2022届湖北省宜昌市夷陵中学高三练笔1数学试题含解析

这是一份2022届湖北省宜昌市夷陵中学高三练笔1数学试题含解析，共16页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022届湖北省宜昌市夷陵中学高三练笔1数学试题一、单选题1．记集合 ，， 则（       ）A． B．或C． D．【答案】A【分析】化简集合，再由交集的定义即得.【详解】∵或，，所以.故选：A.2．已知平面，直线、，若，则“”是“”的（       ）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】D【分析】利用线面的位置关系结合充分条件、必要条件的定义判断可得出结论.【详解】若，且，则或，即“”“”；若，且，则或、异面，则“”“”.因此，“”是“”的既不充分也不必要条件.故选：D.3．设等差数列，的前n项和分别是，若，则 （       ）A．1 B． C． D．【答案】B【分析】根据等差数列的性质和求和公式变形求解即可【详解】因为等差数列，的前n项和分别是，所以，故选：B4．已知：，分别交，轴于，两点，在圆：上运动，则面积的最大值为（       ）A． B． C． D．【答案】C【分析】以为底边，则面积最大等价于点到距离最大，而点到距离最大值等于到的距离加半径，代面积公式即可求解【详解】如图所示，以为底边，则面积最大等价于点到距离最大，而点到距离最大值等于到的距离加半径到的距离，又圆的半径，，，则所以面积的最大值为故选：C5．已知正实数a、b满足，则的最小值是（       ）A． B． C．5 D．9【答案】B【分析】根据基本不等式“1”的妙用方法解题.【详解】，当且仅当时等号成立.故选：B.6．某学校安排音乐､阅读､体育和编程四项课后服务供学生自愿选择参加，甲､乙､丙､丁4位同学每人限报其中一项.已知甲同学报的项目其他同学不报的情况下，4位同学所报项目各不相同的概率等于（       ）A． B． C． D．【答案】C【分析】设甲同学报的项目其他同学不报, 4位同学所报项目各不相同,利用条件概率求解.【详解】解：设甲同学报的项目其他同学不报, 4位同学所报项目各不相同,由题得,,所以.故选：C7．已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，若对任意的，且，都有成立，则不等式的解集为（       ）A．(，1) B．(－∞，1) C． D．【答案】D【分析】根据题意分析可得为定义在上的偶函数，在上递减，在上递增，由可得求解．【详解】∵函数f(x)是定义在R上的奇函数∴为定义在上的偶函数又∵∴在上递减，则在上递增即则解得：．故选：D．8．已知双曲线：与抛物线：有公共焦点F，过F作双曲线一条渐近线的垂线，垂足为点A，延长FA与抛物线相交于点B，若点A为线段FB的中点，双曲线的离心率为，则（       ）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据几何关系，求得点的坐标，结合点在双曲线渐近线上，求得的等量关系，整理化简即可求得双曲线离心率.【详解】根据题意，作图如下：因为双曲线和抛物线共焦点，故可得，又到的距离，即，又为中点，则，设点，则，解得；由可得，则由等面积可知：，解得，则，则，又点在渐近线上，即，即，又，联立得，即，解得，故.故选：B.二、多选题9．某单位为了更好地开展党史学习教育，举办了一次党史知识测试，其200名职工成绩的频率分布直方图如图所示，则下列说法正确的是（       ） A．图中的B．成绩不低于80分的职工约80人C．200名职工的平均成绩是80分D．若单位要表扬成绩由高到低前25%职工，则成绩87分的职工A肯定能受到表扬【答案】AB【分析】根据频率分布直方图的性质特点进行分析计算可得答案.【详解】对于A，，得，故A正确；对于B，成绩不低于80分的职工人数为，故B正确；对于C，平均成绩为，故C错误；第分位数为，故D错误.故选：AB.10．已知函数的部分图像如图所示，下列说法正确的是（       ）A．函数的图像关于点中心对称B．函数的图像关于直线对称C．函数在上单调递减D．函数的图像向右平移个单位可得函数的图像【答案】AB【分析】根据函数图象求得解析式，再根据三角函数图象性质及伸缩平移变换分别判断各个选项.【详解】由图象得函数最小值为，故，，故，，故函数，又函数过点，故，解得，又，即，故，对称中心：，解得，对称中心为，当时，对称中心为，故A选项正确；对称轴：，解得，当时，，故B选项正确；的单调递减区间：，解得，又，故C选项不正确；函数图像上所有的点向右平移个单位，得到函数，故D选项不正确；故选：AB.11．已知函数，若有四个不同的实数解，，，，且满足，则下列命题正确的是（       ）A． B． C． D．【答案】ACD【分析】A.在同一坐标系中作出函数的图象， 由有四个不同的实数解判断；B.根据，得到，转化为，利用对勾函数的性质判断；C. 由，利用对勾函数的性质判断；D.由 ，利用对勾函数的性质判断；【详解】解：在同一坐标系中作出函数的图象，如图所示：由图象知：若有四个不同的实数解，则，故A正确；因为，即，则，所以，因为在上递增，所以，故B错误；因为，在上递增，所以，而，所以，故C正确；因为，在上递减，在上递增，则，故D正确；故选：ACD12．如图，点P是棱长为2的正方体ABCD－的表面上一个动点，则（       ）A．当P在平面上运动时，四棱锥P－的体积不变B．当P在线段AC上运动时，与所成角的取值范围是[，]C．使直线AP与平面ABCD所成的角为45°的点P的轨迹长度为D．若F是的中点，当P在底面ABCD上运动，且满足PF//平面时，PF长度的最小值是【答案】ABC【分析】A选项，考虑底面积和高均未变，所以体积不变；B选项，找到异面直线所成角即可判断；C选项，找到P的轨迹，计算即可；D选项，找到P的轨迹，计算即可.【详解】A选项，底面正方形的面积不变，P到平面的距离为正方体棱长，故四棱锥P－的体积不变，A选项正确；B选项，与所成角即与所成角，当P在端点A，C时，所成角最小，为，当P在AC中点时，所成角最大，为，故B选项正确；C选项，由于P在正方体表面，P的轨迹为对角线AB1，AD1，以及以A1为圆心2为半径的圆弧如图，故P的轨迹长度为，C正确；D选项，FP 所在的平面为如图所示正六边形，故FP的最小值为，D选项错误.故选：ABC.三、填空题13．已知为虚数单位，则______.【答案】【解析】利用复数的运算法则、模的计算公式即可得出．【详解】已知为虚数单位，则.故答案为：.14．若 ，则的值 ___________________.【答案】【分析】根据赋值法分别令、，然后可得.【详解】令，得，令，得，所以故答案为：15．已知正四面体ABCD的表面积为，且A，B，C，D四点都在球O的球面上，则球O的体积为______．【答案】【分析】设正四面体的棱长为a，根据正四面体的结构特征求出它的表面积，结合正四面体和正方体的联系求出正方体的棱长，利用正方体的外接球的体积公式计算即可.【详解】正四面体各面都是全等的等边三角形，设正四面体的棱长为a，所以该正四面体的表面积为，所以，又正方体的面对角线可构成正四面体，若正四面体棱长为，可得正方体的棱长为1，所以正方体的外接球即为该正四面体的外接球，所以外接球的直径为，半径为，所以球O的体积为．故答案为：16．已知是定义在R上的偶函数，当时，.若的图象与x轴恰有三个交点，则实数a的值为___________.【答案】2【分析】根据偶函数的对称性知在、上各有一个零点且，讨论a值结合导数研究的零点情况，即可得结果.【详解】由偶函数的对称性知：在、上各有一个零点且，所以，则或，当时，在上，则，所以在上递增，，故无零点，不合要求；当时，在上，则，所以在上递减，在上递增，则且，，故上有一个零点，符合要求；综上，.故答案为：2四、解答题17．已知向量，向量，定义函数．(1)求函数的解析式及单调减区间；(2)在中，若，且，，求边上的中线长．【答案】(1)，单调减区间为(2)【分析】（1）由数量积的坐标表示求得，并利用两角和的余弦公式化简，然后由余弦函数的单调性求减区间；（2）由已知求得角，再用余弦定理求得得三角形为等腰三角形，最后求余弦定理求得中线长．（1），因为，解得所以函数的单调减区间为；（2）由（1）知函数在上单调，因为，所以，为三角形内角，则，所以，由余弦定理知，所以，所以，不妨设的中点为，则18．已知数列的前n项和为，且，数列为等差数列，，且．(1)求数列，的通项公式；(2)对任意的正整数n，有，求证：．【答案】(1)，(2)证明见解析【分析】（1）由，可得，两式相减可得，又，从而根据等比数列的定义及等比数列的通项公式即可求，进而由等差数列的通项公式可得；（2）由，然后利用裂项相消求和法求出，从而即可证明.（1）解：∵①，∴令，可得，又②，由①-②得，∴，∴，∴数列为以为首项，2为公比的等比数列，∴，∴，，解得d＝1，∴；（2）证明：，∴．19．据调查，目前对于已经近视的小学生，有两种配戴眼镜的选择，一种是佩戴传统的框架眼镜；另一种是佩戴角膜塑形镜，这种眼镜是晚上睡觉时佩戴的一种特殊的隐形眼镜（因其在一定程度上可以减缓近视的发展速度，所以越来越多的小学生家长透择角膜塑形镜控制孩子的近视发展），A市从该地区小学生中随机抽取容量为100的样本，其中因近视佩戴眼镜的有24人（其中佩戴角膜塑形镜的有8人，其中2名是男生，6名是女生）(1)若从样本中选一位学生，已知这位小学生戴眼境，那么，他戴的是角膜塑形镜的概率是多大？(2)从这8名戴角膜塑形镜的学生中，选出3个人，求其中男生人数X的期望与方差；(3)若将样本的频率当做估计总体的概率，请问，从A市的小学生中，随机选出20位小学生，求佩戴角膜塑形镜的人数Y的期望和方差.【答案】(1)；(2)，；(3)佩戴角膜塑形镜的人数的期望是，方差是.【分析】（1）先根据该市的样本求得这位学生佩戴眼镜的概率和佩戴眼镜是角塑性眼镜的概率，再利用条件概率的计算公式计算即得结果；（2）从8名学生选3个，男生人数X服从超几何分布，按照，k=0，1，2，写出分布列即可；（3）依题意随机变量服从二项分布，利用公式计算期望和方差即可.（1）根据题中样本数据，设“这位小学生佩戴眼镜”为事件A，则，“这位小学生佩戴的眼镜是角膜塑形镜”为事件，则“这位小学生佩戴眼镜，且眼镜是角膜塑形镜”为事件，则，故所求的概率为： ，所以从样本中选一位学生，已知这位小学生戴眼镜，则他戴的是角膜塑形镜的概率是；（2）依题意，佩戴角膜塑形镜的有人，其中名是男生，名是女生，故从中抽3人，男生人数X的所有可能取值分别为0，1，2，其中：；；.所以男生人数的分布列为： 所以，，（3）由已知可得：则：，所以佩戴角膜塑形镜的人数的期望是，方差是.20．如图，三棱柱中，点在平面内的射影在上，，.(1)证明:；(2)若，求二面角的余弦值.【答案】(1)证明见解析；(2).【分析】（1）利用线面垂直的判定定理可得平面，平面，进而即得；（2）利用坐标法，根据二面角的向量求法即得.（1）∵ 点在平面内的射影在上，∴平面，又平面，∴，∵ ，，平面，∴ 平面，平面，∴ ，∵ ，四边形为平行四边形，∴ 四边形为菱形，故，又，平面，∴ 平面，平面，∴；（2）以C为坐标原点，以为x轴，轴，轴的正方向建立空间直角坐标系，则，，∴，设平面的法向量，则，取，则，又因为平面的法向量为，故，所以二面角的余弦值为.21．已知椭圆经过点，且椭圆C的离心率．(1)求椭圆C的方程；(2)若点M，N是椭圆C上的两个动点，，分别为直线OM，ON的斜率且，试探究的面积是否为定值，若是求出该值，不是则说明理由．【答案】(1)；(2)△OMN的面积为定值1.【分析】（1）由题得关于的方程组，解方程组即得解；（2）设直线MN的方程为，与椭圆方程联立得到韦达定理，求出△OMN的面积为，由由得即得解.（1）解：由，可得，又椭圆经过点，可得，解得a＝2，b＝1，则椭圆C的方程为.（2）解：设直线MN的方程为，与椭圆方程联立，可得，设，，可得，，，，O到直线MN的距离为，所以△OMN的面积为，由，可得，即为，可得，化为，所以，故△OMN的面积为定值1．22．已知函数.(1)讨论的单调性和最值；(2)若关于的方程有两个不等的实数根，求证：.【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】（1）求出函数的导数，分类讨论得到导数的符号后可得函数的单调性和最值.（2）利用同构可得原方程即为有两个不同的实数根，结合构造法可证成立.（1），其中若，则在上恒成立，故在上为减函数，故无最值.若，当时，；当时，；故在上为增函数，在上为减函数，故，无最小值.（2）方程即为，故，因为为上的增函数，所以所以关于的方程有两个不等的实数根即为：有两个不同的实数根.所以，所以，不妨设，，故，要证：即证，即证，即证，即证，设，则，故，所以在上为增函数，故，所以在上为增函数，所以，故成立.【点睛】思路点睛：对于较为复杂的与指数、对数有关的方程，可以考虑利用同构将其转化为简单的方程，从而利用常见的极值点偏移的方法来处理零点不等式.