2022-2023 数学京改版新中考精讲精练 考点17等腰三角形

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考点17等腰三角形考点总结 1．等腰三角形的性质①等腰三角形的两个底角相等；②等腰三角形的顶角平分线，底边上的中线，底边上的高相互重合（简写成“三线合一”）．2．等腰三角形的判定①定义：两边相等的三角形是等腰三角形；②如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”）．常见模型：角平分线+平行线              中线+垂线            角平分线+垂线                               3．等腰直角三角形的性质与判定性质：顶角等于，底角等于，两直角边相等．判定：①顶角为的等腰三角形．②底角为的等腰三角形．4．等边三角形的定义等边三角形是三边都相等的特殊的等腰三角形．5．等边三角形的性质等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于． 6．等边三角形的判定方法①三边都相等的三角形是等边三角形；②三个角都相等的三角形是等边三角形；③有一个角是的等腰三角形是等边三角形． 7．含角的直角三角形性质在直角三角形中，如果一个锐角等于，那么它所对的直角边等于斜边的一半．真题演练一、单选题1．如图，△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于D，BE⊥AC于E，则以下两个角的关系中不成立的是（   ）A．∠1＝∠2 B．∠3＝∠2 C．∠4＝∠5 D．∠4＝∠C【答案】C【分析】根据等腰三角形的性质和同角的余角相等可判定选项A、B、D正确；根据三角形的外角的性质可判定选项C错误．【详解】∵AB＝AC，AD⊥BC，∴∠1＝∠2；∵AD⊥BC，BE⊥AC，∴∠2+∠C=90°，∠3+∠C=90°，∴∠3＝∠2；∵∠2+∠C=90°，∠2+∠4=90°，∴∠4＝∠C；∵∠4＝∠5+∠1，∴选项C错误．综上，符合要求的只有选项C．故选C．2．如图，等腰直角三角板的顶点，分别在直线，上．若，，则的度数为（    ）．
 A．10° B．15° C．20° D．25°【答案】A【分析】由等腰直角三角形的性质得出∠BAC=90°，∠ACB=45°，由平行线的性质得出∠1+∠BAC+∠ACB+∠2=180°，即可得出答案．【详解】解：∵△ABC是等腰直角三角形，
∴∠BAC=90°，∠ACB=45°，
∵a∥b，
∴∠1+∠BAC+∠ACB+∠2=180°，
∴∠2=180°-90°-35°-45°=10°；
故选：A．3．如图，，点B在射线上，．点P在射线上运动（点P不与点A重合），连接，以点B为圆心，为半径作弧交射线于点Q，连接．若，则下列图象中，能表示y与x的函数关系的图象大致是（    ）A． B．C． D．【答案】C【分析】先根据题意推测出而BP长度变化过程为由大变小，再变大，得到A、B选项错误，当AB⊥BP时，求出PQ≈4.47，进而推测D选项不合题意，问题得解．【详解】解：∵点P从A向M运动，且不与A重合，∴AP不断变大，而BP长度为由大变小，再变大，即：随x的增大，y的值先减小再增大，故选项A、B错误；如图，当AB⊥BP时，∵∠A=60°，∴∠APB=30°，∴AP=2AB=4，BP=，∴，即，观察C、D两个选项，可得D选项不合题意，故C选项符合题意．故选：C4．如图，在平行四边形ABCD中，AE平分∠BAD，交CD边于E，AD＝3，EC＝2，则AB的长为（    ）A．1 B．2 C．3 D．5【答案】D【分析】首先证明DA=DE，再根据平行四边形的性质即可解决问题．【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴BA∥CD，AB=CD， ∴∠DEA=∠EAB， ∵AE平分∠DAB， ∴∠DAE=∠EAB， ∴∠DAE=∠DEA， ∴DE=AD=3， ∴CD=CE+DE=2+3=5， ∴AB=5． 故选：D．5．在⊙O中按如下步骤作图：（1）作⊙O的直径AD；（2）以点D为圆心，DO长为半径画弧，交⊙O于B，C两点；（3）连接DB，DC，AB，AC，BC．根据以上作图过程及所作图形，下列四个结论中错误的是（　　）A．∠ABD＝90° B．∠BAD＝∠CBD C．AD⊥BC D．AC＝2CD【答案】D【分析】根据作图过程可知：AD是⊙O的直径，＝，根据垂径定理即可判断A、B、C正确，再根据DC＝OD，可得AD＝2CD，进而可判断D选项．【详解】解：根据作图过程可知：AD是⊙O的直径，∴∠ABD＝90°，∴A选项正确；∵BD＝CD，∴＝,∴∠BAD＝∠CBD，∴B选项正确；根据垂径定理，得AD⊥BC，∴C选项正确；∵DC＝OD，∴AD＝2CD，∴D选项错误．故选：D．6．已知，如图，在菱形ABCD中．（1）分别以C，D为圆心，大于长为半径作弧，两弧分别交于点E，F；（2）作直线EF，且直线EF恰好经过点A，且与边CD交于点M；（3）连接BM．根据以上作图过程及所作图形，判断下列结论中错误的是（    ）A．∠ABC=60° B．如果AB=2，那么BM=4C．BC=2CM D．【答案】B【分析】连接AC，根据线段重直平分线的性质及菱形的性质即可判断A选项正确；根据线段垂直平分线的性质及菱形的性质求出∠BAM=90°，利用三角函数求出AM，即可利用勾股定理求出BM，由此判断B选项；根据线段垂直平分的性质和菱形的性质可得BC=2CM，由此判断C选项；利用同底等高的性质证明△ABM的面积=△ABC的面积=△ACD的面积，再利用线段垂直平分线的性质即可判断D选项．【详解】如图，连接AC，由题意知：EF垂直平分CD，∴AC=CD，∵四边形ABCD是菱形，∴AD=AB=BC=CD，∴AC=AD=CD=AB=BC，∴△ABC和△ACD都是等边三角形，∴∠BAC=∠CAD=∠ABC=60°，故A正确；∵AM垂直平分CD，∴∠CAM=∠DAM=30°，∴∠BAM=90°，∴S△ABM=S△ABC=S△ABD=2S△ADM，故D项正确；∵AB=2，∴AC=CD=2，∴AM=AC·cos30°=2×=，∴BM===，故B项错误；由AM垂直平分CD可得CM=CD，又∵BC=CD，∴CM=BC，即BC=2CM，故C项正确；故选：B．7．如图所示，边长为2的等边△ABC是三棱镜的一个横截面．一束光线ME沿着与AB边垂直的方向射入到BC边上的点D处（点D与B，C不重合），反射光线沿DF的方向射出去，DK与BC垂直，且入射光线和反射光线使∠MDK=∠FDK．设BE的长为x，△DFC的面积为y，则下列图象中能大致表示y与x的函数关系的是（   ）A． B．C． D．【答案】A【分析】根据题意可证出是直角三角形，利用直角三角形的边角关系用x表示出CF、DF，最后利用三角形的面积公式可知y与x的函数关系图像是开口向上的二次函数，观察选项图像即可得出答案．【详解】解：由题可知，等边三角形ABC的边长为2．∵ME⊥AB，，∴是直角三角形，，，，∵，∴，．又∵ DK⊥BC，∠MDK=∠FDK，∴．∵，∴，∴是直角三角形，∴，∴，∴，∴，即则y与x的函数关系图像是开口向上的二次函数，且过点．故选：A．8．如图，AB与⊙O相切于点B，AO的延长线交⊙O于点C，连结BC，若OC=OA，则∠C等于（　　）A．15° B．30° C．45° D．60°【答案】B【分析】连接OB，构造直角△ABO，结合已知条件推知直角△ABO的直角边OB等于斜边OA的一半，则∠A=30°．【详解】如图，连接OB．∵AB与⊙O相切于点B，∴∠ABO=90°．∵OB=OC，，∴∠C=∠OBC，OB=OA，∴∠A=30°，∴∠AOB=60°，则∠C+∠OBC=60°，∴∠C=30°．故选：B．9．如图，直线，点在直线上，以点为圆心，适当长度为半径画弧，分别交直线，于，两点，以点为圆心，长为半径画弧，与前弧交于点（不与点重合），连接，，，，其中交于点．若，则下列结论错误的是（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据平行线的性质得出∠CAB=40°，进而利用圆的概念判断即可．【详解】解：∵直线l1∥l2，
∴∠ECA=∠CAB=40°，
∵以点A为圆心，适当长度为半径画弧，分别交直线l1，l2于B，C两点，
∴BA=AC=AD，,故A正确；∵以点C为圆心，CB长为半径画弧，与前弧交于点D（不与点B重合），
∴CB=CD，
∴∠CAB=∠DAC=40°，
∴∠BAD=40°+40°=80°，故B正确；
∵∠ECA=40°，∠DAC=40°，
∴CE=AE，故D正确；
故选：C．10．如图，经过直线AB外一点C作这条直线的垂线，作法如下：（1）任意取一点K，使点K和点C在AB的两旁．（2）以点C为圆心，CK长为半径作弧，交AB于点D和E．（3）分别以点D和点E为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点F．（4）作直线CF．则直线CF就是所求作的垂线．根据以上尺规作图过程，若将这些点作为三角形的顶点，其中不一定是等腰三角形的为（  ）A．△CDF B．△CDK C．△CDE D．△DEF【答案】A【分析】根据作图过程和等腰三角形的定义进行分析即可.【详解】由作图过程可得：CD=CD,DF=EF,CD=CK所以，是等腰三角形的有 △CDK， △CDE，△DEF；△CDF不一定是等腰三角形.故选：A二、填空题11．如图，等腰三角形的顶角平分线交于，，，则底边长为______．
 【答案】6．【分析】根据等腰三角形三线合一的性质利用勾股定理求得BD的长，再根据BD的长为BC的一半即可求得结果．【详解】解：∵等腰三角形中，，是的平分线，，，∵，，在中，,∴．故答案为：6．12．如图所示的网格是正方形网格，则_______（点A，B，C，D，E是网格线交点）．【答案】【分析】连接AD，计算证明△ADC是等腰直角三角形，证明∠BAC+∠CDE=∠ACD，即可求解．【详解】连接AD，如图：∵，，，即，∴△ADC是等腰直角三角形，且∠ADC，∴∠ACD，∵∠BAC=∠ACF，∠CDE=∠DCF，∴∠BAC+∠CDE=∠ACF +∠DCF=∠ACD，故答案为：．13．如图，在四边形中，于点．有如下四个结论：①；②；③；④．上述结论中，所有正确结论的序号是____．【答案】①②【分析】由， 可得AB=AD，可判断①正确，可得；可推出，可判断②正确，由， ，可得CB=CD，可推，但△ABO与△CDO不能全等，可知，可判断③错误，可证，可判断④错误即可．【详解】解：∵， ，∴AB=AD，故①正确，∴；∴，故②正确，∵， ，∴CB=CD，∴，∴△ABO与△CDO中，∵BO=BO，，∵，∴△ABO与△CDO不能全等，∴，故③错误，∴，故④错误，∴所有正确结论的序号是①②．故答案为：①②．14．如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，若∠BOC＝120°，AB＝3，则BC的长为_____．【答案】3．【分析】根据矩形的性质求出AC＝2AO，AO＝BO，根据等边三角形的判定得出△AOB是等边三角形，求出AB＝AO＝3，求出AC，再根据勾股定理求出BC即可．【详解】解：，，四边形是矩形，，，，，，是等边三角形，，，，，由勾股定理得：，故答案为：．15．如图所示的网格是正方形网格，是网格线的交点，则与的大小关系为：_______（填“>”，“=”或“<”）．【答案】<【分析】在网格中构建和∠ACB一样大的角，比较即可．【详解】解：如图所示：∠DBC=∠ACB=45°，AB在∠DBC内部，所以，∠ABC<∠ACB，故答案为：<． 三、解答题16．在平面直角坐标系中，的半径为1，对于点和线段，给出如下定义：若将线段绕点旋转可以得到的弦（分别是的对应点），则称线段是的以点为中心的“关联线段”．（1）如图，点的横､纵坐标都是整数．在线段中，的以点为中心的“关联线段”是______________；（2）是边长为1的等边三角形，点，其中．若是的以点为中心的“关联线段”，求的值；（3）在中，．若是的以点为中心的“关联线段”，直接写出的最小值和最大值，以及相应的长．【答案】（1）；（2）；（3）当时，此时；当时，此时．【分析】（1）以点A为圆心，分别以为半径画圆，进而观察是否与有交点即可；（2）由旋转的性质可得是等边三角形，且是的弦，进而画出图象，则根据等边三角形的性质可进行求解；（3）由是的以点为中心的“关联线段”，则可知都在上，且，然后由题意可根据图象来进行求解即可．【详解】解：（1）由题意得：通过观察图象可得：线段能绕点A旋转90°得到的“关联线段”，都不能绕点A进行旋转得到；故答案为；（2）由题意可得：当是的以点为中心的“关联线段”时，则有是等边三角形，且边长也为1，当点A在y轴的正半轴上时，如图所示：设与y轴的交点为D，连接，易得轴，∴，∴，，∴，∴；当点A在y轴的正半轴上时，如图所示：同理可得此时的，∴；（3）由是的以点为中心的“关联线段”，则可知都在上，且，则有当以为圆心，1为半径作圆，然后以点A为圆心，2为半径作圆，即可得到点A的运动轨迹，如图所示：由运动轨迹可得当点A也在上时为最小，最小值为1，此时为的直径，∴，∴，∴；由以上情况可知当点三点共线时，OA的值为最大，最大值为2，如图所示：连接，过点作于点P，∴，设，则有，∴由勾股定理可得：，即，解得：，∴，∴，在中，，∴；综上所述：当时，此时；当时，此时．17．在等腰三角形ABC中，，．点P是内一动点，连接AP，BP，将△APB绕点逆时针旋转，使边与重合，得到△ADC，射线BP与CD或CD延长线交于点（点与点D不重合）．（1）依题意补全图和图2；由作图知，∠BAP与∠CAD的数量关系为                   ；（2）探究与∠APM的数量关系为                         ；（3）如图1，若DP平分∠ADC，用等式表示线段BM，AP，CD之间的数量关系，并证明．【答案】（1）相等；（2）∠ADM＝∠APM或∠ADM ＋∠APM＝180°；（3），证明见解析【分析】（1）按要求作图即可；（2）△APB绕点A顺时针旋转得到△ADC可得∠ADC=∠APB，即可得到答案；（3）由旋转的性质可知△ABP≌△ACD．由全等三角形的性质得出∠APB=∠ADC，AP=AD，BP=CD，由角平分线的定义及等腰三角形的性质得出∠PAD=∠ADM=α，∠APM=∠M．证得OP=OA，OM=OD，则可得出结论．【详解】解：（1）依题意补全图1和图2；由作图知，∠BAP与∠CAD的数量关系为相等；故答案为：相等；（2）∠ADM=∠APM或∠ADM+∠APM=180°．当M在线段CD延长线上时，如上图1，∵将△APB绕点A顺时针旋转得到△ADC，∴∠ADC=∠APB，∴∠ADM=∠APM，当M在线段CD上时，如上图2，∵将△APB绕点A顺时针旋转得到△ADC，∴∠ADC=∠APB，∵∠APB+∠APM=180°，∴∠ADM+∠APM=180°，故答案为：∠ADM=∠APM或∠ADM+∠APM=180°；（3）如图，线段MC，AE，BD之间的数量关系是：MC=AE+BD．证明：∵将△APB绕点A逆时针旋转α，使AB边与AC重合，得到△ADC，∴△ABP≌△ACD．∴∠APB=∠ADC，AP=AD，BP=CD，∴∠ADM=∠APM．∵DE平分∠ADC，∴∠ADP=∠PDC．∵AP=AD，∴∠APD=∠ADP．∴∠APD=∠PDC．∴AP∥CM．∴∠PAD=∠ADM=α，∠APM=∠M．又由（2）知，∠ADM=∠APM=α，∴OP=OA，OM=OD，∴OP+OM=OM+OD，∴PM=AD=AP，∴BM=BP+PM．∴BM=CD+AP．18．已知点为线段上一点，将线段绕点逆时针旋转，得到线段；再将线段终点逆时针旋转，得到线段；连接，取中点，连接，．（1）当．①如图1，点为中点时，补全图形，直接写出线段与的位置关系______．数量关系______．②如图2，当点不为中点时，写出线段与的数量关系与位置关系，并证明．（2）如图3，当，点为中点时，直接写出线段，，的数量关系______．【答案】（1）①BM⊥CM；BM=CM；②BM⊥CM；BM=CM，见解析；（2）【分析】（1）①延长BM到点E，使得BM=ME，连接AE，CE，DE，通过证明△CAE≌△CPB，证明△CEB是等边三角形，利用等腰三角形三线合一思想计算即可；②的结论不变，证明方法与①类似；（2）延长BM到点G，使得BM=MG，连接AG，CG，DG，证明三角形ACG是等腰直角三角形即可【详解】（1）①如图1, 延长BM到点E，使得BM=ME，连接AE，CE，DE，∵M是AD的中点，∴AM=MD，∵BM=ME，∴四边形AEDB是平行四边形，∴AE=BD，AE∥BD，∵PB=BD，∴PB=AE，∵∠CAP=60°，AC=AP，∴△APC是等边三角形，∴AC=PC，∠ACP=∠APC=60°，∴∠CPB=120°，∵∠CAP=60°，∴∠PBD=120°，∴∠BAE=60°，∴∠CAE=120°，∴∠CAE=∠CPB，∴△CAE≌△CPB，∴CE=CB，∠ACE=∠PCB，∴∠ACE+∠PCE=∠PCB+∠PCE，∴∠ACP=∠BCE=60°，∴△CEB是等边三角形，∵BM=ME，∴BM⊥CM，∴tan60°=，∴CM=BM；故答案为：BM⊥CM；CM=BM；②关系为：BM⊥CM；CM=BM；理由如下：如图2, 延长BM到点F，使得BM=MF，连接AF，CF，DF，∵M是AD的中点，∴AM=MD，∵BM=MF，∴四边形AFDB是平行四边形，∴AF=BD，AF∥BD，∵PB=BD，∴PB=AF，∵∠CAP=60°，AC=AP，∴△APC是等边三角形，∴AC=PC，∠ACP=∠APC=60°，∴∠CPB=120°，∵∠CAP=60°，∴∠PBD=120°，∴∠BAF=60°，∴∠CAF=120°，∴∠CAF=∠CPB，∴△CAF≌△CPB，∴CF=CB，∠ACF=∠PCB，∴∠ACF+∠PCF=∠PCB+∠PCF，∴∠ACP=∠BCF=60°，∴△CFB是等边三角形，∵BM=MF，∴BM⊥CM，∴tan60°=，∴CM=BM；（2）如图3, 延长BM到点G，使得BM=MG，连接AG，CG，DG，∵M是AD的中点，∴AM=MD，∵BM=MG，∴四边形AGDB是平行四边形，∴AG=BD，AG∥BD，∵PB=BD，∴PB=AG，∵AP=PB=AC∴AP=PB=AG=AC=BD，∵∠CAP=45°，∴∠PBD=135°，∴∠BAG=45°，∴∠CAG=90°，∴∠CAN=∠GAN，∠ANC=90°，∴AN=NC=NG=PB，∴在直角三角形BCN中，，∴，∴