数学必修 第二册7.1 复数的概念巩固练习

课时跟踪检测 （ 十五 ） 复数的几何意义

层级(一)　“四基”落实练

1．(多选)设z＝(2m2＋2m－1)＋(m2－2m＋2)i(m∈R)，则下列结论中不正确的是    (　　)

A．z在复平面内对应的点在第一象限

B．z一定不是纯虚数

C．z在复平面内对应的点在实轴上方

D．z一定是实数

解析：选ABD　2m2＋2m－1＝2m＋2－，m2－2m＋2＝(m－1)2＋1>0，则z在复平面内对应的点一定在实轴上方．A、B、D均不正确．

2．已知0＜a＜2，复数z＝a＋i(i是虚数单位)，则|z|的取值范围是      (　　)

A．(1，)　　　　　　　 B．(1，)

C．(1,3)  D．(1,5)

解析：选B　|z|＝，∵0＜a＜2，∴1＜a2＋1＜5，∴|z|∈(1，)．故选B.

3．在复平面内，O为原点，向量对应的复数为8＋3i，与关于x轴对称，则点B对应的复数为                                                                                                                              (　　)

A．8－3i  B．－8－3i

C．3＋8i  D．－8＋3i

解析：选A　关于x轴对称的复数是共轭复数，其实部相同，虚部互为相反数．

4．设O为原点，向量，对应的复数分别为2＋3i，－3－2i，那么向量对应的复数为                                                                                                     (　　)

A．－1＋i  B．1－i

C．－5－5i  D．5＋5i

解析：选D　由已知可得＝(2,3)，＝(－3，－2)，所以＝－＝(2,3)－(－3，－2)＝(5,5)，所以对应的复数为5＋5i.故选D.

5．已知复数z满足|z|2－2|z|－3＝0，则复数z对应点的轨迹为     (　　)

A．一个圆  B．线段

C．两点  D．两个圆

解析：选A　∵|z|2－2|z|－3＝0，∴(|z|－3)(|z|＋1)＝0，

∴|z|＝3，表示一个圆．故选A.

6．若z＝a－i(a∈R，且a＞0)的模为，则a＝______，复数z的共轭复数＝________.

解析：∵＝，且a＞0，

∴a＝1，则z＝1－i，∴＝1＋i.

答案：1　1＋i

7．i是虚数单位，设(1＋i)x＝1＋yi，其中x，y是实数，则xy＝________，|x＋yi|＝________.

解析：由(1＋i)x＝1＋yi，得x＋xi＝1＋yi，∴x＝y＝1，

∴xy＝1，|x＋yi|＝|1＋i|＝.

答案：1　

8．当实数m为何值时，复数z＝(m2－8m＋15)＋(m2＋3m－28)i在复平面内的对应点：

(1)位于第四象限；

(2)位于x轴负半轴上；

(3)位于上半平面(含实轴)．

解：(1)若点位于第四象限，则

∴∴－7<m<3.

(2)若点位于x轴负半轴上，则

∴∴m＝4.

(3)若点位于上半平面(含实轴)，

则m2＋3m－28≥0，解得m≥4或m≤－7.

层级(二)　能力提升练

1．已知复数z对应的向量为 (O为坐标原点)，与实轴正向的夹角为120°，且复数z的模为2，则复数z＝                                                                                                                  (　　)

A．1＋i  B．2

C．(－1，)  D．－1＋i

解析：选D　设复数z对应的点为(x，y)，

则x＝|z|·cos 120°＝2×－＝－1，

y＝|z|·sin 120°＝2×＝，

所以复数z对应的点为(－1，)，所以z＝－1＋i.

2．在复平面内表示复数z＝(m－3)＋2i的点在直线y＝x 上，则实数m的值为________．

解析：∵z＝(m－3)＋2i表示的点在直线y＝x上，

∴m－3＝2，解得m＝9.

答案：9

3．在复平面内，复数z1，z2对应点分别为A，B.已知A(1,2)，|AB|＝2，|z2|＝，则z2＝__________，复数z2在复平面内对应的点在第________象限．

解析：设z2＝x＋yi(x，y∈R)，由条件得，解得或所以z2＝5＋4i或＋i，显然复数z2对应的点在第一象限．

答案：5＋4i或＋i　一

4．在复平面内，复数－3－i与5＋i对应的向量分别是与，其中O是原点，求向量＋与对应的复数及A，B两点之间的距离．

解：因为复数－3－i与5＋i对应的向量分别是与，其中O是原点，所以＝(－3，－1)，＝(5,1)，

所以＋＝(－3，－1)＋(5,1)＝(2,0)，

所以向量＋对应的复数是2.

又＝－＝(－3，－1)－(5,1)＝(－8，－2)，

所以对应的复数是－8－2i，A，B两点之间的距离

||＝＝2.

5．在复平面内画出下列复数对应的向量，并求出各复数的模：z1＝1－i；z2＝－＋i；z3＝－2；z4＝2＋2i.

解：在复平面内分别画出点Z1(1，－1)，

Z2－，，Z3(－2,0)，Z4(2,2)，

则向量

，，，分别为复数z1，z2，z3，z4对应的向量，如图所示．

各复数的模分别为：

|z1|＝＝；

|z2|＝ ＝1；

|z3|＝＝2；|z4|＝＝2.

层级(三)　素养培优练

设复数z＝log2(m2－3m－3)＋ilog2(m－2)，m∈R对应的向量为.

(1)若的终点Z在虚轴上，求实数m的值及||；

(2)若的终点Z在第二象限内，求m的取值范围．

解：(1)因为的终点Z在虚轴上，所以复数Z的实部为0，

则有log2(m2－3m－3)＝0，

所以m2－3m－3＝1，所以m＝4或m＝－1.

因为所以m＝4，

此时z＝i，＝(0,1)，||＝1.

(2)因为的终点Z在第二象限内，则有所以m∈

.