有继续繁殖的可能．
41．（2021•新高考Ⅰ）某学校组织“一带一路”知识竞赛，有，两类问题．每位参加比赛的同学先在两类问题中选择一类并从中随机抽取一个问题回答，若回答错误则该同学比赛结束；若回答正确则从另一类问题中再随机抽取一个问题回答，无论回答正确与否，该同学比赛结束．类问题中的每个问题回答正确得20分，否则得0分；类问题中的每个问题回答正确得80分，否则得0分．
已知小明能正确回答类问题的概率为0.8，能正确回答类问题的概率为0.6，且能正确回答问题的概率与回答次序无关．
（1）若小明先回答类问题，记为小明的累计得分，求的分布列；
（2）为使累计得分的期望最大，小明应选择先回答哪类问题？并说明理由．
【解析】（1）由已知可得，的所有可能取值为0，20，100，
则，

，
所以的分布列为：

0
20
100

0.2
0.32
0.48
（2）由（1）可知小明先回答类问题累计得分的期望为，
若小明先回答类问题，记为小明的累计得分，
则的所有可能取值为0，80，100，
，
，
，
则的期望为，
因为，
所以为使累计得分的期望最大，小明应选择先回答类问题．

考点十一 正态分布
42．（2021•新高考Ⅱ）某物理量的测量结果服从正态分布，则下列结论中不正确的是　　
A．越小，该物理量在一次测量中落在内的概率越大
B．该物理量在一次测量中大于10的概率为0.5
C．该物理量在一次测量中小于9.99与大于10.01的概率相等
D．该物理量在一次测量中结果落在与落在的概率相等
【解析】因为某物理量的测量结果服从正态分布，
所以测量的结果的概率分布关于10对称，且方差越小，则分布越集中，
对于，越小，概率越集中在10左右，则该物理量一次测量结果落在内的概率越大，故选项正确；
对于，测量结果大于10的概率为0.5，故选项正确；
对于，由于概率分布关于10对称，所以测量结果大于10.01的概率等于小于9.99的概率，故选项正确；
对于，由于概率分布是集中在10附近的，分布在10附近的区域大于分布在10附近的区域，
故测量结果落在内的概率大于落在内的概率，故选项错误．
故选：．
43．（2022•新高考Ⅱ）已知随机变量服从正态分布，且，则　　．
【解析】随机变量服从正态分布，
，
，
故答案为：0.14．
考点十二 散点图
44．（2023•上海）根据所示的散点图，下列说法正确的是　　

A．身高越大，体重越大 B．身高越大，体重越小
C．身高和体重成正相关 D．身高和体重成负相关
【解析】根据散点图的分布可得：身高和体重成正相关．
故选：．
考点十三 独立性检验
45．（2022•新高考Ⅰ）一医疗团队为研究某地的一种地方性疾病与当地居民的卫生习惯（卫生习惯分为良好和不够良好两类）的关系，在已患该疾病的病例中随机调查了100例（称为病例组），同时在未患该疾病的人群中随机调查了100人（称为对照组），得到如下数据：

不够良好
良好
病例组
40
60
对照组
10
90
（1）能否有的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异？
（2）从该地的人群中任选一人，表示事件“选到的人卫生习惯不够良好”， 表示事件“选到的人患有该疾病”， 与的比值是卫生习惯不够良好对患该疾病风险程度的一项度量指标，记该指标为．
（ⅰ）证明：；
（ⅱ）利用该调查数据，给出，的估计值，并利用（ⅰ）的结果给出的估计值．
附：．

0.050
0.010
0.001

3.841
6.635
10.828
【解析】（1）补充列联表为：

不够良好
良好
合计
病例组
40
60
100
对照组
10
90
100
合计
50
150
200
计算，
所以有的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异．
（2）证明：；
（ⅱ）利用调查数据，，，，，
所以．
46．（2020•山东）为加强环境保护，治理空气污染，环境监测部门对某市空气质量进行调研，随机抽查了100天空气中的和浓度（单位：，得下表：

，
，
，
，
32
18
4
，
6
8
12
，
3
7
10
（1）估计事件“该市一天空气中浓度不超过75，且浓度不超过150”的概率；
（2）根据所给数据，完成下面的列联表：

，
，
，


，


（3）根据（2）中的列联表，判断是否有的把握认为该市一天空气中浓度与浓度有关？
附：

0.050
0.010
0.001

3.841
6.635
10.828
【解析】（1）用频率估计概率，从而得到“该市一天空气中浓度不超过75，且浓度不超过150”的概率；
（2）根据所给数据，可得下面的列联表：

（3）根据（2）中的列联表，
由，
；
故有的把握认为该市一天空气中浓度与浓度有关.