2022-2023学年天津市咸水沽一中高二（上）期末数学试卷(含答案解析)

2022-2023学年天津市咸水沽一中高二（上）期末数学试卷

1.  直线与直线垂直，则m的值(    )

A. 或1 B.  C. 或 D.

2.  已知公差不为0的等差数列，满足，，成等比数列，的前n项和为，则的值为(    )

A.  B.  C. 3 D.

3.  抛物线的焦点到双曲线的渐近线的距离是(    )

A.  B. 2 C.  D.

4.  四棱锥中，设，，，，则(    )

A.
B.
C.
D.

5.  已知，P，Q分别为圆与圆上的动点，A点为x轴上的动点，则的最小值是(    )

A. 7
B. 8
C. 11
D. 14

6.  在四棱锥中，底面ABCD，底面ABCD是直角梯形，，，，，点E为棱PC的中点，则点E到PB的距离为(    )

A.  B.  C.  D.

7.  双曲线的右焦点恰是抛物线的焦点F，双曲线与抛物线在第一象限交于点，若，则双曲线的方程为(    )

A.  B.  C.  D.

8.  已知椭圆的下焦点，M点在椭圆C上，线段MF与圆相切于点N，且，则椭圆C的离心率为(    )

A.  B.  C.  D.

9.  正整数数列中，由1开始依次按如下规则，将某些整数染成红色．先染1；再染3个偶数2，4，6；再染6后面最邻近的5个连续奇数7，9，11，13，15；再染15后面最邻近的7个连续偶数16，18，20，22，24，26，28；再染此后最邻近的9个连续奇数29，31，…，45；按此规则一直染下去，得到一红色子数列：1，2，4，6，7，9，11，13，15，16，…，则在这个红色子数列中，由1开始的第2021个数是(    )

A. 3991 B. 3993 C. 3994 D. 3997

10.  已知向量，，若与平行，则m的值为______.

11.  随着双减政策的落地，小明决定利用写完作业后的时间，进行了一次“阅读经典”的活动，阅读书籍共1200页．他第一天只读了10页，之后采取了积极措施，从第二天起每一天阅读的量都比前一天多10页．这次“阅读经典”活动小明一共进行的天数为______.

12.  已知直线l：与圆相交于A，B两点，则取最小值时直线l的方程是______.

13.  已知抛物线C：，过点作倾斜角为的直线l，若l与抛物线交于B，C两点，弦BC的中点P到x轴的距离为______.

14.  点P是直线上的动点，过点P作圆的两条切线PA和PB，A和B是切点，的最大值是，则r的值______.

15.  给出下列四个命题：
①已知直线，则该直线的倾斜角为
②抛物线的准线方程为
③在等差数列中，，若的前n项和有最小值，则使时最大的自然数n的值为2022
④已知数列，若对于任意有，则实数a的取值范围是，其中正确命题的序号为______.

16.  已知圆M经过，，三点，求圆M的标准方程；
在的条件下，求过作圆M的切线l，求切线l的方程．

17.  如图，在四棱锥中，底面ABCD，底面ABCD为平行四边形，，，且，E是PD中点．
求证：平面AEC；
求直线PC与平面ACE所成角的正弦值；
在线段PB上不含端点是否存在一点M，使得二面角夹角的余弦值为？若存在，确定M的位置；若不存在，说明理由．

18.  已知数列是等差数列，其前n项和公式为，数列是等比数列．，，，
求数列和的通项公式；
令，求数列的前n项和，求证：；
令，求数列的前n项和

19.  椭圆的离心率，过点，左顶点为A，过点A作斜率为的直线l交椭圆C于点D，交y轴于点E，
求椭圆C的标准方程．
求面积取最大值时的k的值．
若P是线段AD的中点，问是否存在x轴上一定点Q，对于任意的都有，若存在求出Q点坐标，若不存在请说明理由．

20.  已知数列的前n项和为，，且
求数列的通项公式；
令，求数列的前n项和
设，，其中，求

答案和解析

1.【答案】C 

【解析】解：直线与直线垂直，
，
解得或
故选：
由两直线垂直可得，解方程求得m的值．
本题主要考查了两直线垂直的条件，属于基础题．
 

2.【答案】B 

【解析】解：设等差数列的公差为d，则，
，，成等比数列，
，即，
化简得，
又，，即，

故选：
设等差数列的公差为d，则，由，，成等比数列可得，再结合等差数列的通项公式求解即可．
本题主要考查了等比数列的通项公式，属于基础题．
 

3.【答案】A 

【解析】解：抛物线的焦点坐标是，双曲线的渐近线方程是，
所求距离为，
故选：
写出抛物线的焦点坐标和双曲线的渐近线方程，由点到直线的距离计算．
本题主要考查双曲线和抛物线的性质，属于中档题．
 

4.【答案】A 

【解析】解：
故选：
利用空间向量的加法和减法运算法则求解即可．
本题主要考查了空间向量的线性运算，属于基础题．
 

5.【答案】A 

【解析】解：设圆：，可得圆心，半径，
圆：可得圆心，半径，圆关于x轴对称圆的圆心，半径，
连接分别将两圆于P，，交x轴于B点，连接交圆于Q点，由对称性可得，如图所示：
所以，当且仅当A，B重合时取等号，
所以的最小值为7，
故选：
由圆的方程可得两圆的圆心坐标及半径的大小，求出圆关于x轴对称圆的圆心和半径，连接，与x轴的交点B，则可得，可得的最小值．
本题考查圆关于直线的对称圆的圆心坐标及半径，求直线的动点到动圆上点的距离的最小值问题，属于中档题．
 

6.【答案】B 

【解析】解：平面ABCD，平面ABCD，，
ABCD是直角梯形，，，，，
则，所以，，
，BD，平面PBD，所以平面PBD，又平面PBD，所以，即C到直线PB的距离是，
E是PC中点，所以E到PB的距离等于C到直线PB的距离的一半，即为
故选：
在直角梯形中证明出，然后由线面垂直的性质定理得，从而得平面PBD，得出，然后利用中点性质可得结论．
本题考查了空间中点到直线的距离计算，属于中档题．
 

7.【答案】D 

【解析】解：由抛物线的定义可得，可得，故抛物线的方程为，
将点A的坐标代入抛物线方程可得，，解得，
抛物线的焦点为，故双曲线的左焦点为，
则，，，
则，因此，双曲线的标准方程为
故选：
由抛物线的定义求出p的值，可得出抛物线的标准方程，进而可求得点A、F的方程，可求得双曲线的左焦点F的坐标，利用双曲线的定义可求得a的值，进而可求得b的值，由此可得出双曲线的标准方程．
本题考查了双曲线的性质，属于中档题．
 

8.【答案】B 

【解析】解：如图所示，取椭圆的上焦点为，连接，
设圆的圆心为，半径，
由题意，可得，所以，
所以，，
所以，而，则，
所以，所以，所以，
由椭圆的定义，可得，
在中，由勾股定理，可得，
即，化简可得，所以，
所以椭圆的离心率
故选：
由圆E与直线FM相切，可得，的关系，结合条件求出，再由勾股定理得到a，b的关系，最后求出椭圆的离心率即可．
本题考查椭圆性质的应用及直线与圆相切的性质，属于中档题．
 

9.【答案】D 

【解析】解：设第n次染色的最后一个数字为，根据染色的最后一个数字，1，6，15，28，……，可得，
因为前n次染色数字的个数之和为…，由，可得
第2021个数是第45次染色的第个数，
则第45组第1个数为：，
故第2021个数
故选：
根据题意知，每次染成红色的数字成等差数列，并且第n次染色的最后一个数为，共染色个，可以求出2021个．
本题考查了阅读理解及观察能力，由有限项归纳推理通项公式的能力，属于中档题．
 

10.【答案】 

【解析】解：依题意，设为实数，
则，解得，
即m的值为
故答案为：
利用向量共线的性质，直接计算求解即可．
本题主要考查了向量共线的性质，属于基础题．
 

11.【答案】15 

【解析】解：由题意可得“阅读经典”活动小明每天读书页数为等差数列，
设该等差数列为，由题意可得首项，公差，
则通项公式，
所以数列的前n项和，
设n天读完，
则，即，，解得或，
所以，
故答案为：
由题意可得此活动每天读书的页数成等差数列，由题意可得等差数列的通项公式，进而求出前n项和的公式，令，可得n的值．
本题考查等差数列的通项公式及前n项和公式的应用，属于基础题．
 

12.【答案】 

【解析】解：，
，
故直线l恒过点；
圆的圆心为，
，
故当取最小值时，
直线l的斜率为，
即，
故，
故直线l的方程为，
即；
故答案为：
化简直线方程得，从而确定直线l恒过点；而圆的圆心为，从而确定当取最小值时，直线l的斜率为，从而解直线l的方程．
本题考查了直线与圆的位置关系的应用及直线恒成立问题，属于中档题．
 

13.【答案】7 

【解析】解：过点作倾斜角为的直线l，
则直线l的方程为，即，
联立直线l与抛物线的方程，化简整理可得，，
设，，
则，
故弦BC的中点P到x轴的距离为
故答案为：
根据已知条件，先求出直线l的方程，将其与抛物线方程联立，推得，即可求解．
本题主要考查抛物线的性质，属于基础题．
 

14.【答案】2 

【解析】解：由题意作图如下，
'
当CP垂直于直线时，最大，
，
故，
故；
故答案为：
由题意作图，易知CP垂直于直线时，最大；结合图象求解r的值．
本题考查了直线与圆的位置关系的应用，利用了数形结合的思想，属于中档题．
 

15.【答案】③ 

【解析】解：对于①，直线的斜率为k，倾斜角为，
则，解得倾斜角为，故①错误；
对于②，抛物线，即的准线方程为，故②错误；
对于③，等差数列中，，，
，
的前n项和有最小值，，，，
，
，
则使时，最大的自然数n的值为2022，故③正确；
对于④，数列中，，，
若对于任意，有，当时，单调递减，
，解得，故④错误．
故答案为：③．
根据直线的倾斜角和斜率、抛物线、数列最值和单调性等知识点分别判断能求出结果．
本题考查直线的倾斜角和斜率、抛物线、数列最值和单调性、差数列、等比数列等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
 

16.【答案】解：由已知设圆的方程为，
由已知得，解得，，，
故圆的方程为：，
即；
设切线方程为，即，
又圆心为，半径，
故，解得，故切线方程为，
经验证，也是该圆的切线，
故所求切线方程为：或 

【解析】设出圆的一般式方程，待定系数法求解；
设切线方程为点斜式，再利用圆心到直线的距离为半径列方程求出k，注意验证斜率不存在时的直线是否满足题意．
本题考查待定系数法求圆的标准方程以及圆的切线的求法，属于中档题．
 

17.【答案】证明：连接BD，交AC于点O，连接OE，
因为平行四边形ABCD，所以点O为BD的中点，
又E是PD中点，所以，
因为平面AEC，平面AEC，
所以平面
解：由，，，知，
以A为坐标原点，AC，AB，AP所在直线分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，，，
所以，，，
设平面ACE的法向量为，则，即，
令，则，，所以，
设直线PC与平面ACE所成角为，则，，
故直线PC与平面ACE所成角的正弦值为

解：设，，则，
所以，
设平面ACM的法向量为，则，即，
令，则，，所以，
因为二面角夹角的余弦值为，
所以，，化简得，
解得或，
故存在点M满足题意，且或 

【解析】连接BD，交AC于点O，连接OE，由中位线的性质可知，再利用线面平行的判定定理，得证；
以A为坐标原点建立空间直角坐标系，求得平面ACE的法向量，设直线PC与平面ACE所成角为，由，，即可得解；
设，，求得平面ACM的法向量，利用，，求出的值，即可．
本题考查立体几何的综合应用，熟练掌握线面平行的判定定理，利用空间向量求线面角，二面角的方法是解题的关键，考查空间立体感、推理论证能力和运算能力，属于中档题．
 

18.【答案】解：设等差数列的公差为d，等比数列的公比为q，
因为，，，，
所以得，解得，
所以；
证明：由可知，，，
所以，
所以数列的前n项和；得证．
由可知，，，
所以，
，
，
两式相减得，
所以 

【解析】设的公差为d，的公比为q，由已知列方程组求得d，q后可得通项公式；
由裂项相消法求得和可证得不等式成立；
由错位相减法求和．
本题考查了等差数列与等比数列的通项公式以及裂项相消和错位相减法求和问题，属于中档题．
 

19.【答案】解：由已知，解得，
所以椭圆C的标准方程为；
设，
由得，易知，
当D为椭圆短轴顶点时最大，此时或，
从而或；
直线l方程为，代入椭圆方程得，
易知是此方程的根，另一根为，
P点横坐标为，
在中令得，即，
设，由得，
，
所以存在满足题意． 

【解析】由已知列出关于a，b，c的方程组求解可得；
设，由，只要最大即可，此时D为短轴端点，由此计算出k值；
由直线l的方程为，求出D点坐标得中点P的坐标，再求出E点坐标，设存在满足题意的点，用坐标表示出垂直关系后由恒等式知识得m的值．
本题考查了直线与椭圆的交点问题，直接写出直线方程求出交点坐标，中点坐标，把垂直用坐标表示，根据恒等式知识可得结论，考査了学生的运算求解能力，属于中档题．
 

20.【答案】解：当时，，即，
故，，
所以从第2项起，是公比为2的等比数列，
所以，
又当时，，与相等，
故；
由可知，，
，

，
故，
当时，，

其中，
设，
则，
两式相减得：，
故，
所以 

【解析】对变形后得到，，结合等比数列通项公式即可求解；
利用裂项相消法求和；
，然后分组求和即可．
本题考查了数列的递推关系以及裂项相消和错位相减求和计算，属于中档题．