2022-2023学年天津市河北区高二（上）期末数学试卷(含答案解析)

2022-2023学年天津市河北区高二（上）期末数学试卷

1.  直线的斜率为k，在y轴上的截距为b，则有(    )

A. ， B. ，
C. ， D. ，

2.  圆的圆心和半径分别为(    )

A. ， B. ，
C. ， D. ，

3.  椭圆的离心率是(    )

A.  B.  C.  D.

4.  双曲线的渐近线方程是(    )

A.  B.  C.  D.

5.  抛物线的准线方程是(    )

A.  B.  C.  D.

6.  在等比数列中，若，，则公比q的值等于(    )

A.  B.  C. 2 D. 4

7.  等比数列1，，，，…的前n项和为(    )

A.  B.  C.  D.

8.  若双曲线C与椭圆有公共焦点，且离心率，则双曲线C的标准方程为(    )

A.  B.  C.  D.

9.  如图，长方体中，，则异面直线与所成角的余弦值为(    )

A.
B.
C.
D.

10.  若直线l：和圆O：没有交点，则过点的直线与椭圆的交点个数为(    )

A. 0个
B. 至多有一个
C. 1个
D. 2个

11.  在数列中，，，则数列的第5项为______.

12.  已知两点，，则以线段为直径的圆的标准方程为______.

13.  与的等比中项是______.

14.  已知倾斜角为的直线l经过抛物线的焦点F，且与抛物线交于A，B两点，则焦点F的坐标为______；线段AB的长为______.

15.  已知数列的前n项和公式为，则______；数列的通项公式______.

16.  已知等差数列中，，
求首项和公差d；
求该数列的前10项的和的值．

17.  已知椭圆的一个顶点为，离心率为，过点及左焦点的直线交椭圆于C，D两点，右焦点设为
求椭圆的方程；
求的面积．

18.  如图，在长方体中，，，与交于点N，CD的中点为
求证：平面BMN；
求直线与平面ABN所成角的正弦值；
求平面CBN与平面ABN夹角的余弦值．

19.  已知数列是等差数列，是公比不等于1的等比数列，且，，
求数列和的通项公式；
设，，求数列的前n项和

答案和解析

1.【答案】D 

【解析】解：方程变形为：
，
此直线的斜率，直线在y轴上的截距
故选：
把直线的一般式方程化为斜截式方程，即可找出直线的斜率k及与y轴的截距b即可．
此题考查了直线的一般式方程，把直线的一般式方程化为斜截式方程是解本题的关键．
 

2.【答案】C 

【解析】解：将圆的方程化成标准形式，得
圆的圆心为，半径
故选：
将圆的方程配方成标准形式，结合圆心和半径的公式，即可得到本题答案．
本题给出圆的一般式方程，求圆的圆心和半径，着重考查了圆的一般方程、标准方程及其互化等知识，属于基础题．
 

3.【答案】A 

【解析】解：由椭圆，可得，，则，
所以椭圆的离心率为，
故选：
由椭圆方程得出a，b，c，可求出离心率．
本题考查椭圆的性质，考查运算求解能力，属于基础题．
 

4.【答案】B 

【解析】解：双曲线的渐近线方程是，即，
故选：
把双曲线的标准方程中的1换成0，即得其渐近线的方程．
本题考查双曲线的标准方程，以及双曲线的简单性质的应用，把双曲线的标准方程中的1换成0，即得渐近线方程．
 

5.【答案】C 

【解析】解：由抛物线，可得准线方程，
即
故选：
利用抛物线的准线方程是即可得出．
本题考查了抛物线的准线方程，属于基础题．
 

6.【答案】C 

【解析】解：在等比数列中，由，，
所以，即，解得
故选：
直接利用等比数列的通项公式计算．
本题考查了等比数列的通项公式，是基础的会考题型．
 

7.【答案】D 

【解析】解：设该数列为，数列的公比为q，由已知，，
所以，
所以数列的前n项和
故选：
由条件求出等比数列的公比q，利用等比数列求和公式求其前n项和．
本题主要考查了等比数列的前n项和，属于基础题．
 

8.【答案】A 

【解析】解：由可知，该椭圆的焦点在y轴，且半焦距为，
设双曲线的方程为：，所以该双曲线的半焦距为，
因为该双曲线的离心率，所以有，所以，
因此双曲线C的标准方程为，
故选：
根据椭圆方程求出焦点坐标，结合双曲线离心率公式进行求解即可．
本题考查椭圆及双曲线的性质，考查运算求解能力，属于基础题．
 

9.【答案】D 

【解析】解：连接，，则，
为异面直线与所成角或其补角，
在长方体中，，
，，
在中，由余弦定理得
故选：
连接，，则为所求角或其补角，在中，由余弦定理求出即可得出答案．
本题考查了异面直线所成角的计算，构造平行线作出要求的角是关键，属于中档题．
 

10.【答案】D 

【解析】解：由题意可得：，即，
点是在以原点为圆心，2为半径的圆内的点，
椭圆的长半轴3，短半轴为2，
圆内切于椭圆，
点P是椭圆内的点，
过点的一条直线与椭圆的公共点数为2，
故选：
通过直线与圆、圆与椭圆的位置关系可得点在椭圆内，进而可得结论．
本题考查椭圆的简单性质，注意解题方法的积累，属于中档题．
 

11.【答案】5 

【解析】解：因为，，
所以，，，
故答案为：
根据及递推公式计算可得结果．
本题考查数列递推关系的运用，考查运算求解能力，属于基础题．
 

12.【答案】 

【解析】解：依题意可得圆心坐标为，半径为，
所以以线段为直径的圆的标准方程为：
故答案为：
根据中点坐标公式求出圆心坐标，根据两点间距离公式求出半径，再代入圆的标准方程可得结果．
本题主要考查了圆的标准方程，属于基础题．
 

13.【答案】 

【解析】解：设与的等比中项是X，
则，
即，
解得：，
故答案为：
利用等比数列的定义即可求解．
本题主要考查了等比数列的性质，属于基础题．
 

14.【答案】 

【解析】解：因为，
所以，
所以，的焦点为，即为
倾斜角为的直线l经过抛物线的焦点F，
所以直线的方程为，
联立，
所以，
所以，，
故答案为：；
根据焦点坐标公式即可求解；根据弦长公式即可求解．
本题考查抛物线的性质，考查运算求解能力，属于基础题．
 

15.【答案】 

【解析】解：在中，令中，得；
当，时，，显然不适合，
因此数列的通项公式，
故答案为：1；
利用代入法，结合与之间的关系进行求解即可．
本题考查数列通项与前n项和的关系，考查运算求解能力，属于基础题．
 

16.【答案】解：因为在等差数列中，，，
所以有；
因为在等差数列中，，，
所以 

【解析】根据等差数列通项公式进行求解即可；
根据等差数列前n项和公式进行求解即可．
本题主要考查了等差数列的通项公式和前n项和公式，属于基础题．
 

17.【答案】解：椭圆的一个顶点为，离心率为，
，且，解之得，
可得椭圆的方程为；…分
左焦点，，得直线的斜率为
直线的方程为
由，化简得
，
直线与椭圆有两个公共点，设为，，
则

又点到直线的距离，
的面积为 

【解析】根据椭圆的基本概念和平方关系，建立关于a、b、c的方程，解出，，从而得到椭圆的方程；
求出直线的斜率得直线的方程为，与椭圆方程联解并结合根与系数的关系算出，结合弦长公式可得，最后利用点到直线的距离公式求出到直线的距离d，即可得到的面积．
本题给出椭圆满足的条件，求椭圆的方程并求三角形的面积．着重考查了椭圆的标准方程与简单几何性质、直线与圆角曲线的位置关系等知识，属于中档题．
 

18.【答案】解：证明：建立如图所示的空间直角坐标系，由题意可得，，，，，
因为与交于点N，在长方体中可得N为的中点，所以，
M为CD的中点，所以，
所以，，，
所以，即，，
即，，而，
所以平面BMN；
由可得，，，
设面ABN的法向量，
则，即，
令，
则，
所以，，
设直线与平面ABN所成角为，
则，，
所以直线与平面ABN所成角的正弦值为；
设面CBN的法向量，，，
则，即，令，
可得，
所以，，
设平面CBN与平面ABN夹角为，则，，
所以平面CBN与平面ABN夹角的余弦值为 

【解析】建立空间直角坐标系，由题意求出点的坐标，用空间向量的数量积为0，可证得线面的存在；
求出的坐标，求出面ABN的法向量的坐标，进而求出，的夹角的余弦值，进而求出线面角的正弦值；
求出面BCN的法向量的坐标，进而求出，的夹角的余弦值，进而求出平面夹角的余弦值．
本题考查用空间向量的方法证明线面的垂直，线面所成角的正弦值及面面夹角的余弦值，属于中档题．
 

19.【答案】解：设等差数列的公差为d，等比数列的公比为，
由，，，
所以，
解得或舍去，
所以等差数列的通项公式为：，，
等比数列的通项公式为：，
由，，
所以，
所以，①
所以，②
①-②：，
即，
即，
即，
即，
即， 

【解析】设出公差与公比，利用等差数列与等比数列通项公式化简方程，组成方程组解出公差和公比后，利用通项公式即可解决问题；
将，代入中化简，然后利用错位相减法求解即可．
本题考查等差数列与等比数列的综合运用，考查错位相减法的运用，考查运算求解能力，属于中档题．