2022-2023学年天津市和平区高二（上）期末数学试卷(含答案解析)

2022-2023学年天津市和平区高二（上）期末数学试卷

1.  直线的倾斜角是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  已知等比数列中，，则(    )

A. 8 B.  C. 16 D.

3.  三个顶点的坐标分别是，，，则外接圆的方程是(    )

A.  B.
C.  D.

4.  南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法商功》中描述过如图所示的“三角垛”，最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球……设各层的球数构成一个数列，即，，，…，且满足，则第六层球的个数为(    )

A. 28 B. 21 C. 15 D. 10

5.  已知直线与圆交于M，N两点，则线段MN的长度为(    )

A.
B. 2
C.
D.

6.  已知等差数列的前n项和为，若，，则(    )

A. 40
B. 70
C. 90
D. 100

7.  已知正方体的棱长为1，则点A到平面的距离为(    )

A.
B.
C.
D.

8.  已知双曲线C：的焦点F到渐近线的距离与顶点A到渐近线的距离之比为3：1，则双曲线C的渐近线方程为(    )

A.  B.  C.  D.

9.  已知P是抛物线上的一点，过点P作直线的垂线，垂足为H，若Q是圆C：上任意一点，则的最小值是(    )

A.  B. 4 C. 5 D. 6

10.  抛物线的焦点坐标为______.

11.  已知，若直线：与直线：相互垂直，则______.

12.  在等差数列中，若，则______.

13.  若正三棱柱的所有棱长都相等，D是的中点，则直线AD与平面所成角的余弦值为______.

14.  设双曲线的左焦点为F，过F作直线l与圆相切于点T，l与双曲线的一条渐近线交于点Q，若T为线段FQ的中点，则双曲线的离心率为______.

15.  已知等差数列的前n项和为，公差d为整数，，且，，成等比数列．
求的通项公式；
求数列的前n项和

16.  如图，在四棱椎中，平面ABCD，，且，，，，，N为PD的中点．
求证：平面PBC；
求平面PDC与平面PBC夹角的余弦值．

17.  已知椭圆的右顶点为A，下顶点为，上顶点为，椭圆的离心率为，且
求椭圆的标准方程；
设过点的直线l与椭圆相交于点不在坐标轴上，当时，求的面积．

18.  数列的前n项和为，且，数列满足，
求数列的通项公式；
求证：数列是等比数列；
设数列满足，其前n项和为，证明：

答案和解析

1.【答案】A 

【解析】解：设倾斜角为，
直线的斜率为，
，
，

故选：
先求出直线的斜率，再根据斜率是倾斜角的正切值，计算倾斜角即可．
本题考查了直线的倾斜角与斜率之间的关系，属于基础题，应当掌握．
 

2.【答案】B 

【解析】解：因为等比数列中，，
所以由等比中项的性质，可得，
所以
故选：
利用等比中项的性质即可求解．
本题主要考查等比中项的性质，属于基础题．
 

3.【答案】C 

【解析】解：设所求圆方程为，
因为，，三点都在圆上，
所以，解得，
即所求圆方程为：
故选：
利用圆的一般方程列出方程组求解即可．
本题主要考查圆的一般方程的求解，属于基础题．
 

4.【答案】B 

【解析】解：由题意得，，，，，
以上式子累加可得，
因为，所以，
故选：
利用递推公式进行累加法求解．
本题主要考查了叠加法在求解数列的项中的应用，属于基础题．
 

5.【答案】C 

【解析】解：圆的圆心为，半径
圆心到直线MN：的距离，

故选：
先求出圆心到直线MN：的距离，然后根据弦的一半，圆心到直线的距离，半径构成直角三角形，用勾股定理解决．
本题考查直线与圆的位置关系，圆的弦长问题，属基础题．
 

6.【答案】D 

【解析】解：设等差数列的首项为，公差为d，
因为，，
所以，解得，
所以
故选：
利用等差数列的前n项和分别求出首项和公差，代入公式即可求解．
本题主要考查等差数列的前n项和公式，属于基础题．
 

7.【答案】C 

【解析】解：如图所示：

三棱锥为边长为的正四面体，

，，
故点A到平面的距离为
故选：
根据正四面体顶点到底面之间的距离即可求解．
本题考查正四面体中的距离的计算，属基础题．
 

8.【答案】A 

【解析】解：设顶点焦点，其中一条渐近线的方程为：，
设A到渐近线的距离为，
焦点F到渐近线的距离为，
由题意可得b：：1即，所以，可得，
所以渐近线的方程为：，
故选：
由双曲线的对称性设右顶点，右焦点，及二四象限的解集的方程，再由点到直线的距离公式可得两个点到距离的距离，由题意可得c，a的关系，再由a，b，c之间的关系求出渐近线的斜率，进而求出渐近线的方程．
考查双曲线的方程，属于基础题．
 

9.【答案】D 

【解析】解：抛物线方程为，
抛物线的焦点，准线方程，设PH与准线的交点是，
又圆C的半径为，圆心为，
依题意作下图：

由图可知：，
，
当C，P，F三点共线时，取得最小值，
的最小值是
故选：
画出抛物线的焦点和准线，利用抛物线的几何性质将转化为C，P，F之间的距离之和，根据三点共线求得最小值．
本题考查抛物线的几何性质，数形结合思想，化归转化思想，属中档题．
 

10.【答案】 

【解析】解：抛物线的焦点在x轴正半轴上，开口向右，，所以抛物线的焦点坐标
故答案为：
利用抛物线方程，判断焦点坐标所在轴，求解即可．
本题考查抛物线的简单性质的应用，判断抛物线的类型的解题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：因为直线：与直线：相互垂直，
所以，解得
故答案为：
根据直线垂直的充要条件列出方程，即可求解．
本题主要考查直线的一般式方程与直线的垂直关系，属于基础题．
 

12.【答案】5 

【解析】解：设等差数列的首项为，公差为d，
因为，所以，所以，
又，所以，
故答案为：
根据等差数列的性质由，可得，再由求解即可．
本题主要考查了等差数列的性质，属于基础题．
 

13.【答案】 

【解析】解：如图，取AC中点O，连接OB，OD，
根据题意可得，，，
分别以直线OB，OC，OD为x轴，y轴，z轴，建系如图，设，
则，
，
设平面的法向量为，
则，取，
设直线AD与平面所成角为，
则，
又，
故答案为：
建系，利用向量法即可求解．
本题考查向量法求解线面角问题，属中档题．
 

14.【答案】 

【解析】解：设双曲线的右焦点为，如图所示：
为线段FQ的中点，O为中点，且，
，，，又 ，
，
由双曲线的定义得 ，
在中，，
，
，

故答案为：
设双曲线的右焦点为，根据T为线段FQ的中点，O为中点，得到，再利用双曲线的定义得到，然后在中，利用勾股定理求解．
本题考查双曲线的几何性质，数形结合思想，化归转化思想，属中档题．
 

15.【答案】解：等差数列的前n项和为，公差d为整数，
由，可得，即，
又，，成等比数列，可得，
即，
解得，舍去；
所以；
，
所以 

【解析】由等差数列的通项公式和求和公式，解方程可得首项和公差，进而得到所求；
求得，再由数列的裂项相消求和，计算可得所求和．
本题考查等差数列的通项公式和求和公式、等比中项的性质，以及数列的裂项相消求和，考查方程思想和运算能力，属于中档题．
 

16.【答案】证明：取PC中点为M，连接NM，MB，如图所示，

因为M，N分别是PC，PD的中点，所以且，
又因为且，
所以，，所以四边形NMBA为平行四边形，
所以，又因为平面PBC，平面PBC，
所以平面
解：取DC中点为E，以A为空间直角坐标系原点，AE为x轴，AB为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，如图所示，

则，，，，，
设平面PBC的法向量为，因为，，
所以，令，解得，即，
设平面PDC的法向量为，因为，，
所以，令，解得，即，
所以，
所以平面PDC与平面PBC夹角的余弦值为 

【解析】根据线面平行的判定即可证明线面平行．
取DC中点为E，以A为空间直角坐标系原点，AE为x轴，AB为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，求出平面PDC和平面PBC的法向量，利用向量法即可求得平面PDC与平面PBC夹角的余弦值．
本题主要考查了直线与平面平行的判定，考查了利用空间向量求两平面的夹角，属于中档题．
 

17.【答案】解：由题意得：，，故，
又，，解得：，，，
故椭圆的标准方程为；
因为，
所以点P为以为圆心，为半径的圆与椭圆的交点不在坐标轴上，
其中以为圆心，为半径的圆的方程为，
联立与，得：，
解得：或，其中时，点P位于y轴上，不合题意，舍去；
当时，，解得：，
故 

【解析】根据离心率，等列出方程组，利用待定系数法求出椭圆方程；
得到点P为以为圆心，为半径的圆与椭圆的交点不在坐标轴上，从而联立圆与椭圆方程，求出点P坐标，从而利用求出答案．
本题主要考查了椭圆的标准方程，考查了直线与椭圆的位置关系，属于中档题．
 

18.【答案】解：，
当时，，
当时，，
当时，符合，
；
证明：，，
当时，，
又，
数列是首项为3，公比为3的等比数列；
证明：由得，，
①，
②，
由①-②得，
，
又，则 

【解析】利用和的关系，当时，，且当时符合，即可得出答案；
根据等比数列的定义，当时，，即可证明结论；
由得，，利用错位相减法可得，即可证明结论．
本题考查和的关系、等比数列的定义以及错位相减法求和，考查转化思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．