2023年全国高考数学真题分类组合第12章《计数原理与概率统计》试题及答案

这是一份2023年全国高考数学真题分类组合第12章《计数原理与概率统计》试题及答案，共15页。
第十二章 计数原理与概率统计
第一节 两个基本计数原理、排列组合
1.（2023全国甲卷理科9）有五名志愿者参加社区服务，共服务星期六、星期天两天，每天从中任选两人参加服务，则两天中恰有1人连续参加两天服务的选择种数为（ ）
A. B. C. D.
【分析】利用分类加法原理，分类讨论五名志愿者连续参加两天社区服务的情况，即可得解.
【解析】不妨记五名志愿者为，
假设连续参加了两天社区服务，再从剩余的 4 人抽取 2 人各参加星期六与星期天的社区服务，共有种方法，
同理：连续参加了两天社区服务，也各有种方法，
所以恰有 1 人连续参加了两天社区服务的选择种数有种.
故选B.
2.（2023全国乙卷理科7）甲、乙两位同学从 6 种课外读物中各自选读 2 种，则这两人选读的课外读物中恰有 1 种相同的选法共有（ ）
A.种 B.种 C.种 D.种
【解析】甲、乙两位同学选读课外读物可以分为两个步骤：先从6种课外读物中选择一本作为甲、乙两人共同的选择，再从剩下的5 本中选择互不相同的两本，所以符合题意的选法共有（种）.故选C.
3.（2023新高考I卷13）某学校开设了4门体育类选修课和4门艺术类选修课，学生需从这8门课中选修2门或3门课，并且每类选修课至少选修1门，则不同的选课方案共有 种（用数字作答）.
【解析】如果选修2门，共有种；如果选修3门，共有种.所以不同的选课方案共有种.
4.（2023新高考II卷3）某学校为了解学生参加体育运动的情况，用比例分配的分层随机抽样方法做抽样调查，拟从初中部和高中部两层共抽取60名学生.已知该校初中部和高中部分别有400名和200名学生，则不同的抽样结果共有（ ）
A.种 B. 种 C.种 D. 种
【解析】按初中部和高中部学生人数比例分层抽样可知，从高中部抽40人，初中部抽20人，分步完成.由乘法原理得不同的抽样有.故选D.
第二节 二项式定理
1.（2023北京卷5）的展开式中，的系数是（ ）
A. B. C. D.
【分析】写出的展开式的通项即可.
【解析】展开式的通项为
令得.
所以的展开式中的系数为.
故选D.
【评注】本题考查的是二项式展开式通项的运用，较简单.
2.（2023天津卷11）在的展开式中，项的系数为_________．
【分析】由二项式展开式的通项公式写出其通项公式，令确定的值，然后计算项的系数即可.
【解析】展开式的通项公式，
令可得，，则项的系数为.
故答案为60.
第三节 随机事件的概率及其计算
3.（2023北京卷18）为研究某种农产品价格变化的规律，收集得到了该农产品连续40天的价格变化数据，如下表所示，在描述价格变化时，用“”表示“上涨”；即当天价格比前一天价格高，用“”表示“下跌”，即当天价格比前一天价格低；用“0”表示“不变”，即当天价格与前一天价格相同.
时段
价格变化
第1天到第20天



0





0

0





0
0

第21天到第40天
0


0





0

0





0


用频率估计概率.
（1）试估计该农产品价格“上涨”的概率；
（2）假设该农产品每天的价格变化是相互独立的，在未来的日子里任取4天，试估计该农产品在这4天中2天“上涨”、1天“下跌”、1天“不变”的概率；
（3）假设该农产品每天的价格变化只受前一天价格的影响，判断第41天该农产品价格“上涨”、“下跌”和“不变”的概率估计值哪个最大.（结论不要求证明）
【分析】（1）计算表格中的的次数，然后根据古典概型进行计算；
（2）分别计算出表格中上涨、不变、下跌的概率后进行计算；
（3）通过统计表格中前一次上涨，后一次发生的各种情况进行推断第天的情况.
【解析】（1）根据表格数据可以看出，天里，有个，也就是有天是上涨的，
根据古典概型的计算公式，农产品价格上涨的概率为：.
（2）在这天里，有天上涨，天下跌，天不变，也就是上涨、下跌、不变的概率分别是，，，
于是未来任取天，天上涨，天下跌，天不变的概率是
.
（3）由于第天处于上涨状态，从前次的次上涨进行分析，上涨后下一次仍上涨的有次，不变的有次，下跌的有次，
因此估计第次不变的概率最大.
4.（2023全国甲卷理科6）有50人报名足球俱乐部，60人报名乒乓球俱乐部，70人报名足球或乒乓球俱乐部，若已知某人报足球俱乐部，则其报乒乓球俱乐部的概率为（ ）
A. B. C. D.
【分析】先算出报名两个俱乐部的人数，从而得出某人报足球俱乐部的概率和报两个俱乐部的概率，利用条件概率的知识求解.
【解析】报名两个俱乐部的人数为，
记“某人报足球俱乐部” 事件， 记“某人报兵乓球俱乐部”为事件，
则，，
所以.
故选A.
5.（2023全国甲卷文科4）某校文艺部有 4 名学生，其中高一、高二年级各 2 名．从这 4 名学生中随机选 2 名组织校文艺汇演，则这2 名学生来自不同年级的概率为（ ）
A. B. C. D.
【分析】利用古典概型的概率公式，结合组合的知识即可得解.
【解析】依题意，从这4名学生中随机选2名组织校文艺汇演，总的基本事件有件，其中这2名学生来自不同年级的基本事件有，
所以这2名学生来自不同年级的概率为.
故选D.
6.（2023全国乙卷理科5，文科7） 设为平面坐标系的坐标原点，在区域内随机取一点，记该点为，则直线的倾斜角不大于的概率为（ ）
A. B. C. D.
【解析】如图所示，当在阴影区域时，直线的斜率不大于，.
7.（2023全国乙卷文科9）某学校举办作文比赛，共 6 个主题，每位参赛同学从中随机抽取一个主题准备作文，则甲、乙两位参赛同学抽到不同主题概率为（ ）
A. B. C. D.
【分析】根据古典概率模型求出所有情况以及满足题意的情况，即可得到概率.
【解析】甲有6种选择，乙也有6种选择，故总数共有种，
若甲、乙抽到的主题不同，则共有种，则其概率为.故选A.
8.（2023新高考II卷12）在信道内传输信号，信号的传输相互独立，发送时，收到的概率为，收到的概率为；发送时，收到的概率为，收到的概率为.考虑两种传输方案：单次传输和三次传输.单次传输是指每个信号只发送一次，三次传输是指每个信号重复发送3次.收到的信号需要译码，译码规则如下：单次传输时，收到的信号即为译码；三次传输时，收到的信号中出现次数多的即为译码.（例如，若依次收到，则译码为）.
A. 采用单次传输方案，若依次发送，则依次收到的概率为
B. 采用三次传输方案，若发送，则依次收到的概率为
C. 采用三次传输方案，若发送，则译码为的概率为
D. 当时，若发送，则采用三次传输方案译码为的概率大于采用单次传输方案译码为的概率
【解析】A选项：，A正确；
B选项：，B正确；
C选项：，C不正确；
D选项：采用三次传输方案译码为的概率，
采用一次传输方案译码为的概率.




当时，，即，D正确.
综上，故选ABD.
9.（2023天津卷13）甲乙丙三个盒子中装有一定数量的黑球和白球，其总数之比为．这三个盒子中黑球占总数的比例分别为．现从三个盒子中各取一个球，取到的三个球都是黑球的概率为_________；将三个盒子混合后任取一个球，是白球的概率为_________．
【分析】先根据题意求出各盒中白球，黑球的数量，再根据概率的乘法公式可求出第一空；根据古典概型的概率公式可求出第二个空．
【解析】设甲、乙、丙三个盒子中的球的个数分别为，所以总数为，
所以甲盒中黑球个数为，白球个数为；
乙盒中黑球个数为，白球个数为；
丙盒中黑球个数为，白球个数为；
记“从三个盒子中各取一个球，取到的球都是黑球”为事件，
所以；
记“将三个盒子混合后取出一个球，是白球”为事件，
黑球总共有个，白球共有个，所以．
故答案为；．

第四节 随机变量及其分布
1.（2023新高考I卷21）甲、乙两人投篮，每次由其中一人投篮，规则如下：若命中则此人继续投篮，若未命中则换为对方投篮.无论之前投篮情况如何，甲每次投篮的命中率均为，乙每次投篮的命中率均为，由抽签确定第1次投篮的人选.第1次投篮的人是甲、乙的概率各为.
（1） 求第2次投篮的人是乙的概率；
（2） 求第次投篮的人是甲的概率；
（3）已知：若随机变量服从两点分布，且，，则.记前次（即从第1次到第次投篮）中甲投篮的次数为，求.
【解析】（1）.
（2）第次是乙投的概率为，，
且，
则，
故
（3）解法一:① 时，

② 时，.
综上，
解法二（利用期望递推）
记前次投篮中甲投篮次数的数学期望为，
则在前次投篮中甲投篮次数的数学期望为.
，
故，
所以
.
又，故
.
当时也满足上式，故.
第五节 统计与统计案例
1.（2023全国甲卷理科19）为研究某药物对小鼠的生长抑制作用，将40只小鼠均分为两组，分别为对照组（不加药物）和实验组（加药物）.
（1）设其中两只小鼠中对照组小鼠数目为，求的的分布列和数学期望 ；
（2）测得40只小鼠体重如下（单位：）（已按从小到大排好）
对照组：
17.3
18.4
20.1
20.4
21.5
23.2
24.6
24.8
25.0
25.4
26.1
26.3
26.4
26.5
26.8
27.0
27.4
27.5
27.6
28.3


5.4
6.6
6.8
6.9
7.8
8.2
9.4
10.0
10.4
11.2
14.4
17.3
19.2
20.2
23.6
23.8
24.5
25.1
25.2
26.0
实验组：


（i）求40只小鼠体重的中位数，并完成下面列联表；



对照组


实验组


（ii）根据列联表，能否有的把握认为药物对小鼠生长有抑制作用.
参考数据：

0.100
0.050
0.010

2.706
3.841
6.635
【分析】(1) 利用超几何分布的知识即可求得分布列及数学期望；
(2) (i) 根所中位数的定义即可求得，从而求得列联表；
(ii) 利用独立性检验的卡方计算进行检验，即可得解.
【解析】(1)依题意，的可能取值为，
则，，，
所以的分布列为：

0
1
2




故.
(2)(i) 依题意，可知这只小鼠体重的中位数是将两组数据合在一起，从小到大排后第位与第位数据的平均数，
由于原数据已经排好，所以我们只需要观察对照组第一排数据与实验组第二排数据即可，
可得第位数据为，后续依次为，
故第位为，第位数据为，
所以，
故列联表为：



合计
对照组
6
14
20
实验组
14
6
20
合计
20
20
40
(ii) 由 (i) 可得，，
所以能有的把握认为药物对小鼠生长有抑制作用.
2.（2023全国甲卷文科19）一项试验旨在研究臭氧效应，试验方案如下：选只小白鼠，随机地将其中只分配到试验组，另外只分配到对照组，试验组的小白鼠饲养在高浓度臭氧环境，对照组的小白鼠饲养在正常环境，一段时间后统计每只小白鼠体重的增加量 (单位：)．试验结果如下：
对照组的小白鼠体重的增加量从小到大排序为
15.2
18.8
20.2
21.3
22.5
23.2
25.8
26.5
27.5
30.1
32.6
34.3
34.8
35.6
35.6
35.8
36.2
37.3
40.5
43.2



试验组的小白鼠体重的增加量从小到大排序为
7.8
9.2
11.4
12.4
13.2
15.5
16.5
18.0
18.8
19.2
19.8
20.2
21.6
22.8
23.6
23.9
25.1
28.2
32.3
36.5



（1）计算试验组的样本平均数；
（2）（i）求只小白鼠体重的增加量的中位数，再分别统计两样本中小于与不小于的数据的个数，完成如下列联表



对照组


试验组


（ii）根据 (i) 中的列联表，能否有的把握认为小白鼠在高浓度臭氧环境中与在正常环境中体重的增加量有差异？
附：

0.100
0.050
0.010

2.706
3.841
6.635
【分析】（1）直接根据均值定义求解；
（2）（i）根据中位数的定义即可求得，从而求得列联表；
（ii）利用独立性检验的卡方计算进行检验，即可得解.
【解析】（1）试验组样本平均数为：

.
（2）（i）依题意，可知这40只小鼠体重的中位数是将两组数据合在一起，从小到大排后第20位与第21位数据的平均数，由原数据可得第11位数据为，后续依次为，
故第位为，第位数据为，
所以，
故列联表为：



合计
对照组
6
14
20
试验组
14
6
20
合计
20
20
40
(ii) 由 (i) 可得，，
所以能有的把握认为小白鼠在高浓度臭氧环境中与在正常环境中体重的增加量有差异.
3.（2023全国乙卷理科17，文科17）某厂为比较甲、乙两种工艺对橡胶产品伸缩率的处理效应，进行次配对试验，每次配对试验选用材质相同的两个橡胶产品，随机地选其中一个用甲工艺处理，另一个用乙工艺处理，测量处理后的橡胶产品的伸缩率，甲、乙两种工艺处理后的橡胶产品的伸缩率分别记为，试验结果如下
试验序号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
伸缩率
545
533
551
522
575
544
541
568
596
548
伸缩率
536
527
543
530
560
533
522
550
576
536
记，记的样本平均数为，样本方差为，
（1） 求，.
（2） 判断甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率是否有显著提高（如果，则认为甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率有显著提高，否则不认为有显著提高）
【解析】（1）由得

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10

9
6
8

15
11
19
18
20
12
.


.
（2）因为，故.
故可以认为甲工艺对伸缩率有显著提高.
4.（2023新高考I卷9）有一组样本数据，其中是最小值，是最大值，则（ ）
A.的平均数等于的平均数
B.的中位数等于的中位数
C.的标准差不小于的标准差
D.的极差不大于的极差
【解析】，所以A错误；
因为是最小值，是最大值，所以的中位数的位置和的中位数的位置相同，所以B正确；
因为是最小值，是最大值，所以的波动性不大于的波动性，所以C错误；
设的最小值为，最大值为，则，，所以，所以D正确.
故选BD.
5.（2023新高考II卷19）某研究小组经过研究发现，某种疾病的患病者与未患病者的某项医学指标有明显差异，经过大量调查，得到如下的患病者和未患病者该指标的频率分布直方图.

图1 图2
利用该指标制定一个检测标准，需要确定临界值，将该指标大于的人判定为阳性，小于或等于的人判定为阴性.此检测标准的漏诊率是将患病者判定为阴性的概率，记为，误诊率是将未患病者判定为阳性的概率，记为.假设数据在组内均匀分布，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率.
（1）当漏诊率时，求临近值和误诊率;
（2）设函数，当时，求的解析式，并求在区间的最小值.
【解析】（1）漏诊率为，即有的患者指标在以下，
由图1可知，，且数据在组内均匀分布，故临界值为，即. 依题意，误诊率即未患病者指标超过97.5的概率，由图2可知，
.
（2）当时，
，
，
.
当时，
，
，
.
，
故在单调递减，在单调递增，的最小值在处取得，
即当时，取到最小值.
6.（2023天津卷7）调查某种群花萼长度和花瓣长度，所得数据如图所示，其中相关系数，下列说法正确的是（    ）
  
A．花瓣长度和花萼长度没有相关性
B．花瓣长度和花萼长度呈现负相关
C．花瓣长度和花萼长度呈现正相关
D．若从样本中抽取一部分，则这部分的相关系数一定是
【分析】根据散点图的特点可分析出相关性的问题，从而判断ABC选项，根据相关系数的定义可以判断D选项.
【解析】根据散点的集中程度可知，花瓣长度和花萼长度有相关性，A选项错误；
散点的分布是从左下到右上，从而花瓣长度和花萼长度呈现正相关性，B选项错误，C选项正确；
由于是全部数据的相关系数，取出来一部分数据，相关性可能变强，可能变弱，即取出的数据的相关系数不一定是，D选项错误.
故选C.