微专题 等比数列的性质 学案——2023届高考数学一轮《考点·题型·技巧》精讲与精练

这是一份微专题 等比数列的性质 学案——2023届高考数学一轮《考点·题型·技巧》精讲与精练，共26页。学案主要包含了考点梳理，题型归纳，双基达标，高分突破等内容，欢迎下载使用。
1、等比数列的性质
(1)与项有关的性质
①在等比数列{an}中，an＝amqn－m(n，m∈N*).
②在等比数列{an}中，若m＋n＝p＋q＝2k，m，n，p，q，k∈N*，则aman＝apaq＝aeq \\al(2,k).
③在公比为q的等比数列{an}中，取出项数成等差数列的项ak，ak＋d，ak＋2d，…，仍可组成一个等比数列，公比是qd.
④m个等比数列，由它们的各对应项之积组成一个新数列，仍然是等比数列，公比是原来每个等比数列对应的公比之积.
⑤若{an}，{bn}均为等比数列，公比分别为q1，q2，则{kan}(k≠0)仍为等比数列，且公比为q1；{anbn}仍为等比数列，且公比为q1q2；eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(an,bn)))仍为等比数列，且公比为eq \f(q1,q2).
⑥当{an}是公比为q(q>0)的正项等比数列时，数列{lgan}是等差数列，首项为lga1，公差为lgq.
(2)与和有关的性质
①等比数列连续k项的和仍为等比数列，即Sk，S2k－Sk，S3k－S2k，…，仍为等比数列，且公比为qk(q≠－1，或q＝－1且k为奇数).
②在等比数列中，若项数为2n(n∈N*)，则eq \f(S偶,S奇)＝q.
③在等比数列中，当qm≠1时，eq \f(Sn,Sm)＝eq \f(1－qn,1－qm)，n，m∈N*.
④在等比数列中，Sn＋m＝Sn＋qnSm，n，m∈N*.
2、①在等比数列中，若Sn≠0，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n成等比数列；②等比数列中，依次m项积仍为等比数列，但公比发生变化；③性质“当m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)时，有am·an＝ap·aq”常用来转化条件.
【题型归纳】
题型一：等比数列下标和性质及应用
1．已知数列是等比数列，满足，，则（ ）
A．B．C．D．
2．在正项等比数列中，，则（ ）
A．5B．10C．50D．10000
3．等比数列的各项均为正数，且，则（ ）
A．12B．10C．8D．6

题型二：等比数列片段和性质及应用
4．等比数列的前n项和为，已知，，则（ ）
A．B．C．D．
5．等比数列的前n项和为，若，，则（ ）
A．24B．12C．24或－12D．－24或12
6．设等比数列的前n项和为，若，，则（ ）
A．B．C．5D．7
题型三：等比数列奇、偶项和的性质及应用
7．已知一个项数为偶数的等比数列，所有项之和为所有偶数项之和的倍，前项之积为，则（ ）
A．B．
C．D．
8．已知数列的前项和，则数列的前10项中所有奇数项之和与所有偶数项之和的比为（ ）
A．B．2C．D．
9．已知等比数列共有32项，其公比，且奇数项之和比偶数项之和少60，则数列的所有项之和是（ ）
A．30B．60C．90D．120
【双基达标】
10．已知数列的首项为1，数列为等比数列，且，若，则（ ）
A．1008B．1024C．201D．2020
11．已知等比数列满足：，，则的值为（ ）
A．B．C．D．
12．.在等比数列{an}中，a5=3，则a2·a8=（ ）
A．3B．6C．8D．9
13．在等比数列中，若，则（ ）
A．B．3C．或2D．4
14．若数列为等差数列，数列为等比数列，则下列不等式一定成立的是（ ）
A．B．
C．D．
15．设等比数列的前项和为，若，，则（ ）
A．31B．32C．63D．64
16．在各项均为正数的等比数列中，，，则（ ）
A．1B．9C．D．
17．公比为的等比数列，其前项和为，前项积为，满足，.则下列结论正确的是（ ）
A．的最大值为
B．
C．的最大值为
D．
18．已知函数，若等比数列满足，则（ ）
A．B．C．2D．2021
19．已知等比数列的前项和为，则（ ）
A．48B．48或6C．D．或6
20．在正项等比数列中，，，记数列的前n项积为，，则n的最小值为（ ）
A．3B．4C．5D．6
21．已知等比数列中，，，，则（ ）
A．2B．3C．4D．5
22．一个等比数列前项的和为48，前项的和为60，则前项的和为（ ）．
A．83B．108C．75D．63
23．已知等比数列前项和是，前项和是，则前项和是（ ）
A．B．C．D．或
24．已知为等比数列，且，则的值为（ ）
A．B．C．D．
25．在由正数组成的等比数列中，若，则的值为（ ）
A．2B．4C．8D．16
【高分突破】
单选题
26．已知数列是等比数列，为其前n项和，若，，则（ ）
A．40B．60C．32D．50
27．在各项不为零的等差数列中，，数列是等比数列，且，则的值为
A．1B．2C．4D．8
28．已知正项递增等比数列中，，，则（ ）
A．B．C．D．
29．设是等比数列，且，，则（ ）
A．12B．24C．30D．32
30．已知在等比数列中，，，则（ ）
A．9或B．9C．27或D．27
31．已知等比数列的前项和为，若，，则
A．10B．7C．8D．4
32．已知数列的首项为1，数列为等比数列，且，若，则（ ）
A．1008B．1024
C．2019D．2020
33．记等比数列的前项和为，若，，则（ ）
A．12B．18C．21D．27
34．在等比数列{an}中，已知a1a3＝4，a9＝256，则a8＝（ ）
A．128或﹣128B．128C．64或﹣64D．64
二、多选题
35．已知数列是是正项等比数列，且，则的值可能是（ ）
A．2B．4C．D．
36．等比数列的公比为，且满足，，.记，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．使成立的最小自然数等于
37．等比数列的公比为，前项积，若 ，，，则
A．B．
C．是的最大值D．使的的最大值是4040
38．（多选）下列说法中不正确的是（ ）．
A．等比数列的某一项可以为0
B．等比数列的公比的取值范围是
C．若一个常数列是等比数列，则这个常数列的公比为1
D．若，则a，b，c成等比数列
三、填空题
39．已知数列是等比数列，，则的值为___________.
40．已知正项等比数列共有项，它的所有项的和是奇数项的和的倍，则公比______.
41．若无穷等比数列的各项均大于1，且满足，，则公比________.
42．已知等比数列的公比为q，前n项积为，且满足条件：给出下列结论：①；②；③是数列中的最大项；④使成立的最大自然数n是198，其中正确的是____________．
43．已知正项等比数列的前项和为，若，，则，的等差中项为__________.
44．等比数列的各项均为实数，已知，，则___________.
四、解答题
45．在公差为d的等差数列中，已知，且，，成等比数列．
（1）求数列的通项公式；
（2）若，，求数列的前n项和．
46．已知公差不为零的等差数列中，，成等比数列.
（1）求数列的通项公式；
（2）若数列满足，，求证：.
47．已知是一个无穷等比数列，公比为q．
（1）将数列中的前k项去掉，剩余项组成一个新数列，这个新数列是等比数列吗？如果是，它的首项与公比分别是多少？
（2）取出数列中的所有奇数项，组成一个新数列，这个新数列是等比数列吗？如果是，它的首项与公比分别是多少？
（3）在数列中，每隔10项取出一项，组成一个新数列，这个新数列是等比数列吗？如果是，它的公比是多少？你能根据得到的结论作出关于等比数列的一个猜想吗？
48．在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答．
问题：设是数列的前n项和，且，______________，求的通项公式，并判断是否存在最大值，若存在，求出最大值；若不存在，说明理由．
49．已知公差大于0的等差数列的前项和为，且满足，．
（1）求数列的通项公式．
（2）若，，，，是某等比数列的连续三项，求的值．
（3）是否存在常数，使得数列为等差数列？若存在，求出常数；若不存在，请说明理由．
参考答案：
1．B
【解析】
【分析】
设等比数列的公比为，根据题意可得出关于、的方程，求出这两个量的值，可求得的值，再利用等比数列的基本性质可求得结果.
【详解】
设等比数列的公比为，则，解得，
所以，，
因此，.
故选：B.
2．A
【解析】
【分析】
利用等比数列的性质结合对数的运算性质可求得结果.
【详解】
因为，
所以，
因此，.
故选：A.
3．A
【解析】
【分析】
根据等比数列的下标和性质即可求解.
【详解】
解：根据等比数列的下标和性质，可得，
，
故选：A .
4．B
【解析】
【分析】
根据为等比数列可求的值.
【详解】
因为且为等比数列，故为等比数列，
故，解得，
故选：B.
5．A
【解析】
【分析】
根据等比数列片段和性质得到方程，求出，再检验即可；
【详解】
解：因为等比数列的前n项和为，所以，，成等比数列，
因为，，所以，
解得或，因为，
所以，则．
故选：A
6．C
【解析】
【分析】
用等比数列前项表示出，即可求出，代入即可求解.
【详解】
由题知：显然
即，解得或（舍）
所以
故选：C
7．C
【解析】
【分析】
求出等比数列的公比，结合等比中项的性质求出，即可求得的值.
【详解】
由题意可得所有项之和是所有偶数项之和的倍，所以，，故
设等比数列的公比为，设该等比数列共有项，
则，所以，，
因为，可得，因此，.
故选：C.
8．C
【解析】
【分析】
由和等比数列的前n项和可得答案.
【详解】
当时，，又，
即前10项分别为，
所以数列的前10项中，，所以，
故选：C．
9．D
【解析】
设等比数列的奇数项之和为，偶数项之和为则，，则可求出,值，从而得出答案.
【详解】
设等比数列的奇数项之和为，偶数项之和为
则，
又，则，解得，
故数列的所有项之和是.
故选：D
10．D
【解析】
【分析】
根据数列为等比数列，和，利用等比数列性质得到，再利用累乘法结合性质，由求解．
【详解】
由数列为等比数列，得．又，
所以，
所以．
又数列的首项，所以，
故选：D．
11．B
【解析】
【分析】
利用等比数列的性质求解即可.
【详解】
，，，
.
故选:B
12．D
【解析】
【分析】
利用等比数列的等比中项的特性可得a2·a8=，从而求出结果.
【详解】
a2·a8==32=9.
故选：D
13．C
【解析】
利用等比数列的性质可得，从而可得答案
【详解】
由等比数列的性质有，可得.
故选：C
14．D
【解析】
【分析】
对选项A，令即可检验；对选项B，令即可检验；对选项C，令即可检验；对选项D，设出等差数列的首项和公比，然后作差即可.
【详解】
若，则
可得：，故选项A错误；
若，则
可得：，故选项B错误；
若，则
可得：，故选项C错误；
不妨设的首项为，公差为，则有：
则有：，故选项D正确
故选：D
15．C
【解析】
根据等比数列前项和的性质列方程，解方程求得.
【详解】
因为为等比数列的前项和，所以，，成等比数列，
所以，即，解得.
故选：C
16．B
【解析】
利用等比数列的性质：若，则可解.
【详解】
因为为各项为正的等比数列，，，
所以
故选：B
【点睛】
等差（比）数列问题解决的基本方法：基本量代换和灵活运用性质．
17．A
【解析】
【分析】
根据已知条件，判断出，即可判断选项D，再根据等比数列的性质，判断，，由此判断出选项A,B,C.．
【详解】
根据题意，等比数列满足条件，，，
若，则，
则，，则，
这与已知条件矛盾，所以不符合题意，故选项D错误；
因为，，，
所以 ，，，
则，，
数列前2021项都大于1，从第2022项开始都小于1，
因此是数列中的最大值，故选项A正确．
由等比数列的性质，，故选项B不正确；
而，由以上分析可知其无最大值，故C错误；
故选：A
18．D
【解析】
【分析】
根据题意，由等比数列的性质可得
,结合函数的解析式可得
= ,
进而分析可得答案.
【详解】
解：根据题意，等比数列满足，则有，
若，则，则有，
同理：，
则（1）（1），则，
故；
故选：D．
19．D
【解析】
【分析】
根据题意先求出公比，进而根据求得答案.
【详解】
设公比为q，由题意得，，得或1.
当时，；
当时，.
故选：D.
20．C
【解析】
【分析】
根据给定条件求出数列的通项，再计算，列式解不等式作答.
【详解】
设正项等比数列公比为q，由得，于是得，而，解得，
因此，，，由得：，
从而得：，而，解得，又，则，
所以n的最小值为5.
故选：C
21．B
【解析】
本题首先可设公比为，然后根据得出，再然后根据求出，最后根据等比数列前项和公式即可得出结果.
【详解】
设等比数列的公比为，
则，
即，
因为，所以，
则，
即，解得，
故选：B.
【点睛】
关键点点睛：本题考查根据等比数列前项和求参数，能否根据等比数列项与项之间的关系求出公比是解决本题的关键，考查计算能力，是中档题.
22．D
【解析】
【分析】
根据等比数列前项和的性质可求前项的和.
【详解】
设等比数列前项和为，
因为等比数列前项的和为48且不为零，则成等比数列，
故，故，
故选：D.
23．A
【解析】
【分析】
设等比数列的公比为，前项和为，推导出、、成等比数列，列方程可求得的值.
【详解】
设等比数列的公比为，前项和为，
则，
，
所以，，，
整理可得，解得或.
当时，，则，显然不成立，故.
故选：A.
24．B
【解析】
【分析】
根据等比数列的性质有，进而求得答案.
【详解】
因为为等比数列，所以，所以.
故选：B.
25．C
【解析】
【分析】
根据给定条件结合等比数列性质可得，再把所求的式子用等比数列性质化成用表示即可得解.
【详解】
因数列是正数组成的等比数列，则，
所以.
故选：C
26．B
【解析】
【分析】
运用等比数列的性质，成等比数列.
【详解】
由等比数列的性质可知，数列是等比数列，即数列4，8，是等比数列，因此．
故选:B.
27．C
【解析】
根据等差数列的性质可知，代入方程可求出，再根据等比数列的性质 即可代入求解.
【详解】
因为等差数列中，所以，
因为各项不为零，所以，
因为数列是等比数列，所以
所以，故选C.
【点睛】
本题主要考查了等差数列中，当时，，等比数列中，当时，，属于中档题.
28．C
【解析】
【分析】
由等比数列通项公式可求得的值，进而计算可得结果.
【详解】
，又，；
设正项递增等比数列的公比为，则，
由得：，整理可得：，
解得：（舍）或；.
故选：C.
29．D
【解析】
【分析】
根据已知条件求得的值，再由可求得结果.
【详解】
设等比数列的公比为，则，
，
因此，.
故选：D.
【点睛】
本题主要考查等比数列基本量的计算，属于基础题．
30．B
【解析】
【分析】
根据等比数列的性质可求.
【详解】
因为为等比数列，设公比为，
则，解得，又，所以.
故选：B.
31．C
【解析】
根据等比数列的性质可将已知等式变为，解方程求得结果.
【详解】
由题意得：
本题正确选项：
【点睛】
本题考查等比数列性质的应用，关键是能够根据下角标的关系凑出关于的方程，属于基础题.
32．D
【解析】
【分析】
根据数列为等比数列，和，利用等比数列性质得到，再利用累乘法结合性质，由求解．
【详解】
由数列为等比数列，
得．
又，所以，
所以．
又数列的首项，所以
故选：D
33．C
【解析】
【分析】
根据等比数列的性质，可知等比数列的公比,所以成等比数列，根据等比的中项性质即可求出结果.
【详解】
因为为等比数列的前项和，且，，易知等比数列的公比,
所以成等比数列
所以，所以，解得.
故选：C.
34．A
【解析】
【分析】
先由等比数列的性质可得a1a34，求出a2的值，再由a9＝256求出公比q，从而可求出a8的值.
【详解】
解：由等比数列的性质可得，a1a34，
∴a2＝2或﹣2，
∵a9＝256，当a2＝2时，q7＝128即q＝2，则a8＝128，
当a2＝﹣2时，q7＝﹣128即q＝﹣2，则a8＝﹣128，
故选：A.
【点睛】
此题考查了等比数列的性质和基本量计算，属于基础题.
35．ABD
【解析】
根据基本不等式的相关知识，结合等比数列中等比中项的性质，求出的范围，即可得到所求．
【详解】
解：依题意，数列是是正项等比数列，，，，
，
因为，
所以上式可化为，当且仅当，时等号成立．
故选：．
【点睛】
本题考查了等比数列的性质，考查了基本不等式，考查分析和解决问题的能力，逻辑思维能力．属于中档题．
36．AD
【解析】
【分析】
分析、不成立，可判断A选项的正误；利用等比中项的性质可判断B选项的正误；时，，时，，可判断C选项的正误；比较、、与的大小关系，可判断D选项的正误.
【详解】
对于A选项，，若，则，矛盾；
若，则，从而，矛盾.
综上，，A正确；
对于B选项，由A选项可知，，则且，且，
因为，则有，
故，B错误；
因为当时，，时，，则的最大值为，C错误；
，，，D正确，
故选：AD.
37．AD
【解析】
【分析】
由题目条件先得出，， ，然后对选项进行逐一分析得出答案.
【详解】
根据条件可得，则， ,又
选项A. ，所以
若，则，
所以与条件 矛盾.
所以，所以选项A正确.
选项B. 由, ，可得等比数列单调递减.
又，可得 ，
，所以选项B不正确.
选项C . 由，，可得等比数列单调递减.
可得，，即数列 的前项大于1，当时，
所以是的最大值，所以选项C不正确.
选项D.
，由上可知 ，可得，由此类推可得当时，
，
由，可得，由此类推可得可得当 时，
所以使的的最大值是4040，所以选项D正确
故选：AD
【点睛】
关键点睛：本题考查等比数列的基本性质和前项积的性质，解答本题的关键是根据条件得出，， ，属于中档题.
38．ABD
【解析】
【分析】
根据等比数列的性质，逐个选项进行判断即可求解
【详解】
对于A，因为等比数列的各项都不为0，所以说法A不正确；
对于B，因为等比数列的公比不为0，所以说法B不正确；
对于C，若一个常数列是等比数列，则这个常数不为0，
根据等比数列的定义知此数列的公比为1，所以说法C正确；
对于D，只有当a，b，c都不为0时，a，b，c才成等比数列，所以说法D不正确．
故选：ABD
39．64或1
【解析】
【分析】
利用等比数列的性质即可求解.
【详解】
为等比数列，.
又或.
①当时，，
此时.
②当时，，
此时.
故答案为：64或1
40．
【解析】
【分析】
利用以及已知条件可求得的值.
【详解】
设等比数列的奇数项之和为，偶数项之和为，
则，
由，得，因为，所以，所以，.
故答案为：.
41．2
【解析】
【分析】
根据等比数列的性质可得，结合已知条件，以及的各项均大于1，即可得和的值，再由等比数列的通项公式即可求解.
【详解】
因为数列是等比数列，所以，
又因为，
解得：或，
由无穷等比数列的各项均大于1可知，
所以，因为，即，解得：.
故答案为：2.
42．①②④
【解析】
【分析】
①由，根据判断；②利用等比数列的性质判断；③利用前n项积的定义判断；④利用前n项积的定义结合等比数列的性质判断.
【详解】
①，因为，则，故正确；
②，故正确；
③，故错误；
④因为，
，故正确；
故答案为： ①②④
43．##
【解析】
【分析】
利用等比数列部分和的性质求出，然后利用等差中项求解答案.
【详解】
设，因为为等比数列，所以，，成等比数列.
因为，，所以，解得或（舍去）.
所以，的等差中项为.
故答案为：.
44．1024
【解析】
【分析】
根据等比数列的通项公式和等比数列的下标性质进行求解即可.
【详解】
设等比数列的公比为，由，，
可得，则，代入得.
则，
故答案为：1024
45．（1） 或；（2）， ．
【解析】
（1）由成等比数列求得公差后可得通项公式；
（2）对用错位相减法求和．
【详解】
解：（1）∵成等比数列，∴，整理得，
解得或，
当时，；
当时，．
所以或．
（2）设数列前n项和为，
∵，∴，
当时，，
当时，
令，则
两式相减可得
整理可得，
则
且满足上式，
综上所述：，．
【点睛】
本题考查求等差数列的通项公式，分组（并项）求和法，错位相减法．
数列求和的常用方法：（1）公式法；（2）错位相减法；（3）裂项相消法；（4）分组（并项）求和法；（5）倒序相加法．
46．（1）（2）见解析
【解析】
【分析】
（1）直接利用已知条件建立等量关系求出数列的通项公式；
（2）利用累加法和基本不等式的应用，即可求出结果.
【详解】
解：（1）设公差为，
则由题设可得：，
解得或（舍去），
所以，
（2）当时，有，，
两式相减得：，
即，
所以
，
当时，左边，右边，不等式也成立，
综上所述，对于任意都有.
【点睛】
本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，叠加法在求通项公式中的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力．
47．答案见解析.
【解析】
【分析】
（1）这个新数列是等比数列.它的首项与公比分别是；
（2）这个新数列是等比数列.它的首项与公比分别是；
（3）这个新数列是等比数列.它的公比是，我们由此可以得到一个结论： 在数列中，每隔项取出一项，组成一个新数列，这个新数列是等比数列，它的公比为.
【详解】
（1）将数列中的前k项去掉，剩余项组成一个新数列，这个新数列是等比数列.它的首项与公比分别是；
（2）取出数列中的所有奇数项，组成一个新数列，这个新数列是等比数列.它的首项与公比分别是；
（3）在数列中，每隔10项取出一项，组成一个新数列，这个新数列是等比数列.它的公比是，我们由此可以得到一个结论： 在数列中，每隔项取出一项，组成一个新数列，这个新数列是等比数列，它的公比为.
48．选①，，存在最大值，且最大值为4；选②，，存在最大值，且最大值为50；选③，，不存在最大值，理由见解析．
【解析】
【分析】
选①先判断是首项为4，公比为的等比数列，再求，最后分为奇数和为偶讨论，分别判断存在最大值并求出最大值即可；选②先判断是首项为4，公差为的等差数列，再求出，最后判断存在最大值并求出的最大值；选③先求出，再判断不存在最大值．
【详解】
解：选①：因为，，所以是首项为4，公比为的等比数列．
所以．
当为奇数时，，
因为随着的增大而减小，所以此时的最大值为；
当为偶数时，，且，
综上，存在最大值，且最大值为4．
选②：因为，，所以是首项为4，公差为的等差数列．
所以，
由于，得，所以存在最大值，且最大值为或，
因为，所以的最大值为50．
选③：因为，所以，
所以，，…，，
所以，
又，所以，
当时，，故不存在最大值．
【点睛】
本题主要考查等差数列与等比数列的判定、由定义求等差数列和等比数列的通项公式、由递推关系求通项公式、数列的前n项和的最值问题，还考查运算求解能力、化归与转化思想，是中档题．
49．（1） ；（2） ；（3） 存在；．
【解析】
【分析】
（1）结合等差数列性质得，结合一元二次方程的根的知识求得，从而得公差和首项，然后可得通项公式；
（2）根据等比数列的性质计算；
（3）假设存在，利用等差数列的通项公式是关于的一次函数形式，设，由恒等式知识求得．
【详解】
（1）因为，，
所以，是方程的两个根．
又公差，所以，所以，．
所以，解得．
所以．
（2）因为，，，，是某等比数列的连续三项，
所以，即，得．
（3）由（1）知．
假设存在常数，使数列为等差数列，
由等差数列通项公式，可设，
则对任意恒成立，
可得，，．
所以存在使得为等差数列．