2022-2023 数学北师大版新中考精讲精练 中考模拟卷（三）

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中考模拟卷（三）


一、单选题
1．如图，在菱形中，，，点P为对角线上的一个动点，过P作交于点E，交于点F，将沿折叠，点A的对应点恰好落在对角线上的点G处，若是等腰三角形时，则的长为（ ）

A．或 B．或2 C．或4 D．或
【答案】B
【分析】
分CG=CB和GC=GB两种情形，分别求解即可．
【详解】
解：连接DB，交AC于点O，则DB⊥AC.
∵EF ⊥AC，
∴EF//DB
∵，
∴∠CAB= ∠CAD= ∠BCA=30°，
∵
∴AD=AB=BC=DB=，DO=BO=
∵DB⊥AC
∴AO= ,即AC=6
当GC=CB=，AP=（AC-CG）=（6-）=3-；
当GB=GC时，过点G做GH⊥BC，则CH=BC=
∵∠BCA=30°
∴
∴GC= 2，
∴AP=（AC-CG）=（6-2）=2；
综上，AP的长为3-或2．
故选B．

2．如图，正方形的边长为，延长至使，以为边长在上方作正方形，延长交于，连接，，为的中点，连接分别与交于点．则下列结论：①；②；③；④．其中正确的结论有（ ）

A．①② B．①④ C．②③ D．③④
【答案】B
【分析】
由正方形的性质得到FG=BE=2，∠FGB=90°，AD=4，AH=2，∠BAD=90°，求得∠HAN=∠FGN，AH=FG，根据全等三角形的定理得到△ANH≌△GNF（AAS），故①正确；根据全等三角形的性质得到∠AHN=∠HFG，推出∠AFH≠∠AHF，得到∠AFN≠∠HFG，故②错误；根据矩形的性质得到DM=AG=2，根据三角形的面积公式即可得到，故③错误；根据全等三角形的性质得到AN=AG=1，根据相似三角形的性质得到∠AHN=∠AMG，根据平行线的性质得到∠HAK=∠AMG，根据直角三角形的性质得到，故④正确．
【详解】
解：∵四边形EFGB是正方形，EB=2，∴FG=BE=2，∠FGB=90°，
∵四边形ABCD是正方形，H是AD的中点，∴AD=4，AH=2，∠BAD=90°，
∴∠HAN=∠FGN，AH=FG，
∵∠ANH=∠GNF，
∴△ANH≌△GNF（AAS），故①正确；
∴∠AHN=∠HFG，
∵AG=FG=AH=2，∴AF=FG=AH，
∴∠AFH≠∠AHF，
∴∠AFN≠∠HFG，故②错误；
∵延长FG交DC于M，∴四边形ADMG是矩形，
∴，，
∴，故③错误；
∵△ANH≌△GNF，∴AN=AG=1，
∵GM=BC=4，∴，
∵∠HAN=∠AGM=90°，∴△AHN∽△GMA，
∴∠AHN=∠AMG，
∵∠AHK=∠HAK，∴AK=HK=NK，故④正确．
故答案选B．
3．弧三角形，又叫莱洛三角形，是机械字家莱洛首先进行研究的.弧三角形是这样画的：先画正三角形，然后分别以三个顶点为圆心，（晓观数学）其边长为半径画弧得到的三角形.在大片的麦田或农田中，由农作物倒状形成的几何图案被称为“麦田怪圈”.图1中的麦田怪圈主要由圆和弧三角形构成，某研究小组根据照片尝试在操场上绘制类似的图形.如图2，成员甲先借绳子绕行一周画出，再将三等分，得到，，三点.接着，成员乙分别以，，为圆心画出图中的弧三角形.研究小组在，，，四点中的某一点放置了检测仪器，记成员甲所在的位置为，成员乙所在的位置为，若将射线绕着点逆时针旋转到经过甲或乙的旋转角记为自变量（单位：°，），甲、乙两人到检测仪器的距离分别记为和（单位：），绘制出两个函数的图象（如图3）.
结合以上信息判断，下列说法中错误的是（）

A．的半径为 B．图3中的值为270
C．当时，1取得最大值12 D．检测仪器放置在点处
【答案】B
【分析】
如图，根据题意，找到甲、乙对应的图像，然后求得，以及，，进而求出圆半径，再对选项逐一分析即可.
【详解】
解：∵将射线绕着点逆时针旋转到经过甲或乙的旋转角记为自变量，且成员乙所在的位置为，
∴根据如图3所示，实线部分图像距离先保持不变，再下降至0，然后上升可判断则实线部分为应为乙的图象，（点Q在以A点为圆心画的上，则AQ距离不变），
∴当Q点从B点逆时针运动时，图像如图中实线所示，检测仪器应该在A点，
∵Q从B点到A点时，运动的角度为个圆周，
∴ ，
结合图可得，，
如图，连接AB、OA、OB，过O作OD⊥AB于点D，
∵OA=OB,OD⊥AB，
∴
∴
∴，
∴的半径为
如图，当射线OB转至中点位置时，即P在OA所在直线上，y1取最大值，长度为的直径12m，此时转过的圆心角为60°，即.
∴A、C、D正确，
故选B.

4．三元一次方程x＋y＋z＝1999的非负整数解的个数有（ ）
A．20001999个 B．19992000个 C．2001000个 D．2001999个
【答案】C
【分析】
先设x＝0，y+z＝1999，y分别取0，1，2…，1999时，z取1999，1998，…，0，有2000个整数解；当x＝1时，y+z＝1998，有1999个整数解；…当x＝1999时，y+z＝0，只有1组整数解，依此类推，然后把个数加起来即可得到答案．
【详解】
当x＝0时，y+z＝1999，y分别取0，1，2…，1999时，z取1999，1998，…，0，有2000个整数解；
当x＝1时，y+z＝1998，有1999个整数解；
当x＝2时，y+z＝1997，有1998个整数解；
…
当x＝1999时，y+z＝0，只有1组整数解；
∴非负整数解的个数有2000+1999+1998+…+3+2+1＝＝2001000个
故选：C．
5．如图，正方形内接于，线段在对角线上运动，若的面积为，，则周长的最小值是（ ）

A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】B
【分析】
利用将军饮马之造桥选址的数学方法进行计算．
【详解】
如图所示，

（1）为上一动点，点关于线段的对称点为点，连接，则，过点作的平行线，过点作的平行线，两平行线相交于点，与相交于点M．

四边形是平行四边形


则
（2）找一点， 连接，则，过点作的平行线，连接则．
此时

（1）中周长取到最小值
四边形是平行四边形

四边形是正方形
，
又，，


又

是等腰三角形
，则圆的半径，




故选：B．
6．如图，四边形ABCD中，已知AB∥CD，AB与CD之间的距离为4，AD＝5，CD＝3，∠ABC＝45°，点P，Q同时由A点出发，分别沿边AB，折线ADCB向终点B方向移动，在移动过程中始终保持PQ⊥AB，已知点P的移动速度为每秒1个单位长度，设点P的移动时间为x秒，△APQ的面积为y，则能反映y与x之间函数关系的图象是（ ）

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
依次分析当、、三种情况下的三角形面积表达式，再根据其对应图像进行判断即可确定正确选项．
【详解】
解：如图所示，分别过点D、点C向AB作垂线，垂足分别为点E、点F，
∵已知AB∥CD，AB与CD之间的距离为4，
∴DE=CF=4，
∵点P，Q同时由A点出发，分别沿边AB，折线ADCB向终点B方向移动，在移动过程中始终保持PQ⊥AB，
∴PQ∥DE∥CF，
∵AD=5，
∴,
∴当时，P点在AE之间，此时，AP=t，
∵,
∴，
∴，
因此，当时，其对应的图像为，故排除C和D；
∵CD＝3，
∴EF=CD=3，
∴当时，P点位于EF上，此时，Q点位于DC上，其位置如图中的P1Q1，则，
因此当时，对应图像为，即为一条线段；
∵∠ABC＝45°，
∴BF=CF=4，
∴AB=3+3+4=10，
∴当时，P点位于FB上，其位置如图中的P2Q2，此时，P2B=10-x，
同理可得，Q2P2=P2B=10-x，
，
因此当时，对应图像为，其为开口向下的抛物线的的一段图像；
故选：B．

7．如图，正方形ABCD的边长为4，点E、F分别为CD、BC的中点，把△ADE沿AE翻折得到△AD'E，延长AD'交BC于点G，连接EG，M是AB边上一点，连接FM，把△BMF沿MF翻折，点B的对应点B'恰好落在AG上，则B'D'的长度为（　　）

A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
过点作于，由折叠的性质可得，，由“”可证，可得，由勾股定理可求，通过证明，可得，可求，的长，由勾股定理可求的长，即可求解．
【详解】
解：如图，过点作于，

点、分别为、的中点，
，，
把沿翻折得到△，
，，
在和中，
，
，
，
，
，
，
，，，
，，
，
，
，
，，
把沿翻折，
，
，
，
故选：A．
8．如图，点是正两边上的点，将沿直线翻折，点的对应点恰好落在边上，当时，的值是（ ）

A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
先证明，再根据相似三角形的周长比等于相似比和折叠的性质进行转化即可求解．
【详解】
解：设AF=x，
∵为等边三角形，
∴AC=AB=BC=4x, ∠A=∠B=∠C=60°,CF=3x
∵翻折得到，
∴BD=FD,BE=FE, ∠B=∠DFE=60°，
∴∠AFD+∠DFE=∠C+∠FEC，
∴∠AFD=∠CEF，
∴，
．
故选：D
9．如图，在等边三角形ABC的AC，BC边上分别任取一点P，Q，且AP＝CQ，AQ、BP相交于点O．下列四个结论：①若PC＝2AP，则BO＝6OP；②若BC＝8，BP＝7，则PC＝5；③AP2＝OP•AQ；④若AB＝3，则OC的最小值为，其中正确的是（　　）

A．①②④ B．①③④ C．②③④ D．①②③
【答案】B
【分析】
①根据等边三角形的性质得到AC=BC，根据线段的和差得到CP=BQ，过P作PD∥BC交AQ于D，根据相似三角形的性质得到①正确；
②过B作BE⊥AC于E，解直角三角形得到②错误；
③根据全等三角形的性质得到∠ABP=∠CAQ，PB=AQ，根据相似三角形的性质得到③正确；
④以AB为边作等边三角形NAB，连接CN，证明点N，A，O，B四点共圆，且圆心即为等边三角形NAB的中心M，设CM与圆M交点O′，CO'即为CO的最小值，根据30度角的直角三角形的性质即可求出结果．
【详解】
解：①∵△ABC是等边三角形，
∴AC=BC，
∵AP=CQ，
∴CP=BQ，
∵PC=2AP，
∴BQ=2CQ，
如图，过P作PD∥BC交AQ于D，

∴△ADP∽△AQC，△POD∽△BOQ，
∴，，
∴CQ=3PD，
∴BQ=6PD，
∴BO=6OP；
故①正确；
②过B作BE⊥AC于E，
则，
∵∠C=60°，
∴，
∴，
∴PC=4+1=5，或PC=4-1=3，故②错误；
③在等边△ABC中，AB=AC，∠BAC=∠C=60°，
在△ABP与△CAQ中，
∵AB＝AC，∠BAP＝∠C，AP＝CQ
∴△ABP≌△ACQ（SAS），
∴∠ABP=∠CAQ，PB=AQ，
∵∠APO=∠BPA，
∴△APD∽△BPA，
∴，
∴ ，
∴，
故③正确；
④以AB为边作等边三角形NAB，连接CN，
∴∠NAB=∠NBA=60°，NA=NB，
∵∠PBA=∠QAC，
∴∠NAO+∠NBO=∠NAB+∠BAQ+∠NBA+∠PBA=60°+∠BAQ+60°+∠QAC=120°+∠BAC=180°，

∴点N，A，O，B四点共圆，且圆心即为等边三角形NAB的中心M，
设CM与圆M交点O′，CO′即为CO的最小值，
∵NA=NB，CA=CB，
∴CN垂直平分AB，
∴∠MAD=∠ACM=30°，
∴∠MAC=∠MAD+∠BAC=90°，
在Rt△MAC中，AC=3，
∴，
∴，
即CO的最小值为，故④正确．
综上：正确的有①③④．
故选：B．
10．如图，在正方形ABCD中，△BPC是等边三角形，BP、CP的延长线分别交AD于点E、F，连结BD、DP，BD与CF相交于点H．给出下列结论：

①△ABE≌△DCF；②∠PDF=15°；③；④,其中正确的结论有（ 　 ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【分析】
①利用等边三角形的性质以及正方形的性质得出∠ABE=∠DCF=30°，再直接利用全等三角形的判定方法得出答案；
②利用等边三角形的性质结合正方形的性质得出∠CPD=75°，进而得出答案；
③先得出，再根据CD=BP得出，进而根据相似三角形的性质即得．
；
④根据三角形面积计算公式，结合图形得到△BPD的面积=△BCP的面积+△CDP面积-△BCD的面积，得出答案．
【详解】
解：∵△BPC是等边三角形，
∴BP=PC=BC，∠PBC=∠PCB=∠BPC=60°，
在正方形ABCD中，
∵AB=BC=CD，∠A=∠ADC=∠BCD=90°
∴∠ABE=∠DCF=30°，
在△ABE与△CDF中，
，
∴△ABE≌△DCF，故①正确；
∵PC=BC=DC，∠PCD=30°，
∴∠CDP=75°，
∴∠PDF=∠ADC-∠CDP=90°-75°=15°，故②正确；
∵∠PCD=30°，
∴DF=,根据勾股定理CD=FC，
∵∠DBC=45°，∠BCF=60°，
∵∠DBC=45°，
∴∠PBD=15°，
∴∠FDP=∠PBD，
∵∠DFP=∠BPC=60°，
∴△DFP∽△BPH，
∴，故③正确；
如图，过P作PM⊥CD，PN⊥BC，

设正方形ABCD的边长是4，
∵△BPC为正三角形，
∴∠PBC=∠PCB=60°，PB=PC=BC=CD=4，
∴∠PCD=30°，
∴，
，
S△BPD=S四边形PBCD-S△BCD=S△PBC+S△PDC-S△BCD



，
∴，故④正确；
故正确的有4个，
故选：D．

二、填空题
11．如图，在平面直角坐标系中，有一只用七巧板拼成的“猫”，三角形①的边BC及四边形②的边CD都在x轴上，“猫”耳尖E在y轴上．若“猫”尾巴尖A的横坐标是1，则“猫”爪尖F的坐标是___________．

【答案】
【分析】
设大正方形的边长为2a，则大等腰直角三角形的腰长为，中等腰直角三角形的腰长为a，小等腰直角三角形的腰长为，小正方形的边长为，平行四边形的长边为a，短边为，用含有a的代数式表示点A的横坐标，表示点F的坐标，确定a值即可.
【详解】
设大正方形的边长为2a，则大等腰直角三角形的腰长为，中等腰直角三角形的腰长为a，小等腰直角三角形的腰长为，小正方形的边长为，平行四边形的长边为a，短边为，如图，过点F作FG⊥x轴，垂足为G, 点F作FH⊥y轴，垂足为H, 过点A作AQ⊥x轴，垂足为Q,延长大等腰直角三角形的斜边交x轴于点N，交FH于点M，
根据题意，得OC==，CD=a,DQ=，
∵点A的横坐标为1,
∴+a+=1，
∴a=；

根据题意，得FM=PM=，MH=，
∴FH==；
∴MT=2a-，BT=2a-,
∴TN=-a，
∴MN=MT+TN=2a-+-a==，
∵点F在第二象限，
∴点F的坐标为（-，）
故答案为：（-，）．
12．如图，半圆的半径为1，为直径，、为切线，，P为上一动点，求的最小值______________．

【答案】
【分析】
取CO中点M，利用相似三角形的判定和性质推出，利用勾股定理即可计算求解．
【详解】
∵OA=AC=1，AC是切线，
∴∠CAO=90°，
∴CO=，
连接CO、OP，取CO中点M，连接DM，PM，

∴OM=，
∴，∠POM=∠COP，
∴，
∴，
∴，
∴，
过M作MH⊥BD于H，MN⊥AB于N，
∴，MN=，
∴，
∵BD是切线，BD=2，
∴∠ABD=90°，
∴四边形MNBH为矩形，
∴，BH= MN=，
，
∴
∴，即最小值为，
故答案为：．
13．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，以AC，BC和AB为边向上作正方形ACED和正方形BCMI和正方形ABGF，点G落在MI上，若AC+BC＝7，空白部分面积为16，则图中阴影部分的面积是 _____．

【答案】
【分析】
根据余角的性质得到，根据全等三角形的性质得到，推出，根据勾股定理得到，解方程组得到，接着由图可知空白部分为重叠部分，阴影部分为非重叠部分，所以2倍的空白部分与阴影部分面积和等于三个正方形与三角形面积和．结合即可得出结论．
依此即可求解．
【详解】
解：如图，

四边形是正方形，
，
，
，
，
，
，
∵，即，
，
在中，，
，
，
，
，
，
阴影部分的面积和= 三个正方形面积+三角形面积-2倍空白部分面积
=


．
故答案为：．
14．如图，在正方形中，E、F是射线上一动点，且，射线、分别交、延长线于G、H，连接；在下列结论中①；②，③；④；⑤若，则；⑥其中一定正确的是__________．（把正确的序号写在横线上）

【答案】①③④⑥
【分析】
由正方形的性质，易证△AEB≌△CEB，从而可判断①的正确性；假设结论正确，可推出AE⊥BD，显然AE是不可能总垂直BD的，故可得②不正确；如图1，在BC上取BM=DH，连接AM，则可证△ABM≌△ADH，根据全等的性质及已知条件，可得△AMG≌△AHG，从而可得③正确；由△AMG≌△AHG，从而，而△AGM与△BCD等高，故可得⑥正确；如图1，延长AM到N，使MN=HF，连接BN、EN，则可证△ABN≌△ADF，△ANE≌△AFE，故有BN=DF，EN=EF，且易得∠EBN=90°，在Rt△EBN中，由勾股定理即可判断④正确；如图2，延长CD到P，使DP=BG，连接AP，则易证△ADP≌△ABG，可得AP=AG，且易得∠PAF=∠EAF=45°，从而可证得△APH≌△AGH，易得GH=BG+DH，若设CH=a，CG=b，由勾股定理有：，另一方面，可得GH=BG+DH=5a-b，因此可得，则，故可判断⑤错误．
【详解】
∵四边形ABCD为正方形
∴AB=AD=BC=CD，∠ABC=∠BCD=∠CDA=∠DAB=90°，∠ABE=∠CBE=∠ADB=45°
在△AEB和△CEB中

∴△AEB≌△CEB(SAS)
∴AE=CE
故①正确
若，则∠HGC=∠EAF=45°，∠GHC=∠F
∵∠HCG=90°
∴∠GHC=45°
∴∠GHC=∠F=45°
∴∠AEF=90°
∴AE⊥BD
但只有当E点是线段BD的中点时，才有AE⊥BD，其它位置是不垂直的
故②不正确
如图1，在BC上取BM=DH，连接AM

∵AB=AD，∠ABC=∠ADH=90°，BM=DH
∴ △ABM≌△ADH(SAS)
∴AM=AH，∠BAM=∠DAH
∵∠BAM+∠MAD=∠DAB=90°
∴ ∠MAH=∠DAH+∠MAD =∠BAM+∠MAD=90°
∵
∴
∵AG=AG
∴△AMG≌△AHG(SAS)
∴GM=GH
∴BG=GM+BM=GH+DH
故③正确
∵△AMG≌△AHG
∴
∵△AGM与△BCD的高分别为AB、CD，且AB=CD
∴
∵GM=GH，BC=AB
∴
故⑥正确
如图1，延长AM到N，使MN=HF，连接BN、EN，则AM+MN=AH+HF，即AN=AF
∵∠BAM=∠DAH，AB=AD
∴△ABN≌△ADF(SAS)
∴BN=DF，∠ABN=∠ADF
∵∠ADF=180°-∠ADB=180°-45°=135°
∴∠ABN=135°
∴ ∠EBN=∠ABN-∠ABD=135°-45°=90°
同理可得：△ANE≌△AFE
∴EN=EF
在Rt△EBN中，由勾股定理得：
∴
故④正确
当AB=3CH时，此时点H在边CD上
设CH=a，CG=b，则AB=CD=BC=3a，DH=AB-CH=2a，BG=BC-CG=3a-b
如图2，延长CD到P，使DP=BG，连接AP
∵AB=AD，∠ABC=∠ADP=90°，BG=DP
∴△ABG ≌△ADP(SAS)
∴AG=AP，∠BAG=∠DAP
∴∠GAP=∠GAD+∠DAP=∠GAD+∠BAG=∠DAB=90°
∵∠EAF=45°
∴∠PAF=∠EAF=45°
∵AH=AH
∴△APH≌△AGH(SAS)
∴PH=GH
∵PH=DP+DH
∴GH=BG+DH=3a-b+2a=5a-b
在Rt△GHC中，由勾股定理有：
∴
整理得：
∴CD =3a=
故⑤错误

故答案为：①③④⑥
15．如图，在等边三角形中，D是的中点，P是边上的一个动点，过点P作，交于点E，连接．若是等腰三角形，则的长是_________________．

【答案】或或．
【分析】
过点D作DG⊥AB，DF⊥BC，垂足分别为G、F，根据△PDE是等腰三角形，分三种情况讨论，利用勾股定理列出方程即可．
【详解】
解：过点D作DG⊥AB，DF⊥BC，垂足分别为G、F，
∵AB=8，∠A=60°，D是的中点，
∴AG= ，，
同理，CF=2，，
设BP为 x，同理可得，BE=2x，PE=，
PG=6-x，EF=6-2x，
当DP=PE时，
，
解得，（舍去），；
当DP=DE时，
，
解得，（舍去），；
当DE=PE时，
，
解得，（舍去），；
故答案为：或或．

16．在中，，，，是边上两个动点，若，边上分别存在点，使得，则线段的最小值为______．
【答案】.
【分析】
先确定MN取最小值时应满足的条件，后利用三角形相似的知识解决即可.
【详解】
如图①，在边上取点、，
以为边作等边三角形，
并作外接圆，
则所对圆周角，
交、于、时，易知，
则与有交点，且半径最小时可取得最小值，
∴与、相切时最小，如图②，
此时，，，
∴圆心在角平分线上，
即在底边上的高上
∴，
连接，，，
圆心角，，
∴
设半径为，则，
∵，
∴，
∴，即，
解得，
则．

故填.
17．如图，在平面直角坐标系中，直线：与x轴相交于点，过点作直线的垂线交轴于点，以为边作正方形过点作轴的平行线交轴于点，交直线于点，以为边作正方形；过点作直线的垂线交直线于点，交轴于点，以为边作正方形…依此下去所得正方形的中心坐标为______．

【答案】
【分析】
从一次函数的解析式入手，寻找每个正方形的边长之间的规律；再从中找出当n为奇数时，正方形中心横、纵坐标的规律，据此规律，可计算出所求正方形的中心的坐标.
【详解】
解：如图，设直线y=x-1交y轴于点M．
当x=0时，y=-1；当y=0时，x=1，
∴．
∴．
∴是等腰直角三角形．
∴．

∴
．
，…，
∴．
∴．
由图可知，中心坐标的横坐标：
当n为奇数时，的横坐标为．
∴的横坐标为：
．
中心坐标的纵坐标：
当n为奇数时，的横坐标为．
∴的纵坐标为：
．
∴正方形的中心坐标为．
故答案为：

三、解答题
18．在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为1．对于点A和线段BC，给出如下定义：若将线段BC绕点A旋转可以得到⊙O的弦B′C′（B′，C′分别是B，C的对应点），则称线段BC是⊙O的以点A为中心的“关联线段”．
（1）如图，点A，B1，C1，B2，C2，B3，C3的横、纵坐标都是整数．在线段B1C1，B2C2，B3C3中，⊙O的以点A为中心的“关联线段”是 　 　；
（2）△ABC是边长为1的等边三角形，点A（0，t），其中t≠0．若BC是⊙O的以点A为中心的“关联线段”，求t的值；
（3）在△ABC中，AB＝1，AC＝2．若BC是⊙O的以点A为中心的“关联线段”，直接写出OA的最小值和最大值，以及相应的BC长．

【答案】（1）B2C2；（2）或；（3）最小值为1，相应的；最大值为2，相应的
【分析】
（1）结合题意，根据旋转和圆的性质分析，即可得到答案；
（2）根据题意，分在x轴上方和x轴上方两种情况；根据等边三角形、勾股定理、全等三角形的性质，得，从而完成求解；
（3）结合题意，得当为⊙O的直径时，取最小值；当、、三点共线时，取最大值；根据勾股定理、等腰三角形的性质计算，即可得到答案．
【详解】
（1）线段B1C1绕点A旋转得到的，均不能成为⊙O的弦
∴线段B1C1不是⊙O的以点A为中心的“关联线段”；
线段B2C2绕点A旋转得到的，如下图：

∴线段B2C2是⊙O的以点A为中心的“关联线段”；
线段B3C3绕点A旋转得到的，均不能成为⊙O的弦
∴线段B3C3不是⊙O的以点A为中心的“关联线段”；
故答案为：B2C2；
（2）∵△ABC是边长为1的等边三角形，点A（0，t），⊙O的半径为1
∴轴
分在x轴上方和x轴上方两种情况：
当在x轴上方时，与轴相交于点，见下图：

∵
∴
∴
∵△ABC是边长为1的等边三角形，即△是边长为1的等边三角形，
∴，
∴
∴
∴
∴；
当在x轴上方时，与轴相交于点，见下图：

同理，
∴；
∴；
∴或；
（3）当为⊙O的直径时，取最小值，如下图：

∴最小值为1，
∴；
当、、三点共线时，取最大值， ，如下图：

作交于点E，作交于点F，如下图

∵
∴
∴
∵
∴
∴
∴
∴
∴最小值为1，相应的；最大值为2，相应的．
19．已知△AOB和△MON都是等腰直角三角形（OA＜ON＜OA），∠AOB＝∠MON＝90°．

（1）如图1：连AM，BN，求证：△AOM≌△BON；
（2）若将△MON绕点O顺时针旋转；
①如图2，当点N恰好在AB边上时，求证：BN2＋AN2＝2ON2；
②填空：当点A，M，N在同一条直线上时，若OB＝4，ON＝3，BN＝　 　．
【答案】（1）证明见解析；（2）①证明见解析；②或
【分析】
（1）根据等腰直角三角形的性质，得，，；再根据全等三角形的判定性质分析，即可得到答案；
（2）①连接，通过证明△AOM≌△BON，得，；根据等腰直角三角形，推导得，根据勾股定理，得、，即可完成证明；
②结合题意，根据旋转的性质，分点在右侧和点在左侧两种情况分析；当点在右侧时，结合（1）的结论，根据等腰直角三角形、全等三角形的性质，得，再根据勾股定理和二次根式的性质，通过列一元二次方程并求解，即可得到答案；当在左侧时，同理，通过计算即可得到答案．
【详解】
（1）∵△AOB和△MON都是等腰直角三角形
∴，
∵∠AOB＝∠MON＝90°
∴，即
∴△AOM和△BON中

∴△AOM≌△BON；
（2）①连接，如下图

∵∠AOB＝∠MON＝90°
∴，即
∴△AOM和△BON中

∴△AOM≌△BON；
∴，
∵，∠AOB＝90°
∴
∴
∴
∴
∵，∠MON＝90°
∴
∴BN2＋AN2＝2ON2；
②根据题意，分两种情况分析
当点在右侧时，如下图，分别连接、，过点作，交于点

∵∠AOB＝∠MON＝90°
∴，即
∴△AOM和△BON中

∴△AOM≌△BON；
∴
∵，,∠AOB＝∠MON＝90°
∴，
∴
∵
∴
直角中，
∴
∴或（舍去）
∴；
当点在左侧时，如下图，分别连接、，过点作，交于点

∵∠AOB＝∠MON＝90°
∴，即
∴△AOM和△BON中

∴△AOM≌△BON；
∴
∵，,∠AOB＝∠MON＝90°
∴，
∴
∵
∴
直角中，
直角中，
∴
∴或（舍去）
∴ ；
∴
故答案为：或．
20．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，与x轴的交点为B、C，直线与抛物线相交于点C，与y轴相交于点D，P是直线l下方抛物线上一动点．


（1）求抛物线的函数表达式；
（2）过点P作线段PMx轴，与直线l相交于点M，当最大时，求点P的坐标及的最大值；
（3）把抛物线绕点O旋转，再向上平移使得新抛物线过（2）中的P点，E是新抛物线与y轴的交点，F为原抛物线对称轴上一点，G为平面直角坐标系中一点，直接写出所有使得以B、E、F、G为顶点、为边的四边形是菱形的点G的坐标，并把求其中一个点G的坐标的过程写出来．
【答案】（1）；（2）最大值，此时P点坐标（2，-3）；（3）点G的坐标或
【分析】
（1）先求出C点坐标，再把AC坐标代入解析式即可；
（2）由PMx轴设P点坐标，再表示出M点坐标，即可表示出PM的长度；
（3）先求出新函数的解析式，再求出B、E两点坐标并表示出FG坐标，最后根据菱形的性质列出方程即可．
【详解】
（1）∵直线与抛物线相交于点C
∴C点坐标为（-1，0）
把、C（-1，0）代入函数解析式得：

解得
∴抛物线的函数表达式
（2）设
∵段PMx轴
∴M纵坐标为
∵M在直线上
∴
∴
∴当时最大，最大值，此时P点坐标（2，-3）
（3）∵抛物线的函数表达式
∴顶点坐标（1，-4）,与x轴的交点B（3，0）、C（-1，0）
∵把抛物线绕点O旋转
∴旋转前后对应点关于原点对称
∴新抛物线的顶点为（-1,4），与x轴的交点为（-3，0）、（1，0）
∴设新抛物线解析式为
∵向上平移使得新抛物线过（2）中的P（2，-3）点
设平移后解析式为
∴，解得
∴平移后解析式为
∵E是平移后抛物线与y轴的交点，
∴E（0,5）
∵F为原抛物线对称轴上一点，G为平面直角坐标系中一点，
∴设F，
∵以B、E、F、G为顶点、为边的四边形是菱形
∴确定的学段BE可能是对角线也可能是边
①当BE是对角线时
∵菱形BFEG对角线互相垂直平分
∴此时F是BE的垂直平分线与直线的交点，
∵E（0,5）、B（3，0）
∴直线BE的解析式为，BE的中点坐标为
∴设BE的垂直平分线解析式为，代入得：

解得，
∴BE的垂直平分线解析式为
当时，即F
∵菱形BFEG对角线互相垂直平分
∴由中点公式得，解得
即G点坐标
②当BE为边长时BE=BF，
∴由距离公式得
解得：
∵菱形BFGE对角线互相垂直平分
∴由中点公式得，解得或
即G点坐标为或
综上所述所有使得以B、E、F、G为顶点、为边的四边形是菱形的点G的坐标为或．
21．在锐角△ABC中，AB＝AC，D是线段BC上的一点，连接AD，将AD绕着点A顺时针旋转至AE，使得∠EAD＝2∠BAC，连接DE交AB于点F．

（1）如图1，若∠BAC＝60°，∠DAC＝15°，BD＝4，求AB的长；
（2）如图2，点G是线段AC的一点，连接DG，FG，若DA平分∠EDG，求证：FE＝DG+FG；
（3）在（1）的条件下，将△BFD绕D点顺时针旋转∠α（0°＜α＜180°）得△B'F'D，直线B'F'交AB于点M，交AC于点N．在旋转过程中，是否存在△AMN为直角三角形？若存在，请直接写出AM的长度；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）；（2）见解析；（3）存在，
【分析】
（1）过点作于点，交于点，设，则，勾股定理求得；
（2）在上截取,证明，即可证明；
（3）①如图，当时，延长交于点，角于点,结合（1）的结论，通过计算角度可得是等腰直角三角形，在中勾股定理求得,在中，求得，进而求得的长，②是直角三角形，时，通过分析不存在此情况．
【详解】
（1）过点作于点，交于点，如图，


是等边三角形，
，
,

，
∠DAC＝15°，


设，则，
，
，
，
在中
，
，
解得，
，
（2）如图，在上截取,

DA平分∠EDG，




在与中


,



,

∵AF=AF



即
（3）①如图，当时，延长交于点，角于点,

由（1）可知，是等边三角形，

∠DAC＝15°，∠BAC＝60°，

△BFD绕D点顺时针旋转∠α（0°＜α＜180°）得△B'F'D，

△AMN为直角三角形
当时，




,
是等腰直角三角形



在中



在中


②是直角三角形，时，

过点作

若，
则四边形是矩形，
又
四边形是正方形，如图，

此时三点重合，不存在
综上所述，
22．函数（m为常数）的顶点为点P，设其图象为G．
（1）若点在图象G上，求m的值．
（2）设直线与图象G交于A、B两点，当时，求m的值．
（3）当时，该函数的最大值为5，求m的值．
（4）若图象G在直线和直线间的部分的满足y随x的增大而增大时，且点在直线和直线以及图象G、x轴围城的封闭区域内，直接写出m的取值范围．
【答案】（1）m=；（2），；（3）m=-1；（4）m=1
【分析】
（1）把点代入列方程即可求解；
（2）将一次函数解析式和二次函数解析式联立方程，根据根与系数关系列出方程求解；
（3）将二次函数配方可得，可得对称轴x=-m，再根据二次函数在增减性分情况讨论最值，列方程求解；
（4）由函数在直线和直线间的部分的满足y随x的增大而增大，对称轴为直线x=-m，可得当x>-m时，y随x的增大而增大，继而可得，解得m≥1，由，可得，由点在直线和直线以及图象G、x轴围城的封闭区域内，
可得，进而即可求解．
【详解】
（1）解：∵点（3，2）在上，
∴，
解得m=；
（2）∵直线与函数的图象交于A，B两点，
∴，即，
∵AB=6，
∴AB=，
∴，
即，
解得，；
（3）解：=，
∴其对称轴为直线x=-m，
当-m2相矛盾，故舍去，
当时，函数在时y随x的增大而减小，函数在时y随x的增大而增大，
∴当x=0时，y有最大，，解得m=-1，
当x=2时，y有最大，，解得m=-1，
满足，
故m的值为-1；
（4）解：∵函数在直线和直线间的部分的满足y随x的增大而增大，对称轴为直线x=-m，
又∵当x>-m时，y随x的增大而增大，
∴，
∴m≥1，
∵，
∴，
当时，，
当时，，
∵点在直线和直线以及图象G、x轴围城的封闭区域内，
∴当时，，且，
∴，
解得．
23．如图，在平面直角坐标系中，抛物线（）与 轴交于点，，与 轴交于点．

（1）求该抛物线的解析式；
（2）直线为该抛物线的对称轴，点与点关于直线对称，点为直线下方抛物线上一动点，连接 ，，求面积的最大值；
（3）在（2）中面积取最大值的条件下，将抛物线（ ）沿射线平移个单位，得到新的抛物线，点 为点的对应点，点为 的对称轴上任意一点，在确定一点 ，使得以点，，，为顶点的四边形是平行四边形，写出所有符合条件的点的坐标，并任选其中一个点的坐标，写出求解过程．
【答案】（1）；（2）8；（3）或或．
【分析】
（1）直接代入点，坐标即可；
（2）作轴交直线于，于，通过点，点的坐标可求得直线的函数关系式，，可得直线与轴正方向夹角为，可得，设，则，根据可求解；
（3）通过平移距离为，转化为向右平移4个单位，再向下平移4个单位，得出平移后的抛物线关系式和的坐标，从而平行四边形中，根据线段，分别为平行四边形的边，或者是对角线，分类讨论，通过点的平移得出 的横坐标所在的直线，然后代入抛物线得函数关系式，即可求得坐标．
【详解】
解：（1）将，代入 得
，
，
，
（2）如图示，

作轴交直线于，于 ，
当时，，
点的坐标是，
点与点关于直线对称，
∴，
∴
∴（取非零值）
∴点的坐标是，
∵点的坐标是，点的坐标是，
∴直线的函数关系式为：，且
∴，
∴直线与轴正方向夹角为，
∴，
则有：，
∴，
设，
，


，
，




∴当时，最大为8，
（3）直线与轴正方向夹角为，
沿方向平移，实际可看成向右平移4个单位，再向下平移4个单位，
由（2）可知，点的坐标是，且
∴点的坐标是，
∴平移后，点的对应点的坐标为，
∵抛物线
∴平移后，
抛物线的对称轴为：直线：，
当时，在抛物线中，，
即点在抛物线上，
当为平行四边形的边时：
如图1所示，

若点平移到对称轴上点，即点往右平移个单位长度，到对称轴上点，
则，点往右平移个单位长度，
∴点的横坐标为，
∴点在直线上，
又∵点在抛物线上，
代入得，
点的坐标是；
如图2所示，

若平移到对称轴上点，即点往右平移个单位长度，到对称轴上 点，
则，点往右平移个单位长度，
∴点的横坐标为，
∴点在直线上，
又∵点在抛物线上，
代入得，
点的坐标是；
如图3示，

若为平行四边形的对角线时，
若平移到对称轴上点，即点往右平移个单位长度，到对称轴上 点，
则，点往左平移个单位长度，
∴点的横坐标为，
∴点在直线上，
又∵点在抛物线上，
代入得，
点的坐标是；
∴综上所述，所有符合条件的点的坐标是或 或．
24．（数学概念）
有一条对角线平分一组对角的四边形叫“对分四边形”．
（概念理解）
（1）关于“对分四边形”，下列说法正确的是 　 　．（填所有正确的序号）
①菱形是“对分四边形”
②“对分四边形”至少有两组邻边相等
③“对分四边形”的对角线互相平分
（问题解决）
（2）如图①，PA为⊙O的切线，A为切点．在⊙O上是否存在点B、C，使以P、A、B、C为顶点的四边形是“对分四边形”？
小明的作法：
①以P为圆心，PA长为半径作弧，与⊙O交于点B；
②连接PO并延长，交⊙O于点C；
③点B、C即为所求．
请根据小明的作法补全图形，并证明四边形PACB是“对分四边形”．
（3）如图②，已知线段AB和直线l，请在图②中利用无刻度的直尺和圆规，在直线l上作出点M、N，使以A、B、M、N为顶点的四边形是“对分四边形”．（只要作出一个即可，不写作法，保留作图痕迹）
（4）如图③，⊙O的半径为5，AB是⊙O的弦，AB＝8，点C是⊙O上的动点，若存在以A、B、C、D为顶点的四边形是“对分四边形”，且有一条边所在的直线是⊙O的切线，直接写出AC的长度．

【答案】（1）①②；（2）见解析；（3）见解析；（4）AC＝8或或4．
【分析】
（1）根据定义的判断和推理得出①②；
（2）根据画法画出图形，证明△POA≌△POB，再证△APC≌△PBC；再由全等三角形性质得出∠APC＝∠BPC、∠ACP＝∠BCP，根据“对分四边形”的定义即可判定；
（3）在直线l上取一点M，使AM=AB，再作平分线AN交直线l于N点即可解答；
（4）分为AB＝AC，AB＝BC，AB＝BD三种情形，当AB＝BC时，设OE＝x，根据AE2＝OA2﹣OE2＝AB2﹣BE2列出方程求得，当AB＝BD时，可推出∠AEB＝2∠EBC，从而只需求出tan，进而求得AC的长．
【详解】
解：（1）因为菱形的对角线平分每组对角，
所以菱形是“对分四边形”，
因为“对分四边形”的被平分对角的对角线分成的两个三角形全等，
所以至少两组邻边相等，
故答案是①②；
（2）如图1，

证明：连接OA，OB，
∵OA＝OB，
PA＝PB，
PO＝PO，
∴△POA≌△POB（SAS），
∴∠APC＝∠BPC，
∵PC＝PC，
∴△PAC≌△BPC（SAS），
∴AC＝BC，
∴四边形APBC是“对分四边形”；
（3）如图②，

（4）I、如图③，当AC＝AB＝8时，过点B和点C作⊙O的切线，交于点D；则四边形ABDC是“对分四边形”，


II、如图④，当BC＝AB＝8时，作过点A和点C作⊙O的切线交于点D；则四边形ABCD是“对分四边形”，

连接BO并延长交AC于E，连接OA，
根据对称性得BE⊥AC，
∴AC＝2AE，
设OE＝x，
∵AE2＝OA2﹣OE2＝AB2﹣BE2，
∴52﹣x2＝82﹣（5+x）2，
∴x＝，
∴AE＝＝，
∴AC＝，
III、如图⑤，过点B作⊙O的切线，截取BD＝AB＝8，作∠ABD的平分线交⊙O于点C，则四边形ABDC是“对分四边形”，

作直径BE，作∠AEB的平分线，
设∠AEB＝α，
∴∠BEF＝α，∠ABE＝90°﹣α，
∴∠ABD＝∠ABE+∠DBE
＝90°﹣α+90°
＝180°﹣α，
∴∠ABC＝＝90°﹣，
∴∠CBE＝∠ABC﹣∠ABE
＝90°﹣﹣（90°﹣α）
＝，
∴∠BCE＝∠BEF＝∠AEF，
作FH⊥BE于H，
∴AF＝FH，
∵S△ABE＝S△AEF+S△BEF，
∴＝，
∴6×8＝6AF+10AF，
∴AF＝3，
∴tan∠CBE＝tan∠AEF＝，
在△BOG中，OB＝5，
∴BG＝2，
∴AC＝2BG＝4，
综上所述：AC＝8或或4．
25．对子某一函数给出如下定义：如果存在实数p，当其自变量的值为p时，其函数值等于p，则称p为这个函数的不动值，在函数存在不动值时，该函数的最大不动值与最小不动值之差q称为这个函数的不动长度．特别地，当函数只有一个不动值时，其不动长度q为零．例如，如图中的函数有0，1两个不动值，其不动长度q等于1．
（1）下列函数①yx，②y＝x2+1，③y＝x2﹣2x中存在不动值的是 　 　；（填序号）
（2）函数y＝3x2+bx．
①若其不动长度为0，则b的值为 　 　；
②若﹣2≤b≤2，求其不动长度q的取值范围；
（3）记函数y＝x2﹣4x（x≥m）的图象为G1，将G1沿x＝m翻折后得到的函数图象记为G2，函数G的图象由G1和G2两部分组成，若其不动长度q满足0≤q≤5，则m的取值范围为 　 　．

【答案】（1）①③；（2）①，②；（3）2≤m≤5或m＜
【分析】
（1）由题意得：yx，解得： ，即可求解；y＝x2+1，无解，即可求解；y＝x2﹣2x，解得：或，即可求解；
（2）由题意得：y＝3x2+bx，解得：或 ；①若其不动长度为0，则，即可求解 ，②由题意得，﹣2≤b≤2，即可求解．
（3）如图1中，当图象G与直线y＝x的交点在第一象限时，P的最大值为5，最小值＞0，满足其不变长度q满足0≤q≤5，此时m＜5，如图2中，当图象G经过原点时，m＝2，此时p的最大值为5最小值为0，满足其不变长度q满足0≤q≤5，由此即可判断，如图3中，当直线x＝m在y轴的左侧，翻折后的抛物线的解析式为y＝−4，构建方程组，利用Δ＝0求出翻折后的抛物线与直线y＝x相切时，m的值即可判断．
【详解】
（1）由题意得：yx，解得： ，故存在不动值；
y＝x2+1， ，无解，故不存在不动值；
y＝x2﹣2x，
，
，
解得：或，故存在不动值；
故答案为：①③
（2）由题意得：y＝3x2+bx，
，
，
解得：或 ；
①若其不动长度为0，则，解得： ，
②，﹣2≤b≤2，解得： 即．
（3）如图1中，当图象G与直线y＝x的交点在第一象限时，P的最大值为5，最小值＞0，满足其不变长度q满足0≤q≤5，

∴m≤5，
如图2中，当图象G经过原点时，m＝2，此时p的最大值为5最小值为0，满足其不变长度q满足0≤q≤5，

如图3中，当直线x＝m在y轴的左侧，翻折后的抛物线的解析式为y＝ −4，

由 ，
消去y得到＋（−4m＋3）x＋4−8m＝0，
当Δ＝0时， −4（4−8m）＝0，
解得m＝ ，
观察图象可知，m＜时，满足条件，
综上所述，满足条件的m的值为2≤m≤5或m＜．