2022-2023学年湖北省宜昌市夷陵中学高一上学期期中数学试题（解析版）

这是一份2022-2023学年湖北省宜昌市夷陵中学高一上学期期中数学试题（解析版），共17页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，双空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年湖北省宜昌市夷陵中学高一上学期期中数学试题 一、单选题1．设集合，，，则（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】解一元二次不等式求集合U，再应用集合的交、补运算求结果.【详解】由题设，，所以，，故.故选：A2．设：p：，q：，则p是q成立的（    ）A．充分必要条件 B．充分不必要条件C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件【答案】C【分析】根据充分必要条件的定义以及集合的包含关系判断即可.【详解】令，，由集合间的包含关系可知：集合是集合的真子集，所以p是q的必要不充分条件，故选：C.3．下列函数是其定义域上的奇函数且在定义域上是增函数的是（    ）A． B．C． D．【答案】C【分析】利用奇函数的定义判断，结合分式型函数、复合函数的单调性判断各函数是否符合要求即可.【详解】A：函数定义域为R，且，故为奇函数，当时，而在上递减，上递增，故在上递增，上递减，易知：定义域上不是增函数，不符合；B：函数定义域为，显然不关于原点对称，不为奇函数，不符合；C：函数定义域为R，且，故为奇函数，函数单调递增，符合；D：函数定义域为，且，故为奇函数，函数分别在、上递增，整个定义域不递增，不符合.故选：C4．若，则下列不等式成立的是（    ）A． B．C． D．【答案】B【解析】由不等式的性质先得到和，再由基本不等式得到，最后给出答案.【详解】解：因为，所以，，由基本不等式：当时，，所以故选：B【点睛】本题考查利用不等式的性质比较大小、利用基本不等式比较大小，是基础题.5．已知函数为R上的奇函数，，，则（    ）A．0 B． C．1 D．2【答案】B【分析】对于条件，令，再利用奇偶性变形计算即可.【详解】当时，，又，故选：B.6．幂函数，，，在第一象限的图像如图所示，则下列不等关系成立的是（    ）A． B．C． D．【答案】C【分析】根据幂函数的性质判断即可.【详解】由图可知： ， ， ，所以 ，根据幂函数的单调性可知： ；故选：C.7．对于实数x，规定表示不大于x的最大整数，那么使不等式成立的x的取值范围（    ）A． B．C． D．【答案】C【分析】结合一元二次不等式的解法以及“”的定义求得正确答案.【详解】，，，由于表示不大于的最大整数，所以，所以的取值范围是.故选：C8．设函数的定义域为R，且，当时，，若对任意，都有，则实数m的取值范围是（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据题设得到且，，注意判断函数值的变化趋势，再求得的最大k值，此时结合二次函数性质确定上对应x值，即可得m的范围.【详解】令，则，故，而，所以且，令，则，故，而，所以且，结合已知：且时，而，对且，，即随增大依次变小，要使对任意都有，令，则且，则上，且上，当时，令，则，解得或，综上，要使对任意都有，只需.故选：C【点睛】关键点点睛：注意总结归纳且，随k的变化趋势，进而找到的对应区间，再求出该区间右侧区间中的自变量. 二、多选题9．设集合，，则的非空真子集个数可以为（    ）A．6 B．7 C．12 D．14【答案】AD【分析】分，，，求出集合AB，进而可得，再根据子集个数的公式求解即可.【详解】当时，，，则，的非空真子集个数为；当时，，，则，的非空真子集个数为；当时，，，则，的非空真子集个数为；当时，，，则，的非空真子集个数为；故选：AD.10．已知函数在区间上的最小值为9，则a可能的取值为（    ）A．2 B．1 C． D．【答案】AD【分析】根据二次函数的对称轴和开口方向进行分类讨论，即可求解.【详解】因为函数的对称轴为，开口向上，又因为函数在区间上的最小值为9，当，即时，函数的最小值为与题干不符，所以此时不成立；当时，函数在区间上单调递增，所以，解得：或，因为，所以；当，也即时，函数在区间上单调递减，所以，解得：或，因为，所以；综上：实数a可能的取值或，故选：.11．火车站有某公司待运的甲种货物1530吨，乙种货物1150吨．现计划用A，B两种型号的货箱共50节运送这批货物．已知35吨甲种货物和15吨乙种货物可装满A型货箱，25吨甲种货物和35吨乙种货物可装满一节B型货箱，据此安排A，B两种货箱的节数，下列哪些方案可以满足：（    ）A．A货箱28节，B货箱22节 B．A货箱29节，B货箱21节C．A货箱30节，B货箱20节 D．A货箱31节，B货箱19节【答案】ABC【分析】设、货箱分别有节，则，结合已知判断各选项是否能够装运所有货物即可.【详解】设、货箱分别有节，则，A：共50节且，，满足；B：共50节且，，满足；C：共50节且，，满足；D：共50节且，，不满足；故选：ABC12．已知定义在的函数同时满足以下四个条件：①函数的对称轴是直线，②，当时，都有，③，④的图象是连续不断的．则下列选项成立的有（    ）A．B．，，使得C．不等式的解集是D．不等式的解集是【答案】ABD【分析】A.根据函数的奇偶性及单调性判断；B.根据函数的奇偶性确定有最小值即可判断；C.利用函数单调性及奇偶性去掉，然后解不等式即可；D.利用单调性转化为不等式组求解即可.【详解】①函数的对称轴是直线，可得函数的对称轴是直线，即函数为偶函数；②，当时，都有，当时，，即函数在上单调递减，再根据①其为偶函数，函数在上单调递增；A. ，A正确；B. 函数在上单调递减，在上单调递增，的图象是连续不断的，故函数在时取最小值，不妨设最小值为，即，，使得，B正确；C. 不等式，则，解得或，C错误；D. 不等式，得或，解得或，故解集为，D正确；故选：ABD. 三、填空题13．幂函数在上为增函数，则______．【答案】 【分析】根据幂函数的定义和单调性求出m，进而求出函数的解析式，即可求解.【详解】幂函数满足，解得或4.当时，在上是减函数，不满足题意；当时，在上是增函数，所以，故，则.故答案为：.14．函数的定义域为______．【答案】【分析】根据函数解析式有意义可得出关于实数的不等式组，即可解得原函数的定义域.【详解】对于函数，有，解得且且，因此，函数的定义域为.故答案为：.15．设矩形ABCD的周长为16cm，把沿AC向折叠，AB折过去后交DC于点P，则的面积取最大值时，AB的长为______．【答案】cm【分析】画出示意图，设且，则，由全等三角形及勾股定理求得，用表示出的面积，应用基本不等式求最值并确定取值条件，即可得结果.【详解】如下图示，设且，则，，由，，，故△△，令，，故，所以，整理得，则，当且仅当时等号成立，所以的面积取最大值时，AB的长为cm.故答案为：cm 四、双空题16．已知函数，（1）若，则______．（2）若，则实数m的取值范围是______．【答案】          或或.【分析】在不同区间上令求自变量即可；令求出不同区间上对应的解集，即可确定中的范围，再结合解析式求m的范围.【详解】当时，，显然无解；当时，，即，则（舍），所以，则；当时，，即，此时；当时，，即或，此时；所以，即或，对于，有：当时，，即，可得；当时，，即，可得；对于，由，故无解，所以，时有，即，解得（舍）.综上，时有或或.故答案为：，或或 五、解答题17．已知集合，．(1)若，求；(2)若，求实数m的取值范围．【答案】(1)；(2). 【分析】（1）解一元一次不等式求集合A，应用集合交运算求结果；（2）由题意，列不等式组求参数范围.【详解】（1）由题设，，，所以.（2）由题意，则，可得.18．设命题p：函数的定义域为，命题q：函数，的图象与x轴恒有交点．(1)若命题p为真命题，求实数m的取值范围；(2)若命题p，q有且仅有一个为真命题．求实数m的取值范围．【答案】(1)(2) 【分析】（1）对于，根据函数的定义域，对进行分类讨论，由此求得的取值范围.（2）对于，由在区间恒有解求得的范围.根据“真假”或“假真”求得的取值范围.【详解】（1）命题p：函数的定义域为，当时，，定义域为，符合题意.当时，要使的定义域为，则，解得.综上所述，的取值范围是.（2）由（1）得：真时，；对于命题，在区间有解，由于在上递减，所以.所以真时：.若命题p，q有且仅有一个为真命题，则“真假”或“假真”.当“真假”时，“”且“或”，故.当“假真”时，“或” 且“”，此时无解. 综上所述，当，有且仅有一个为真命题时，的取值范围是.19．已知定义在R上的二次函数满足，且对于定义域内的任意x，恒成立.(1)求；(2)若函数且，试判断并用定义法证明函数在的单调性，并求函数在的值域．【答案】(1)；(2)在上递增，证明见解析；在的值域为. 【分析】（1）由题设得且，结合已知可得，即可求参数，写出解析式；（2）由题意有，应用单调性定义求证的区间单调性，进而求上的值域.【详解】（1）令且，又，则，由，所以，即，可得，所以.（2）由（1）知：，所以，即，则，在上递增，证明如下：令，则，由，则，故，所以在上递增，同理可证：在上递减，则在上递减，上递增，而，，，所以在的值域为.20．已知函数是定义在上的奇函数，当时，．(1)当时，函数的解析式；(2)解关于x的不等式．【答案】(1)(2)答案详见解析 【分析】（1）根据函数的奇偶性求得正确答案.（2）根据函数的奇偶性、单调性化简不等式，对进行分类讨论，由此求得不等式的解集.【详解】（1）依题意，是定义在上的奇函数，当时，.（2）的开口向上，对称轴为，所以在上递增，由于是定义在上的奇函数，所以在上递增，由得，则，，所以当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为或；当时，不等式的解集为或.21．如图，是边长为2的正三角形，记位于直线左侧的图形的面积为．(1)求函数的解析式；(2)若，成立，求实数m的取值范围；(3)时，判断并证明与的大小关系．【答案】(1)(2)(3) 【分析】（1）结合图像，分类讨论求函数的解析式；（2）将问题转化为，求出函数的最大值即可；（3）计算出，然后做差比较大小【详解】（1）当时，，当时，当时，综上所述：（2）若，成立，即，成立当时，，当时，当时，，即（3），，又，即22．已知函数，．(1)若函数在上单调，求实数a的取值范围；(2)用表示m，n中的最小值，设函数，试讨论函数的图象与函数的图象的交点个数．【答案】(1)(2)答案详见解析. 【分析】（1）结合二次函数的性质求得的取值范围.（2）先判断时没有零点，当时，求得的零点，对进行分类讨论，结合的零点以及的定义对的零点个数进行讨论.【详解】（1）的对称轴为，若函数在上单调，则或，解得或，所以的取值范围是.（2），当时，，故此时，即函数的图象与函数的图象没有交点.下面只考虑的情形：当时，由，解得，的对称轴为，①当时，在上递增，，在上递减，，当时，，故存在，使，所以，所以有唯一零点.②当时，若，解得，则，所以有唯一零点.③当时，若，解得，，令解得，画出此时的图象如下图所示，由图可知，有个零点（和）.④当时，若，解得，（i）若，，，则存在，使，画出此时的大致图象如下图所示，由图可知，有个零点.（ii）若，，,令解得或，画出此时的大致图象如下图所示，由图可知，有个零点.（iii）若，，，此时在区间上有个零点，画出此时的大致图象如下图所示，由图可知，有个零点.综上所述，或时，有个零点，或时，有个零点，当时，有个零点.【点睛】对于新定义函数的理解是解决新定义函数题目的关键，本题中，表示两个函数中取较小者，在图象上，就是取这两个函数图象相对较低的部分.分类讨论要做到不重不漏.