2023年湖北省孝感市高二1月期末考试(含答案解析)

2023年湖北省孝感市高二1月期末考试

1.  已知空间向量，若，则(    )

A.  B.  C.  D.

2.  设不同的直线，则“”是“”的(    )

A. 充要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分不必要条件 D. 既不充分也不必要条件

3.  将字母a，b，c分别填入标号为a，b，c的三个方格里，每格填上一个字母，则每个方格的标号与所填的字母均不相同的概率是(    )

A.  B.  C.  D.

4.  过点，，且圆心在直线上的圆的方程是(    )

A.  B.
C.  D.

5.  已知直三棱柱中，，，，则异面直线与所成角的余弦值为(    )

A.  B.  C.  D.

6.  已知双曲线的渐近线方程为，则双曲线的离心率为(    )

A.  B.  C. 或 D. 或

7.  在等差数列中，其前n项和为，若，，则中最大的是(    )

A.  B.  C.  D.

8.  法国数学家、化学家和物理学家加斯帕尔蒙日被称为“画法几何之父”，他创立的画法几何学推动了空间解析几何的发展，被广泛应用于工程制图当中.过椭圆外的一点作椭圆的两条切线，若两条切线互相垂直，则该点的轨迹是以椭圆的中心为圆心、以为半径的圆，这个圆叫做椭圆的蒙日圆.若椭圆的蒙日圆为E：，过圆E上的动点M作椭圆C的两条切线，分别与圆E交于P，Q两点，直线PQ与椭圆C交于A，B两点，则下列结论不正确的是(    )

A. 椭圆C的离心率为
B. M到C的右焦点的距离的最大值为
C. 若动点N在C上，记直线AN，BN的斜率分别为，，则
D. 面积的最大值为

9.  已知等差数列为递减数列，且，，则下列结论中正确的有(    )

A. 数列的公差为 B.
C. 数列是公差为的等差数列 D.

10.  已知圆，直线则下列命题中正确的有(    )

A. 直线l恒过定点
B. 圆C被y轴截得的弦长为4
C. 直线l与圆C恒相离
D. 直线l被圆C截得最短弦长时，直线l的方程为

11.  抛物线的焦点为F，直线l过点F，斜率为，且交抛物线C于A、B两点点A在x轴的下方，抛物线的准线为m，交m于，交m于，点，P为抛物线C上任一点，则下列结论中正确的有(    )

A. 若，则 B. 的最小值为
C. 若，则 D.

12.  如图，在正方体中，点P在线段上运动，有下列判断，其中正确的是(    )
 

A. 平面平面
B. 平面
C. 异面直线与所成角的取值范围是
D. 三棱锥的体积不变

13.  已知直线l的斜率为，且和坐标轴围成的三角形的面积为3，则直线l的方程为__________.

14.  圆与圆的公切线共有__________条.

15.  设数列的前n项和为，点均在函数的图象上，则数列的通项公式为__________.

16.  已知椭圆和双曲线有共同的焦点、，M是它们的一个交点，且，记椭圆和双曲线的离心率分别为、，则的最大值为__________.

17.  已知在某次1500米体能测试中，甲、乙、丙3人各自通过测试的概率分别为，且三人是否通过测试互不影响.求：
人都通过体能测试的概率;
只有2人通过体能测试的概率.

18.  已知公差大于零的等差数列的前n项和为，且满足：，
求数列的通项公式
若数列是等差数列，且，求非零常数

19.  已知AB为过抛物线的焦点F的弦，M为AB的中点，l为抛物线的准线，MN垂直于l于N，点
求抛物线C的方程;
求的面积为坐标原点

20.  已知三棱柱中，，，，
求证：平面平面
若，在线段AC上是否存在一点P使平面和平面所成角的余弦值为若存在，确定点P的位置;若不存在，说明理由.
 

21.  已知圆心在x轴上的圆C与直线切于点
求圆C的标准方程;
已知，经过原点且斜率为正数的直线与圆C交于，求的最大值.

22.  已知点，圆，点Q在圆上运动，的垂直平分线交于点
求动点P的轨迹C的方程;
动点P的轨迹C与x轴交于A，B两点在B点左侧，直线l交轨迹C于M，N两点不在x轴上，直线AM，BN的斜率分别为，，且，求证：直线l过定点.

答案和解析

1.【答案】B 

【解析】

【分析】

本题主要考查空间向量平行的坐标运算，属于基础题.

【解答】

解：根据题意，由，设，即解可得：，则有，由此得

2.【答案】A 

【解析】

【分析】

本题考查了两直线平行的判定，属于基础题.

【解答】

解：当时，代入两直线方程中，易知两直线平行，即充分性成立.当时，显然，从而有，即，解得或，但当时，两直线重合，不符合要求，故必要性成立.

3.【答案】B 

【解析】

【分析】

本题考查古典概率的求解，排列问题，属基础题.

【解答】

解：将字母a，b，c填入标号为a，b，c的三个方格里有6种不同的填法，这6种情况发生的可能性是相等的.而每个方格的标号与所填的字母均不相同只有两种不同的填法.故所求概率

4.【答案】C 

【解析】

【分析】

本题主要考查圆的标准方程的求法，属于基础题.

【解答】

解：法一设点C为圆心点C在直线上，可设点C的坐标为
又该圆经过A，B两点，
，解得
圆心坐标为，半径长故所求圆的标准方程为
法二排除法.根据圆心在直线上，排除 B，根据点在圆上，排除

5.【答案】A 

【解析】

【分析】

本题考查了异面直线所成角的大小，属于基础题.


 

【解答】

解：解法一：如图所示，设M、N、P分别为AB，和的中点，
则、夹角为MN和NP夹角或其补角因异面直线所成角为

可知，作BC中点Q，则为直角三角形;
，，中，由余弦定理得
，，
在中，
在中，由余弦定理得
又异面直线所成角的范围是与所成角的余弦值为
解法二：如图所示，

补成四棱柱，求即可;
，，，，，

 

6.【答案】D 

【解析】

【分析】

本题考查双曲线的离心率，属基础题.

【解答】

解：当双曲线的焦点在x轴上时，离心率
当焦点在y轴上时

7.【答案】C 

【解析】

【分析】

本题主要考查等差数列前n项和中基本量的运算，及利用二次函数的性质求最值，属于中档题。

【解答】

解：由得，由，得到所以，从而当时有最大值.

8.【答案】D 

【解析】

【分析】

本题考查了直线与椭圆的位置关系及其应用，属于中档题.

【解答】

解：对于由题意可得，所以，，正确;
对于记右焦点为，设，则，
而，，从而，B正确;
对于由题意易得PQ为圆E的直径，A，B关于原点对称，从而，正确;
对于易得，D错误.

9.【答案】ABC 

【解析】

【分析】

本题考查等差数列的通项及性质，属中档题.

【解答】

解：由题意知，又，数列为递减数列，
，
公差，故A正确;
又，，故B正确;
由上可知，则当时，，当时，，
数列是首项为4，公差为的等差数列，故C正确;
，，故D错误.

10.【答案】AD 

【解析】

【分析】

本题主要考查直线过定点问题，直线与圆的位置关系，属于中档题。

【解答】

解：将直线l的方程整理为，
由解得
则无论m为何值，直线l过定点，故A正确;
令，则，解得，故圆C被y轴截得的弦长为，故B不正确;
因为，所以点D在圆C的内部，直线l与圆C相交，故C不正确;
圆心，半径为5，，当截得的弦长最短时，，，
则直线l的斜率为2，此时直线l的方程为，即故D正确.

11.【答案】ABD 

【解析】

【分析】

本题考查了直线与抛物线位置关系及其应用，属于中档题.

【解答】

解：对于设，过A做于点M，则，，易得，从而A正确;
对于过P、E分别作、于点、，则，从而B正确;
对于易得，C错误;
对于由得，，，从而

12.【答案】ABD 

【解析】

【分析】

本题考查空间中线面的位置关系，棱锥体积、异面直线夹角，属较难题.

【解答】

解：对于连接DB，因为正方体中，平面ABCD，
平面ABCD，所以，又因为，
DB，为平面内的两条相交直线，所以平面，
因为平面，所以，同理可得，
因为，AC为平面内两条相交直线，可得平面，平面，
从而平面平面，
故A正确;
对于连接，，，平面，平面，
所以平面，
同理平面，又、为平面内两条相交直线，
所以平面平面，
因为平面，所以平面，故B正确;
对于因为，所以与所成角即为与所成的角，，则为等边三角形，当P与线段的两端点重合时，与所成角取最小值当P与线段的中点重合时，与所成角取最大值，故与所成角的范围是，故C不正确;
对于由选项B得平面，故上任意一点到平面的距离均相等，
所以以P为顶点，平面为底面，则三棱锥的体积不变，又，
所以三棱锥的体积不变，故 D正确.

13.【答案】或 

【解析】

【分析】

本题主要考查直线的一般方程的求法，属于基础题。

【解答】

解：设直线l的方程为，，且，，或，，直线l 的方程为或，即或

14.【答案】4 

【解析】

【分析】

本题考查了圆的公共弦、公切线，属于基础题.

【解答】

解：，圆心坐标为，半径为，
圆心坐标为，半径为两圆圆心距为4，两圆半径和为3，因为，所以两圆的位置关系是外离，
故两圆的公切线共有4条.

15.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查数列中与的关系，属基础题.

【解答】

解：依题意得，，即
当时，，
因为，满足，所以

16.【答案】 

【解析】

【分析】

本题主要考查椭圆、双曲线的定义，利用余弦定理求解焦点三角形问题，由基本不等式求最值，属于难题。

【解答】

解：不妨设M为第一象限的点，为左焦点，设椭圆的长半轴长为，双曲线的实半轴长为，则根据椭圆及双曲线的定义可得，所以，，，在中，，由余弦定理得，化简得，即
所以，从而，当且仅当，时等号成立.

17.【答案】解：设事件“甲通过体能测试”，事件“乙通过体能测试”，事件“丙通过体能测试”，
则，，
设表示“甲、乙、丙3人都通过体能测试”，即，则由A，B，C相互独立，可得
设表示“只有2人通过体能测试”，则，由于事件A与B，A与C，B与C均相互独立，且事件，，两两互斥，则
 

【解析】本题考查了相互独立事件的概率的应用，属于基础题.
 

18.【答案】解：设等差数列的公差为d，且
，，
，是方程的两个根.又公差，，
解得
由知，，
，，是等差数列，，
舍去经检验，符合题意， 

【解析】本题考查等差数列的通项公式，前n项和公式，属中档题.
 

19.【答案】解：依题意准线l的方程为，即，则，
抛物线的方程为
设AB的方程为
由得

依题意则，

O到AB的距离，从而得 

【解析】本题主要考查抛物线的焦点、准线，抛物线的标准方程，抛物线中的弦长公式，求解抛物线中的面积问题，属于中档题。
 

20.【答案】解：证明：在三棱柱中，四边形是平行四边形，而，则平行四边形是菱形，连接，如图，

则有，因，，
，平面，于是得平面，
而平面，则，由，得，，AC，平面，
从而得平面，又平面ABC，所以平面平面
解：在平面内过C作，
由知平面平面ABC，平面平面，
则平面ABC，以C为原点，射线CA，CB，分别为x，y，z轴正半轴建立空间直角坐标系，如图，

因，，，则，，，，
假设在线段AC上存在符合要求的点P，设其坐标为，，
则有，，
设平面的一个法向量，则有
令得，而平面的一个法向量，
依题意，，
化简整理得：而，解得，
所以在线段AC上存在一点P，且P是靠近C的四等分点，使平面和平面所成角的余弦值为 

【解析】本题考查了面面垂直的证明和直线与平面所成的角的计算，属于中档题.
 

21.【答案】解：由圆心在x轴上的圆C与直线切于点，设，
直线的斜率为，
则，所以
所以，所以，，即，
所以圆C的标准方程为
设直线，与圆联立方程组可得，
，由根与系数的关系得，，


，
令，则，
所以，
当且仅当，即时取等号，此时，
所以的最大值为 

【解析】本题考查直线与圆的位置关系，两点间的距离公式，属中档题.
 

22.【答案】解：依题意得，则动点P的轨迹是以，为焦点的椭圆，其中，
，，所以动点P的轨迹C的方程为
设直线l的方程为，，，
则由得，由根与系数的关系得①
由题意M，N两点不在x轴上，所以，，，又点，
所以，，由得
从而由已知得，即②
又，③，将③代入②得
将①代入上式并整理得
，整理得
，故直线l恒过定点 

【解析】本题主要考查椭圆中的轨迹问题，直线与圆的位置关系，直线过定点问题，属于较难题。