数学必修 第一册4.1 指数学案

4.1 指数运算（精讲）

考法一 根式意义求参

【例1】（1）（2021·全国高一专题练习）若，则实数的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

（2）（2021·全国高一专题练习）若有意义，则实数的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

【答案】（1）B（2）B

【解析】（1）根据根式和指数幂的运算性质，因为，

可化为，即，

可得，所以，即．故选：B.

（2）由，要使得有意义，则满足，解得，

即实数的取值范围为．故选：B．

【一隅三反】

1．（2021·全国高一课时练习）若xn＝a（x≠0），则下列说法中正确的个数是（    ）

①当n为奇数时，x的n次方根为a；

②当n为奇数时，a的n次方根为x；

③当n为偶数时，x的n次方根为±a；

④当n为偶数时，a的n次方根为±x.

A．1 B．2

C．3 D．4

【答案】B

【解析】n为奇数时，a的n次方根只有1个，为x；当n为偶数时，由于（±x）n＝xn＝a，所以a的n次方根有2个，为±x.所以说法②④是正确的，故选：B.

2．（2021·上海高一专题练习）在①，②，③，④中，n∈N*，a∈R时各式子有意义的是（    ）

A．①② B．①③ C．②③④ D．①②④

【答案】B

【解析】由>0知①有意义；由<0知②无意义；③中开奇数次方根，所以有意义；当a<0时，a5<0，此时④无意义.故选:B.

考点二 根式的形式化简

【例2】（1）（2021·上海高一专题练习）若，则化简的结果是（    ）

A． B． C． D．

（2）（2021·全国高一课时练习）若代数式有意义，则（    ）

A． B． C． D．

（3）（2020·上海）化简：①；

②）

【答案】（1）B（2）B（3）①；②）.

【解析】（1）因为，所以，所以.故选:B.

（2）由有意义，得解得．

所以

所以．

故选：B．

（3）①原式

.

②原式，

即

【一隅三反】

1．（2021·全国）若，则等于（    ）

A． B． C． D．非以上答案

【答案】B

【解析】因为，所以，原式.故选:B.

2．（2021·上海闵行）当时，=___________.

【答案】

【解析】由，则，

故答案为：

3．（2021·全国高一课时练习）化简－（－3<x<3）.

【答案】.

【解析】原式，

∵－3<x<3，∴－4<x－1<2，0<x＋3<6.

当－4<x－1<0，即－3<x<1时，|x－1|－|x＋3|＝1－x－（x＋3）＝－2x－2；

当0≤x－1<2，即1≤x<3时，|x－1|－|x＋3|＝x－1－（x＋3）＝－4.

∴－＝.

考法三 根式与分数指数幂的互化

【例3】（2021·上海高一专题练习）将下列根式化成有理数指数幂的形式：

（1）（a>0）；

（2）（x>0）；

（3）（b>0）.

【答案】（1）；（2）；（3）.

【解析】（1）原式====.

（2）原式======.

（3）原式===.

【一隅三反】

1．（2021·全国高一课时练习）下列关系式中，根式与分数指数幂的互化正确的是（    ）

A．－＝（－x）（x＞0）

B．＝y（y＜0）

C．xy＝ （x＞0，y＞0）

D．x＝－ （x≠0）

【答案】C

【解析】对于A，－＝－x，故A错误；对于B，当y＜0时，＞0，y＜0，故B错误；对于C，xy＝ （x＞0，y＞0），故C正确；对于D，x＝ （x≠0），故D错误.

故选：C

2．（2021·上海高一专题练习）用有理数指数幂的形式表示下列各式（a>0，b>0）.

（1）；

（2）；

（3）；

（4）；

（5）；

（6）.

【答案】（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）.

【解析】（1）原式=.

（2）原式=.

（3）原式=.

（4）原式=.

（5）原式=.

（6）原式====.

考点四 分数指数幂的运算性质化简求值

【例4】（2021·全国高一课时练习）计算或化简：

（1）－10＋；

（2）·.

【答案】（1）－；（2）

【解析】（1）原式

;

（2）原式

.

【一隅三反】

1．（2021·全国高一课时练习）下列式子中，错误的是（    ）

A．

B．

C．

D．

【答案】C

【解析】对于A，原式，A正确；

对于B，原式，B正确；

对于C，原式, C错误；

对于D，原式，D正确.

故选：C.

2．（2021·上海高一专题练习）计算下列各式：

（1）；

（2）；

（3）；

（4）；

（5）

【答案】(1)；(2)100；(3)3；(4)；(5).

【解析】(1)原式.

(2)原式.

(3)原式.

(4)原式.

(5)原式.

考点五 整体代换法求分数指数幂

【例5】（2021·全国）已知，求下列各式的值．

（1）；

（2）；

（3）．

【答案】（1） ；（2） ；（3） ．

【解析】（1）∵，

∴；

（2）∵，

∴；

（3）∵，，

∴

∴.

【一隅三反】

1．（2021·全国高一课时练习）若，则___________.

【答案】6

【解析】因为，

所以，即，

所以，

所以.

故答案为：6.

2．（2021·全国）若，则________．

【答案】

【解析】，所以，

所以．

故答案为：．

3．（2021·全国高一课时练习）已知，其中，求的值．

【答案】1

【解析】由可知，

所以

==1.

4．（2021·江西高安中学高一月考）计算：

（1）；

（2）已知：，求的值．

【答案】（1）；（2）．

【解析】（1），

.

（2）由，平方得，

即，

平方得，

即，

所以原式=．