2022-2023 数学北师大版新中考精讲精练 考点02整式与因式分解

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考点02整式与因式分解 【考点总结】一、整式的有关概念1．整式整式是单项式与多项式的统称．2．单项式单项式是指由数字或字母的乘积组成的式子；单项式中的数字因数叫做单项式的系数；单项式中所有字母指数的和叫做单项式的次数．3．多项式几个单项式的和叫做多项式；多项式中，每一个单项式叫做多项式的项，其中不含字母的项叫做常数项；多项式中次数最高项的次数就是这个多项式的次数．【考点总结】二、整数指数幂的运算正整数指数幂的运算法则：am·an＝am＋n，(am)n＝amn，(ab)n＝anbn，＝am－n(m，n是正整数)．【考点总结】三、同类项与合并同类项1．所含字母相同，并且相同字母的指数也分别相同的单项式叫做同类项．2．把多项式中的同类项合并成一项叫做合并同类项，合并的法则是系数相加，所得的结果作为合并后的系数，字母和字母的指数不变．【考点总结】四、求代数式的值1．一般地，用数值代替代数式里的字母，按照代数式指明的运算关系计算出的结果就叫做代数式的值．2．求代数式的值的基本步骤：(1)代入：一般情况下，先对代数式进行化简，再将数值代入；(2)计算：按代数式指明的运算关系计算出结果．【考点总结】五、整式的运算1．整式的加减(1)整式的加减实质就是合并同类项；(2)整式加减的步骤：有括号，先去括号；有同类项，再合并同类项．注意去括号时，如果括号前面是负号，括号里各项的符号要变号．2．整式的乘除(1)整式的乘法①单项式与单项式相乘：把系数、同底数幂分别相乘，作为积的因式，只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式．②单项式与多项式相乘：m(a＋b＋c)＝ma＋mb＋mC．③多项式与多项式相乘：(m＋n)(a＋b)＝ma＋mb＋na＋nB．(2)整式的除法①单项式除以单项式：把系数、同底数幂相除，作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式．②多项式除以单项式：(a＋b)÷m＝a÷m＋b÷m.3．乘法公式(1)平方差公式：(a＋b)(a－b)＝a2－b2；(2)完全平方公式：(a±b)2＝a2±2ab＋b2.【考点总结】六、因式分解1．因式分解的概念把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做多项式的因式分解．2．因式分解的方法(1)提公因式法公因式的确定：第一，确定系数(取各项整数系数的最大公约数)；第二，确定字母或因式底数(取各项的相同字母)；第三，确定字母或因式的指数(取各相同字母的最低次幂)．(2)运用公式法①运用平方差公式：a2－b2＝(a＋b)(a－b)．②运用完全平方公式：a2±2ab＋b2＝(a±b)2.真题演练一、单选题1．（2021·重庆市合川区土场中学二模）下列图形都是由同样大小的菱形按照一定规律所组成的，其中第①个图形中一共有3个菱形，第②个图形中一共有7个菱形，第③个图形中一共有13个菱形，…，按此规律排列下去，第⑨个图形中菱形的个数为（　　）A．73 B．81 C．91 D．109【答案】C【详解】试题解析：第①个图形中一共有3个菱形，3=12+2；第②个图形中共有7个菱形，7=22+3；第③个图形中共有13个菱形，13=32+4；…，第n个图形中菱形的个数为：n2+n+1；第⑨个图形中菱形的个数92+9+1=91．故选C．2．（2021·山东·日照港中学一模）观察等式：；；已知按一定规律排列的一组数：、、、、、．若，用含的式子表示这组数的和是（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据题意，一组数：、、、、、的和为250＋251＋252＋…＋299＋2100＝＝a＋(2＋22＋…＋250)a，进而根据所给等式的规律，可以发现2＋22＋…＋250＝251－2，由此即可求得答案.【详解】250＋251＋252＋…＋299＋2100＝a＋2a＋22a＋…＋250a＝a＋(2＋22＋…＋250)a，∵，，，…，∴2＋22＋…＋250＝251－2，∴250＋251＋252＋…＋299＋2100＝a＋(2＋22＋…＋250)a＝a＋(251－2)a＝a＋(2 a－2)a＝2a2－a    ，故选C.3．（2021·安徽包河·二模）已知整数，满足条件：，依次类推的值为（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】分别计算：，再由具体到一般总结出规律，再利用规律解题即可得到答案．【详解】解：探究规律：，，，，，，，……，总结规律：当是奇数时，结果等于；是偶数时，结果等于；运用规律：，故选：B．4．（2021·安徽·合肥38中一模）已知三个实数a、b、c满足a+b+c≠0，，，则（   ）A．a+b=c B．ab=c C． D．【答案】D【分析】将a，c相加可得c=0，再将c代入c＝，即可得a，b的关系．【详解】∵a+c＝+＝a，∴c=0，∴＝0，∴a-b+c=0，∴a=b，∴=(a-b)(a+b)=0=c2．故选：D．5．（2021·福建·福州三牧中学九年级阶段练习）下列运算正确的是（　　）A．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2 B．2（2a﹣b）＝4a﹣bC．2a+3b＝5ab D．（a+b）2＝a2+b2【答案】A【分析】原式各项计算得到结果，即可做出判断．【详解】A、原式＝a2﹣b2，正确；B、原式＝4a﹣2b，错误；C、原式不能合并，错误；D、原式＝a2+b2+2ab，错误，故选A．6．（2021·宁夏兴庆·一模）下列计算正确的是（　　）A．7ab﹣5a＝2b B．（a+）2＝a2+C．（﹣3a2b）2＝6a4b2 D．3a2b÷b＝3a2【答案】D【分析】根据合并同类项、完全平方公式、积的乘方、单项式除单项式分别进行计算，再判断即可．【详解】7ab与﹣5a不是同类项，不能合并，因此选项A不正确；根据完全平方公式可得(a+)2=a2++2，因此选项B不正确；(﹣3a2b)2=9a4b2，因此选项C不正确；3a2b÷b=3a2，因此选项D正确；故选：D．7．（2021·浙江·杭州市采荷中学七年级期中）有4张长为a、宽为b（a＞b）的长方形纸片，按如图的方式拼成一个边长为（a+b）的正方形，图中阴影部分的面积为S1，空白部分的面积为S2．若S1＝S2，则a、b满足（    ）A．2a＝3b B．2a＝5b C．a＝2b D．a＝3b【答案】C【分析】先用含有a、b的代数式分别表示S2＝a2+2b2，S1＝2ab﹣b2，再根据S1＝S2，得a2+2b2＝2（2ab﹣b2），整理，得（a﹣2b）2＝0，所以a＝2b．【详解】解：由题意可得：S2＝b（a+b）×2+ab×2+（a﹣b）2＝ab+b2+ab+a2﹣2ab+b2＝a2+2b2，S1＝（a+b）2﹣S2＝（a+b）2﹣（a2+2b2）＝2ab﹣b2，∵S1＝S2，∴2ab﹣b2＝(a2+2b2)，∴4ab﹣2b2＝a2+2b2，∴a2+4b2﹣4ab＝0，∴(a﹣2b)2＝0，∴a﹣2b＝0，∴a＝2b．故选：C．8．（2021·湖南·邵阳县教育科学研究室七年级期末）若，则的值为（    ）A．3 B．6 C．9 D．12【答案】C【详解】∵a+b=3，∴a2-b2+6b=(a+b)(a-b)+6b=3(a-b)+6b=3a-3b+6b=3a+3b=3(a+b)=9，故选C.9．（2021·安徽·一模）下列各因式分解的结果正确的是（    ）A． B．C． D．【答案】C【分析】将多项式写成整式乘积的形式即是因式分解，且分解到不能再分解为止，根据定义依次判断即可．【详解】=a（a+1）（a-1），故A错误；，故B错误；，故C正确；不能分解因式，故D错误，故选：C．10．（2021·广西河池·一模）计算（a2）3，正确结果是（ ）A．a5 B．a6C．a8 D．a9【答案】B【详解】由幂的乘方与积的乘方法则可知，（a2）3=a2×3=a6．故选B．二、填空题11．（2021·内蒙古鄂尔多斯·中考真题）将一些相同的“〇”按如图所示的规律依次摆放，观察每个“龟图”的“〇”的个数，则第30个“龟图”中有___________个“〇”．
 【答案】875【分析】设第n个“龟图”中有an个“〇”（n为正整数），观察“龟图”，根据给定图形中“〇”个数的变化可找出变化规律“an＝n2−n＋5（n为正整数）”，再代入n＝30即可得出结论．【详解】解：设第n个“龟图”中有an个“〇”（n为正整数）．观察图形，可知：a1＝1＋2＋2＝5，a2＝1＋3＋12＋2＝7，a3＝1＋4＋22＋2＝11，a4＝1＋5＋32＋2＝17，…，∴an＝1＋（n＋1）＋（n−1）2＋2＝n2−n＋5（n为正整数），∴a30＝302−30＋5＝875．故答案是：875．12．（2021·江西·一模）规定＝ad－bc，若＝6，则－11x2＋6＝________．【答案】7【详解】∵＝ad－bc，∴＝-5（x2-3）-2（3x2+5）=-5x2+15-6x2-10=-11x2+5，∵＝6，∴-11x2+5=6，∴-11x2=1，∴-11x2+6=1+6=7，故答案为7.13．（2021·上海青浦·二模）计算：（﹣3a3）2＝______．【答案】9a6【分析】根据积的乘方等于每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，可得答案．【详解】解：原式＝（﹣3）2a3×2＝9a6故答案为：9a6．14．（2021·山东任城·八年级期中）若多项式能用完全平方公式因式分解，则m的值为______．【答案】±10【分析】利用完全平方公式的结构特征判断即可确定出m的值．【详解】∵多项式x2+mx+25能用完全平方公式分解因式，∴m=±10．故答案为±10．15．（2021·山东·一模）阅读理解：用“十字相乘法”分解因式的方法.（1）二次项系数；（2）常数项 验算：“交叉相乘之和”； ；；；（3）发现第③个“交叉相乘之和”的结果，等于一次项系数-1，即，则.像这样，通过十字交叉线帮助，把二次三项式分解因式的方法，叫做十字相乘法.仿照以上方法，分解因式：_________．【答案】（x+3）（3x﹣4）．【分析】根据题意利用十字相乘解题即可．【详解】解：3x2+5x﹣12=（x+3）（3x﹣4）． 三、解答题16．（2021·四川凉山·中考真题）阅读以下材料，苏格兰数学家纳皮尔（J．Npler，1550－1617年）是对数的创始人，他发明对数是在指数书写方式之前，直到18世纪瑞士数学家欧拉（Evler．1707－1783年）才发现指数与对数之间的联系．对数的定义：一般地．若（且），那么x叫做以a为底N的对数，记作，比如指数式可以转化为对数式，对数式可以转化为指数式．我们根据对数的定义可得到对数的一个性质：，理由如下：设，则．．由对数的定义得又．根据上述材料，结合你所学的知识，解答下列问题：（1）填空：①___________；②_______，③________；（2）求证：；（3）拓展运用：计算．【答案】（1）5，3，0；（2）见解析；（3）2【分析】（1）直接根据定义计算即可；（2）结合题干中的过程，同理根据同底数幂的除法即可证明；（3）根据公式：loga（M•N）=logaM+logaN和loga=logaM-logaN的逆用，将所求式子表示为：，计算可得结论．【详解】解：（1）①∵，∴5，②∵，∴3，③∵，∴0；（2）设logaM=m，logaN=n，∴，，∴，∴，∴；（3）===2．17．（2021·全国·七年级专题练习）解密数学魔术：魔术师请观众心想一个数a，然后将这个数按以下步骤操作：魔术师能立刻说出观众想的那个数．（1）如果小明想的数是，那么她告诉魔术师的结果应该是______________；（2）如果小明想了一个数计算后，告诉魔术师结果为42，那么魔术师立刻说出小明想的那个数是___________；（3）观众又进行了几次尝试，魔术师都能立刻说出他们想的那个数．请通过计算说明这个魔术的奥妙．【答案】（1）1；（2）40；（3）见解析【分析】（1）利用已知条件，这个数按步骤操作，直接代入即可；（2）假设这个数，根据运算步骤，求出结果等于42，得出一元一次方程，即可求出；（3）结合（2）中方程，关键是发现运算步骤的规律．【详解】解：（1）（﹣1×2﹣4）÷2+4＝1；故答案为：1；（2）设这个数为x，（2x﹣4）÷2+4＝42；解得：x＝40，故答案为：40；（3）设观众想的数为a．则根据题意得：．因此，魔术师只要将最终结果减去2，就能得到观众想的数了．18．（2021·浙江苍南·一模）（1）计算：﹣（﹣1）2020﹣（π﹣2）0；（2）分解因式：3x3﹣12x；（3）计算：（﹣a﹣1）2﹣（1+a）（a﹣1）；（4）解方程：．【答案】（1）7；（2）3x（x+2）（x-2）；（3）2a+2；（4）【分析】（1）根据负整指数幂、零指数幂、以及有理数的乘方进行计算即可；（2）先提公因式3x，再利用平方差公式进行分解即可；（3）分别利用完全平方公式和平方差公式进行计算即可；（4）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．【详解】解：（1）原式=9-1-1=7； （2）3x3﹣12x=3x（x2-4）=3x（x+2）（x-2）；（3）原式=a2+2a+1-（a2-1）=2a+2；（4）去分母得：3（x+1）+x2-1=x2，解得：；经检验是原方程的解．