2021-2022学年湖北省宜昌市夷陵中学高二下学期诊断性检测数学试题含解析

  2022年春夷陵中学高二年级诊断性检测

数学试题

一、单选题：本大题共8小，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1. 已知，则直线AB的倾斜角为（　　）

A. 0° B. 90° C. 180° D. 不存在

【答案】B

【解析】

【分析】由直线经过A（0，1），B（0，﹣1）两点，直线AB的斜率不存在，从而能求出直线AB的倾斜角．

【详解】∵直线经过A（0，1），B（0，﹣1）两点，

∴直线AB的斜率不存在，

∴直线AB的倾斜角90°．

故选B．

【点睛】本题考查直线的倾斜角的求法，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．

2. 圆x2＋y2－4＝0与圆x2＋y2－4x＋4y－12＝0公共弦所在直线方程为（    ）

A.  B.

C  D.

【答案】B

【解析】

【分析】两圆的方程消掉二次项后的二元一次方程即为公共弦所在直线方程.

【详解】由x2＋y2－4＝0与x2＋y2－4x＋4y－12＝0两式相减

得：，即.

故选：B

3. 已知椭圆：的一个焦点为，则的离心率为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【详解】分析：首先根据题中所给的条件椭圆的一个焦点为，从而求得，再根据题中所给的方程中系数，可以得到，利用椭圆中对应的关系，求得，最后利用椭圆离心率的公式求得结果.

详解：根据题意，可知，因为，

所以，即，

所以椭圆的离心率为，故选C.

点睛：该题考查是有关椭圆的离心率的问题，在求解的过程中，一定要注意离心率的公式，再者就是要学会从题的条件中判断与之相关的量，结合椭圆中的关系求得结果.

4. 已知等比数列满足，则=（    ）

A. 1 B.  C.  D. 4

【答案】B

【解析】

【详解】依题意有，故.

5. 已知点在平面α上，其法向量，则下列点不在平面α上的是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】根据法向量的定义，利用向量垂直对四个选项一一验证即可.

【详解】

对于A：记,则.

因为，所以点在平面α上

对于B：记,则.

因为，所以点在平面α上

对于C：记,则.

因为，所以点在平面α上

对于D：记,则.

因为，所以点不在平面α上.

故选：D

6. 下列四个结论正确是 （    ）

A. 任意向量，若，则或

B. 若空间中点O，A，B，C满足，则A，B，C三点共线

C. 空间中任意向量都满足

D. 已知向量，若，则为钝角

【答案】B

【解析】

【分析】A选项，也可以是，；B选项，利用向量线性运算得到，从而得到三点共线；C选项可以举出反例；D选项，求出为钝角时的取值范围，从而得到答案.

【详解】则或或，，故A错误；

若空间中点O，A，B，C满足，

即，

所以，化简得：，

则A，B，C三点共线，B正确；

设。则不满足，C错误；

，则，

令得：，当时，，此时反向，

要想为钝角，则且，故D错误.

故选：B

7. 等差数列和的前项和分别为与，对一切自然数，都有，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【详解】 ,选B.

点睛：在解决等差、等比数列的运算问题时，有两个处理思路,一是利用基本量,将多元问题简化为一元问题,虽有一定量的运算,但思路简洁,目标明确;二是利用等差、等比数列的性质,性质是两种数列基本规律的深刻体现，是解决等差、等比数列问题既快捷又方便的工具，应有意识地去应用.但在应用性质时要注意性质的前提条件，有时需要进行适当变形. 在解决等差、等比数列的运算问题时，经常采用“巧用性质、整体考虑、减少运算量”的方法.

8. 设定义在的函数的导函数为，且满足，则关于的不等式的解集为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】根据条件，构造函数，利用函数的单调性和导数之间的关系即可判断出该函数在上为增函数，然后将所求不等式转化为对应函数值的关系，根据单调性得出自变量值的关系从而解出不等式即可．

【详解】解：，

（3），

（3），

定义在的函数，

，

令，

不等式（3），

即为（3），

，

，

，

，

，

，

单调递增，

又因为由上可知（3），

，，

．

故选：．

【点睛】本题主要考查不等式的解法：利用条件构造函数，利用函数单调性和导数之间的关系判断函数的单调性，属于中档题．

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．

9. 已知等比数列{}中，满足，，则（    ）

A. 数列{}是等比数列 B. 数列是递增数列

C. 数列是等差数列 D. 数列{}中，仍成等比数列

【答案】AC

【解析】

【分析】先利用等比数列通项公式求出，从而得到，利用等比数列的定义判断A选项；得到，判断出为递减数列；求出，利用等差数列定义判断C选项，计算出，利用得到不成等比数列.

【详解】由题意得：，所以，则，

所以数列{}是等比数列，A正确；

，所以，且，故数列是递减数列，B错误；

，所以，C正确；

，

因为，故数列{}中，不成等比数列，D错误.

故选：AC

10. 如图，在正方体中，点，分别是棱和的中点，则下列选项正确的是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】ACD

【解析】

【分析】

以为轴建立空间直角坐标系，设正方体棱长为2，得出各点坐标，由向量的运算判断ABC三个选项，由向量的线性运算判断D．

【详解】以为轴建立空间直角坐标系，设正方体棱长为2，

则，，，，

，

，，，，A正确；

，，B错；

，，C正确；

，D正确．

故选：ACD．

【点睛】方法点睛：本题考查空间向量的数量积，考查空间向量的线性运算．解题方法建立空间直角坐标系，把空间向量的数量积用坐标进行运算，向量垂直用数量积进行表示，这样直接计算可减少证明．简化的解题过程．

11. 已知双曲线的右焦点为，一条渐近线过点，则（    ）

A. 双曲线与双曲线有相同的渐近线

B. 双曲线的离心率为

C. 若到渐近线的距离为2，则双曲线的方程为

D. 若直线与渐近线围成的三角形面积为，则焦距为

【答案】ACD

【解析】

【分析】由一条渐近线过点，可得，可得渐近线方程为，然后逐个分析判断即可

【详解】由双曲线，可得其渐近线方程为，

因为一条渐近线过点，所以，所以，所以双曲线的渐近线方程为，

对于A，双曲线的渐近线方程为，即，所以A正确，

对于B，由于，所以离心率为，所以B错误，

对于C，因为右焦点为到渐近线的距离为2，所以，解得，因为，，所以解得，所以双曲线方程为，所以C正确，

对于D，对于渐近线，当时，，所以由双曲线的对称性可得直线与渐近线围成的三角形面积，得，由，，解得，所以焦距为，所以D正确，

故选：ACD

12. 已知函数，下列选项正确的是 （    ）

A. 函数f（x）在（－2，1）上单调递增

B. 函数f（x）的值域为

C. 若关于x的方程有3个不相等的实数根，则实数a的取值范围是

D. 不等式在恰有两个整数解，则实数a的取值范围是

【答案】ACD

【解析】

【分析】A选项，利用导函数求解单调性；B选项，利用导函数研究函数单调性，极值情况，画出图象，作出判断；C选项，画出的图象，数形结合将根的个数转化为图象交点个数，从而判断出a的取值范围是；D选项，画出的图象，数形结合得到斜率的取值范围，进而求出a的取值范围.

【详解】当时，，当时，，单调递减，

当时，，单调递增，

当时，，

当时，，单调递增，当时，，单调递减，

又当时，，，

故数f（x）在（－2，1）上单调递增，A正确；

由A选项分析可知：在处取得极小值，，在处取得极大值，，又时，恒成立，时，恒成立，

画出，如图：

故f（x）的值域为，B错误；

由得：或

画出的图象，如图所示：

从图象可以看出有1个根，为，

要想方程有3个不相等的实数根，

需要需要有2个不相等的实数根，且不等于-1，

所以则实数a的取值范围是，C正确；

不等式在恰有两个整数解，

即在恰有两个整数解，在同一坐标系下画出的图象：当介于直线之间时，满足要求，

其中，，

则实数a的取值范围是，D正确.

故选：ACD

【点睛】研究方程根的个数问题或根据根的个数求取值范围问题，当方程较复杂时，要转化为两个函数的交点问题，数形结合进行求解.

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．

13. 在等差数列{}中，，，则＝_______．

【答案】

【解析】

【分析】根据等差数列通项公式及求和公式基本量计算得到首项和公差，从而求出答案

【详解】，即，

有，

联立解得：，

所以

故答案为：

14. 已知，则在点处的切线方程为_______．

【答案】

【解析】

【分析】利用导数的几何意义求在处切线的斜率，并求出，即可写出切线方程.

【详解】由题设，

∴，又，

∴在处的切线方程为，即.

故答案为：.

15. 已知函数f（x）的导函数为，，则_______．

【答案】

【解析】

【分析】求导，代入，得到方程，求出答案.

【详解】，所以，

解得：

故答案为：

16. 双曲线的左顶点为，是双曲线的渐近线与圆的一个交点，过作圆的切线交轴于，若的斜率为，则双曲线的离心率为_______．

【答案】

【解析】

【分析】

不妨设是圆与渐近线在第一象限的交点，求出点坐标，得切线方程，从而可求出点纵坐标，利用的斜率可得离心率．

【详解】不妨设是圆与渐近线在第一象限的交点，由，解得，

则切线的方程为，

令得，即，

∵的斜率为，∴，即离心率为．

故答案为：．

四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17. 已知直线，，，其中与的交点为P．

（1）求过点P且与平行的直线方程；

（2）求以点P为圆心，截所得弦长为8的圆的方程．

【答案】（1）；   

（2）.

【解析】

【分析】（1）首先求、的交点坐标，根据的斜率，应用点斜式写出过P且与平行的直线方程；

（2）根据弦心距、弦长、半径的关系求圆的半径，结合P的坐标写出圆的方程.

【小问1详解】

联立、得：，可得，故，

又的斜率为，则过P且与平行的直线方程，

∴所求直线方程为.

【小问2详解】

由（1），P到的距离，

∴以P为圆心，截所得弦长为8的圆的半径，

∴所求圆的方程为.

18. 第24届冬奥会于2022年2月在北京举行，志愿者的服务工作是冬奥会成功举办的重要保障．某高校承办了北京志愿者选拔的面试工作．现随机抽取了100名候选者的面试成绩，并分成五组：第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，绘制成如图2所示的频率分布直方图．已知第三、四、五组的频率之和为0.7，第一组和第五组的频率相同．

（1）求a，b的值；

（2）估计这100名候选者面试成绩的平均数和第分位数（分位数精确到0.1）；

（3）在第四、第五两组志愿者中，现采用分层抽样的方法，从中抽取5人，然后再从这5人中选出2人，以确定组长人选，求选出的两人来自不同组的概率．

【答案】（1）；（2）估计平均数为69.5，第分位数为71.7；   

（3）

【解析】

【分析】（1）根据频率之和为1，及第三、四、五组的频率之和为0.7列出方程组，求出a，b的值；（2）中间值作代表估计出平均数，利用百分位数求解方法进行求解；（3）先分层抽样求出列举法求出抽取的第四、第五两组志愿者人数，再利用列举法求出古典概型求概率公式.

【小问1详解】

，解得：，所以；

【小问2详解】

，故估计这100名候选者面试成绩的平均数为69.5；

前两组志愿者的频率为，前三组志愿者的频率为，所以第分位数落在第三组志愿者中，设第分位数为，则，解得：，故第分位数为71.7

【小问3详解】

第四、第五两组志愿者的频率比为，故按照分层抽样抽得的第四组志愿者人数为4，分别设为，第五组志愿者人数为1，设为，这5人中选出2人，所有情况有，共有10种情况，其中选出的两人来自不同组的有共4种情况，故选出的两人来自不同组的概率为

19. 如图，已知直三棱柱中，，，E，F分别为AC和的中点，D为棱上的一点．

（1）证明：；

（2）当平面DEF与平面所成角的余弦值为时，求线段的长度．

【答案】（1）证明过程见解析；   

（2）

【解析】

【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用空间向量证明线线垂直；（2）求出两平面的法向量，根据余弦值列出方程，求出的值.

【小问1详解】

因为直三棱柱中，，，

所以两两垂直，

以B为坐标原点，所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，

则，设，

所以，故，

所以.

【小问2详解】

设平面DEF的法向量为，

则，

令得：，故，

设平面的法向量，

则，

解得：，

所以

20. 已知数列满足，，数列满足．

（1）证明：数列为等比数列，并求的通项公式；

（2）设，求数列的前项和．

【答案】（1）证明见解析，   

（2）

【解析】

【分析】（1）利用凑配法化简已知条件，得到，由此证得数列为等比数列，并求得的通项公式.

（2）利用错位相减求和法求得.

【小问1详解】

，

即 ，又，  

∴数列是以1为首项，2为公比的等比数列，其通项.

【小问2详解】

由题，

①，

  ②，

①－②得：

，

．

21. 已知中心在原点O的椭圆E的长轴长为，且与抛物线有相同的焦点．

（1）求椭圆E的方程；

（2）若点H的坐标为(2，0)，点、()是椭圆E上的两点，点A，B，H不共线，且∠OHA=∠OHB，证明：直线AB过定点．

【答案】（1）   

（2）证明见解析

【解析】

分析】（1）根据长轴长与焦点坐标即可求解，从而求出方程；

（2）设直线的方程为，代入椭圆方程，由得，结合韦达定理即可证明结论．

【小问1详解】

∵抛物线的焦点为，∴的焦点为，即，焦点在轴

又，∴，

∴椭圆的方程为

【小问2详解】

设直线的方程为，则，，

由得，．

即

则，      

∵，   ∴     

∴，即

∴，∴满足题意       

∴直线恒过定点．

22. 已知.

（1）讨论的单调性；

（2）当时，若在上恒成立，求的最小值．

【答案】（1）当时，在上单调递增，当时，在上单调递增，在上单调递减；   

（2）

【解析】

【分析】（1）求出定义域，求导，分与两种情况分类讨论，得到的单调性；

（2）利用第一问函数单调性，数形结合得到当直线与相切时，取得最小值，故取得最小值，利用切线斜率得到方程，求出，换元后构造函数，，求出单调性和极值，最值情况，得到答案

【小问1详解】

定义域为，

，

当时，，单调递增，

当时，当时，，单调递增，

当时，，单调递减，

综上：当时，在上单调递增，当时，在上单调递增，在上单调递减；

【小问2详解】

当时，在上恒成立

由（1）知：在上单调递增，而为直线方程，

当时，为常函数或单调递减，故不能使得在上恒成立，舍去

当时，当直线与相切时，可以使得在上恒成立，

设切点为，

则有，解得：，

因为，所以，

由于恒过点，当直线与相切时，取得最小值，故取得最小值

此时，解得：

故，

令，

则，，

，

当时，，单调递减，当时，，单调递增，

所以在处取得极小值，也是最小值，，

故的最小值为.

【点睛】导函数求解多元问题，要结合题目条件，将多元问题转化为单元问题，进行求解，注意换元后的定义域的变化.