微专题 幂函数的图象和性质 学案-2023届高考数学一轮《考点·题型·技巧》精讲与精练

这是一份微专题 幂函数的图象和性质 学案-2023届高考数学一轮《考点·题型·技巧》精讲与精练，共28页。

微专题：幂函数的图象和性质
【考点梳理】
1. 幂函数
(1)定义：一般地，函数y＝xα叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数.
(2)常见的五种幂函数的图象和性质比较
函数
图象
性质
定义域
值域
奇偶性
单调性
公共点
y＝x

R
R
奇
在R上单调递增
(1，1)
y＝x2

R
{y|y≥0}
偶
在(－∞，0]上单调递减；在[0，＋∞)上单调递增
y＝x3

R
R
奇
在R上单调递增
y＝x

{x|x≥0}
{y|y≥0}
非奇
非偶
在[0，＋∞)上单调递增
y＝x－1

{x|x≠0}
{y|y≠0}
奇
在(－∞，0)和(0，＋∞)上单调递减
2. 幂函数相关常用结论
(1)一般地，在区间(0，1)上，幂函数中指数越大，函数图象越靠近x轴(简记为“指大、图低”)，在区间(1，＋∞)上，幂函数中指数越大，图象越远离x轴(不包括幂函数y＝x0).
(2)幂函数的图象一定会出现在第一象限内，一定不会出现在第四象限，最多只能同时出现在两个象限内.
(3)形如y＝x或y＝x－(m，n为互质的正整数)类型函数的奇偶性判断：当m，n都为奇数时，幂函数在定义域上为奇函数；当m为奇数，n为偶数时，幂函数在定义域上为非奇非偶函数；当m为偶数，n为奇数时，幂函数在定义域上为偶函数.



【题型归纳】
题型一：幂函数的图象
1．函数的图象大致为（       ）
A． B． C． D．
2．在同一直角坐标系中，函数，且的图象可能是（       ）
A． B．
C． D．
3．幂函数在第一象限的图像如图所示，则的大小关系是 （       ）


A． B． C． D．

题型二：幂函数的单调性
4．若，则a､b､c的大小关系是（       ）
A． B． C． D．
5．幂函数在区间上单调递增，则（       ）
A．27 B． C． D．
6．已知幂函数上单调递增，则（       ）
A．0 B． C． D．

题型三：幂函数的奇偶性
7．下列函数中，与函数的奇偶性相同，且在上有相同单调性的是（       ）
A． B．
C． D．
8．幂函数的图象关于轴对称，且在上是增函数，则的值为（       ）
A． B． C． D．和
9．已知函数，若存在，使得不等式成立，则实数m的取值范围为（       ）
A． B． C． D．



【双基达标】
10．若，，，则的大小关系是（       ）
A． B．
C． D．
11．四个数2.40.8,3.60.8，log0.34.2, log0.40.5的大小关系为（       ）
A．3.60.8>log0.40.5>2.40.8>log0.34.2
B．3.60.8>2.40.8>log0.34.2>log0.40.5
C．log0.40.5>3.60.8>2.40.8>log0.34.2
D．3.60.8>2.40.8>log0.40.5>log0.34.2
12．幂函数的图象过点(3， )，则它的单调递增区间是（       ）
A．[-1，+∞) B．[0，+∞)
C．(-∞，+∞) D．(-∞，0)
13．下列命题中，不正确的是（       ）
A．幂函数y=x-1是奇函数
B．幂函数y=x2是偶函数
C．幂函数y=x既是奇函数又是偶函数
D．y=既不是奇函数，又不是偶函数
14．函数的单调递减区间为（       ）
A． B． C． D．
15．已知函数是幂函数，对任意的且，满足，若，则的值（       ）
A．恒大于0 B．恒小于0
C．等于0 D．无法判断
16．下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是（       ）
A． B．
C． D．，且
17．若，，，，则，，的大小关系为（       ）
A． B． C． D．
18．下面是有关幂函数的四种说法，其中错误的叙述是
A．的定义域和值域相等 B．的图象关于原点中心对称
C．在定义域上是减函数 D．是奇函数
19．已知函数的大致图象如下图，则幂函数在第一象限的图象可能是（       ）

A． B．
C． D．
20．已知函数是幂函数，对任意，，且，满足，若，，且，则的值（       ）
A．恒大于0 B．恒小于0 C．等于0 D．无法判断
21．已知实数a，b，c满足，，，则a，b，c的大小关系是（       ）
A． B．
C． D．
22．已知函数为上的偶函数，对任意，，均有成立，若，则的大小关系是（       ）
A． B． C． D．
23．已知幂函数在上单调递减，则实数m的值为（       ）
A． B． C．1 D．或1
24．若，则下列函数①；②；③；④；⑤满足条件的有（       ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
25．下列命题中正确的是（       ）
A．当时，函数的图像是一条直线；
B．幂函数的图像都经过和点；
C．幂函数的定义域为；
D．幂函数的图像不可能出现在第四象限．

【高分突破】
一、 单选题
26．三个数的大小顺序为（       ）
A． B． C． D．
27．若幂函数，，在第一象限的图像如图所示，则（       ）

A． B． C． D．
28．若幂函数在上单调递增，则（       ）
A． B． C． D．
29．已知，，，则（       ）
A． B． C． D．
30．若幂函数的图像经过点，则该函数的图像（       ）
A．关于x轴对称 B．关于y轴对称 C．关于原点对称 D．关于直线对称
31．若a>b，则
A．ln(a−b)>0 B．3a<3b
C．a3−b3>0 D．│a│>│b│
32．如图是幂函数的部分图像，已知分别取这四个值，则与曲线相应的依次为（       ）

A． B．
C． D．
33．满足的实数m的取值范围是（       ）.
A． B．
C． D．
34．已知幂函数的图象过点，且，则的取值范围是（       ）
A． B． C． D．
二、多选题
35．已知函数，若，则下列不等式一定成立的有（       ）
A． B．
C． D．
36．下列说法中错误的是（       ）
A．幂函数的图象不经过第四象限
B．的图象是一条直线
C．若函数的定义域为，则它的值域为
D．若函数的值域为是，则它的定义域一定是
37．下面关于函数的性质，说法正确的是（       ）
A．的定义域为 B．的值域为
C．在定义域上单调递减 D．点是图象的对称中心
38．若幂函数在上单调递增，则（       ）
A． B． C． D．
三、填空题
39．已知函数，若恒成立，则实数的取值范围是________.
40．已知.若函数在上递减且为偶函数，则________.
41．已知，则由小到大的排列顺序是______．
42．已知幂函数在上单调递增，则m值为_____.
43．已知幂函数的图象关于原点对称，则满足成立的实数a的取值范围为___________.
44．已知幂函数在为增函数，则实数的值为___________.
四、解答题
45．已知函数，满足．
（1）求的值并求出相应的的解析式；
（2）对于（1）中的函数，使得在上是单调函数，求实数的取值范围．
46．已知幂函数（）在是严格减函数，且为偶函数.
（1）求的解析式；
（2）讨论函数的奇偶性，并说明理由.
47．在同一平面直角坐标系中画出函数与的图象，并利用图象求不等式的解集．
48．已知幂函数为偶函数，且在区间上单调递减.
（1）求函数的解析式；
（2）讨论的奇偶性.（直接给出结论，不需证明）
49．若幂函数在其定义域上是增函数.
（1）求的解析式；
（2）若，求的取值范围.

参考答案
1．A
【解析】
【分析】
首先判断函数的奇偶性，再根据幂函数的性质判断即可；
【详解】
解：因为的定义域为，
又，故为偶函数，函数图象关于轴对称，故排除C、D；
当时，由幂函数的性质可知，在上单调递增，但是增长趋势越来越慢，故B错误；
故选：A
2．B
【解析】
【分析】
讨论时和时，函数的图象增减即可判断出可能的图象，即得答案.
【详解】
当时，为指数函数，且递减，
为幂函数，且在时递增，递增的幅度随x的增大而增加的更快，故A错误，B正确；
当时，为指数函数，且递增，
为幂函数，且在时递增，递增的幅度越往后越平缓，故C,D错误,
故选：B
3．D
【解析】
【分析】
根据幂函数的性质，在第一象限内，的右侧部分的图像，图像由下至上，幂指数增大，即可判断；
【详解】
根据幂函数的性质，
在第一象限内，的右侧部分的图像，图像由下至上，幂指数增大，
所以由图像得：，
故选：D
4．A
【解析】
【分析】
利用幂函数和指数函数的单调性比较大小
【详解】
因为在上单调递增，且，
所以，即，
因为在上单调递减，且，
所以，即，
所以，即
故选：A
5．A
【解析】
【分析】
根据幂函数的概念及性质，求得实数的值，得到幂函数的解析式，即可求解.
【详解】
由题意，令，即，解得或，
当时，可得函数，此时函数在上单调递增，符合题意；
当时，可得，此时函数在上单调递减，不符合题意，
即幂函数，则.
故选：A.
6．A
【解析】
【分析】
由题意可得且，从而可求出的值
【详解】
因为幂函数上单调递增，
所以且，
解得，
故选：A
7．D
【解析】
【分析】
根据指对函数的性质判断A、B，由正弦函数性质判断C，对于D有，即可判断奇偶性和单调性.
【详解】
由为奇函数且在上递增，
A、B：、非奇非偶函数，排除；
C：为奇函数，但在上不单调，排除；
D：，显然且定义域关于原点对称，在上递增，满足.
故选：D
8．D
【解析】
【分析】
分别代入的值，由幂函数性质判断函数增减性即可.
【详解】
因为，，
所以当时，，由幂函数性质得，在上是减函数；
所以当时，，由幂函数性质得，在上是常函数；
所以当时，，由幂函数性质得，图象关于 y 轴对称,在上是增函数；
所以当时，，由幂函数性质得，图象关于 y 轴对称,在上是增函数；
故选：D.
9．A
【解析】
【分析】
首先判断函数的奇偶性与单调性，依题意存在，使得成立，参变分离，即可求出参数的取值范围；
【详解】
解：因为定义域为，又，即为奇函数，且函数在上单调递增，所以为在定义域上单调递增的奇函数，
因为存在，使得成立，即成立，即成立，所以存在，使得成立，则成立，因为，所以，所以，即；
故选：A
10．D
【解析】
【分析】
由在第一象限内是增函数可得出的大小，由是减函数可得出的大小.
【详解】
因为在第一象限内是增函数，所以
因为是减函数，所以，所以
故选：D
【点睛】
本题考查的是利用指数函数和幂函数的单调性比较大小，较简单.
11．D
【解析】
【分析】
由对数函数的性质判出1＞log0.4 0.5>0＞log0.34.2，由幂函数的性质得到3.60.8＞2.40.8＞1，则四个数的大小得到比较．
【详解】
∵y＝x0.8在(0，＋∞)上是增函数，
又3.6>2.4>1，∴3.60.8>2.40.8>1.
∵log0.34.2 ∴log0.34.2<0 ∴3.60.8>2.40.8>log0.40.5>log0.34.2.
故选：D.
12．B
【解析】
【分析】
根据利用待定系数法求出幂函数的解析式，再根据幂函数求出单调增区间即可.
【详解】
设幂函数为f(x)=xα，
因为幂函数的图象过点(3， )，
所以f(3)=3α==，
解得α=，
所以f(x)=，
所以幂函数的单调递增区间为[0，+∞).
故选：B
【点睛】
本题主要考查幂函数的定义及单调区间，属于简单题.
13．C
【解析】
【分析】
根据奇偶函数的定义依次判断即可.
【详解】
因为，，所以A正确；
因为，所以B正确；
因为不恒成立，所以C不正确；
因为定义域为[0，+∞)，不关于原点对称，所以D正确.
故选：C.
【点睛】
本题主要考查奇偶函数的定义，属于简单题.
14．A
【解析】
【分析】
，由结合函数的递减区间可得结果.
【详解】
，
由得，又，
所以函数的单调递减区间为.
故选：．
15．B
【解析】
根据函数为幂函数以及函数在的单调性，可得，然后可得函数的奇偶性，结合函数的单调性以及奇偶性，可得结果.
【详解】
由题可知：函数是幂函数
则或
又对任意的且，满足
所以函数为的增函数，故
所以，又，
所以为单调递增的奇函数
由，则，所以
则
故选：B
【点睛】
本题考查幂函数的概念以及函数性质的应用，熟悉函数单调递增的几种表示，比如，属中档题.
16．B
【解析】
【分析】
根据指对幂函数的单调性与奇偶性依次讨论个选项即可得答案.
【详解】
解：对于A选项，，为偶函数，故错误；
对于B选项，，为奇函数，且函数均为减函数，故为减函数，故正确；
对于C选项，指数函数没有奇偶性，故错误；
对于D选项，函数为奇函数，在定义域上没有单调性，故错误.
故选：B
17．A
【解析】
【分析】
根据指数函数以及幂函数的单调性比较出之间的大小关系.
【详解】
因为在上单调递减，所以，即，
又因为在上单调递增，所以，即，
所以，
故选：A.
【点睛】
本题考查根据指数函数、幂函数的单调性比较数值大小，难度一般.注意幂函数当时在上单调递增.
18．C
【解析】
【分析】
根据幂函数的单调性，定义域，值域，对称，奇偶性，依次判断每个选项得到答案.
【详解】
，函数的定义域和值域均为，A正确；
，，函数为奇函数，故BD正确；
在和是减函数，但在不是减函数，C错误.
故选：C.
【点睛】
本题考查了幂函数的定义域，对称，奇偶性，单调性，意在考查学生对于幂函数性质的综合应用.
19．B
【解析】
【分析】
根据对数函数的图象，求得参数范围；再根据幂函数的图象，即可容易判断.
【详解】
由的图象可知，，
所以，得，，
所以，所以幂函数在第一象限的图象可能为.
故选：B.
【点睛】
本题考查由对数函数的图象求参数范围，涉及幂函数图象的应用，属综合基础题.
20．A
【解析】
利用幂函数的定义求出m，利用函数的单调性和奇偶性即可求解．
【详解】
∵函数是幂函数，
∴，解得：m= -2或m=3．
∵对任意，，且，满足，
∴函数为增函数，
∴，
∴m=3（m= -2舍去）
∴为增函数．
对任意，，且，
则，∴
∴．
故选：A
【点睛】
(1)由幂函数的定义求参数的值要严格按照解析式，x前的系数为1；
(2)函数的单调性和奇偶性是函数常用性质，通常一起应用．
21．C
【解析】
【分析】
分别求出，，的大致范围，即可比较，，的大小.
【详解】
由题意得，，故；
，
因，根据对勾函数得，因此；
由勾股数可知，又因且，故；
因此.
故选：C.
【点睛】
指数式、对数式的大小比较，常利用函数的单调性或中间值进行比较，要根据具体式子的特点，选择恰当的函数，有时还需要借助幂函数比较.对于比较的式子，要先化简转化，再比较大小.
22．D
【解析】
【分析】
根据条件判断函数的单调性，然后利用单调性进行比较即可．
【详解】
解：对任意，，均有成立，
此时函数在区间为减函数，
是偶函数，
当时，为增函数，
，，，
因为，所以，
因为，所以，
所以，
所以，
即.
故选：D．
23．A
【解析】
【分析】
由是幂函数结合函数单调性得出实数m的值．
【详解】
由于为幂函数，所以或；又函数在上单调递减，故当时符合条件，
故选：A
24．D
【解析】
【分析】
条件表明函数应是上凹函数或者是一次函数，结合幂函数的图象可作答．
【详解】
只有上凹函数或者是一次函数才满足题中条件，所以只有①②③⑤满足.
故选：D.
25．D
【解析】
【分析】
根据幂函数的性质依次分析各选项即可得答案.
【详解】
解：对于A，时，函数的图像是一条直线除去点，故错误；
对于B，幂函数的图像都经过点，当指数大于时，都经过点，当指数小于时，不经过点，故B错误；
对于C，函数，故定义域为，故错误；
对于D，由幂函数的性质，幂函数的图像一定过第一象限，不可能出现在第四象限，故正确.
故选：D.
26．D
【解析】
【分析】
利用幂函数的单调性可判断三者的大小关系，注意利用中间数．
【详解】
，由于，所以，
所以，即，
而，，
所以，所以，即，所以.
故选：D．
27．B
【解析】
【分析】
在区间（0，1）上，幂函数的指数越大，图象越靠近x轴；在区间（1，+∞）上，幂函数的指数越大，图象越远离x轴．观察幂函数的第一象限图象，由此可得m，n，p的大小关系.
【详解】
因为在区间（0，1）上，幂函数的指数越大，图象越靠近x轴；
所以，
故选：B．

28．D
【解析】
【分析】
根据幂函数的系数等于，以及的指数位置大于即可求解.
【详解】
因为函数是幂函数，
所以，解得或．
当时，在上单调递增；
当时，在上单调递减，
所以．
故选：D.
29．C
【解析】
【分析】
先判断，然后判断，由此确定正确选项.
【详解】
由，，可得，，则有，所以；，则.
故选:C
30．B
【解析】
【分析】
根据幂函数的图象经过点，可得幂函数的解析式，根据偶函数的定义可得幂函数为偶函数，根据偶函数的对称性可得答案.
【详解】
设，依题意可得，解得，
所以，因为，
所以为偶函数，其图象关于轴对称.
故选：B.
【点睛】
本题考查了求幂函数的解析式，考查了幂函数的奇偶性，属于基础题.
31．C
【解析】
【分析】
本题也可用直接法，因为，所以，当时，，知A错，因为是增函数，所以，故B错；因为幂函数是增函数，，所以，知C正确；取，满足，，知D错．
【详解】
取，满足，，知A错，排除A；因为，知B错，排除B；取，满足，，知D错，排除D，因为幂函数是增函数，，所以，故选C．
【点睛】
本题主要考查对数函数性质、指数函数性质、幂函数性质及绝对值意义，渗透了逻辑推理和运算能力素养，利用特殊值排除即可判断．
32．A
【解析】
【分析】
根据幂函数的图象和性质之间的关系进行判断即可.
【详解】
当时，幂函数在第一象限内单调递减，
当时，幂函数在第一象限内单调递增，
所以，
当时，幂函数在第一象限内单调递增，
所以，
所以相应曲线的依次为.
故选：A
33．D
【解析】
【分析】
根据幂函数的单调性结合函数值的正负，将所求不等式转化为关于的一次不等式组，求解即可.
【详解】
幂函数在为减函数，且函数值为正，
在为减函数，且函数值为负，
等价于，
或或，
解得或或，
所以不等式的解集为.
故选：D.
【点睛】
本题考查不等式的求解，利用幂函数的单调性是解题的关键，考查分类讨论思想和计算求解能力，属于中档题.
34．C
【解析】
先根据题意得幂函数解析式为，再根据函数的单调性解不等式即可得答案.
【详解】
解：因为幂函数的图像过点，
所以，所以，所以，
由于函数在上单调递增，
所以，解得：．
故的取值范围是.
故选：C.
【点睛】
本题考查幂函数的定义，根据幂函数的单调性解不等式，考查运算求解能力，是中档题.本题解题的关键在于根据幂函数的系数为待定系数求得解析式，进而根据单调性解不等式.
35．BD
【解析】
【分析】
结合的单调性以及特殊值、基本不等式，确定正确选项.
【详解】
在为增函数，
依题意，
所以，A错误.
由基本不等式得，B正确.
若，则，C错误.
若，则，D正确.
故选：BD
36．BCD
【解析】
对四个说法，结合幂函数的图像与性质逐一分析，由此确定说法错误的序号.
【详解】
解：对于A，由幂函数的图象知，它不经过第四象限，所以A对；
对于B，因为当时，无意，即在无定义，所以B错；
对于C，函数的定义域为，则它的值域为，不是，所以C错；
对于D，定义域不一定是，如，所以D错.
故选：BCD.
37．AD
【解析】
【分析】
由，可知由向右平移个单位，再向上平移个单位得到，根据的性质得到的性质，即可判断；
【详解】
解：
由向右平移个单位，再向上平移个单位得到，
因为关于对称，所以关于对称，故D正确；
函数的定义域为，值域为，故A正确，B错误；
函数在和上单调递减，故C错误；
故选：AD
38．CD
【解析】
【分析】
先根据幂函数的定义及性质确定的值，得出解析式，然后确定的大小.
【详解】
因为是幂函数，
所以，解得或．
又在上单调递增，所以．
因为，所以．
故选：CD.
39．
【解析】
【分析】
先判断函数的奇偶性和单调性，根据奇偶性和单调性脱掉，再解不等式即可.
【详解】
的定义域为，
因为，
所以为奇函数，
因为和都是上的增函数，
所以在上单调递增，
由可得，
可得，即，
解得：，
所以实数的取值范围是，
故答案为：.
40．
【解析】
根据题意，由幂函数的单调性分析可得、或，据此验证函数的奇偶性，即可得答案．
【详解】
解：根据题意，函数为幂函数，
若函数在上递减，必有，则、或，
当时，，为偶函数，符合题意，
当时，，为奇函数，不符合题意，
当时，，为非奇非偶函数，不符合题意；
则；
故答案为：.
【点睛】
本题考查幂函数的性质，注意幂函数的单调性以及奇偶性的分析，属于基础题．
41．
【解析】
【分析】
利用指数式与对数式的互化可得，再判断出，根据幂函数的单调性即可得出结果.
【详解】
令，
则，
，，，
注意到，
且，故，
，故，
据此有，幂函数在定义域上单调递减，
故，即.
故答案为：
42．2
【解析】
【分析】
根据幂函数的定义以及性质得出，即可得出答案.
【详解】
由题意可知，解得
故答案为：
【点睛】
本题主要考查了幂函数的定义以及性质的应用，属于基础题.
43．
【解析】
【分析】
利用幂函数的定义及性质求出m值，再解一元二次不等式即可得解.
【详解】
因函数是幂函数，则，解得或，
当时，是偶函数，其图象关于y轴对称，与已知的图象关于原点对称矛盾，
当时，是奇函数，其图象关于原点对称，于是得，
不等式化为：，即，解得：，
所以实数a的取值范围为.
故答案为：
44．4
【解析】
【分析】
根据幂函数的定义和单调性，即可求解.
【详解】
解：为递增的幂函数，所以，即，
解得：，
故答案为：4
45．（1），．；（2）或．
【解析】
(1)由幂函数的单调性知，即可求解;
(2)化简，可知为二次函数，利用对称轴建立不等式即可求解.
【详解】
（1）由，则，解得，
又，则，．
当，时，．
（2）由，
当时单调只需：或，
则或．
46．（1）；（2）当时，为偶函数；当时，为奇函数；当且时，为非奇非偶函数.理由见解析.
【解析】
（1）由题意可得：，解不等式结合即可求解；
（2）由（1）可得，分别讨论、、且时奇偶性即可求解.
【详解】
（1）因为幂函数（）在是严格减函数，
所以，即 ，解得：，
因为，所以，
当时，，此时为奇函数，不符合题意；
当时，，此时为偶函数，符合题意；
当时，，此时为奇函数，不符合题意；
所以，
（2），
令
当时，，，此时是奇函数，
当时，，此时是偶函数，
当且时，，，
，，此时是非奇非偶函数函数.
【点睛】
关键点点睛：本题解题的关键点是利用幂函数的单调性求出可能性的取值，再利用奇偶性可确定的值，即可求解析式，第（2）问注意讨论的值.
47．作图见解析；．
【解析】
【分析】
根据幂函数与一次函数的性质，画出两函数的图象，结合图象，即可求解.
【详解】
由题意，函数与，画出图象，如图所示：
根据，解得．
利用图象知不等式的解集．

48．（1）（2）见解析
【解析】
(1)由幂函数在上单调递减,可推出(),再结合为偶函数,即可确定,得出结论;
(2)将代入,即可得到,再依次讨论参数是否为0的情况即可.
【详解】
(1)∵幂函数在区间上是单调递减函数,
∴,解得,
∵,∴或或.
∵函数为偶函数,
∴,
∴;
(2),
当时,既是奇函数又是偶函数;
当,时,是奇函数;
当,时,是偶函数;
当,时,是非偶非偶函数.
【点睛】
本题主要考查了幂函数单调性与奇偶性的综合应用,学生需要熟练掌握好其定义并灵活应用.
49．（1）；（2）或.
【解析】
（1）根据幂函数的概念，以及幂函数单调性，求出，即可得出解析式；
（2）根据函数单调性，将不等式化为，求解，即可得出结果.
【详解】
（1）因为是幂函数，所以，解得或，
又是增函数，即，，则；
（2）因为为增函数，所以由可得，解得或
的取值范围是或.