微专题 数列求和—裂项相消法求和 学案——2023届高考数学一轮《考点·题型·技巧》精讲与精练

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微专题：数学求和—裂项相消法求和

【考点梳理】
1、常见的裂项公式
(1)＝－.
(2)＝.
(3)＝[－].
(4)＝(－).
(5)＝－.
(6)C＝C－C.
(7)n·n！＝(n＋1)！－n！.
(8)an＝Sn－Sn－1(n≥2).

2、裂项相消求和问题是常考题型. 裂项是通分的逆变形，裂项时需要注意的两点：一是要注意裂项时对系数的调整；二是裂项后，从哪里开始相互抵消，前面留下哪些项，后面对应留下哪些项，应做好处理. 其中等差数列相邻项乘积的倒数裂项是最常见的，即＝(－)，其中an≠0，d≠0. 除此之外，下面三种也比较常见.
指数型：＝－.
对数型：logn＝lognan＋1－lognan(an>0).
无理型：＝(－)(a>0，b>0).



【典例剖析】
典例1．在①；②；③.这三个条件中任选一个补充在下面的问题中.已知等差数列的前n项和为，且公差，若___________.
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）记，求数列的前n项和.
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.



典例2．已知数列满足（），且．
（1）证明：数列为等比数列，并求出数列的通项公式；
（2）若数列满足，的前项和为，证明：．



典例3．已知数列满足．
（1）求数列的通项公式；
（2）设数列的前项和为，证明：．



典例4．已知正项数列的前n项和为，且，．
（1）求数列的通项公式；
（2）若为等差数列，求证：．



【双基达标】
5．已知等差数列的前项和为，，且.
(1)求数列的通项公式；
(2)证明：数列的前项和.
6．已知为等差数列的前项和，，.
（1）求数列的通项公式；
（2）若，求数列的前项和.
7．已知正项数列的前项和为，且，(且).
(1)求数列的通项公式；
(2)求数列的前项和.
8．已知数列的前项和为，，．
（1）求证：为等差数列；
（2）求证：．
9．设数列的前n项和为，且，，．
（1）求数列的通项公式；
（2）若，求数列的前n项和．
10．已知数列的前项和为，且，．
(1)求数列的通项公式；
(2)当时，求证：数列的前项和．
11．已知正项数列满足，且．
(1)求数列的通项公式；
(2)记，求数列的前n项和为，求证：．
12．已知正项数列的前n项和为，满足（，），.
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前项和的表达式.
13．设等比数列的前项和为，已知，且，，成等差数列.
（1）求数列的通项公式；
（2）设数列满足，求数列的前项和.
14．设数列的前项和为，且，.
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）设，求数列的前项和.
15．已知数列是公差不为零的等差数列，，且，，成等比数列．
(1)求的通项公式；
(2)设，求数列的前n项和．

【高分突破】
16．已知等差数列的前n项和为．
(1)求的通项公式；
(2)数列满足为数列的前n项和，是否存在正整数m，，使得?若存在，求出m，k的值；若不存在，请说明理由．
17．已知等差数列的前项和为，且，.
（1）求与；
（2）设数列满足，求的前项和.
18．已知数列的前n项和满足.
(1)证明：数列是等比数列；
(2)设数列的前n项和为，求证：.
19．在①数列为递增的等比数列，，且是和的等差中项，②这两个条件中任选一个，补充在下面的问题中，若问题中的k存在，求出k的最小值；若不存在，说明理由．
已知数列的前n项和为，____，，设数列的前n项和为，是否存在实数k，使得恒成立？
20．已知等差数列的前项和为，且，.
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前项和.
21．已知数列为等比数列，，其中，，成等差数列.
（1）求数列的通项公式；
（2）设，，求数列的前项和.
22．已知数列的前项和满足.
（1）求；
（2）已知__________，求数列的前项和.
从下列三个条件中任选一个，补充在上面问题的横线中，然后对第（2）问进行解答.
条件：①
②
③
注：如果选择多个条件分别解答，以第一个解答计分.
23．已知公差的等差数列，是的前项和，，是和的等比中项.
（1）求的通项公式；
（2）设数列满足，且的前项和为，求证.
24．在数列中，，且对任意的，都有.
(1)证明：数列是等比数列，并求数列的通项公式；
(2)设，求数列的前项和.
25．已知数列是等比数列，，是16与的等差中项．
(1)求数列的通项公式；
(2)求数列的前10项和．
26．已知函数的图象上有一点列，点在轴上的射影是且，．
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）对任意的正整数，当时，不等式恒成立，求实数的取值范围；
（Ⅲ）设四边形的面积是，求证： ．
27．数列中，，，设．
（1）求证：数列是等比数列；
（2）求数列的前项和；
（3）若，为数列的前项和，求不超过的最大的整数．
28．记为数列的前n项和，已知是公差为的等差数列．
(1)求的通项公式；
(2)证明：．

参考答案：
1．（Ⅰ）答案见解析；（Ⅱ）.
【解析】
（Ⅰ）若选条件①，根据条件建立关于公差的方程，求通项公式，若选条件②，利用等差数列前项和公式，求公差和首项，表示通项公式，若选条件③，利用与的关系，求通项公式；（Ⅱ）根据（Ⅰ）可得数列的通项公式，再利用裂项相消法求和.
【详解】
（Ⅰ）若选①：由，
得
即

所以.
若选②：设等差数列的首项为，由，
得：
解得，   
所以.
若选③：当时；
当时，
显然时也满足，
；
（Ⅱ）由（I）知
   ，
则.
2．（1）证明见解析；；（2）证明见解析．
【解析】
【分析】
（1）由已知可得，可得是等比数列，从而可求出通项公式；
（2）由（1）可得，然后利用裂项相消求和法可求出，再利用放缩法可证得结论
【详解】
证明：（1）∵，
∴．
设，则，，
数列为首项为2，公比为2的等比数列．即是等比数列．
∴，
∴．
（2）由题意得，
∴

，
∵，
∴，则，得证．
3．（1）；（2）证明见解析.
【解析】
【分析】
（1）得到当时，，然后与原式联立，可得，然后验证是否满足即可.
（2）根据（1）中条件可得，然后使用裂项相消求和并简单判断即可.
【详解】
（1）由题意：       ①
当时，       ②
①－②得，即，
当时，满足上式，
所以．
（2）因为，
所以，
所以

又，所以．
4．（1）；（2）证明过程见解析.
【解析】
【分析】
（1）根据前n项和与第n项的关系，结合等差数列的定义进行求解即可；
（2）根据等差数列的性质，结合裂项相消法进行证明即可.
【详解】
（1）当时，，解得，
当时，，
所以有，
由题意可知：，化简得：，
所以，，
因此；
（2）由（1）可知：，，，因为为等差数列，
所以，因此，
因为，
因此有：

5．(1)
(2)证明见解析.
【解析】
【分析】
（1）设等差数列的公差为，根据题意可得出关于、的方程组，解出这两个量的值，可得出数列的通项公式；
（2）求得，利用裂项法可求得，即可证得原不等式成立.
(1)
解：设等差数列的公差为，则，解得，
因此，.
(2)
证明：，
因此，
.
故原不等式得证.
6．（1）；（2）.
【解析】
【分析】
（1）根据已知条件求出的值，利用等差数列的通项公式可求得数列的通项公式；
（2）求得，利用裂项求和法可求得.
【详解】
（1）等差数列的前项和，得，
因为，所以，等差数列的公差，
所以，；
（2）由（1）可知，
.
7．(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）由及题意可得数列为等差数列，从而求出，从而可求出答案；
（2）利用裂项相消法即可求出答案．
(1)
∵，
∴，
又，
∴，
∴数列是以为首项，1为公差的等差数列，
∴，∴，
当时，，
当时，，满足上式，
∴数列的通项公式为；
(2)
由（1）可知，，




，
∴当时，．
8．（1）证明见解析；（2）证明见解析．
【解析】
【分析】
（1）依题意可得，作差即可得到，从而得到，再作差可得，即可得证；
（2）由（1）可得，从而得到与，再利用裂项相消法求和即可得证；
【详解】
证明：（1）∵，
∴，
两式做差得：，
∴，
∴
∴，
两式做差得：，
∴，
即：，
∴为等差数列．
（2）为等差数列．，，得，，
∴
∴．
9．（1）；（2）.
【解析】
（1）首先由条件判断数列是等差数列，再求公差和首项，求通项公式；（2）由（1）可知，利用裂项相消法求和.
【详解】
（1）∵，∴
∴是等差数列，设的公差为，
∵，，∴，解得，
∴．
（2）
∴

．
10．(1)
(2)证明见解析
【解析】
【分析】
（1）利用递推式，等比数列的定义及其通项公式即可得出答案.
(2) ,可得，再利用“裂项求和”即可得出.
（1）解：由已知，得．，∴．
（2）证明．
11．(1)；
(2)证明见解析.
【解析】
【分析】
（1）先利用题设条件求得数列的通项公式，进而求得数列的通项公式；
（2）由题可得，利用裂项相消法可得，然后结合条件及不等式的性质即得.
(1)
数列中，，由，
可得,又，
则数列是首项为1公差为2的等差数列，
所以，
则数列的通项公式为．
(2)
由（1）知，则
，
则数列的前n项和
，
∵，∴，
∴，∴，
∴，
∴．
12．（1）；（2）.
【解析】
【分析】
（1）利用可将题设中的递推关系转化为，利用等差数列的通项公式可求的通项公式，从而可求的通项公式.
（2）利用裂项相消法可求.
【详解】
（1）正项数列的前n项和为，满足（，），
所以，
整理得：，
由于数列为正项数列，所以（常数），
所以是以为首项，1为公差的等差数列，
所以，
所以，易见也适合该式.
故.
（2）由于，
所以


.
【点睛】
方法点睛：数列求和关键看通项的结构形式，如果通项是等差数列与等比数列的和，则用分组求和法；如果通项是等差数列与等比数列的乘积，则用错位相减法；如果通项可以拆成一个数列连续两项的差，那么用裂项相消法；如果通项的符号有规律的出现，则用并项求和法或把通项拆成一个数列连续两项的和（除了符号外）.
13．（1）；（2）.
【解析】
【分析】
（1）利用基本量代换求出首项和公比，写出通项公式；
（2）利用把化为，利用裂项相消法求和.
【详解】
解析（1）设等比数列的公比是，由得，
解得.
∵，，成等差数列，∴，解得.
∴.
（2）∵数列是以1为首项，以3为公比的等比数列，
∴.
∵，
∴.
【点睛】
(1) 等差（比）数列问题解决的基本方法：基本量代换和灵活运用性质；
(2)数列求和的方法：公式法、裂项相消法、错位相减法、倒序相加法．
14．（1）（2）
【解析】
【分析】
（1）利用，得到数列是等比数列，且公比等于3，利用求和公式求得数列的首项，再利用等比数列的通项公式求得结果；
（2）根据题意，可得，之后应用裂项相消法对数列求和.
【详解】
（Ⅰ）∵，∴是公比为的等比数列，
又，解得.
∴是以为首项，以为公比的等比数列，
通项公式为.
（Ⅱ）∵
∴

【点睛】
该题考查的是有关数列的问题，涉及到的知识点有等比数列的定义，等比数列的求和公式，等比数列通项公式，裂项相消法求和，属于中档题目.
15．(1)；
(2).
【解析】
【分析】
（1）根据给定条件，利用等差数列性质、等比中项的意义列式求解作答.
（2）利用（1）的结论，结合裂项相消法计算作答.
（1）等差数列中，，解得，因，，成等比数列，即，设的公差为d，于是得，整理得，而，解得，所以.
（2）由（1）知，，所以.
16．（1）（2）存在，
【解析】
（1）设等差数列的公差为d，由等差数列的通项公式与前项和公式得，解得，从而求出；
（2）由（1）得，由，利用裂项相消法得，若，则，整理得，由得，从而可求出答案．
【详解】
解：（1）设等差数列的公差为d，
由得，解得，
；
（2），
， ，
若，则，整理得，
又，，整理得，
解得，
又，，，
∴存在满足题意．
【点睛】
本题主要考查等差数列的性质与求和，考查裂项相消法求和，属于中档题．
17．（1）, （2）
【解析】
【分析】
（1）由和，可求出和，然后利用等差数列的性质可求出与；（2）由（1）知，可得，利用裂项相消的求和方法，可求出的前项和.
【详解】
解：（1）设等差数列公差为，，故，
，故，
，，
易得，
∴ ．
（2）由（1）知，则，
则 ．
【点睛】
本题考查了等差数列的通项公式及前项和公式，考查了裂项相消的求和方法，考查了学生的计算能力，属于基础题．
18．(1)证明见解析
(2)证明见解析
【解析】
【分析】
（1）分，与两种情况分析，当是，构造证明即可；
（2）由（1）可得，再利用裂项求和求解，进而证明即可
（1）证明：当时，∴当时，，∴∴数列是以2为公比，首项的等比数列
（2）由（1）知，，代入得∴由，，，所以∴综上所述
19．答案见解析.
【解析】
【分析】
选①时，设数列为公比为q，由和等差数列的性质求得和，得通项公式，然后求得，用裂项相消法求得和，可得的值．选①时，利用求得通项公式，然后同选①求解．
【详解】
解：若选①时，数列为公比为q的递增的等比数列，，且是和的等差中项，
故，解得，
整理得，
故或（舍去），
所以．
所以．
所以，
当时，使得恒成立，
故k的最小值为1．
若选②时，，
当时，
所以，（首项符合通项），
所以．
所以，
当时，使得恒成立，
故k的最小值为1．
20．（1）；（2）.
【解析】
【分析】
（1）设等差数列的公差为，依题意得到方程组，解得即可；
（2）由（1）可得，再利用裂项相消法求和即可；
【详解】
解：（1）设等差数列的公差为，
由题意得，
解得
∴．
（2）由（1）得

．
【点睛】
本题考查等差数列通项公式的计算以及裂项相消法求和，属于中档题.
21．（1）；（2）.
【解析】
【分析】
（1）设数列的公比为，求出等比数列的即得解；
（2）求出，，再利用裂项相消法求解.
【详解】
（1）设数列的公比为，因为，所以，
因为是和的等差中项，所以.
所以化简得，因为公比，所以，所以.
所以.
（2）因为，所以，.
所以.
即.
【点睛】
方法点睛：数列求和常用的方法有：（1）公式法；（2）分组求和法；（3）错位相减法；（4）裂项相消法；（5）倒序相加法. 要根据已知条件灵活选择方法求解.
22．（1）；（2）答案见解析.
【解析】
【分析】
(1)根据求解即可；
(2)选①利用错位相减法求和即可；选②利用裂项相消法求和即可；选③对分奇偶讨论，然后利用并项求和法求和即可.
【详解】
（1）∵在数列中，.
当时，，
当时，，
又也满足，
∴
（2）选择条件①，
∴①
②
①-②得




故.
选择条件②由（1）知：，
∴

∴


选择条件③
，
∴当为偶数时，



当为奇数时，



综上所述：.
23．（1）；（2）证明见解析.
【解析】
【分析】
（1）根据题意列出关于和的方程组，解出和即可求得通项公式；
（2）化简可得，由裂项相消法可求出，进而求证.
【详解】
（1）是和的等比中项，
，即，
，，
则可解得，，
∴；
（2），
，
，.
【点睛】
方法点睛：数列求和的常用方法：
（1）对于等差等比数列，利用公式法可直接求解；
（2）对于结构，其中是等差数列，是等比数列，用错位相减法求和；
（3）对于结构，利用分组求和法；
（4）对于结构，其中是等差数列，公差为，则，利用裂项相消法求和.
24．(1)证明见解析，
(2)
【解析】
【分析】
（1）由，可得，根据等比数列的定义和累加法求解即可.
（2）利用分组求和和裂项相消求.
（1）由，可得又，，所以.所以首项为，公比为的等比数列.所以.所以.又满足上式，所以
（2）由（1）得，所以
25．(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）设数列的公比为q，由题知，可得，可求出，即可求出数列的通项公式；
（2）由（1），得，由裂项相消法即可求出答案.
（1）设数列的公比为q，由题知，即，即，所以．
（2）由（1），得，所以．
26．（Ⅰ）；（Ⅱ）或；（Ⅲ）详见解析．
【解析】
【分析】
（Ⅰ）变换得到，确定是以为首项为公比的等比数列，得到通项公式.
（Ⅱ）计算，根据数列单调性得到，代入不等式解得答案.
（Ⅲ）计算，放缩得到，根据裂项相消法求和得到答案.
【详解】
（Ⅰ）∵，∴，又，
∴是以为首项为公比的等比数列，∴，∴.
（Ⅱ），∵不等式对正整数恒成立，
∴，而，
∴是一个减数列，，
故，∴对恒成立，
故，解得或.
（Ⅲ）
，
∴
，
∴.
【点睛】
本题考查了构造法求通项公式，裂项相消法求和，判断数列的单调性，数列放缩思想，意在考查学生对于数列公式方法的综合应用.
27．（1）证明见解析 ；（2） ；（3） 2021．
【解析】
【分析】
(1)将两边都加，证明是常数即可；
(2)求出的通项，利用错位相减法求解即可；
(3)先求出，再求出的表达式，利用裂项相消法即可得解.
【详解】
（1）将两边都加，得，而，
即有，又，则，，
所以数列是首项为，公比为的等比数列；
（2）由（1）知，，则，
，
，
因此，，
所以；
（3）由（2）知，于是得，则，
因此，，

所以不超过的最大的整数是2021．
28．(1)
(2)见解析
【解析】
【分析】
（1）利用等差数列的通项公式求得，得到，利用和与项的关系得到当时，,进而得：，利用累乘法求得，检验对于也成立，得到的通项公式；
（2）由（1）的结论，利用裂项求和法得到，进而证得.
（1）∵，∴,∴,又∵是公差为的等差数列，∴,∴,∴当时，，∴,整理得：,即,∴，显然对于也成立，∴的通项公式；
（2） ∴