2022届湖北省宜昌市夷陵中学高三下学期5月四模数学试题含解析

这是一份2022届湖北省宜昌市夷陵中学高三下学期5月四模数学试题含解析，共35页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
 夷陵中学2022届高三五月训练
数学试卷
一、单项选择题:本题共8道小题.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 设i为虚数单位，复数z=，则|z－i|=（ ）
A. B. C. 2 D.
2. 已知均为的子集，且，则（ ）
A. B. C. D.
3. 向量，， 在边长为1的正方形网格中的位置如图所示，若为与同方向的单位向量，则（ ）

A. 1.5 B. 2 C. -4.5 D. -3
4. 在平面直角坐标系xOy中，角α与角β均以Ox为始边，它们的终边关于x轴对称.若，则（ ）
A. B. C. 1 D.
5. 关于的方程，有下列四个命题：甲：是该方程的根；乙：是该方程的根；丙：该方程两根之和为；丁：该方程两根异号．如果只有一个假命题，则该命题是（ ）
A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁
6. 有一个非常有趣的数列叫做调和数列，此数列的前n项和已经被研究了几百年，但是迄今为止仍然没有得到它的求和公式，只是得到它的近似公式：当n很大时，，其中称为欧拉-马歇罗尼常数，…，至今为止都还不确定是有理数还是无理数．由于上式在n很大时才成立，故当n较小时计算出的结果与实际值之间是存在一定误差的，已知，．用上式估算出的与实际的的误差绝对值近似为（ ）
A. 0.003 B. 0.096 C. 0.121 D. 0.216
7. 、分别为双曲线的左、右焦点，过的直线与的左、右两支曲线分别交于、两点，若，则（ ）
A. B. C. D.
8. 若存在且，对任意，均有恒成立，则称函数具有性质P，已知：单调递减，且恒成立；单调递增，存在使得，则是具有性质P的充分条件是（ ）
A. 只有 B. 只有
C. 和 D. 和都不
二、多项选择题:本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 某中学四位同学利用假期到一贫困村参加社会实践活动，感受年该村精准扶贫及新农村建设的变化.经过实地调查显示，该村年的经济收入增加了一倍．实现翻番，精准扶贫取得惊人成果．为更好地了解该村的经济收入变化情况，为后期精准扶贫方向提供决策参考，四位同学统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例．得到如下饼图：


四位同学依据上述饼图，分别得出以下四个结论，其中结论中正确的是（ ）
A. 精准扶贫及新农村建设后，种植收入减少
B. 精准扶贫及新农村建设后，其他收入增加了一倍以上
C. 精准扶贫及新农村建设后，养殖收入增加了一倍
D. 精准扶贫及新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半
10. 已知正四棱柱的底面边长为2，侧棱，为上底面上的动点，给出下列四个结论中正确结论为（ ）
A. 若，则满足条件的点有且只有一个
B. 若，则点的轨迹是一段圆弧
C. 若∥平面，则长的最小值为2
D. 若∥平面，且，则平面截正四棱柱的外接球所得平面图形的面积为
11. 摩天轮常被当作一个城市地标性建筑，如深圳前海的“湾区之光”摩天轮，如图所示，某摩天轮最高点离地面高度128米，转盘直径为120米，设置若干个座舱，游客从离地面最近的位置进舱，开启后按逆时针匀速旋转分钟，当时，游客随舱旋转至距离地面最远处．以下关于摩天轮的说法中，正确的为（ ）

A. 摩天轮离地面最近的距离为4米
B. 若旋转分钟后，游客距离地面的高度为米，则
C. 若在，时刻，游客距离地面的高度相等，则的最小值为30
D. ，，使得游客在该时刻距离地面的高度均为90米
12. 一个笼子里关着10只猫，其中有4只黑猫､6只白猫，把笼子打开一个小口，使得每次只能钻出1只猫，猫争先恐后地往外钻，如果10只猫都钻出了笼子，事件表示“第只出笼猫是黑猫”，，则（ ）
A. B.
C. D.
三、填空题:本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 函数的图像在点处的切线方程为_________.
14. 写出一个数列的通项公式，使得这个数列的前项和在时取最大值，_____.
15. 已知函数，若，则实数=______.
16. 已知椭圆，若存在以点为圆心，为半径的，该圆与椭圆E恰有两个公共点，且圆上其余各点均在椭圆内部，则t的取值范围是________．
四、解答题:本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. 已知等差数列公差不为零，，，数列各项均为正数，，.
（1）求数列、的通项公式；
（2）若恒成立，求实数的最小值．
18. 在中，，．
（1）求的大小；
（2）在下列三个条件中选择一个作为已知，使存在且唯一确定，并求出的长．
①；②截得角的角平分线的线段长为1；③面积为．
19. 如图1，矩形ABCD，点E，F分别是线段AB，CD的中点，，将矩形ABCD沿EF翻折.

（1）若所成二面角的大小为（如图2），求证：直线面DBF；
（2）若所成二面角的大小为（如图3），点M在线段AD上，当直线BE与面EMC所成角为时，求二面角的余弦值.
20. “红五月”将至，学校文学社拟举办“品诗词雅韵，看俊采星驰”的古诗词挑战赛，挑战赛分为个人晋级赛和决赛两个阶段.个人晋级赛的试题有道“是非判断”题和道“信息连线”题，其中道“信息连线”题是由电脑随机给出错乱排列的四句古诗词和四条相关的诗词背景（如诗词题名、诗词作者等），要求参赛者将它们一一配对，每位参赛选手只有一次挑战机会.比赛规则为：电脑随机同时给出道“是非判断”和道“信息连线”题，要求参赛者全都作答，若有四道或四道以上答对，则该选手晋级成功.
（1）设甲同学参加个人晋级赛，他对电脑给出的道“是非判断”题和道“信息连线”题都有且只有一道题能够答对，其余的题只能随机作答，求甲同学晋级成功的概率；
（2）已知该校高三（1）班共有位同学，每位同学都参加个人晋级赛，且彼此相互独立.若将（1）中甲同学晋级概率当作该班级每位同学晋级的概率，设该班晋级的学生人数为.
①问该班级成功晋级的学生人数最有可能是多少？说明理由；
②求随机变量的方差.
21. 已知点在抛物线上，点（其中）.如图过点且斜率为2的直线与抛物线交于，两点（点在点的上方），直线与抛物线交于另一点.


（1）记，当时，求的值；
（2）若面积大于27，求的取值范围.
22. 青岛胶东国际机场的显著特点之一是弯曲曲线的运用，衡量曲线弯曲程度的重要指标是曲率．曲线的曲率定义如下：若是的导函数，是的导函数，则曲线在点处的曲率．已知函数，若，则曲线在点处的曲率为．

（1）求；
（2）若函数存在零点，求的取值范围；
（3）已知，，，证明：．












夷陵中学2022届高三五月训练
数学试卷
一、单项选择题:本题共8道小题.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 设i为虚数单位，复数z=，则|z－i|=（ ）
A. B. C. 2 D.
【答案】D
【解析】
【分析】先对复数进行化简，求出的值，再利用复数的模长计算公式计算可得答案.
【详解】解：z===2(1+i)，所以|z－i|=|2＋i|=.
故选：D.
【点睛】本题主要考查复数的四则运算及复数模的求解，考查学生的计算能力，属于基础题.
2. 已知均为的子集，且，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由题意利用集合的包含关系或者画出Venn图，结合Venn图即可确定集合的运算结果.
【详解】解法一：,，据此可得.
故选：B.
解法二：如图所示，设矩形ABCD表示全集R，
矩形区域ABHE表示集合M，则矩形区域CDEH表示集合，
矩形区域CDFG表示集合N，满足，
结合图形可得：.
故选：B.

3. 向量，， 在边长为1的正方形网格中的位置如图所示，若为与同方向的单位向量，则（ ）

A. 1.5 B. 2 C. -4.5 D. -3
【答案】D
【解析】
【分析】首先建系，确定向量的坐标，根据向量数量积的坐标表示求解.
【详解】如图，建立平面直角坐标系，由图可知，，，
则，所以.

故选：D
4. 在平面直角坐标系xOy中，角α与角β均以Ox为始边，它们的终边关于x轴对称.若，则（ ）
A. B. C. 1 D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据角的对称得到，，以及两角差的余弦公式即可求出．
【详解】解：角与角均以为始边，它们的终边关于轴对称，
，，
．
故选：．
5. 关于的方程，有下列四个命题：甲：是该方程的根；乙：是该方程的根；丙：该方程两根之和为；丁：该方程两根异号．如果只有一个假命题，则该命题是（ ）
A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁
【答案】A
【解析】
【分析】
对甲、乙、丙、丁分别是假命题进行分类讨论，分析各种情况下方程的两根，进而可得出结论.
【详解】若甲是假命题，则乙丙丁是真命题，则关于方程的一根为，
由于两根之和为，则该方程的另一根为，两根异号，合乎题意；
若乙是假命题，则甲丙丁是真命题，则是方程的一根，
由于两根之和为，则另一根也为，两根同号，不合乎题意；
若丙是假命题，则甲乙丁是真命题，则关于的方程的两根为和，两根同号，不合乎题意；
若丁是假命题，则甲乙丙是真命题，则关于的方程的两根为和，
两根之和为，不合乎题意.
综上所述，甲命题为假命题.
故选：A.
【点睛】关键点点睛：本题考查命题真假的判断，解题的关键就是对甲、乙、丙、丁分别是假命题进行分类讨论，结合已知条件求出方程的两根，再结合各命题的真假进行判断.
6. 有一个非常有趣的数列叫做调和数列，此数列的前n项和已经被研究了几百年，但是迄今为止仍然没有得到它的求和公式，只是得到它的近似公式：当n很大时，，其中称为欧拉-马歇罗尼常数，…，至今为止都还不确定是有理数还是无理数．由于上式在n很大时才成立，故当n较小时计算出的结果与实际值之间是存在一定误差的，已知，．用上式估算出的与实际的的误差绝对值近似为（ ）
A. 0.003 B. 0.096 C. 0.121 D. 0.216
【答案】B
【解析】
【分析】直接通过两种方法求出，作差取绝对值即可求出结果.
【详解】，
又
与实际的的误差绝对值近似为.
故选：B.
7. 、分别为双曲线的左、右焦点，过的直线与的左、右两支曲线分别交于、两点，若，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用勾股定理结合双曲线的定义可求得，结合平面向量数量积的运算性质可求得结果.
【详解】在双曲线中，，，，则、，

因为直线过点，由图可知，直线的斜率存在且不为零，
，则为直角三角形，可得，
由双曲线的定义可得，所以，，
可得，
联立，解得，
因此，.
故选：C.
【点睛】方法点睛：求两个向量的数量积有三种方法：
（1）利用定义：
（2）利用向量的坐标运算；
（3）利用数量积的几何意义．
具体应用时可根据已知条件的特征来选择，同时要注意数量积运算律的应用．
8. 若存在且，对任意的，均有恒成立，则称函数具有性质P，已知：单调递减，且恒成立；单调递增，存在使得，则是具有性质P的充分条件是（ ）
A. 只有 B. 只有
C. 和 D. 和都不是
【答案】C
【解析】
【分析】对于，当，根据减函数的定义和已知条件，结合不等式性质，可得成立；对于，取同理可得出结论．
【详解】：当，，因为函数单调递减，
所以
即，存在，
当满足命题时，具有性质P.
：当时，，
因为函数单调递增，
所以，
即，
存在，当满足命题时，具有性质P.
综上可知命题、都是具有性质P的充分条件．
故选：C
【点睛】本题考查函数的新定义、函数的单调性以及不等式的性质，考查了理解辨析能力、运算求解能力和逻辑推理能力，属于中档题．
二、多项选择题:本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 某中学四位同学利用假期到一贫困村参加社会实践活动，感受年该村精准扶贫及新农村建设的变化.经过实地调查显示，该村年的经济收入增加了一倍．实现翻番，精准扶贫取得惊人成果．为更好地了解该村的经济收入变化情况，为后期精准扶贫方向提供决策参考，四位同学统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例．得到如下饼图：


四位同学依据上述饼图，分别得出以下四个结论，其中结论中正确的是（ ）
A. 精准扶贫及新农村建设后，种植收入减少
B. 精准扶贫及新农村建设后，其他收入增加了一倍以上
C. 精准扶贫及新农村建设后，养殖收入增加了一倍
D. 精准扶贫及新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半
【答案】BCD
【解析】
【分析】设精准扶贫及新农村建设前和后的经济收入分别为和，根据饼状图依次验证各项收入是否满足选项中的要求，由此可得结论.
【详解】设精准扶贫及新农村建设前，经济收入为，则精准扶贫及新农村建设后，经济收入为；
对于A，精准扶贫及新农村建设前，种植收入为；精准扶贫及新农村建设后，种植收入为；
，精准扶贫及新农村建设后，种植收入增加，A错误；
对于B，精准扶贫及新农村建设前，其他收入为；精准扶贫及新农村建设后，其他收入为；
，精准扶贫及新农村建设后，其他收入增加了一倍以上，B正确；
对于C，精准扶贫及新农村建设前，养殖收入为；精准扶贫及新农村建设后，养殖收入为；
，精准扶贫及新农村建设后，养殖收入增加了一倍，C正确；
对于D，精准扶贫及新农村建设后，养殖收入与第三产业收入之和的占比为，超过了总收入的一半，D正确.
故选：BCD.
10. 已知正四棱柱底面边长为2，侧棱，为上底面上的动点，给出下列四个结论中正确结论为（ ）
A. 若，则满足条件的点有且只有一个
B. 若，则点的轨迹是一段圆弧
C. 若∥平面，则长的最小值为2
D. 若∥平面，且，则平面截正四棱柱的外接球所得平面图形的面积为
【答案】ABD
【解析】
【分析】
若，由于与重合时，此时点唯一；，则，即点的轨迹是一段圆弧；当为中点时，DP有最小值为，可判断C；平面截正四棱柱的外接球所得平面图形为外接球的大圆，其半径为，可得D.
【详解】如图：

∵正四棱柱的底面边长为2，
∴，又侧棱，
∴，则与重合时，此时点唯一，故A正确；
∵，，则，即点的轨迹是一段圆弧，故B正确；
连接，，可得平面平面，则当为中点时，DP有最小值为，故C错误；
由C知，平面即为平面，平面截正四棱柱的外接球所得平面图形为外接球的大圆，其半径为，面积为，故D正确．
故选：ABD．
【点睛】本题考查了立体几何综合，考查了学生空间想象，逻辑推理，转化划归，数学运算的能力，属于较难题.
11. 摩天轮常被当作一个城市的地标性建筑，如深圳前海的“湾区之光”摩天轮，如图所示，某摩天轮最高点离地面高度128米，转盘直径为120米，设置若干个座舱，游客从离地面最近的位置进舱，开启后按逆时针匀速旋转分钟，当时，游客随舱旋转至距离地面最远处．以下关于摩天轮的说法中，正确的为（ ）

A. 摩天轮离地面最近的距离为4米
B. 若旋转分钟后，游客距离地面的高度为米，则
C. 若在，时刻，游客距离地面的高度相等，则的最小值为30
D. ，，使得游客在该时刻距离地面的高度均为90米
【答案】BC
【解析】
【分析】易知摩天轮离地面最近的距离，从而可判断A；求出分钟后，转过的角度，即可求出关于的表达式，即可判断B；由余弦型函数的性质可求出的最小值即可判断C；求出在上的单调性，结合当时，即可判断D.
【详解】解：由题意知，摩天轮离地面最近的距离为米，故A不正确；
分钟后，转过的角度为，则，B正确；
周期为，由余弦型函数的性质可知，若取最小值，
则，又高度相等，则关于对称，则，则；
令，解得，令，解得，
则在上单调递增，在上单调递减，当时，，
当时，，所以在只有一个解；
故选:BC.
【点睛】关键点睛:
本题的关键是求出关于的表达式，结合三角函数的性质进行判断.
12. 一个笼子里关着10只猫，其中有4只黑猫､6只白猫，把笼子打开一个小口，使得每次只能钻出1只猫，猫争先恐后地往外钻，如果10只猫都钻出了笼子，事件表示“第只出笼猫是黑猫”，，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】BCD
【解析】
【分析】10只猫先后出笼的顺序为，第只出笼的猫是黑猫，即可先从4只黑猫中选出已知，而其余9个位置的猫们可任意排列，即可得到，对A，事件表示“第1，2只出笼的猫都是黑猫”，即可求解判断；对B，事件表示“第1只或第2只出笼的猫是黑猫”，则根据即可求解判断；对C，D，结合条件概率公式即可求解判断.
【详解】由题， ，
事件表示“第1，2只出笼的猫都是黑猫”，则，故A错误；
事件表示“第1只或第2只出笼的猫是黑猫”，则，故B正确；
则，故C正确；
事件表示“第2，10只出笼的猫是黑猫”，则，
则，故D正确，
故选：BCD
三、填空题:本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 函数的图像在点处的切线方程为_________.
【答案】
【解析】
【分析】求导，利用导数的几何意义求出切线斜率，从而求出切线方程.
【详解】，，
则切线方程为：，整理得：
故答案为：
14. 写出一个数列的通项公式，使得这个数列的前项和在时取最大值，_____.
【答案】（答案不唯一）
【解析】
【分析】可以利用等差数列的前项和公式和二次函数的性质求解即可.
【详解】对于等差数列，其前项和，由二次函数的性质可知，数列前项和在或时取到最大值，
故答案为： （答案不唯一）
15. 已知函数，若，则实数=______.
【答案】
【解析】
【分析】由对数的运算得出，再由在上单调递增，得出，进而解出.
【详解】因为，所以
因为在上单调递增，所以当时，
故，即，解得
故答案为：
16. 已知椭圆，若存在以点为圆心，为半径的，该圆与椭圆E恰有两个公共点，且圆上其余各点均在椭圆内部，则t的取值范围是________．
【答案】
【解析】
【分析】设圆方程为，与椭圆方程联立方程组，消去后，关于的方程有两个相等实根，，求得相等实根，由根在上得的范围．
【详解】设圆方程为，由得（*），
因为圆与椭圆恰有两个公共点，所以，，
此时方程（*）的解是，由得．
故答案为：．
【点睛】结论点睛：本题考查圆与椭圆的公共点问题，解题方法利用方程组的解的情况确定公共点的个数，圆心在轴上的圆与椭圆只有两个公共点，则两方程联立消去得关于的方程，此方程有两个相等实根，且实根在区间上．
四、解答题:本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. 已知等差数列公差不为零，，，数列各项均为正数，，.
（1）求数列、的通项公式；
（2）若恒成立，求实数的最小值．
【答案】（1），
（2）
【解析】
【分析】（1）设等差数列的公差为，根据题意可得出关于、的方程组，解出这两个量的值，即可得出数列的通项公式，分析可知数列为等比数列，确定该数列的首项和公比，可求得数列的通项公式；
（2）分析可知恒成立，设，分析数列的单调性，可求得出数列的最大项的值，可得出实数的取值范围，即可得解.
【小问1详解】
解：设等差数列的公差为，
因为，即，解得，
所以，，
因为，所以，，
因为，所以，，又，所以，，所以，，
所以，是以为首项，为公比的等比数列，故.
【小问2详解】
解：因为，，所以，，即恒成立，
设，则，
当时，；当时，；当时，.
所以，或时，为的最大项．
所以，，故实数的最小值为．
18. 在中，，．
（1）求的大小；
（2）在下列三个条件中选择一个作为已知，使存在且唯一确定，并求出的长．
①；②截得角的角平分线的线段长为1；③面积为．
【答案】（1）；
（2）若选②，；若选③，
【解析】
【分析】（1）先由正弦定理得到，再借助正弦和角公式求出
再由正切和角公式求出，即可求得角；
（2）若选①，由推出矛盾；若选②，由角平分线求得，再由求解；
若选③，由及求解即可.
【小问1详解】
由正弦定理得，又，
可得，即，
又，故，又，故
由可得，
即，故，.
【小问2详解】
若选①，由（1）知，和矛盾，不存在；
若选②，

由为角的角平分线可知：，又，故，
即，又，故；
此时存在且唯一确定；
若选③，，又，
，解得；
此时存在且唯一确定.
19. 如图1，矩形ABCD，点E，F分别是线段AB，CD的中点，，将矩形ABCD沿EF翻折.

（1）若所成二面角的大小为（如图2），求证：直线面DBF；
（2）若所成二面角的大小为（如图3），点M在线段AD上，当直线BE与面EMC所成角为时，求二面角的余弦值.
【答案】（1）证明见解析；
（2）
【解析】
【分析】（1）由题设易知，再由面面垂直的性质可得面，根据线面垂直的性质有，最后由线面垂直的判定即可证结论.
（2）过作面，构建空间直角坐标系并设且，求出面法向量、直线BE的方向向量，根据线面角的大小，结合空间向量夹角的坐标表示列方程求出参数m，再确定面的法向量，应用向量法求二面角的余弦值即可.
【小问1详解】
由题设易知：是边长为2的正方形，是的对角线，
所以，
又面面，面面，，面，
所以面，又面，则，
又，则面.
【小问2详解】
过作面，而面，则，，而，
可构建如下图示的空间直角坐标系，由题设知：，

所以，，，且，
则，，，
若是面的一个法向量，则，令，则，
，可得，则，
又是面的一个法向量，
所以，则锐二面角的余弦值为.
20. “红五月”将至，学校文学社拟举办“品诗词雅韵，看俊采星驰”的古诗词挑战赛，挑战赛分为个人晋级赛和决赛两个阶段.个人晋级赛的试题有道“是非判断”题和道“信息连线”题，其中道“信息连线”题是由电脑随机给出错乱排列的四句古诗词和四条相关的诗词背景（如诗词题名、诗词作者等），要求参赛者将它们一一配对，每位参赛选手只有一次挑战机会.比赛规则为：电脑随机同时给出道“是非判断”和道“信息连线”题，要求参赛者全都作答，若有四道或四道以上答对，则该选手晋级成功.
（1）设甲同学参加个人晋级赛，他对电脑给出的道“是非判断”题和道“信息连线”题都有且只有一道题能够答对，其余的题只能随机作答，求甲同学晋级成功的概率；
（2）已知该校高三（1）班共有位同学，每位同学都参加个人晋级赛，且彼此相互独立.若将（1）中甲同学晋级的概率当作该班级每位同学晋级的概率，设该班晋级的学生人数为.
①问该班级成功晋级的学生人数最有可能是多少？说明理由；
②求随机变量的方差.
【答案】（1）
（2）①或，理由见解析；②
【解析】
【分析】（1）分甲同学答对四道、五道、六道题，分析出是非判断题和信息连线题答对的题的数量，结合独立事件的概率乘法公式可求得所求事件的概率；
（2）①分析可知，设最大，可得出，解出的取值范围，即可得解；
②利用二项分布的方差公式可求得的值.
【小问1详解】
解：记事件甲同学晋级成功，则事件包含以下几种情况：
①事件“共答对四道”，即答对余下的是非判断题，答错两道信息连线题，则
.
②事件“共答对五道”，即答错余下是非判断题，答对余下的三道信息连线题，则.
③事件“共答对六道”， 即答对余下的四道问题，，
所以.
【小问2详解】
解：①由题意可知，设最大，
则，即，
可得，解得，即最有可能取的值为或；
②由二项分布的方差公式可得.
21. 已知点在抛物线上，点（其中）.如图过点且斜率为2的直线与抛物线交于，两点（点在点的上方），直线与抛物线交于另一点.


（1）记，当时，求的值；
（2）若面积大于27，求的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）首先求出抛物线方程，即可求出直线，的方程，再联立直线与抛物线方程，求出交点坐标，再根据两点的距离公式求出，，，，即可得解；
（2）设，，即可得到的方程，从而得到点坐标，即可得到直线的方程，联立直线与抛物线方程，利用弦长公式求出，再由点到直线的距离公式求出到直线的距离，即可得到，再利用导数说明函数的单调性，即可求出的取值范围，从而得到的取值范围；
【小问1详解】
解：由题可知：，所以，所以抛物线方程为.
当时，，所以，，联立，消去得，
解得或，所以，.所以，，
∴，
又，消去整理得，解得，，所以，所以，，
∴.
所以.
【小问2详解】
解：设，，则.
令，则，即.
所以.
联立，消元整理得，解得、，
∴.
而，
∴


因为且，所以.
所以.
令，
则.
∴在上单调递减.
又当时，.
所以当时，.
∴.
22. 青岛胶东国际机场的显著特点之一是弯曲曲线的运用，衡量曲线弯曲程度的重要指标是曲率．曲线的曲率定义如下：若是的导函数，是的导函数，则曲线在点处的曲率．已知函数，若，则曲线在点处的曲率为．

（1）求；
（2）若函数存在零点，求的取值范围；
（3）已知，，，证明：．
【答案】（1）1；（2）；（3）证明见解析．
【解析】
【分析】（1）将代入并计算，， 根据曲率直接计算即可.
（2）等价转化为有根，然后令并研究其性质，最后进行判断可得结果.
（3）依据（2）条件可知，然后根据判断即可.
【详解】（1）当时，，．
，．
∴在处的曲率为．
（2）
令，则
当时，，当时，
所以函数在单调递增，在单调递减，
所以，则
又令，则
当时，，当时，
所以函数在单调递增，在单调递减
所以
令，
∴，
当且仅当时取“”，显然，当时，无零点．
当时，，
∴存在使，符合题意．
综上：实数的取值范围为．
（3）由（2）知，∴（当且仅当时取“”）
∴，∴
又∵，∴
综上：．
【点睛】关键点点睛：第（1）问关键在于求导；第（2）问关键在于等价转化的使用以及常用不等式（）的使用以及放缩法；第（3）问在于利用第（2）问的条件进行比较.