2021-2022学年天津市河北区高三（上）期末数学试卷（含答案解析）

2021-2022学年天津市河北区高三（上）期末数学试卷

1.     已知全集，集合，，则(    )

A.  B.  C.  D.

2.     “x，y为无理数”是“xy为无理数”的(    )

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件

3.     三棱锥的三条侧棱两两互相垂直，长分别为a，b，c，则这个三棱锥的体积为(    )

A.  B.  C.  D.

4.     某公司决定每个月给推销员确定一个具体的销售目标，对推销员实行目标管理．销售目标确定的适当与否直接影响公司的经济效益和推销员的工作积极性，为此该公司随机抽取了50位推销员上个月的月销售额单位：万元，并绘制成如图所示的频率分布直方图．根据图中数据，月销售额在内的频率为(    )
    

A.  B.  C.  D.

5.     函数的图象大致是(    )

A.  B.
C.  D.

6.     已知双曲线C：过点，且渐近线方程为，则双曲线C的方程为(    )

A.  B.  C.  D.

7.     若，，，则a，b，c的大小关系为(    )

A.  B.  C.  D.

8.     将函数的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，则下列结论正确的是(    )

A. 是最小正周期为的偶函数 B. 在上单调递减
C. 是最小正周期为的奇函数 D. 在上的最小值为

9.     已知函数有三个不同的零点，则实数a的取值范围是(    )

A.  B.
C.  D.

10. i是虚数单位，则的值为______.
11. 二项式的展开式中常数项为__________.
12. 已知过点的直线与圆C：相切，且与直线垂直，则实数a的值为______.
13. 甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动，每轮活动由甲、乙各猜一个成语，已知甲每轮猜对的概率为，乙每轮猜对的概率为在每轮活动中，甲和乙猜对与否互不影响，各轮结果也互不影响，则“星队”在两轮活动中猜对3个成语的概率为______.
14. 已知，，且，则的最大值为______.
15. P是边长为1的等边三角形ABC的边BC上一点，且，则的值为______.
16. 在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知
    求角A的大小；
    若，求的值；
    若，，求边c和的面积．
17. 如图，在正四棱柱中，，，E，F分别为，的中点．
    求直线与平面BDE所成角的正弦值；
    求平面与平面BDE的夹角的余弦值；
    求点F到平面BDE的距离．

18. 已知公比大于1的等比数列的前6项和为126，且，，成等差数列．
    求数列的通项公式；
    若，求数列的前n项和；
    若数列满足且，且，证明
19. 已知圆：，圆：，动圆C与圆和圆均内切．
    求动圆圆心C的轨迹E的方程；
    点为轨迹E上点，且点P为第一象限点，过点P作两条直线与轨迹E交于A，B两点，直线PA，PB斜率互为相反数，则直线AB斜率是否为定值，若是，求出定值；若不是，请说明理由．
20. 已知函数
    求曲线在点处的切线方程；
    求函数的单调区间和极值；
    若，对任意的恒成立，求m的最大值．
    

答案和解析

1.【答案】A 

【解析】

【分析】

本题考查集合的运算，考查并集、补集定义等基础知识，属于基础题．
利用并集定义先求出，由此能求出

【解答】

解：全集，集合，，
，

故答案选：

2.【答案】D 

【解析】解：根据题意，“x，y为无理数”，则不一定可以推出“xy为无理数”，如，但是有理数，
反之，若“xy为无理数”，不一定可以推出“x，y为无理数”，例如，是有理数，是无理数，
故“x，y为无理数”是“xy为无理数”的既不充分也不必要条件，
故选：
根据充要条件的定义逐项进行判断．
本题考查充分必要条件的判断，属于基础题．
 

3.【答案】B 

【解析】解：三棱锥的三条侧棱两两互相垂直，长分别为a，b，c，
则这个三棱锥的体积为：

故选：
直接利用三棱锥的体积公式能求出这个三棱锥的体积．
本题考查三棱锥的体积的求法，考查三棱锥的体积公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
 

4.【答案】B 

【解析】解：由频率分布直方图可直接得销售额在内的频率为：

故选：
利用频率分布直方图可直接求出销售额在内的频率．
本题考查频率的求法，考查频率分布直方图的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
 

5.【答案】C 

【解析】解：因为，
所以定义域为，
，
所以为奇函数，排除B；
令，得或，即只有2个零点，排除A；
当时，，所以，排除
故选：
选求出定义域，再判断奇偶性和零点个数，最后判断函数在上的正负即可．
本题考查了函数的奇偶性、零点个数，属于基础题．
 

6.【答案】A 

【解析】解：点代入双曲线，焦点在x轴上，渐近线方程为，所以，
解得，故双曲线的方程为
故选：
由点代入双曲线和渐近线方程，联立得到a，b，c的方程组，求解即可．
本题主要考查双曲线方程的求解，属于基础题．
 

7.【答案】D 

【解析】解：，
，
又，
，
故选：
利用对数函数和指数函数的性质求解．
本题考查三个数的大小的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意对数函数和指数函数的性质的合理运用．
 

8.【答案】D 

【解析】解：函数；
函数的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象
对于A：函数的最小正周期为，且满足故该函数为最小周期为的偶函数，故A错误；
对于B：函数的最小正周期为，故C错误；
对于C：当时，，故函数在该区间上不单调，故C错误；
对于D：由于，所以，当时，函数的最小值为，故D正确；
故选：
首先把函数的关系式变形成正弦型函数，进一步利用函数的图象的平移变换，最后利用余弦型函数的性质的应用判断A、B、C、D的结论．
本题考查的知识要点：三角函数关系式的变换，函数的图象的平移变换，余弦型函数性质的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题．
 

9.【答案】B 

【解析】解：由题意可知：函数图象的的部分为单调递增指数函数的部分，
函数图象的部分为开口向上的抛物线，对称轴为，最多两个零点，

如上图，要满足题意，必须指数函数的部分向下平移到与x轴相交，
由指数函数时过点，故需下移至多2个单位，故，
还需保证抛物线与x轴由两个交点，故最低点，
，
解得，
故选：
画出函数的图象，通过平移图形数形结合即可求解．
本题考查了根据函数的零点个数求参数范围，属于中档题．
 

10.【答案】 

【解析】解：，
，
故答案为：
化简，求出复数的模即可．
本题考查了复数的运算和复数的模，是基础题．
 

11.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查了二项式定理的应用，考查了学生的运算能力，属于基础题．
求出展开式的通项公式，令x的指数为0，进而可以求解．

【解答】

解：二项式的展开式的通项公式为，
令，解得，
则展开式的常数项为，
故答案为：

12.【答案】 

【解析】解：圆C：，圆心，
而点满足，则点在圆C上，
若过点的切线与直线垂直，
则过圆心与切点的连线的斜率，
解得，
故答案为：
根据题意，可得点在圆C上，结合直线与圆相切的性质，利用斜率相等列式求解a值．
本题考查直线与圆的位置关系，涉及直线与直线垂直的判断，属于基础题．
 

13.【答案】 

【解析】

【分析】
设，分别表示甲两轮猜对1个，2个成语的事件，，分别表示乙两轮猜对1个，2个成语的事件，根据独立事件的概率乘法公式求出以上4个事件的概率，设事件A表示“星队”在两轮活动中猜对3个成语”，则，再利用独立事件的概率乘法公式即可求出结果．
本题主要考查了独立事件的概率乘法公式，属于中档题．
【解答】
解：由题意，设，分别表示甲两轮猜对1个，2个成语的事件，，分别表示乙两轮猜对1个，2个成语的事件，
则，
，
，
，
设事件A表示“星队”在两轮活动中猜对3个成语”，
则，且与互斥，与，与分别相互独立，
，
即“星队”在两轮活动中猜对3个成语的概率为，
故答案为：  

14.【答案】 

【解析】解：因为，，且，所以，
所以，
当且仅当时，等号成立，所以，
所以的最大值为
故答案为：
直接利用关系式的恒等变换和基本不等式，求出的最大值．
本题考查的知识要点：关系式的恒等变换，基本不等式的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．
 

15.【答案】 

【解析】
解：由P是边长为1的等边三角形ABC的边BC上一点，且，
则


，
故答案为：
先进行向量的线性运算，再结合向量数量积运算求解即可．
本题考查了向量的线性运算，重点考查了向量数量积运算，属基础题．
 

16.【答案】解：，
由正弦定理得
，，
又，
由，得
，
；
由知又，
由余弦定理得，
解得
的面积 

【解析】由正弦定理得从而可求，即可求A；
由，利用同角三角函数的基本关系可得，从而可求，，进而利用两角和的三角函数可求值；
由余弦定理可求c，进而可求面积．
本题主要考查了正弦定理，余弦定理，同角三角函数基本关系式，二倍角公式，两角差的余弦函数公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．
 

17.【答案】解：以D为原点，DA，DC，所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，

则，，，，，

设平面BDE的法向量为，
，，
，即
取，得
设直线与平面BDE所成的角为
则，
即直线与平面BDE所成角的正弦值为
设平面的法向量为，
，，
，即
取，得
设平面与平面BDE的夹角为，
则，
即平面与平面BDE的夹角的余弦值为
由知，平面BDE的一个法向量为

点F到平面BDE的距离，
即点F到平面BDE的距离为 

【解析】以D为原点，DA，DC，所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，求得向量和向量BDE的法向量，结合向量的夹角公式，即可求解；
求得平面的法向量，结合中平面BDE的法向量，利用向量的夹角公式，即可求解；
由知，平面BDE的一个法向量为n和向量，结合距禽公式，即可求解．
本题考查空间向量的应用，考查学生的运算能力，属于中档题．
 

18.【答案】解：设等比数列的公比为，前n项和为，
，，成等差数列，，得，即，解得或舍，
由，得，解得，

解：，
，
，
两式相减得，，

证明：由可得，，即，
，，…，，，
以上各式相加得，……，
又，，
当时，适合上式，
故，
，
 

【解析】根据等差中项性质与等比数列的通项公式求得公比q，再结合等比数列的前n项和公式求出首项，得解；
，再采用错位相减法，得解；
易得，先由累加法，求得数列的通项公式，再利用裂项求和法，得证．
本题考查数列的通项公式与前n项和的求法，熟练掌握等差、等比数列的通项公式，以及累加法、错位相减法、裂项求和法是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
 

19.【答案】解：圆：的圆心，半径；圆：的圆心，半径
设动圆C的圆心，半径
动圆C与圆，圆均内切，
，
，
因此动点C的轨迹是椭圆，且，，得，，

因此动圆圆心C的轨迹E方程是；
如图，
点为轨迹E上点，且点P为第一象限点，
，解得，
，
设PA所在直线方程为，则PB所在直线方程为，
联立，得，
则，
，，
取k为，可得，

直线AB斜率为定值 

【解析】圆的圆心，半径；圆的圆心，半径设动圆C的圆心，半径由于动圆C与圆及圆都内切，可得，于是，利用椭圆的定义可知：动点C的轨迹是椭圆；
把P的坐标代入椭圆方程，求得t值，然后设出过PA的直线方程，PB的直线方程，联立直线方程和椭圆方程，求得A，B的坐标，代入斜率公式可得直线AB斜率为定值
本题考查了两圆相内切的性质、椭圆的定义，考查直线与圆锥曲线的位置关系的应用，属于中档题．
 

20.【答案】解：，

，
曲线在点处的切线方程为，即
函数的定义域为
令，解得
当x变化时，和的变化情况如下表所示．

函数在区间上单调递减，在区间上单调递增．
当时，函数有极小值，无极大值．
由题意知，对任意的恒成立．
对任意的恒成立．
令，则
令，则恒成立．
函数在上单调递增．
又，，
存在，使得，即，
当时，，函数在上单调递减，
当时，，函数在上单调递增，
，
，
的最大值为 

【解析】对求导，求出，，利用点斜式即可求解切线方程；
利用导数与单调性的关系可求得单调区间以及极值；
利用参变量分离法可得对任意的恒成立．令，利用导数求出的最小值，从而可得m的最大值．
本题主要考查导数的几何意义，利用导数研究函数的单调性，极值与最值，考查不等式恒成立问题，考查转化思想与运算求解能力，属于难题．