2022-2023 数学冀教版新中考精讲精练 考点12 一元二次方程

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考点12 一元二次方程考点总结 知识点一 一元二次方程定义及一般形式概念：等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数式2（二次）的方程，叫做一元二次方程。一般形式： 。其中a为二次项系数，b为一次项系数，c为常数项。【注意】1）只含有一个未知数；2）所含未知数的最高次数是2；3）整式方程。知识点二：解一元二次方程（重点）方法一：配方法（最基础的解法）配方的过程需注意：若方程二次项系数为1时，“方程两边加一次项系数一半的平方”用配方法解一元二次方程的一般步骤         移项：使方程左边为二次项与一次项，右边为常数项；         二次项系数化为1：方程两边都除以二次项系数；         配方：方程两边都加上一次项系数一般的平方，把方程化为的形式；【注意】：1）当时，方程无解         2）若方程二次项系数为1时，“方程两边加一次项系数一半的平方”         求解：判断右边等式符号，开平方并求解。方法二：直接开平方法（最基础的解法）概念：形如的方程可以用直接开平方法解，两边直接开平方得或者，最后通过解两个一元一次方程得到原方程的解。 【注意】1)若b0，方程有两个实数根。 （若b0，方程有两个不相等的实数根；若b0，方程有两个相等的实数根）2)若b<0，方程无解。方法三：公式法（常用解法）一元二次方程 根的判别式：         方程有两个不相等的实根:（）的图像与轴有两个交点         方程有两个相等的实根的图像与轴有一个交点         方程无实根的图像与轴没有交点用公式法解一元二次方程的一般步骤：         把方程化为一般形式，确定a、b、c的值(若系数是分数通常将其化为整数，方便计算);         求出b2-4ac的值，根据其值的情况确定一元二次方程是否有解;         如果b2-4ac≥0, 将a、b、c的值代入求根公式：         最后求出x1，x2方法四：因式分解法（仔细观察方程，灵活使用）用因式分解一元二次方程的一般步骤：         将方程右边得各项移到方程左边，使方程右边为0；         将方程左边分解为两个一次因式相乘的形式；         令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程；         求解归纳：右化零，左分解，两因式，各求解方法五：韦达定理（根与系数关系）我们将一元二次方程化成一般式ax2+bx+c＝0（a）之后，设它的两个根是和，则和与方程的系数a，b，c之间有如下关系：+＝； ＝知识点4： 一元二次方程的应用列一元二次方程解应用题，其步骤和二元一次方程组解应用题类似：         “审”，弄清楚已知量，未知量以及他们之间的等量关系；         “设”指设元，即设未知数，可分为直接设元和间接设元；         “列”指列方程，找出题目中的等量关系，再根据这个关系列出含有未知数的等式，即方程。         “解”就是求出说列方程的解；          “答”就是书写答案，检验得出的方程解，舍去不符合实际意义的方程。注意：一元二次方程考点：定义的考察；解方程及一元二次方程的应用。 真题演练 一．选择题（共10小题）1．（2021•南皮县一模）下列关于x的方程中，一定有两个不相等实数根的是（　　）A．x2﹣kx+2021＝0 B．x2+kx﹣2021＝0 C．x2﹣2021x+k＝0 D．x2+2021x﹣k＝02．（2021•海港区模拟）已知关于x的方程x2+4x+c＝0的一个根是x＝﹣1，则方程x2+4x+c+1＝0的根的情况是（　　）A．不存在实数根 B．有两个不相等的实数根 C．有一个根是x＝﹣1 D．有两个相等的实数根3．（2021•桥东区二模）若x比（x﹣1）与（x+1）的积小1，则关于x的值，下列说法正确的是（　　）A．不存在这样x的值 B．有两个相等的x的值 C．有两个不相等的x的值 D．无法确定4．（2021•路南区二模）小刚在解关于x的方程ax2+bx+c＝0（a≠0）时，只抄对了a＝2，c＝1，解出其中一个根是x＝1．他核对时发现所抄的b比原方程的b值小1．则原方程的根的情况是（　　）A．不存在实数根 B．有两个不相等的实数根 C．有另一个根是x＝﹣1 D．有两个相等的实数根5．（2021•河北一模）若一元二次方程2x2﹣mx+1＝0有两个不相等的实数根，则m的值可以是（　　）A．3 B．2 C．1 D．06．（2021•顺平县二模）定义：如果一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）满足a+b+c＝0，那我们称这个方程为“蜻蜓”方程，已知关于x的方程ax2+bx+c＝0（a≠0）是“蜻蜓”方程，且有两个相等的实数根，下列结论正确的是（　　）A．a＝c≠b B．a＝b≠c C．b＝c≠a D．a＝b＝c7．（2021•竞秀区一模）已知一元二次方程3x2+2x＝0的常数项被墨水污染，当此方程有实数根时，被污染的常数项可以是（　　）A．3 B．2 C．1 D．08．（2021•邯郸模拟）若关于x的一元二次方程x2﹣ax+a﹣1＝0中，a＞2，该方程的解的情况是（　　）A．没有实数根 B．有两个不相等的实数根 C．有两个相等的实数根 D．不能确定9．（2021•古冶区一模）当﹣1＜k＜0时，关于x的一元二次方程x2+4x﹣k＝0根的情况是（　　）A．有两个相等的实数根 B．有两个不等的实数根 C．有一个实数根 D．没有实数根10．（2021•长安区二模）亮亮在解一元二次方程x2﹣6x+□＝0时，不小心把常数项丢掉了，已知这个一元二次方程有实数根，则丢掉的常数项的最大值是（　　）A．1 B．0 C．7 D．9二．填空题（共5小题）11．（2021•滦南县二模）若a≠b，且a2﹣4a+1＝0，b2﹣4b+1＝0，则：（1）a+b的值为 　   　；（2）的值为 　   　．12．（2021•永德县模拟）已知x＝1是关于x的方程x2+mx+n＝0的一个根，则m+n的值是　   　．13．（2020•江西）若关于x的一元二次方程x2﹣kx﹣2＝0的一个根为x＝1，则这个一元二次方程的另一个根为　   　．14．（2020•曲阳县模拟）若关于x的一元二次方程x2+4x+c＝0中，c＜0，该方程解的情况是 　   　．15．（2020•衡水模拟）已知﹣1是方程x2+ax﹣b＝0的一个根，则a2﹣b2+2b的值为　   　．三．解答题（共3小题）16．（2021•衡水模拟）如图是一个五边形的空地ABCDE，∠B＝∠C＝∠D＝90°，∠A＝135°，已知AB＝4m，BC＝8m，CD＝10m，DE＝2m，准备在五边形ABCDE内按如图方式设计一个长方形FGCH铺设木地板，剩下部分铺设地砖．点F、G、H分别在边AE、BC、CD上．（1）求五边形ABCDE的面积；（2）若长方形FGCH的面积为35m2，求BG的长．（3）若铺设木地板的成本为每平方米200元，铺设地砖的成本为每平方米100元，投资7300元能否完成地面铺设？通过计算说明．17．（2021•安次区二模）如图，A，B两张卡片除内容外完全相同，现将两张卡片扣在桌面上，随机抽取一张，将抽中卡片上的整式各项改变符号后与未抽中卡片上的整式相加，并将结果化简得到整式C．（1）若抽中的卡片是B．①求整式C；②当x＝﹣1时，求整式C的值．（2）若无论x取何值，整式C的值都是非负数，请通过计算，判断抽到的是哪张卡片？18．（2021•桥西区模拟）比较x2+y2与2xy的大小．尝试：（用“＜”“＝”或“＞”填空）①当x＝2，y＝2时，x2+y2　   　2xy；②当x＝1，y＝3时，x2+y2　   　2xy；③当x＝﹣1，y＝﹣4时，x2+y2　   　2xy．验证：若x，y取任意实数，x2+y2与2xy有怎样的大小关系？试说明理由；应用：当xy＝1时，请直接写出x2+4y2的最小值．