微专题 多项式积的展开式 学案——2023届高考数学一轮《考点·题型·技巧》精讲与精练

微专题：多项式积的展开式

【考点梳理】

1. 二项式定理

2. 对于两个多项式积的展开式中的特定项问题，一般都可以根据因式连乘的规律，结合组合定义求解，但要注意适当地运用分类方法，以免重复或遗漏.

3 求三项展开式中某些特定项的系数的方法：①两次利用二项式定理的通项公式求解；②由二项式定理的推证方法知，可用排列、组合的基本原理去求，即把三项式看作几个因式之积，要得到特定项看有多少种方法从这几个因式中取因式中的量.

4. 某些三项或三项以上的展开问题，根据式子的特点，可通过变形转化为二项式，再用二项式定理求解. 转化的方法通常为配方、因式分解.

【典例剖析】

典例1．的展开式的常数项为（       ）

A．6 B．10 C．15 D．16

典例2．在的展开式中的系数为___________.

典例3．已知的展开式中各项系数的和为，则该展开式中x的系数为_________

典例4．的展开式中，项的系数为___________．

典例5．用二项式定理展开下列各式：

(1)；

(2)．

【巩固训练】

一、单选题

6．的展开式中的常数项为（       ）

A．40 B．60 C．80 D．120

7．的展开式中，常数项为（       ）

A．2 B．6 C．8 D．12

8．的展开式中的常数项为（       ）

A．10 B． C． D．

二、填空题

9．的展开式中的常数项为_____．（用数字作答）

10．展开式的常数项为 ________.

11．的展开式中的常数项为___________.

12．设，其中，且，若，则=_____

13．的展开式中各项系数之和为，则该展开式中的系数为___________.

14．(a＋b＋c)n(n∈N*)的展开式中的项数为________．

15．乘积展开后，共有________项；

16．已知，若，则________.

17．求值：__________．

18．的展开式中，的系数为______.

三、解答题

19．已知从的展开式的所有项中任取两项的组合数是21 .

（1）求展开式中所有二项式系数之和(用数字作答)；

（2）若展开式中的常数项为，求的值.

20．已知.

(1)记其展开式中常数项为，当时.求的值；

(2)证明:在的展开式中，对任意，与的系数相同.

21．已知数列的通项公式为，，记.

（1）求，的值；

（2）是否存在实数，使得对任意，恒成立？若存在，求出实数的值；若不存在，请说明理由.

参考答案

1．D

【分析】先根据二项展开式通项公式求含系数，再根据多项式法则求常数项.

【详解】由题意得的展开式的通项为，

令，则，

所以的展开式的常数项为.

故选：D.

【点睛】本题考查二项式定理应用，考查基本分析求解能力，属基础题.

2．6

【分析】把按照二项式定理展开，可得的展开式中的系数．

【详解】，

展开式中含的项为

故它的展开式中的系数为6，

故答案为：6

3．

【分析】令，求得a，再利用通项公式求得x项求解.

【详解】解：因为的展开式中各项系数的和为，

所以令，得，

解得，

所以二项式为，

则展开式中含x的项为，

故x的系数为-120，

故答案为：

4．210

【分析】先把用二项展开式写出，再从中寻找含的项.

【详解】因为

所以含有项的为.

所以的展开式中，含项的系数为210.

故答案为：210.

5．(1)；

(2).

【分析】（1）直接利用二项式定理求解；

（2）先化简原式为，再利用二项式定理求解.

(1)

解：

．

(2)

解：

．

6．A

【分析】先确定的展开式的通项公式，再由求解.

【详解】解：的展开式的通项公式为，

而，

令，得，令，得，

所以的展开式中的常数项为．

故选：A．

7．D

【分析】先将展开，再求，展开式的通项，即可求出答案.

【详解】，展开式的通项为：

，当即时， ，所以的展开式中，常数项为.

故选：D.

8．D

【分析】将二项式表示为，得出其通项，令的指数为零，求出参数的值，再将参数的值代入通项可得出展开式中的常数项.

【详解】，

展开式通项为，

令，得，

因此，二项式展开式中的常数项为，

故选：D.

9．180

【解析】根据二项式定理，结合展开式通项即可确定的指数形式.将多项式展开，即可确定常数项.

【详解】的展开式中的通项公式 ，

而

分别令，，

解得，或．

∴的展开式中的常数项．

故答案为：180．

【点睛】本题考查了二项式定理通项展开式的应用，多项式的乘法展开式，常数项的求法，属于中档题.

10．

【分析】利用二项式定理把展开，可得二项式的展开式的常数项．

【详解】，故展开式中的常数项为.

【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，属于基础题．

11．

【分析】现将原式分为两个多项式，分别用二项式定理计算即可.

【详解】 ，

对于 ，通项公式为 ，

令 ，得r=3， ；

对于 ，通项公式为 ，不存在常数项；

∴常数项为-10；

故答案为：-10.

12．9

【分析】记函数，

，利用等比数列求和公式即可求解.

【详解】由题：记函数，

，

即，

故答案为：9

【点睛】此题考查多项式系数之和问题，常用赋值法整体代入求解，体现出转化与化归思想.

13．-48

【分析】令x=1，解得a=1，再利用的通项公式，进而得出．

【详解】令x=1,=2，解得a=1.

又的通项公式，

令5−2r=3，5−2r=5.

解得r=1，r=0.

∴该展开式中的系数为=−80+32=−48，

故答案为：−48.

【点睛】本题考查二项式定理的应用，根据通项公式求系数，属于中等题.

14．

【分析】由二项式定理可得，再根据二项式定理即可得解.

【详解】解：，

所以其展开式中的项数为.

故答案为：.

15．

【分析】根据条件中所给的是多项式乘以多项式，根据多项式乘法法则可得，要得到式子的结果，需要在每个括号中选一个进行乘法运算，分别分析每个括号中的取法数目，相乘得结果.

【详解】根据多项式的乘法法则，

展开后每一项都必须是在

两式中任取一项后相乘，得到的式子，

而在中有种取法，

在中有种取法，

由乘法原理，可得共有：种情况.

故原式展开后有项，

故答案为：

16．

【分析】将所给多项式配凑成符合二项展开式的形式，从而还原为，解方程求得结果.

【详解】

故答案为：

【点睛】本题考查二项展开式还原的问题，关键是能够配凑成符合二项展开式形式的式子，进而将式子还原为的形式.

17．1

【详解】分析：观察通项展开式中的中的次数与中的一致．

详解：通项展开式中的，故

=

点睛：合并二项式的展开式，不要纠结整体的性质，抓住具体的某一项中的中的次数与中的一致，有负号时注意在上还是在上．

18．30

【分析】 表示5个因式的乘积，在这5个因式中，有2个因式选 ，其余的3个因式中有一个选，剩下的两个因式选 ，即可得到含 的项，即可算出答案.

【详解】 表示5个因式的乘积，

在这5个因式中，有2个因式选 ，其余的3个因式中有一个选，剩下的两个因式选 ，即可得到含 的项，

故含的项系数是

故答案为：30

【点睛】本题考查的是利用分步计数原理处理多项式相乘的问题，较简单.

19．（1）64；（2）

【分析】（1）由二项式的展开式，共有项，得到，解得， 进而可求解展开式的二项式系数的和；

（2）由，求得二项式的展开式的通项，确定出或，代入即可求解.

【详解】（1）由题意可得，二项式的展开式，共有项，

则，解得， 所以展开式中所有二项式系数之和为.

（2）由，

则的通项为，

其中，

令或，截得或，

所以展开式中的常数项为,解.

【点睛】本题主要考查了二项展开式的通项的应用，以及二项式系数问题，其中解答中熟记二项展开式的通项和二项展开式的系数的性质是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.

20．(1)19；(2)证明见解析.

【分析】（1）根据展开式的通项公式，求出常数项，即可求得结果；

（1）先由展开式写出通项，分类讨论与存在，再证明系数相等.

【详解】(1)；

(2)由项式定理可知，

对任意给定的，当时，

的展开式中无与项；

当时，

若为奇数，则，

即的展开式中无与项；

若为偶数，设，

则的展开式中，的系数为

的系数为，即与项的系数相同，

即当且为偶数时，在的展开式中，

与项的系数均相同，

所以在的展开式中，与项的系数相同，原命题得证.

【点睛】本题考查二项展开式定理，解题的关键是掌握二项展开式的通项公式，突出考查分类讨论思想的应用，属于中档题.

21．（1），；（2）存在，

【分析】（1）直接代入计算即可得到所求值；

（2）记，，利用二项式定理将构造为，再次通过构造即可得即可.

【详解】（1），.

（2）记，.

则

.

因为.

故

所以存在，使得恒成立.

【点睛】本题考查数列通项的运用，解决问题的关键是运用二项式定理，考查了学生的计算能力，属于难题.