还剩72页未读，
继续阅读
初中数学苏科版七年级下册7.2 探索平行线的性质课后复习题
展开
这是一份初中数学苏科版七年级下册7.2 探索平行线的性质课后复习题，共75页。试卷主要包含了5°等内容，欢迎下载使用。
7.10平行线的性质与判定（压轴篇）
班级：___________________ 姓名：_________________ 得分：_______________
注意事项：
本试卷试题解答30道，共分成三个层组：基础过关题（第1-10题）、能力提升题（第11-20题）、培优压轴题（第21-30题），每个题组各10题，可以灵活选用．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．
一、解答题
1．（2023春·七年级单元测试）如图1，直线MN与直线AB、CD分别交于点E、F，∠1+∠2=180°．
(1)试判断直线AB与直线CD的位置关系，并说明理由；
(2)如图2，∠BEF与∠EFD的角平分线交于点P，延长EP交CD于点G，点H是MN上一点，且GH⊥EG，过点P作PQ∥AB，则PF与GH平行吗？为什么？
2．（2022春·江苏无锡·七年级校考阶段练习）小明同学在完成七年级下册数学第1章的线上学习后，遇到了一些问题，请你帮他解决一下．
(1)如图1，已知AB∥CD，则∠AEC＝∠BAE＋∠DCE成立吗？请说明理由．
(2)如图2，已知AB∥CD，BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，BE、DE所在直线交于点E，若∠FAD＝50°，∠ABC＝40°，求∠BED的度数．
3．（2018春·江苏扬州·七年级扬州市竹西中学阶段练习）问题情境：如图1，AB∥CD，∠PAB＝130°，∠PCD＝120°，求∠APC的度数．小明的思路是：过P作PE∥AB，通过平行线性质来求∠APC．
(1)按小明的思路，易求得∠APC的度数为______度；
(2)问题迁移：如图2，AB∥CD，点P在射线OM上运动，记∠PAB＝α，∠PCD＝β，当点P在B、D两点之间运动时，问∠APC与α、β之间有何数量关系？请说明理由；
(3)在（2）的条件下，如果点P在B、D两点外侧运动时（点P与点O、B、D三点不重合），请直接写出∠APC与α、β之间的数量关系．
4．（2022春·江苏盐城·七年级校考期中）图1是苏教版七年级下册数学书封底上的一幅几何图形，本学期同学们已经对这幅图形有了一定认识，小明同学在复习的时候又进行了变式研究，请解决下列问题．
【课本问题】（1）如图1，△ABC中，点D在BC边上，直线DG∥AB交AC于点G，E在AB边上，F在BC边上，∠ADG与∠AEF互补，AD与EF平行吗？为什么？
【变式探究】（2）在（1）的条件下，如图2，AD是△ABC的角平分线，延长CA与FE，交于点H，直线DG与EF的延长线交于点K，∠K=∠H相等吗？为什么？
5．（2022春·江苏无锡·七年级校考阶段练习）长江汛期即将来临，防汛指挥部在一危险地带两岸各安置了一探照灯，便于夜间查看江水及两岸河堤的情况．如图，灯A射线自AM顺时针旋转至AN便立即回转，灯B射线自BP顺时针旋转至BQ便立即回转，两灯不停交叉照射巡视．若灯A转动的速度是a°/秒，灯B转动的速度是b°/秒，且a、b满足|a−3b|+(a−3)2=0．假定这一带长江两岸河堤是平行的，即PQ∥MN，且∠BAN=45°．
(1)求a、b的值；
(2)若灯B射线先转动20秒，灯A射线才开始转动，在灯B射线到达BQ之前，A灯转动几秒，两灯的光束互相平行？
(3)如图，两灯同时转动，在灯A射线到达AN之前．若射出的光束交于点C，过C作CD⊥AC交PQ于点D，则在转动过程中，∠BAC与∠BCD的数量关系是否发生变化？若不变，请求出其数量关系；若改变，请求出其取值范围．
6．（2022春·江苏盐城·七年级校考阶段练习）（1）（问题）如图1，若AB∥CD，∠AEP＝40°，∠PFD＝120°，求∠EPF的度数．
（2）（问题迁移）如图2，AB∥CD，点P在AB的上方，问∠PEA，∠PFC，∠EPF之间有何数量关系？请说明理由；
（3）（联想拓展）如图3所示，在（2）的条件下，已知∠EPF＝50°，∠PFC＝120°，∠PEA的平分线和∠PFC的平分线交于点G，直接写出∠G的度数．
7．（2022春·江苏苏州·七年级校考阶段练习）已知AB∥CD，点E在AB与CD之间．
(1)图1中，试说明：∠BED＝∠ABE+∠CDE；
(2)图2中，∠ABE的平分线与∠CDE的平分线相交于点F，请利用（1）的结论说明：∠BED＝2∠BFD．
(3)图3中，∠ABE的平分线与∠CDE的平分线相交于点F，请直接写出∠BED与∠BFD之间的数量关系．
8．（2022春·江苏镇江·七年级统考期中）如图，∠1=∠2，∠DEH+∠EHG=180°，∠C=∠A
(1)试说明：∠AEH=∠F；
(2)若∠B=40°，∠F=25°，则∠DEF=________．
9．（2022春·江苏宿迁·七年级统考期中）已知直线AB∥CD ，EF是截线，点M在直线AB、CD之间．
(1)如图，连接GM，HM．求证：∠M=∠AGM+∠CHM；
(2)如图2，在∠GHC的角平分线上取两点M、Q，使得∠AGM=∠HGQ．请直接写出∠M与∠GQH之间的数量关系；
(3)如图3，若射线GH平分∠BGM，点N在MH的延长线上，连接GN，若∠AGM=∠N，∠M=∠N+12∠FGN，求∠MHG的度数．
10．（2020春·江苏南京·七年级校考期中）已知的三角形的三个内角的度数和是180°，如图是两个三角板不同位置的摆放，其中∠ACB=∠CDE=90°，∠BAC=60°，∠DEC=45°．
(1)当AB∥DC时，如图①，求∠DCB的度数．
(2)当CD与CB重合时，如图②，判断DE与AC的位置关系，并说明理由．
(3)如图③，当∠DCB等于______度时，AB∥EC．（直接写出答案）
11．（2022春·江苏扬州·七年级校考阶段练习）已知，直线AB∥DC，点P为平面上一点，连接AP与CP．
(1)如图1，点P在直线AB、CD之间，当∠BAP＝60°，∠DCP＝20°时，求∠APC．
(2)如图2，点P在直线AB、CD之间，∠BAP与∠DCP的角平分线相交于点K，写出∠AKC与∠APC之间的数量关系，并说明理由．
(3)如图3，点P落在CD外，∠BAP与∠DCP的角平分线相交于点K，∠AKC与∠APC有何数量关系？并说明理由．
12．（2022春·江苏南通·七年级统考期末）如图，△ABC中，∠ACB=90°，BD平分∠ABC交△ABC的边AC于点D，E为直线AC上一点，过点E向直线AC的右边作射线EF，使EF∥BC，作∠CEF的平分线EG交射线BD于点G．
(1)如图1，∠ABC=40°，点E与点A重合，求∠G的度数；
(2)若∠ABC=α，
①如图2，点E在DC的延长线上，求∠G的度数（用含有α的式子表示）；
②点E在直线AC上滑动，当存在∠G时，其度数是否发生变化？若不变，请说明理由；若变化，请直接用含α的式子表示∠G的度数．
13．（2022春·江苏南京·七年级统考期末）（1）如图1，AC平分∠DAB，∠1=∠2，试说明AB与CD的位置关系，并予以证明；
（2）如图2，在（1）的结论下，AB的下方点Р满足∠ABP=38°，G是CD上任一点，PO平分∠BPG，PQ∥GN，GM平分∠DGP，下列结论：①∠DGP−∠MGN的值不变；②∠MGN的度数不变．可以证明，只有一个是正确的，请你作出正确的选择并求值．
14．（2022春·江苏常州·七年级统考期末）去年汛期期间，防汛指挥部在某重要河流的一段危险地带两岸各安置了一探照灯，便于夜间查看河水及两岸河堤的情况．如图1，灯A射线自AM顺时针旋转至AN便立即回转，灯B射线自BP顺时针旋转至BQ便立即回转，两灯不停交叉照射巡视．若灯A转动的速度是15度/秒，灯B转动的速度是5度/秒．假定这一带两岸河堤是平行的，即PQ∥MN，且∠BAN=45°．
(1)若灯B射线先转动4秒，灯A射线才开始转动，在灯B射线到达BQ之前，A灯转动几秒，两灯的光束互相平行？
(2)如图2，两灯同时转动，在灯A射线到达AN之前．若灯A射出的光束与灯B射出的光束交于点C，过C作CD⊥AC交PQ于点D，则在转动过程中，∠BAC与∠BCD的数量关系是否发生变化？若不变，请直接写出其数量关系；若改变，请说明理由．
15．（2022春·江苏盐城·七年级景山中学校考期中）如图：已知，∠HCO＝∠EBC，∠BHC+∠BEF＝180°．
(1)求证：EF∥BH；
(2)若BH平分∠EBO，EF⊥AO于F，∠HCO＝64°，求∠CHO的度数．
16．（2022春·江苏南京·七年级南京外国语学校校考期中）对于平面内的∠M和∠N，若存在一个常数k>0，使得∠M+k∠N=360°，则称∠N为∠M的k系补周角，若∠M=90°,∠N=45°，则∠N为∠M的6系补周角．
(1)若∠H=80°，则∠H的4系补周角的度数为__________°．
(2)在平面内AB∥CD，点E是平面内一点，连接BE、DE．
①如图1，∠D=60°，若∠B是∠E的3系补周角，求∠B的度数．
②如图2，∠ABE和∠CDE均为钝角，点F在点E的右侧，且满足∠ABF=n∠ABE，∠CDF=n∠CDE（其中n为常数且n>1），点P是∠ABE角平分线BG上的一个动点，在P点运动过程中，请你确定一个点P的位置，使得∠BPD是∠F的k系补周角，写出你的解题思路并求出此时的k值（用含n的式子表示）．
17．（2022春·江苏常州·七年级统考期中）问题情境：如图①，直线AB∥CD，点E，F分别在直线AB，CD上．
(1)猜想：若∠1=130°，∠2=150°，试猜想∠P=______°；
(2)探究：在图①中探究∠1，∠2，∠P之间的数量关系，并证明你的结论；
(3)拓展：将图①变为图②，若∠1+∠2=325°，∠EPG=75°，求∠PGF的度数．
18．（2022·江苏·七年级假期作业）如图，已知MN∥PQ，点A是直线MN上一个定点，点B在直线PQ上运动，设∠ABQ=α，在射线AM上取一点C，作∠ACD＝52°，CD交PQ于D．
(1)如图1，当∠BAN=108°+α时，α=______°；
(2)作∠ABQ的平分线BE，若BE⊥CD，垂足为E，如图2，求α的值；
(3)作∠ACD的角平分线CF，若CF与AB相交，当CF与AB的夹角是60°时，直接写出α的值：______
19．（2022春·江苏宿迁·七年级统考期中）【数学抽象】实验证明：平面镜反射光线的规律是射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的锐角相等，如图①，一束光线m射到平面镜a上，被a反射后的光线为n，则入射光线m，反射光线n与平面镜a所夹的锐角相等，即∠1=∠2．
(1)利用这个规律人们制作了潜望镜，图②是潜望镜工作原理示意图，AB、CD是平行放置的两面平面镜，请解释进入潜望镜的光线m为什么和离开潜望镜的光线n是平行的？
(2)如图③，改变两平面镜之间的位置关系，经过两次反射后，入射光线m与反射光线n之间的位置关系会随之改变．若入射光线m与反射光线n平行但方向相反，则两平面镜的夹角∠ABC为多少度？
20．（黑龙江省哈尔滨市南岗区虹桥中学2021-2022学年七年级上学期期中数学素养测试题）已知，∠ATM+∠DRN=180°．
(1)如图1，求证AB∥CD：
(2)如图2，点E位平面内一点，连接BE、CE，求证：∠E=∠C+∠B；
(3)如图3，在（2）的条件下，过点E作线段EF，连接BF，且∠EBF=∠F，∠ABF=45°，过点B作BG∥EF交CE于点G，若∠BEC=2∠ABE，EH=4，EF−BG=2，且△BEF的面积为36时，求线段EF的长．
21．（重庆市铜梁区铜梁区巴川初级中学校2021-2022学年七年级下学期9月月考数学试题）课题学习：平行线的“等角转化”功能．
(1)阅读理解：如图1，已知点A是BC外一点，连接AB、AC，求∠B+∠BAC+∠C的度数．阅读并补充下面推理过程．
解：过点A作ED∥BC，
∴ ∠B= ，∠C ，
∵ ∠EAB+∠BAC+∠DAC=180°，
∴ ∠B+∠BAC+∠C=180°．
解题反思：从上面的推理过程中，我们发现平行线具有“等角转化”的功能，将∠BAC、∠B、∠C“凑”在一起，得出角之间的关系，使问题得以解决．
(2)方法运用：如图2，已知AB∥ED，求∠B+∠BCD+∠D的度数；
(3)深化拓展：已知AB∥CD，点C在点D的右侧，∠ADC=50°，BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，BE，DE所在的直线交于点E，点E在直线AB与CD之间．
①如图3，点B在点A的左侧，若∠ABC=36°，求∠BED的度数．
②如图4，点B在点A的右侧，且AB
(1)图1，图2均是由一块三角板和一把直尺拼成的图形，三角板的两直角边与直尺的两边重合，∠ACB=90∘，DF∥CG，AB与FD相交于点E，有一动点P在边BC上运动，连接PE，PA，记∠PED=∠α，∠PAC=∠β．
①如图1，当点P在C，D两点之间运动时，请直接写出∠APE与∠α，∠β之间的数量关系；
②如图2，当点P在B，D两点之间运动时，∠APE与∠α，∠β之间有何数量关系？请判断并说明理由；
(2)当点P在C，D两点之间运动时，若∠PED，∠PAC的角平分线EN，AN相交于点N，请直接写出∠ANE与∠α，∠β之间的数量关系．
23．（河北省衡水市武邑县武罗学校2021-2022学年七年级下学期期末数学试卷）【发现】如图1，CE平分∠ACD，AE平分∠BAC．
(1)当∠EAC＝∠ACE＝45°时，AB与CD的位置关系是______；
当∠EAC＝50°，∠ACE＝40°时，AB与CD的位置关系是______；
当∠EAC+∠ACE＝90°，请判断AB与CD的位置关系并说明理由；
(2)【探究】如图2，AB∥CD，M是AE上一点，∠AEC＝90°保持不变，移动顶点E，使CE平分∠MCD，∠BAE与∠MCD存在怎样的数量关系？并说明理由，
(3)【拓展】如图3，AB∥CD，P为线段AC上一定点，Q为直线CD上一动点，且点Q不与点C重合．直接写出∠CPQ+∠CQP与∠BAC的数量关系．
24．（山西省忻州市代县2021-2022学年七年级下学期期末数学试题）如图1，AB∥CD，点E为直线AB，CD外一点．
(1)若AE⊥AB，∠C=65°，求出∠E的度数．
(2)如图2，点F在BA的延长线上，连接BE，EF，若CE⊥CD，EF平分∠AEC，∠B=∠AEB，求∠BEF的度数：
(3)如图3，在（2）的条件下，过点F作∠BFG=∠BFE，交EC的延长线于点G，延长EF交CD于点H，过点F作FI∥BE交CD于点I．当FH平分∠IFG时，请直接写出∠CHF的度数．
25．（江苏省宿迁市泗阳县2021-2022学年七年级下学期期中数学试题）如图1，AB,AC被直线BC所截，点E是线段BC上一点，过点E作DE∥AB，连接BD,∠A=∠D=60°．
(1)BD与AC平行吗？为什么？
(2)将线段BD沿着直线BC进行平移，平移后得到的对应线段记为线段FG，连接EG；
①当线段FG在E点下方时，如图2，若∠EGF=15°，求∠DEG的度数．
②在整个平移的过程中，当∠EGF=3∠DEG时，求∠EGF的度数．
26．（江苏省无锡市滨湖区2020-2021学年七年级下学期期中数学试题）如图①，已知直线a∥b，点O、C分别是直线a、b上的定点，点A从点O出发，沿射线OA的方向平移，点B从点C出发，沿射线CB的方向平移，且始终满足∠BCO＝∠BAO＝100°．
(1)求证：AB∥CO；
(2)如图②，若OF平分∠BOC，点E是直线b上的一个动点．
① 当∠AOB＝30°，且△EOB中有两个内角相等时，求∠EOF的度数；
② 当∠EOB＝∠AOB，且∠BOC＝6∠EOF时，求∠ABO的度数．
27．（广东省广州市白云区2021-2022学年七年级下学期期末数学试题）如图，点A，B，C，D四点共线，点E，F，G，H四点共线．BG，CF相交于点I，点J是直线AD与EH之间的一个动点，∠ABJ+∠J+∠EFJ=360°．
(1)求证：AD∥EH；
(2)若BJ平分∠DBG，FJ平分∠CFH，请探索并证明∠BIF和∠BJF之间的数量关系；
(3)若∠GBJ=13∠GBD，∠CFJ=13∠CFH，（2）中的结论还成立吗？若成立请证明；若不成立，请写出你认为正确的结论，并证明．
28．（北京市第一六一中学2021—2022学年七年级下学期期末数学模拟练习）如图1，已知直线EF与直线AB交于点E，直线EF与直线CD交于点F，EM平分∠AEF交直线CD于点M，且∠FEM＝∠FME．点G是射线MD上的一个动点（不与点M、F重合），EH平分∠FEG交直线CD于点H，过点H作HN∥EM交直线AB于点N，设∠EHN＝α，∠EGF＝β．
图1
图2
(1)求证：AB//CD；
(2)当点G在点F的右侧时，
①依据题意在图1中补全图形；
②若β＝80°，则α＝ 度；
(3)当点G在运动过程中，α和β之间有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并加以证明．
29．（北京市第十九中学2021-2022学年七年级下学期期中考试数学试卷）如图，直线a∥b，点A为直线a上的动点，点B为直线a、b之间的定点，点C为直线上的定点．
(1)当点A运动到图1所示位置时，容易发现∠ABC,∠DAB,∠BCE之间的数量关系为 ；
(2)如图2，当BA⊥BC时，作等边△BPQ，BM平分∠ABP，交直线a于点M，BN平分∠QBC，交直线b于点N，将BPQ绕点B转动，且BC始终在∠PBQ的内部时，∠DMB+∠ENB的值是否发生变化？若不变，求其值，若变化，说明理由；
(3)点F为直线a上一点，使得∠AFB=∠ABF，∠ABC的平分线交直线a于点G，当点A在直线a上运动时（A，B，C三点不共线），探究并直接写出∠FBG与∠ECB之间的数量关系．（本问中的角均为小于180°的角）
30．（浙江省温州市永嘉县崇德实验学校2021-2022学年七年级下学期期中数学试题）如图1，直线AB∥CD，△ABE的顶点E在AB与CD之间.
(1)若∠ABE=150°，∠BAE=20°．
①当∠CDE=2∠EDM时，求∠BED的度数.
②如图2，作出∠CDE的角平分线DF，当DF平行于△ABE中的一边时，求∠BED的度数.
(2)如图3，∠CDE的角平分线DF交EB的延长线于点H，连结BF，当∠ABH=2∠HBF，12∠BED+13∠F=40°时，求∠CDE的度数.
答案与解析
一、解答题
1．（2023春·七年级单元测试）如图1，直线MN与直线AB、CD分别交于点E、F，∠1+∠2=180°．
(1)试判断直线AB与直线CD的位置关系，并说明理由；
(2)如图2，∠BEF与∠EFD的角平分线交于点P，延长EP交CD于点G，点H是MN上一点，且GH⊥EG，过点P作PQ∥AB，则PF与GH平行吗？为什么？
【答案】(1)AB∥CD，见解析
(2)平行，理由见解析
【分析】（1）根据同旁内角互补，两直线平行即可得到结论；
（2）先求得∠EPF=90°，则EG⊥PF，由GH⊥EG即可得到结论．
【详解】（1）解：AB∥CD，
理由：∵∠1+∠2=180°，∠1=∠AEF，∠2=∠CFE，
∴∠AEF+∠CFE=180°，
∴AB∥CD．
（2）解：由（1）知，AB∥CD，
∴∠BEF+∠EFD=180°．
∵AB∥PQ,AB∥CD,
∴∠EPQ=∠BEP=12∠BEF,PQ∥CD，
∴∠FPQ=∠PFD=12∠EFD，
∴∠EPQ+∠FPQ=12(∠BEF+∠EFD),
∴∠EPF=90°，
即EG⊥PF．
∵GH⊥EG，
∴PF∥GH．
【点睛】此题考查了平行线的判定和性质，灵活应用平行线的判定和性质是解题解题的关键．
2．（2022春·江苏无锡·七年级校考阶段练习）小明同学在完成七年级下册数学第1章的线上学习后，遇到了一些问题，请你帮他解决一下．
(1)如图1，已知AB∥CD，则∠AEC＝∠BAE＋∠DCE成立吗？请说明理由．
(2)如图2，已知AB∥CD，BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，BE、DE所在直线交于点E，若∠FAD＝50°，∠ABC＝40°，求∠BED的度数．
【答案】(1)成立，理由见详解
(2)45°
【分析】（1）过E点作EN∥AB，根据CD∥AB，可得EN∥CD，根据平行的性质有∠BAE=∠AEN，∠DCE=∠CEN，结合∠AEC=∠AEN+∠CEN，即可证明；
（2）根据CD∥AB，可得∠FAD=∠ADC，根据BE、DE分别平分∠ABC、∠ADC，即可求出∠ABE和∠CDE，再结合（1）的结论即可求解．
（1）成立，理由如下：
过E点作EN∥AB，如图，
∵EN∥AB，CD∥AB，
∴EN∥CD，
∴∠BAE=∠AEN，∠DCE=∠CEN，
∵∠AEC=∠AEN+∠CEN，
∴∠AEC＝∠BAE＋∠DCE，
结论得证；
（2）
∵CD∥AB，
∴∠FAD=∠ADC，
∵BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，
∴∠ABE=12∠ABC，∠CDE=12∠ADC=12∠FAD，
∵∠FAD＝50°，∠ABC＝40°，
∴∠ABE=12∠ABC=20∘，∠CDE=12∠ADC=12∠FAD=25∘，
根据（1）的结论可知：∠BED＝∠ABE＋∠CDE，
∴∠BED＝∠ABE＋∠CDE=20°+25°=45°，
即∠BED的度数为45°．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质、角平分线的性质等知识，构筑辅助线EN是解答本题的关键．
3．（2018春·江苏扬州·七年级扬州市竹西中学阶段练习）问题情境：如图1，AB∥CD，∠PAB＝130°，∠PCD＝120°，求∠APC的度数．小明的思路是：过P作PE∥AB，通过平行线性质来求∠APC．
(1)按小明的思路，易求得∠APC的度数为______度；
(2)问题迁移：如图2，AB∥CD，点P在射线OM上运动，记∠PAB＝α，∠PCD＝β，当点P在B、D两点之间运动时，问∠APC与α、β之间有何数量关系？请说明理由；
(3)在（2）的条件下，如果点P在B、D两点外侧运动时（点P与点O、B、D三点不重合），请直接写出∠APC与α、β之间的数量关系．
【答案】(1)110
(2)∠APC=α+β，理由见解析
(3)当P在BD延长线上时，∠CPA=α-β；当P在DB延长线上时，∠CPA=β-α
【分析】（1）过P作PE∥AB，通过平行线性质求∠APC即可；
（2）过P作PE∥AB交AC于E，推出AB∥PE∥DC，根据平行线的性质得出∠α=∠APE，∠β=∠CPE，即可得出答案；
（3）分两种情况：P在BD延长线上；P在DB延长线上，分别画出图形，根据平行线的性质得出∠α=∠APE，∠β=∠CPE，即可得出答案．
【详解】（1）解：过点P作PE∥AB，
∵AB∥CD，
∴PE∥AB∥CD，
∴∠A+∠APE=180°，∠C+∠CPE=180°，
∵∠PAB=130°，∠PCD=120°，
∴∠APE=50°，∠CPE=60°，
∴∠APC=∠APE+∠CPE=110°．
故答案为：110．
（2）解：∠APC=α+β，
理由：如图2，过P作PE∥AB交AC于E，
∵AB∥CD，
∴AB∥PE∥CD，
∴α=∠APE，β=∠CPE，
∴∠APC=∠APE+∠CPE=α+β；
（3）解分两种情况：当P在BD延长线上时，过P作PE∥AB交AC于E，如图所示，
∵AB∥CD，
∴AB∥PE∥CD，
∴α=∠APE，β=∠CPE，
∴∠CPA=∠APE-∠CPE=α-β，
即∠CPA=α-β；
当P在DB延长线上时，过P作PE∥AB交AC于E，如图所示，
∵AB∥CD，
∴AB∥PE∥CD，
∴α=∠APE，β=∠CPE，
∴∠CPA=∠CPE-∠CPA=β-α，
即∠CPA=β-α．
综上，当P在BD延长线上时，∠CPA=α-β；当P在DB延长线上时，∠CPA=β-α．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质和判定的应用，主要考查学生的推理能力，题目是一道比较典型的题目，解题时注意分类思想的运用．
4．（2022春·江苏盐城·七年级校考期中）图1是苏教版七年级下册数学书封底上的一幅几何图形，本学期同学们已经对这幅图形有了一定认识，小明同学在复习的时候又进行了变式研究，请解决下列问题．
【课本问题】（1）如图1，△ABC中，点D在BC边上，直线DG∥AB交AC于点G，E在AB边上，F在BC边上，∠ADG与∠AEF互补，AD与EF平行吗？为什么？
【变式探究】（2）在（1）的条件下，如图2，AD是△ABC的角平分线，延长CA与FE，交于点H，直线DG与EF的延长线交于点K，∠K=∠H相等吗？为什么？
【答案】（1）AD∥EF，理由见解析；（2）∠K=∠H，理由见解析
【分析】（1）根据平行线的性质可得∠ADG=∠BAD，结合∠ADG与∠AEF互补可得∠BAD+∠AEF=180°，然后根据平行线的判定即可得出AD∥EF；
（2）根据角平分线定义可得∠BAD=∠CAD，根据AD∥EF可得∠DAC=∠H，∠BAD=∠ADG，进而得出∠H=∠ADG，再根据DG∥AB得出∠K=∠ADG，从而得出∠K=∠H．
【详解】解：（1）AD∥EF．
理由：∵DG∥AB，
∴∠ADG=∠BAD，
∵∠ADG与∠AEF互补，
∴∠ADG+∠AEF=180°，
∴∠BAD+∠AEF=180°，
∴AD∥EF；
（2）∠K=∠H．
理由：∵AD是△ABC的角平分线，
∴∠BAD=∠CAD，
∵AD∥EF，
∴∠DAC=∠H，∠BAD=∠ADG，
∴∠H=∠ADG，
∵DG∥AB，
∴∠K=∠ADG，
∴∠K=∠H．
【点睛】本题考查了平行线的判定与性质，角平分线的定义等知识，掌握平行线的判定与性质是解题的关键．
5．（2022春·江苏无锡·七年级校考阶段练习）长江汛期即将来临，防汛指挥部在一危险地带两岸各安置了一探照灯，便于夜间查看江水及两岸河堤的情况．如图，灯A射线自AM顺时针旋转至AN便立即回转，灯B射线自BP顺时针旋转至BQ便立即回转，两灯不停交叉照射巡视．若灯A转动的速度是a°/秒，灯B转动的速度是b°/秒，且a、b满足|a−3b|+(a−3)2=0．假定这一带长江两岸河堤是平行的，即PQ∥MN，且∠BAN=45°．
(1)求a、b的值；
(2)若灯B射线先转动20秒，灯A射线才开始转动，在灯B射线到达BQ之前，A灯转动几秒，两灯的光束互相平行？
(3)如图，两灯同时转动，在灯A射线到达AN之前．若射出的光束交于点C，过C作CD⊥AC交PQ于点D，则在转动过程中，∠BAC与∠BCD的数量关系是否发生变化？若不变，请求出其数量关系；若改变，请求出其取值范围．
【答案】(1)a=3，b=1
(2)t=10或t=85
(3)2∠BAC=3∠BCD
【分析】（1）根据|a−3b|+(a−3)2=0，得a−3b=0，a−3=0，即可求出a，b的值；
（2）设t秒后，两束灯光平行，①当灯A射线转到AN之前；②当灯A射线转到AN之后；根据平行线的性质，即可求出两束灯光互相平行的时间；
（3）设灯A射线转动的时间为t秒，得∠CBD=t，∠CAN=180°−3t，根据∠BAN=45°，得∠BAC=∠BAN−∠CAN=45°−(180°−3t)；过点C作HG∥QP，根据平行线的性质，得∠BCA=∠CAN+∠CBD；根据∠ACD=90°，得∠BCD=∠ACD−∠BCA，即可得到∠BAC和∠BCD的数量关系．
（1）解：∵|a−3b|+(a−3)2=0
∴|a−3b|≥0，(a−3)2≥0
∴a−3b=0，a−3=0
∴a=3，b=1
（2）
解：设t秒后，两束灯光平行
①当灯A射线转到AN之前
∴3t=(20+t)×1
解得t=10
②当灯A射线转到AN之后
∴3t−3×60+(20+t)×1=180°
解得t=85
∴当t=10或t=85秒后，两束灯光互相平行．
（3）
解：设灯A射线转动的时间为t秒
∴∠CBD=t，∠CAN=180°−3t
∵∠BAN=45°
∴∠BAC=∠BAN−∠CAN=45°−(180°−3t)
∴∠BAC=3t−135°
过点C作HG∥QP
∴HG∥QP∥MN
∴∠HCB=∠CBD，∠HCA=∠CAN
∴∠BCA=∠CBD+∠CAN
∴∠BCA=t+(180°−3t)=180°−2t
又∵∠ACD=90°
∴∠BCD=90°−∠BCA
∴∠BCD=90°−(180°−2t)=2t−90°
∴∠BAC∶∠BCD=(3t−135°)∶2t−90°
∴∠BAC∶∠BCD=3(t−45°)∶2(t−45°)
∠BAC∶∠BCD=3∶2
∴2∠BAC=3∠BCD．
【点睛】本题考查了非负数的性质，平行线的性质等知识，解题的关键是掌握：任何一个数的绝对值是非负数，a2≥0；平行线的性质．
6．（2022春·江苏盐城·七年级校考阶段练习）（1）（问题）如图1，若AB∥CD，∠AEP＝40°，∠PFD＝120°，求∠EPF的度数．
（2）（问题迁移）如图2，AB∥CD，点P在AB的上方，问∠PEA，∠PFC，∠EPF之间有何数量关系？请说明理由；
（3）（联想拓展）如图3所示，在（2）的条件下，已知∠EPF＝50°，∠PFC＝120°，∠PEA的平分线和∠PFC的平分线交于点G，直接写出∠G的度数．
【答案】（1）100°；（2）∠PFC＝∠PEA＋∠EPF；（3）25°
【分析】（1）如图，过点P作PN∥AB，根据平行线的性质与判定可求解；
（2）过P点作PN∥AB，则PN∥CD，可得∠FPN＝∠PEA＋∠FPE，进而可得∠PFC＝∠PEA＋∠FPE，即可求解；
（3）过点G作AB的平行线，利用平行线的性质解答即可．
【详解】解：（1）解：如图，过点P作PN∥AB，
∴∠1＝∠AEP，
∵∠AEP＝40°，
∴∠1＝40°，
∵AB∥CD，
∴PN∥CD，
∴∠2＋∠PFD＝180°，
∵∠PFD＝120°，
∴∠2＝180°−120°＝60°．
∴∠1＋∠2＝40°＋60°＝100°，
即∠EPF＝100°；
（2）∠PFC＝∠PEA＋∠EPF，理由如下：
如图，过P点作PN∥AB，则PN∥CD，
∴∠PEA＝∠NPE，
∵∠FPN＝∠NPE＋∠EPF，
∴∠FPN＝∠PEA＋∠EPF，
∵PN∥CD，
∴∠FPN＝∠PFC，
∴∠PFC＝∠PEA＋∠EPF；
（3）如图，过点G作AB的平行线GH．
∵GH∥AB，AB∥CD，
∴GH∥AB∥CD，
∴∠HGE＝∠AEG，∠HGF＝∠CFG，
又∵∠PEA的平分线和∠PFC的平分线交于点G，
∴∠HGE＝∠AEG＝12∠AEP，∠HGF＝∠CFG＝12∠PFC，
由（2）可知，∠PFC＝∠EPF＋∠AEP，
∴∠HGF＝12（∠EPF＋∠AEP），
∴∠EGF＝∠HGF−∠HGE＝12（∠EPF＋∠AEP）−12∠AEP＝12∠EPF，
∵∠EPF＝50°，
∴∠EGF＝25°．
【点睛】本题主要考查平行线的性质与判定，角平分线的定义，灵活运用平行线的性质与判定是解题的关键．
7．（2022春·江苏苏州·七年级校考阶段练习）已知AB∥CD，点E在AB与CD之间．
(1)图1中，试说明：∠BED＝∠ABE+∠CDE；
(2)图2中，∠ABE的平分线与∠CDE的平分线相交于点F，请利用（1）的结论说明：∠BED＝2∠BFD．
(3)图3中，∠ABE的平分线与∠CDE的平分线相交于点F，请直接写出∠BED与∠BFD之间的数量关系．
【答案】(1)∠BED=∠ABE+∠CDE
(2)∠BED=2∠BFD
(3)∠BED=360°-2∠BFD
【分析】（1）图1中，过点E作EG∥AB，则∠BEG=∠ABE，根据AB∥CD，EG∥AB，所以CD∥EG，所以∠DEG=∠CDE，进而可得∠BED=∠ABE+∠CDE；
（2）图2中，根据∠ABE的平分线与∠CDE的平分线相交于点F，结合（1）的结论即可说明：∠BED=2∠BFD；
（3）图3中，根据∠ABE的平分线与∠CDE的平分线相交于点F，过点E作EG∥AB，则∠BEG+∠ABE=180°，因为AB∥CD，EG∥AB，所以CD∥EG，所以∠DEG+∠CDE=180°，再结合（1）的结论即可说明∠BED与∠BFD之间的数量关系．
（1）
解：如图1中，过点E作EG∥AB，
则∠BEG=∠ABE，
因为AB∥CD，EG∥AB，
所以CD∥EG，
所以∠DEG=∠CDE，
所以∠BEG+∠DEG=∠ABE+∠CDE，
即∠BED=∠ABE+∠CDE；
（2）
解：图2中，因为BF平分∠ABE，
所以∠ABE=2∠ABF，
因为DF平分∠CDE，
所以∠CDE=2∠CDF，
所以∠ABE+∠CDE=2∠ABF+2∠CDF=2(∠ABF+∠CDF)，
由（1）得：因为AB∥CD，
所以∠BED=∠ABE+∠CDE，
∠BFD=∠ABF+∠CDF，
所以∠BED=2∠BFD．
（3）
解：∠BED=360°-2∠BFD．
图3中，过点E作EG∥AB，
则∠BEG+∠ABE=180°，
因为AB∥CD，EG∥AB，
所以CD∥EG，
所以∠DEG+∠CDE=180°，
所以∠BEG+∠DEG=360°-(∠ABE+∠CDE），
即∠BED=360°-(∠ABE+∠CDE)，
因为BF平分∠ABE，
所以∠ABE=2∠ABF，
因为DF平分∠CDE，
所以∠CDE=2∠CDF，
∠BED=360°-2(∠ABF+∠CDF)，
由（1）得：因为AB∥CD，
所以∠BFD=∠ABF+∠CDF，
所以∠BED=360°-2∠BFD．
【点睛】本题考查了平行线的性质，平行公理的推论，解决本题的关键是掌握平行线的性质．
8．（2022春·江苏镇江·七年级统考期中）如图，∠1=∠2，∠DEH+∠EHG=180°，∠C=∠A
(1)试说明：∠AEH=∠F；
(2)若∠B=40°，∠F=25°，则∠DEF=________．
【答案】(1)见解析
(2)85°
【分析】（1）根据平行线的判定和性质定理即可得到结论；
（2）由平行线的性质及平角的定义可求解∠2的度数，再利用三角形的内角和定理可求解．
（1）
解：∵∠DEH+∠EHG=180°
∴DE∥AC
∴∠1=∠C，∠2=∠DGC
∵∠C=∠A，∠1=∠2
∴∠A=∠DGC
∴AB∥DF
∴∠AEH=∠F
（2）
解：∵AB∥DF，
∴∠CDF=∠B=40°，
∵∠1+∠2+∠CDF=180°，∠1=∠2，
∴∠1=∠2=70°，
∵∠F=25°，∠F+∠2+∠DEF=180°，
∴∠DEF=180°-25°-70°=85°．
故答案为：85°．
【点睛】本题考查了平行线的判定和性质，三角形的内角和定理，熟练掌握平行线的判定和性质是解题的关键．
9．（2022春·江苏宿迁·七年级统考期中）已知直线AB∥CD ，EF是截线，点M在直线AB、CD之间．
(1)如图，连接GM，HM．求证：∠M=∠AGM+∠CHM；
(2)如图2，在∠GHC的角平分线上取两点M、Q，使得∠AGM=∠HGQ．请直接写出∠M与∠GQH之间的数量关系；
(3)如图3，若射线GH平分∠BGM，点N在MH的延长线上，连接GN，若∠AGM=∠N，∠M=∠N+12∠FGN，求∠MHG的度数．
【答案】(1)详见解析
(2)∠M＋∠HQG＝180°
(3)60°
【分析】（1）如图1，过点M作MR∥AB，可得CD∥MR∥AB．进而可以证明；
（2）根据角平分线的定义得到∠CHM=∠MHG，由（1）知∠M=∠AGM+∠MHC，等量代换得到∠M=∠MQG，根据平角的定义即可得到结论；
（3）如图3，令∠AGM=2α，∠CHM=β，则∠N=2α，∠M=2α+β，过点H作HT∥GN，可得∠MHT=∠N=2α，∠GHT=∠FGN=2β，进而可得结论．
（1）
如图1，过点M作MR∥AB，
又∵AB∥CD，
∴CD∥MR∥AB．
∴∠GMR＝∠AGM，∠HMR＝∠CHM．
∴∠GMH＝∠GMR＋∠RMH＝∠AGM＋∠CHM．
（2）
∠M＋∠HQG＝180°，
理由：∵MH是∠CHG的平分线，
∴∠CHM＝∠MHG，
由（1）知∠M＝∠AGM＋∠MHC，
∵∠MQG＝∠HGQ＋∠MHG，∠AGM＝∠HGQ，
∴∠M＝∠MQG，
∵∠MQG＋∠HQG＝180°，
∴∠M＋∠HQG＝180°．
（3）
如图3，令∠AGM＝2α，∠CHM＝β，则∠N＝2α，∠M＝2α＋β，
∵射线GH是∠BGM的平分线，
∴∠FGM＝12∠BGM＝12（180°－∠AGM）＝90°－α，
∴∠AGH＝∠AGM＋∠FGM＝2α＋90°－α＝90°＋α，
∵∠M＝∠N＋12∠FGN，
∴2α＋β＝2α＋12∠FGN，
∴∠FGN＝2β，
过点H作HT∥GN，
则∠MHT＝∠N＝2α，∠GHT＝∠FGN＝2β，
∴∠GHM＝∠MHT＋∠GHT＝2α＋2β，
∠CHG＝∠CHM＋∠MHT＋∠GHT＝β＋2α＋2β＝2α＋3β，
∵AB∥CD，
∴∠AGH＋∠CHG＝180°，
∴90°＋α＋2α＋3β＝180°，
∴α＋β＝30°，
∴∠GHM＝2（α＋β）＝60°．
【点睛】本题考查了平行线的判定与性质，解决本题的关键是掌握平行线的判定与性质．
10．（2020春·江苏南京·七年级校考期中）已知的三角形的三个内角的度数和是180°，如图是两个三角板不同位置的摆放，其中∠ACB=∠CDE=90°，∠BAC=60°，∠DEC=45°．
(1)当AB∥DC时，如图①，求∠DCB的度数．
(2)当CD与CB重合时，如图②，判断DE与AC的位置关系，并说明理由．
(3)如图③，当∠DCB等于______度时，AB∥EC．（直接写出答案）
【答案】(1)30°
(2)DE∥AC
(3)15
【分析】（1）根据AB∥DC，运用平行线的性质，求得∠DCB的度数；
（2）根据∠ABE+∠BAC=180°，运用平行线的判定，得出DE∥AC；
（3）根据AB∥CE，求得∠ECB=30°，再根据∠DCE=45°，求得∠DCB的度数．
【详解】（1）解：∵∠ACB=90°，∠BAC=60°，
∴∠B=180°-90°-60°=30°，
∵AB∥DC，
∴∠DCB=∠B=30°；
（2）解：DE∥AC．
当CD与CB重合时，∠CDA=∠CBA=30°，
∴∠ADE=∠CDE+∠CDA=90°+30°=120°，
∵∠BAC=60°，
∴∠ABE+∠BAC=180°，
∴DE∥AC；
（3）解：当AB∥CE时，∠B=∠ECB=30°，
又∵∠DCE=45°，
∴∠DCB=45°-30°=15°．
故答案为：15．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质与判定，解题时注意：平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系，平行线的性质是由平行关系来得出角的数量关系．
11．（2022春·江苏扬州·七年级校考阶段练习）已知，直线AB∥DC，点P为平面上一点，连接AP与CP．
(1)如图1，点P在直线AB、CD之间，当∠BAP＝60°，∠DCP＝20°时，求∠APC．
(2)如图2，点P在直线AB、CD之间，∠BAP与∠DCP的角平分线相交于点K，写出∠AKC与∠APC之间的数量关系，并说明理由．
(3)如图3，点P落在CD外，∠BAP与∠DCP的角平分线相交于点K，∠AKC与∠APC有何数量关系？并说明理由．
【答案】(1)∠APC=80°；
(2)∠AKC=12∠APC，理由见解析
(3)∠AKC=12∠APC，理由见解析
【分析】（1）先过P作PE∥AB，根据平行线的性质即可得到∠APE=∠BAP，∠CPE=∠DCP，再根据∠APC=∠APE+∠CPE=∠BAP+∠DCP进行计算即可；
（2）过K作KE∥AB，根据KE∥AB∥CD，可得∠AKE=∠BAK，∠CKE=∠DCK，进而得到∠AKC=∠AKE+∠CKE=∠BAK+∠DCK，同理可得，∠APC=∠BAP+∠DCP，再根据角平分线的定义，得出∠BAK+∠DCK=12∠BAP+12∠DCP=12（∠BAP+∠DCP）=12∠APC，进而得到∠AKC=12∠APC；
（3）过K作KE∥AB，根据KE∥AB∥CD，可得∠BAK=∠AKE，∠DCK=∠CKE，进而得到∠AKC=∠AKE-∠CKE=∠BAK-∠DCK，同理可得，∠APC=∠BAP-∠DCP，再根据角平分线的定义，得出∠BAK-∠DCK=12∠BAP-12∠DCP=12（∠BAP-∠DCP）=12∠APC，进而得到∠AKC=12∠APC．
（1）
解：如图1，过P作PE∥AB，
∵AB∥CD，
∴PE∥AB∥CD，
∴∠APE=∠BAP，∠CPE=∠DCP，
∴∠APC=∠APE+∠CPE=∠BAP+∠DCP=60°+20°=80°；
（2）
解：∠AKC=12∠APC．
理由：如图2，过K作KE∥AB，
∵AB∥CD，
∴KE∥AB∥CD，
∴∠AKE=∠BAK，∠CKE=∠DCK，
∴∠AKC=∠AKE+∠CKE=∠BAK+∠DCK，
过P作PF∥AB，
同理可得，∠APC=∠BAP+∠DCP，
∵∠BAP与∠DCP的角平分线相交于点K，
∴∠BAK+∠DCK=12∠BAP+12∠DCP=12（∠BAP+∠DCP）=12∠APC，
∴∠AKC=12∠APC；
（3）
解：∠AKC=12∠APC．
理由：如图3，过K作KE∥AB，
∵AB∥CD，
∴KE∥AB∥CD，
∴∠BAK=∠AKE，∠DCK=∠CKE，
∴∠AKC=∠AKE-∠CKE=∠BAK-∠DCK，
过P作PF∥AB，
同理可得，∠APC=∠BAP-∠DCP，
∵∠BAP与∠DCP的角平分线相交于点K，
∴∠BAK-∠DCK=12∠BAP-12∠DCP=12（∠BAP-∠DCP）=12∠APC，
∴∠AKC=12∠APC．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质以及角平分线的定义的运用，解决问题的关键是作平行线构造内错角，依据两直线平行，内错角相等进行计算．
12．（2022春·江苏南通·七年级统考期末）如图，△ABC中，∠ACB=90°，BD平分∠ABC交△ABC的边AC于点D，E为直线AC上一点，过点E向直线AC的右边作射线EF，使EF∥BC，作∠CEF的平分线EG交射线BD于点G．
(1)如图1，∠ABC=40°，点E与点A重合，求∠G的度数；
(2)若∠ABC=α，
①如图2，点E在DC的延长线上，求∠G的度数（用含有α的式子表示）；
②点E在直线AC上滑动，当存在∠G时，其度数是否发生变化？若不变，请说明理由；若变化，请直接用含α的式子表示∠G的度数．
【答案】(1)65°
(2)①45°−12α；②变化，45°−12α或45°+12α
【分析】(1)过G作GM∥BC交AB于点M，根据平行线的性质及角平分线的定义，可得∠MGB=∠GBC=12∠ABC=20°，∠EGM=∠FEG=12∠CEF=45°，据此即可求得；
(2)①过G作GM∥BC交AB于点M，根据平行线的性质及角平分线的定义，可得∠MGB=∠GBC=12∠ABC=12α，∠EGM=∠FEG=12∠CEF=45°，据此即可求得；②根据(1)和①即可解答．
(1)
解：如图1，过G作GM∥BC交AB于点M．
∵EF∥BC，
∴EF∥BC∥GM，
∴∠EGM=∠FEG，∠MGB=∠GBC．
∵BD平分∠ABC，∠ABC=40°，
∴∠GBC=12∠ABC=12×40°=20°．
∵EF∥BC，
∴∠CEF=∠ACB=90°．
∵EG平分∠CEF，
∴∠FEG=12∠CEF=12×90°=45°．
∴∠AGB=∠EGM+∠MGB=∠FEG+∠GBC=65°．
(2)
解：①如图2，过G作GM∥BC交AB于点M．
∵EF∥BC，
∴EF∥BC∥GM．
∵BD平∠ABC，EG平分∠CEF，
∴∠GBC=12∠ABC=12a ，∠FEG=12∠CEF=12×90°=45°．
∴∠BGE=∠MGE−∠MGB=∠FEG−∠GBC=45°−12α．
②变化；
当点E在点D的上方时，方法同(1)可得，∠G=45°+12α，
当点E在点D的下方时，方法同①可得，∠G=45°−12α，
故当存在∠G时，其度数发生变化，度数为45°−12α或45°+12α．
【点睛】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，作出辅助线和采用分类讨论的思想是解决本题的关键．
13．（2022春·江苏南京·七年级统考期末）（1）如图1，AC平分∠DAB，∠1=∠2，试说明AB与CD的位置关系，并予以证明；
（2）如图2，在（1）的结论下，AB的下方点Р满足∠ABP=38°，G是CD上任一点，PO平分∠BPG，PQ∥GN，GM平分∠DGP，下列结论：①∠DGP−∠MGN的值不变；②∠MGN的度数不变．可以证明，只有一个是正确的，请你作出正确的选择并求值．
【答案】（1）AB∥CD，证明见解析；（2）②正确，19°
【分析】（1）由AC平分ÐDAB，Ð1=Ð2，可得∠2=∠BAC,进而即可得到结论；
（2）由角平分线的定义和三角形外角的性质，可得∠MGP=12（∠BPG+∠B），由PQ∥GN，得∠NGP=∠GPQ=12∠BPG，进而由∠MGN=∠MGP-∠NGP，即可得到结论．
【详解】解：（1）AB∥CD．
理由如下：∵AC平分∠DAB，
∴∠1=∠BAC．
∵∠1=∠2，
∴∠BAC=∠2，
∴AB∥CD；
（2）②正确
如图，根据三角形的外角性质，∠1=∠BPG+∠B，
∵PQ平分∠BPG，GM平分∠DGP，
∴∠GPQ=12∠BPG，∠MGP=12∠DGP．
∵AB∥CD，
∴∠1=∠DGP，
∴∠MGP=12∠BPG+∠B．
∵PQ∥GN，
∴∠NGP=∠GPQ=12∠BPG，
∴∠MGN=∠MGP−∠NGP=12∠BPG+∠B−12∠BPG=12∠B=12×38°=19°，
∴②∠MGN的度数不变．
【点睛】本题主要考查角平分线的性质定理与平行线的性质和判定定理，理清角的和差倍分关系，是解题的关键．
14．（2022春·江苏常州·七年级统考期末）去年汛期期间，防汛指挥部在某重要河流的一段危险地带两岸各安置了一探照灯，便于夜间查看河水及两岸河堤的情况．如图1，灯A射线自AM顺时针旋转至AN便立即回转，灯B射线自BP顺时针旋转至BQ便立即回转，两灯不停交叉照射巡视．若灯A转动的速度是15度/秒，灯B转动的速度是5度/秒．假定这一带两岸河堤是平行的，即PQ∥MN，且∠BAN=45°．
(1)若灯B射线先转动4秒，灯A射线才开始转动，在灯B射线到达BQ之前，A灯转动几秒，两灯的光束互相平行？
(2)如图2，两灯同时转动，在灯A射线到达AN之前．若灯A射出的光束与灯B射出的光束交于点C，过C作CD⊥AC交PQ于点D，则在转动过程中，∠BAC与∠BCD的数量关系是否发生变化？若不变，请直接写出其数量关系；若改变，请说明理由．
【答案】(1)2秒或17秒
(2)不变，2∠BAC=3∠BCD
【分析】（1）设A灯转动x秒时两灯的光束互相平行，分两种情况进行讨论：①在灯A射线转到AN之前；②在灯A射线转到AN之后．分别求得x的值即可．
（2）设灯A转动的时间为x秒，根据角的和差关系分别用含x的代数式表示出∠BAC和∠BCD，即可得到两角的数量关系．
(1)
设A灯转动x秒时两灯的光束互相平行，
①当0＜x＜12时，
15x＝(x＋4)×5，
解得x＝2；
②12＜x＜24时，
180−15(x−12)＝(4＋x)×5，
解得x＝17；
③24＜x＜32时，
15(x−24)＝(4＋x)×5，
解得x＝38，
38＞32，不符合题意，舍去．
综上所述，当A灯转动2秒或17秒时两灯的光束互相平行．
(2)
设灯A转动的时间为x秒，
则∠MAC＝15x，∠PBC＝5x．
∴∠CAN＝180°−15x，
∴∠BAC＝45°−（180°−15x）＝15x−135°，
∵PQ∥MN，
∴∠BCA＝∠PBC＋∠CAN＝180°−10x．
∵∠ACD＝90°，
∴∠BCD＝90°−∠BCA＝10x−90°＝10（x−9°），
∵∠BAC＝15x−135°＝15（x−9°），
∴∠BAC：∠BCD＝3：2，
即2∠BAC＝3∠BCD．
【点睛】本题考查了平行线的性质及角的和差关系，分类讨论是解题的关键．
15．（2022春·江苏盐城·七年级景山中学校考期中）如图：已知，∠HCO＝∠EBC，∠BHC+∠BEF＝180°．
(1)求证：EF∥BH；
(2)若BH平分∠EBO，EF⊥AO于F，∠HCO＝64°，求∠CHO的度数．
【答案】(1)见解析
(2)58°
【分析】（1）要证明EF//BH，可通过∠E与∠EBH互补求得，利用平行线的性质说明∠EBH=∠CHB可得结论；
（2）要求∠CHO的度数，可通过平角和∠FHC求得，利用（1）的结论及角平分线的性质求出∠FHB及∠BHC的度数即可．
【详解】（1）证明：∵∠HCO=∠EBC，
∴EB//HC，
∴∠EBH=∠CHB．
∵∠BHC+∠BEF=180°，
∴∠EBH+∠BEF=180°．
∴EF//BH；
（2）解：∵∠HCO=∠EBC，
∴∠HCO=∠EBC=64°，
∵BH平分∠EBC，
∴∠EBH=∠CHB=12∠EBC=32°．
∵EF⊥AO，EF//BH，
∴∠BHA=90°，
∴∠FHC=∠BHA+∠CHB=122°．
∴∠CHO=180°−∠FHC=180°−122°=58°．
【点睛】本题考查了平行线的性质和判定、角平分线的性质等知识点，理解题意学会分析是解决此类问题的关键．
16．（2022春·江苏南京·七年级南京外国语学校校考期中）对于平面内的∠M和∠N，若存在一个常数k>0，使得∠M+k∠N=360°，则称∠N为∠M的k系补周角，若∠M=90°,∠N=45°，则∠N为∠M的6系补周角．
(1)若∠H=80°，则∠H的4系补周角的度数为__________°．
(2)在平面内AB∥CD，点E是平面内一点，连接BE、DE．
①如图1，∠D=60°，若∠B是∠E的3系补周角，求∠B的度数．
②如图2，∠ABE和∠CDE均为钝角，点F在点E的右侧，且满足∠ABF=n∠ABE，∠CDF=n∠CDE（其中n为常数且n>1），点P是∠ABE角平分线BG上的一个动点，在P点运动过程中，请你确定一个点P的位置，使得∠BPD是∠F的k系补周角，写出你的解题思路并求出此时的k值（用含n的式子表示）．
【答案】(1)70°
(2)①75°；②当BG上的动点P为∠CDE的角平分线与BG的交点时，满足∠BPD是∠F的k系补周角，此时k=2n
【分析】（1）根据题中新定义列出方程求解，即可得出答案．
（2）①过点E作EF∥AB，得∠B+∠D=∠BED，由∠D=60°，∠B是∠E的3系补周角，列出∠B的方程，即可求出∠B的度数．
②根据k系补周角的定义先确定点P的位置，再结合∠ABF=n∠ABE，∠CDF=n∠CDE求解与n的关系即可求解．
（1）
解：设∠H的4系补周角为x，根据题意，
有80＋4x＝360
解得x＝70°．
故答案为：70°．
（2）
①解：如图，过点E作EF∥AB，
∴∠B=∠BEF，
∵AB∥CD,EF∥AB
∴EF∥CD，
∵∠D=60°，
∴∠D=∠DEF=60°，
∵∠B+60°=∠BEF+∠DEF，
即∠B+60°=∠BED
∵∠B是∠BED的3系补周角，
∴∠BED+3∠B=360°，
∴∠B+60°+3∠B=360°，
∴∠B=75°．
②解：当BG上的动点P为∠CDE的角平分线与BG的交点时，满足∠BPD是∠F的k系补周角，此时k=2n．
若∠BPD是∠F的k系补周角，
则∠F＋k∠BPD=360°，
∴k∠BPD=360°－∠F，
由图可知∠ABF+∠CDF+∠F=360°，即∠ABF+∠CDF=360°−∠F，
∴k∠BPD＝∠ABF+∠CDF，
又∵∠ABF=n∠ABE，∠CDF=n∠CDE，
∴k∠BPD＝n∠ABE＋n∠CDE，
∵∠BPD＝∠PHD＋∠PDH，AB∥CD，PG平分∠ABE，PD平分∠CDE，
∴∠PHD＝∠ABH＝12 ∠ABE，∠PDH＝12 ∠CDE，
∴k2＝∠ABE+∠CDE＝n∠ABE+∠CDE
∴k=2n．
【点睛】本题主要考查平行线的性质与判定、角平分线的定义，理解题意是解题的关键．
17．（2022春·江苏常州·七年级统考期中）问题情境：如图①，直线AB∥CD，点E，F分别在直线AB，CD上．
(1)猜想：若∠1=130°，∠2=150°，试猜想∠P=______°；
(2)探究：在图①中探究∠1，∠2，∠P之间的数量关系，并证明你的结论；
(3)拓展：将图①变为图②，若∠1+∠2=325°，∠EPG=75°，求∠PGF的度数．
【答案】(1)80°
(2)∠P=360°−∠1−∠2；证明见详解
(3)140°
【分析】（1）过点P作MN∥AB，利用平行的性质就可以求角度，解决此问；
（2）利用平行线的性质求位置角的数量关系，就可以解决此问；
（3）分别过点P、点G作MN∥AB、KR∥AB，然后利用平行线的性质求位置角的数量关系即可．
（1）
解：如图过点P作MN∥AB，
∵AB∥CD，
∴AB∥MN∥CD．
∴∠1+∠EPN=180°，
∠2+∠FPN=180°．
∵∠1=130°，∠2=150°，
∴∠1+∠2+∠EPN+∠FPN=360°
∴∠EPN+FPN=360°−130°−150°=80°．
∵∠P=∠EPN+∠FPN，
∴∠P=80°．
故答案为：80°；
（2）
解：∠P=360°−∠1−∠2，理由如下：
如图过点P作MN∥AB，
∵AB∥CD，
∴AB∥MN∥CD．
∴∠1+∠EPN=180°，
∠2+∠FPN=180°．
∴∠1+∠2+∠EPN+∠FPN=360°
∵∠EPN+∠FPN=∠P，
∠P=360°−∠1−∠2．
（3）
如图分别过点P、点G作MN∥AB、KR∥AB
∵AB∥CD，
∴AB∥MN∥KR∥CD．
∴∠1+∠EPN=180°，
∠NPG+∠PGR=180°，
∠RGF+∠2=180°．
∴∠1+∠EPN+∠NPG+∠PGR+RGF+∠2=540°
∵∠EPG=∠EPN+∠NPG=75°，
∠PGR+∠RGF=∠PGF，
∠1+∠2=325°，
∴∠PGF+∠1+∠2+∠EPG=540°
∴∠PGF=540°−325°−75°=140°
故答案为：140°．
【点睛】本题考查了平行线的性质定理，准确的作出辅助线和正确的计算是解决本题的关键．
18．（2022·江苏·七年级假期作业）如图，已知MN∥PQ，点A是直线MN上一个定点，点B在直线PQ上运动，设∠ABQ=α，在射线AM上取一点C，作∠ACD＝52°，CD交PQ于D．
(1)如图1，当∠BAN=108°+α时，α=______°；
(2)作∠ABQ的平分线BE，若BE⊥CD，垂足为E，如图2，求α的值；
(3)作∠ACD的角平分线CF，若CF与AB相交，当CF与AB的夹角是60°时，直接写出α的值：______
【答案】(1)36
(2)76°
(3)94°
【分析】（1）根据平行线的性质及邻补角定义求解即可；
（2）根据平行线的性质及角平分线定义求解即可；
（3）根据平行线的性质、三角形内角和及角平分线定义求解即可．
（1）
解：∵MN∥PQ，
∴∠MAB=∠ABQ=α，
∵∠MAB+∠BAN=180°，
∴∠BAN=180°-α，
∵∠BAN=108°+α，
∴α=36°，
故答案为：36；
（2）
解∶ ∵MN∥PQ，
∴∠CDB=∠ACD=52°，
∵BE⊥CD，
∴∠BED=90°，
∴∠EBD=90°-∠CDB=38°，
∵BE是∠ABQ的平分线，
∴∠ABQ=2∠EBD=76°，
即α=76°；
（3）
如图，作∠ACD的角平分线CF，CF与AB相交于点G，∠AGC=60°，
∵∠ACD=52°，CF为∠ACD的角平分线，
∴∠ACG=12∠ACD=26°，
∵MN∥PQ，
∴∠GFB=∠ACG=26°，
∵∠FGB=∠AGC=60°，
∴∠GBF=180°-∠FGB-∠GFB=180°-60°-26°=94°，
即∠ABQ=94°，
∴α=94°，
故答案为：94°．
【点睛】此题考查了平行线的性质，角平分线的定义等知识，熟记平行线的性质定理是解题的关键．
19．（2022春·江苏宿迁·七年级统考期中）【数学抽象】实验证明：平面镜反射光线的规律是射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的锐角相等，如图①，一束光线m射到平面镜a上，被a反射后的光线为n，则入射光线m，反射光线n与平面镜a所夹的锐角相等，即∠1=∠2．
(1)利用这个规律人们制作了潜望镜，图②是潜望镜工作原理示意图，AB、CD是平行放置的两面平面镜，请解释进入潜望镜的光线m为什么和离开潜望镜的光线n是平行的？
(2)如图③，改变两平面镜之间的位置关系，经过两次反射后，入射光线m与反射光线n之间的位置关系会随之改变．若入射光线m与反射光线n平行但方向相反，则两平面镜的夹角∠ABC为多少度？
【答案】(1)见解析；
(2)90°
【分析】（1）根据平行线的性质及等量代换、平角的概念即可得证；
（2）根据平行线的性质、平角的概念及等量代换即可求得答案．
(1)
证明：由题可知AB//CD，∠1=∠2，∠3=∠4，
∵AB//CD，
∴∠2=∠3，
∴∠1=∠2= ∠3=∠4，
∵∠5=180°−∠1−∠2，∠6=180°−∠3−∠4，
∴∠5=∠6，
∴m//n；
(2)
∠ABC=90°，
由题可知AD//CE，∠1=∠2，∠3=∠4，
∵AD//CE，
∴∠DAC+∠ACE=180°，
又∵∠1+∠2+∠DAC=180°，∠3+∠4+∠ACE=180°，
∴∠2+∠3=90°，
∴∠B=90°.
【点睛】本题考查了平行线的性质、平角的概念，能够将实际问题转化为我们所学的数学知识是解题的关键．
20．（黑龙江省哈尔滨市南岗区虹桥中学2021-2022学年七年级上学期期中数学素养测试题）已知，∠ATM+∠DRN=180°．
(1)如图1，求证AB∥CD：
(2)如图2，点E位平面内一点，连接BE、CE，求证：∠E=∠C+∠B；
(3)如图3，在（2）的条件下，过点E作线段EF，连接BF，且∠EBF=∠F，∠ABF=45°，过点B作BG∥EF交CE于点G，若∠BEC=2∠ABE，EH=4，EF−BG=2，且△BEF的面积为36时，求线段EF的长．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)EF=10
【分析】（1）根据同角的补角相等，得出∠ATR=∠DRN，再根据平行线的判定即可得出答案；
（2）过点E作EF∥AB，根据AB∥CD得出AB∥EF∥CD，根据平行线的性质得出∠B=∠BEF，∠C=∠CEF，即可得出答案；
（3）先根据三角形内角和定理及已知角度之间的关系，得出∠FEH=90°，再根据平行线的性质得出∠BGH=∠FBH=90°，从而得出BG⊥EC，EF⊥EC，根据三角形的面积公式得出BG+EF=18，结合已知条件EF−BG=2，即可求出结果．
【详解】（1）证明：∵∠ATM+∠DRN=180°，∠ATM+∠ATR=180°，
∴∠ATR=∠DRN，
∴AB∥CD．
（2）证明：过点E作EF∥AB，如图所示：
∵AB∥CD，
∴AB∥EF∥CD，
∴∠B=∠BEF，∠C=∠CEF，
∴∠BEC=∠BEF+∠CEF=∠B+∠C．
（3）解：∵∠BEF+∠EFB+∠EBF=180°，
∴∠FEH+∠HEB+∠EFB+∠EBF=180°，
∵∠EFB=∠EBF，∠BEH=2∠ABE，
∴∠FEH+2∠ABE+2∠EBF=180°，
即∠FEH=180°−2∠ABE+∠EBF，
∵∠ABE+∠EBH=∠ABF=45°，
∴∠FEH=180°−2×45°=90°，
∵BG∥EF，
∴∠BGH=∠FBH=90°，
∴BG⊥EC，EF⊥EC，
∴S△BEF=S△BEH+S△FEH
=12EH⋅BG+12EH⋅EF
=12EHBG+EF
=2BG+EF，
∵△BEF的面积为36，
∴36=2BG+EF，
∴BG+EF=18①，
∵EF−BG=2②，
①+②得：2EF=20，
∴EF=10．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质和判定，平行公理，三角形内角和定理的应用，补角的性质，解题的关键是作出辅助线，证明BG⊥EC，EF⊥EC．
21．（重庆市铜梁区铜梁区巴川初级中学校2021-2022学年七年级下学期9月月考数学试题）课题学习：平行线的“等角转化”功能．
(1)阅读理解：如图1，已知点A是BC外一点，连接AB、AC，求∠B+∠BAC+∠C的度数．阅读并补充下面推理过程．
解：过点A作ED∥BC，
∴ ∠B= ，∠C ，
∵ ∠EAB+∠BAC+∠DAC=180°，
∴ ∠B+∠BAC+∠C=180°．
解题反思：从上面的推理过程中，我们发现平行线具有“等角转化”的功能，将∠BAC、∠B、∠C“凑”在一起，得出角之间的关系，使问题得以解决．
(2)方法运用：如图2，已知AB∥ED，求∠B+∠BCD+∠D的度数；
(3)深化拓展：已知AB∥CD，点C在点D的右侧，∠ADC=50°，BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，BE，DE所在的直线交于点E，点E在直线AB与CD之间．
①如图3，点B在点A的左侧，若∠ABC=36°，求∠BED的度数．
②如图4，点B在点A的右侧，且AB
(2)360°
(3)①43°；②(205−12n)°
【分析】（1）由“两直线平行，内错角相等”可得结果；
（2）过C作CF∥AB，利用“两直线平行，同旁内角互补”可以求得结果；
（3）①过E作EG∥AB，利用角平分线的概念求得∠EDC＝12∠ADC＝25°，∠ABE＝12∠ABC＝18°，再利用“两直线平行，内错角相等”导角即可；②过E作PE∥AB，利用角平分线的概念求得∠PED＝∠EDC＝25°，∠ABE＝12∠ABC＝12n°，再利用平行线的性质导角即可．
【详解】（1）解：∵ ED∥BC，
∴ ∠B=∠EAB，∠C=∠DAC（两直线平行，内错角相等）；
故答案为：∠EAB；∠DAC
（2）解：过C作CF∥AB，
∵ AB∥DE，
∴ CF∥DE，
∴ ∠D+∠FCD=180°，
∵ CF∥AB，
∴ ∠B+∠FCB=180°，
∴ ∠B+∠FCB+∠FCD+∠D=360°，
∴ ∠B+∠BCD+∠D=360°；
（3）解：①过E作EG∥AB，
∵ AB∥DC，
∴ EG∥CD，
∴ ∠GED＝∠EDC，
∵ DE平分∠ADC，
∴ ∠EDC＝12∠ADC＝25°，
∴ ∠GED＝25°，
∵ BE平分∠ABC，
∴ ∠ABE＝12∠ABC＝18°，
∵ GE∥AB，
∴ ∠BEG＝∠ABE＝18°，
∴ ∠BED＝∠GED+∠BEG＝25°+18°＝43°；
②过E作PE∥AB，
∵ AB∥CD，
∴ PE∥CD，
∴ ∠PED＝∠EDC＝25°，
∵ BE平分∠ABC，∠ABC＝n°，
∴ ∠ABE＝12∠ABC＝12n°，
∵ AB∥PE，
∴ ∠ABE+∠PEB=180°，
∴ ∠PEB＝180°－12n°，
∴ ∠BED＝∠PEB+∠PED＝(205−12n)°．
【点睛】本题考查了平行线的性质、平行线的传递性以及角平分线的概念，作出辅助线构造平行线导角是解决本题的关键．
22．（广东省东莞市松山湖实验中学2020-2021学年七年级下学期期中数学试卷）请作答：
(1)图1，图2均是由一块三角板和一把直尺拼成的图形，三角板的两直角边与直尺的两边重合，∠ACB=90∘，DF∥CG，AB与FD相交于点E，有一动点P在边BC上运动，连接PE，PA，记∠PED=∠α，∠PAC=∠β．
①如图1，当点P在C，D两点之间运动时，请直接写出∠APE与∠α，∠β之间的数量关系；
②如图2，当点P在B，D两点之间运动时，∠APE与∠α，∠β之间有何数量关系？请判断并说明理由；
(2)当点P在C，D两点之间运动时，若∠PED，∠PAC的角平分线EN，AN相交于点N，请直接写出∠ANE与∠α，∠β之间的数量关系．
【答案】(1)①∠APE=∠α+∠β；②∠APE=∠β−∠α，理由见解析
(2)∠ANE=12(∠α+∠β)
【分析】（1）①过点P作PQ∥DF，先根据平行线的性质可得∠QPE=∠α，∠QPA=∠β再根据∠APE=∠QPE+∠QPA即可得；
②过点P作PQ∥DF，先根据平行线的性质可得∠QPE=∠α，∠QPA=∠β，再根据∠APE=∠QPA−∠QPE即可得；
（2）先根据角平分线的定义可得∠NED=12∠α，∠NAC=12∠β过点N作NQ∥DF，再根据平行线的性质可得∠QNE=∠NED=12∠α，∠QNA=∠NAC=12∠β，然后根据∠ANE=∠QNE+∠QNA即可得．
（1）
解：①∠APE=∠α+∠β，理由如下：
如图，过点P作PQ∥DF，如图所示：
∴∠QPE=∠α，
∵DF∥CG，
∴PQ∥CG，
∴∠QPA=∠β，
∴∠APE=∠QPE+∠QPA=∠α+∠β；
②∠APE=∠β−∠α，理由如下：
如图，过点P作PQ∥DF，
∴∠QPE=∠α，
∵DF∥CG，
∴PQ∥CG，
∴∠QPA=∠β，
∴∠APE=∠QPA−∠QPE=∠β−∠α．
（2）
解：∠ANE=12(∠α+∠β)，理由如下：
∵EN，AN分别平分∠PED，∠PAC，
∴∠NED=12∠PED=12∠α，∠NAC=12∠PAC=12∠β，
如图，过点N作NQ∥DF，
∴∠QNE=∠NED=12∠α，
∵DF∥CG，
∴NQ∥CG，
∴∠QNA=∠NAC=12∠β，
∴∠ANE=∠QNE+∠QNA=12∠α+12∠β=12(∠α+∠β)．
【点睛】本题考查了平行线的判定和性质、角平分线的定义等知识点，过拐点作平行线，利用平行线的判定与性质是解题关键．
23．（河北省衡水市武邑县武罗学校2021-2022学年七年级下学期期末数学试卷）【发现】如图1，CE平分∠ACD，AE平分∠BAC．
(1)当∠EAC＝∠ACE＝45°时，AB与CD的位置关系是______；
当∠EAC＝50°，∠ACE＝40°时，AB与CD的位置关系是______；
当∠EAC+∠ACE＝90°，请判断AB与CD的位置关系并说明理由；
(2)【探究】如图2，AB∥CD，M是AE上一点，∠AEC＝90°保持不变，移动顶点E，使CE平分∠MCD，∠BAE与∠MCD存在怎样的数量关系？并说明理由，
(3)【拓展】如图3，AB∥CD，P为线段AC上一定点，Q为直线CD上一动点，且点Q不与点C重合．直接写出∠CPQ+∠CQP与∠BAC的数量关系．
【答案】(1)AB∥CD；AB∥CD；AB∥CD，理由见解析
(2)∠BAE+12∠MCD＝90°，理由见解析
(3)∠BAC＝∠PQC+∠QPC或∠PQC+∠QPC+∠BAC＝180°
【分析】（1）由角平分线的定义得∠BAC＝2∠EAC，∠ACD＝2∠ACE，则∠BAC+∠ACD＝180°，可得结论AB∥CD；
（2）过点E作EF∥AB，利用平行线的性质可得答案；
（3）利用平行线的性质和三角形内角和定理可得答案．
【详解】（1）解：当∠EAC＝∠ACE＝45°时，AB∥CD，理由如下：
∵CE平分∠ACD，AE平分∠BAC，
∴∠BAC＝2∠EAC，∠ACD＝2∠ACE，
∵∠EAC＝∠ACE＝45°，
∴∠BAC＝∠ACD＝90°，
∴∠BAC+∠ACD＝180°，
∴AB∥CD，
故答案为：AB∥CD；
当∠EAC＝50°，∠ACE＝40°时，AB∥CD，理由如下：
∵CE平分∠ACD，AE平分∠BAC，
∴∠BAC＝2∠EAC，∠ACD＝2∠ACE，
∵∠EAC＝50°，∠ACE＝40°
∴∠BAC＝100°，∠ACD＝80°，
∴∠BAC+∠ACD＝180°，
∴AB∥CD，
故答案为：AB∥CD；
当∠EAC+∠ACE＝90°，AB∥CD，理由如下：
∵CE平分∠ACD，AE平分∠BAC，
∴∠BAC＝2∠EAC，∠ACD＝2∠ACE，
∵∠EAC+∠ACE＝90°，
∴∠BAC+∠ACD＝180°，
∴AB∥CD；
（2）解：∠BAE+12∠MCD＝90°，理由如下：
过点E作EF∥AB，如图所示，
∵AB∥CD，
∴EF∥AB∥CD，
∴∠BAE＝∠AEF，∠FEC＝∠DCE，
∵∠AEC＝90°，
∴∠AEF+∠FEC＝∠BAE+∠ECD＝90°，
∵CE平分∠MCD，
∴∠ECD＝12∠MCD，
∴∠BAE+12∠MCD＝90°；
（3）解：分两种情况分类讨论，
第一种情况如图，当点Q在射线CD上运动时，∠BAC＝∠PQC+∠QPC，
理由：过点P作PE∥AB，
∵AB∥CD，
∴EP∥AB∥CD，
∴∠BAC＝∠EPC，∠PQC＝∠EPQ，
∵∠EPC＝∠EPQ+∠QPC
∴∠BAC＝∠PQC+∠QPC；
第二种情况如图，当点Q在射线CD的反向延长线上运动时（点C除外）∠PQC+∠QPC+∠BAC＝180°，
理由：∵AB∥CD，
∴∠BAC＝∠PCQ，
∵∠PQC+∠QPC +∠PCQ＝180°，
∴∠PQC+∠QPC+∠BAC＝180°，
综上，∠BAC＝∠PQC+∠QPC或∠PQC+∠QPC+∠BAC＝180°．
【点睛】本题考查平行线的性质，解题关键需要根据题意作出相关的辅助线，运用数形结合的思想方法，从图形中寻找角之间的位置关系，根据平行线的性质从而判断角之间的大小关系，同时注意运用分类讨论的思想方法．
24．（山西省忻州市代县2021-2022学年七年级下学期期末数学试题）如图1，AB∥CD，点E为直线AB，CD外一点．
(1)若AE⊥AB，∠C=65°，求出∠E的度数．
(2)如图2，点F在BA的延长线上，连接BE，EF，若CE⊥CD，EF平分∠AEC，∠B=∠AEB，求∠BEF的度数：
(3)如图3，在（2）的条件下，过点F作∠BFG=∠BFE，交EC的延长线于点G，延长EF交CD于点H，过点F作FI∥BE交CD于点I．当FH平分∠IFG时，请直接写出∠CHF的度数．
【答案】(1)25°
(2)45°
(3)67.5°
【分析】（1）首先延长BA，则易得AB∥CD，然后由两直线平行，同位角相等，即可证得：∠E+∠C=90°；
（2）过点E作EN∥AB，易证∠NEB=∠AEB， 再根据平行公理的推论可得EN∥CD，再证得∠ECD=90°，进一步证明∠BEF=∠AEF+∠AEB，即可得出∠BEF；
（3）根据平行线的性质得出∠HIF=∠BFI=∠B，根据三角形外角的性质得出∠CHF=12∠IFG+∠HIF，然后根据已知条件和三角形外角定理即可求得∠CHF=12∠BFE+12∠B=12（180°-∠BEF-∠B）+12∠B=12（180°-45°-∠B）+12∠B=67.5°．
（1）
解：延长BA交CE于点M，
∵AB∥CD，∠C=65°
∴∠AME=∠C=65°
又∵AE⊥AB，
∴∠EAM=90°
∴∠E=90°−∠AME=25°；
（2）
如图，过点E作EN∥AB，
∴∠B=∠NEB，
∵∠B=∠AEB，
∴∠NEB=∠AEB，
∵EN∥AB，AB∥CD，
∴EN∥CD，
∵CE⊥CD，
∴∠ECD=90°，
∴∠CEN=180°−∠ECD=180°−90°=90°，
∵EF平分∠AEC，
∴∠AEF=∠FEC，
∴∠BEF=∠AEF+∠AEB=12∠AEC+∠AEN=12∠CEN=45°；
（3）
∵∠CHF=∠IFH+∠HIF，∠IFH=12∠IFG，
∴∠CHF=12∠IFG+∠HIF，
∵AB∥CD，FI∥BE.，
∴∠HIF=∠BFI=∠B，
∴∠IFG=∠BFG-∠B，
∴∠CHF=12∠IFG+∠HIF=12（∠BFG-∠B）+∠B=12∠BFG+12∠B
∵∠BFG=∠BFE，
∴∠CHF=12∠BFE+12∠B
=12（180°-∠BEF-∠B）+12∠B
=12（180°-45°-∠B）+12∠B
=67.5°
∴∠CHF=67.5°．
【点睛】本题考查了平行线的性质，平行公理的推论，三角形外角的性质等，熟练掌握这些性质是解题的关键．
25．（江苏省宿迁市泗阳县2021-2022学年七年级下学期期中数学试题）如图1，AB,AC被直线BC所截，点E是线段BC上一点，过点E作DE∥AB，连接BD,∠A=∠D=60°．
(1)BD与AC平行吗？为什么？
(2)将线段BD沿着直线BC进行平移，平移后得到的对应线段记为线段FG，连接EG；
①当线段FG在E点下方时，如图2，若∠EGF=15°，求∠DEG的度数．
②在整个平移的过程中，当∠EGF=3∠DEG时，求∠EGF的度数．
【答案】(1)BD∥AC；理由见解析
(2)①∠DEG＝75°；②∠EGF的值为45°或90°
【分析】（1）结论：BD∥AC，延长DE交AC于点T．利用平行线的性质以及判定证明即可；
（2）①过点E作EK∥BD，利用平行线的性质求解即可；
②分两种情形：当点F在线段BE上时，过点E作EK∥BD，当点F在点B的上方时，过点E作EK∥BD，分别利用平行线的性质求解即可．
（1）
解：结论：BD∥AC．理由如下：
延长DE交AC于点T，如图所示：
∵DT∥AB，
∴∠DTC＝∠A＝60°，
∵∠D＝60°，
∴∠D＝∠DTC，
∴BD∥AC．
（2）
①过点E作EK∥BD，
∵BD∥FG，
∴EK∥FG∥BD，
∴∠EGF＝∠KEG＝15°，∠DEK＝∠D＝60°，
∴∠DEG＝∠DEK＋∠KEG＝75°．
②当点F在线段BE上时，过点E作EK∥BD，如图所示：
∵BD∥FG，
∴EK∥FG∥BD，
∴∠EGF＝∠KEG，∠DEK＝∠D＝60°，
∴∠DEG＝60°−∠FGE，
∵∠EGF＝3∠DEG，
∴∠DEG＝15°，
∴∠EGF＝45°；
当点F在点B的上方时，过点E作EK∥BD，如图所示：
∵BD∥FG，
∴EK∥FG∥BD，
∴∠EGF＝∠KEG，∠DEK＝∠D＝60°，
∴∠DEG＝∠FGE−60°，
∵∠EGF＝3∠DEG，
∴∠DEG＝30°，
∴∠EGF＝90°．
综上所述，满足条件的∠EGF的值为45°或90°．
【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了平行线的判定和性质，平移变换等知识，解题关键是学会添加常用辅助线，构造平行线解决问题，属于中考常考题型．
26．（江苏省无锡市滨湖区2020-2021学年七年级下学期期中数学试题）如图①，已知直线a∥b，点O、C分别是直线a、b上的定点，点A从点O出发，沿射线OA的方向平移，点B从点C出发，沿射线CB的方向平移，且始终满足∠BCO＝∠BAO＝100°．
(1)求证：AB∥CO；
(2)如图②，若OF平分∠BOC，点E是直线b上的一个动点．
① 当∠AOB＝30°，且△EOB中有两个内角相等时，求∠EOF的度数；
② 当∠EOB＝∠AOB，且∠BOC＝6∠EOF时，求∠ABO的度数．
【答案】(1)见解析
(2)①95°，5°，50°或40°；②48°或60°
【分析】（1）根据a∥b，可得∠OCB+∠AOC=180°，再由∠BCO=∠BAO=100°．得出∠AOC+∠OAB=180°即可判断OC∥AB；
（2）①根据△EOB中有两个内角相等时，分别有4种可能性，分别画出相应的图形，依据角平分线，平行线的性质以及三角形内角和定理进行计算即可；
②分点E在点F的右侧或左侧两种情况，设∠AOB=α，利用含有α的代数式表示∠BOC，∠EOF，列方程求解即可．
（1）
证明：∵a∥b
∴∠AOC＋∠BCO=180°
∵∠BAO=∠BCO，
∴∠AOC＋∠BAO=180°，
∴AB∥CO．
（2）解：①∵a∥b，∠AOB=30°
∴∠FOB=∠AOB=30°
∵OC∥AB，∠BAO=100°
∴∠AOC=80°，
∴∠BOC=50°．
∵OF平分∠BOC，
∴∠BOF=12∠BOC=25°．
1°∠BEO=∠EBO=30°，
∴∠EOB=120°．
∴∠EOF=∠EOB−∠BOF=95°
2°∠BOE=∠EBO=30°
∴∠EOF=∠EOB−∠BOF=5°．
3°∠BOE=∠BEO=75°（点E在点B的左侧）
∴∠EOF=∠BOE−∠BOF=50°．
4°∠BOE=∠BEO（点E在点B的右侧），
∵∠CBO=∠BOE＋∠BEO=30°，
∴∠BOE=∠BEO=15°．
∴∠EOF=∠BOE＋∠BOF=40°．
综上∠EOF的度数为95°，5°，50°或40°．
②设∠EOF=x，则∠BOC=6x，
∴∠AOB=80°−6x．
∵OF平分∠BOC，
∴∠BOF=∠COF=3x．
1°点F在点E右侧，
∠EOB=∠BOF＋∠BOF=4x，
∵∠AOB=∠EOB，
∴80°−6x=4x，x=8°
∴∠ABO=∠BOC=48°．
2°点F在点E左侧，
∠EOB=∠BOF−∠BOF=2x，
∵∠AOB=∠EOB，
∴80°−6x=2x，x=10°．
∴∠ABO=∠BOC=60°．
综上，∠ABO的度数为48°或60°．
【点睛】本题考查平行线的性质，三角形内角和定理，掌握平行线的性质和判定，三角形内角和定理以及角角平分线的定义是正确解答的前提．
27．（广东省广州市白云区2021-2022学年七年级下学期期末数学试题）如图，点A，B，C，D四点共线，点E，F，G，H四点共线．BG，CF相交于点I，点J是直线AD与EH之间的一个动点，∠ABJ+∠J+∠EFJ=360°．
(1)求证：AD∥EH；
(2)若BJ平分∠DBG，FJ平分∠CFH，请探索并证明∠BIF和∠BJF之间的数量关系；
(3)若∠GBJ=13∠GBD，∠CFJ=13∠CFH，（2）中的结论还成立吗？若成立请证明；若不成立，请写出你认为正确的结论，并证明．
【答案】(1)证明见解析
(2)∠BIF=2∠BJF，证明见解析
(3)不成立；∠BJF=23∠BIF，证明见解析
【分析】（1）过点J作JP∥AD，根据平行线的性质即可得结论；
（2）过点J作JP∥AD，过点I作IQ∥AD，根据平行线的判定和性质以及角平分线的定义可得∠BIF=∠DBG+∠CFH，∠BJF=∠DBJ+∠HFJ，∠DBG=2∠DBJ，∠CFH=2∠HFJ，则∠DBG+∠CFH=2∠DBJ+∠HFJ，即可得到∠BIF和∠BJF之间的数量关系；
（3）过点J作JP∥AD，过点I作IQ∥AD，根据平行线的判定和性质和已知条件∠GBJ=13∠GBD，∠CFJ=13∠CFH得出∠BIF=∠DBG+∠CFH，∠BJF=∠DBJ+∠HFJ，∠DBJ=23∠GBD，∠HFJ=23∠CFH，则∠DBJ+∠HFJ=23∠GBD+∠CFH，从而得到∠BIF和∠BJF之间的数量关系．
（1）证明：如图，过点J作JP∥AD，∴∠ABJ+∠BJP=180°，∵∠ABJ+∠J+∠EFJ=360°，∴∠EFJ+∠FJP=360°−180°=180°，∴JP∥EH，∴AD∥EH．
（2）解：∠BIF=2∠BJF，证明如下：过点J作JP∥AD，过点I作IQ∥AD，由（1）知：AD∥EH，∴IQ∥EH，∴∠BIQ=∠DBG，∠FIQ=∠CFH，∴∠BIQ+∠FIQ=∠DBG+∠CFH，即∠BIF=∠DBG+∠CFH，∵JP∥AD，∴∠BJP=∠DBJ，又∵AD∥EH，∴JP∥EH，∴∠FJP=∠HFJ，∴∠BJP+∠FJP=∠DBJ+∠HFJ，即∠BJF=∠DBJ+∠HFJ，∵BJ平分∠DBG，FJ平分∠CFH，∴∠DBG=2∠DBJ，∠CFH=2∠HFJ，∴∠DBG+∠CFH=2∠DBJ+∠HFJ，∴∠BIF=2∠BJF．
（3）如图，（2）中的结论不成立，正确的结论是∠BJF=23∠BIF，证明如下：过点J作JP∥AD，过点I作IQ∥AD，由（2）得：∠BIF=∠DBG+∠CFH，∠BJF=∠DBJ+∠HFJ，∵∠GBJ=13∠GBD，∠CFJ=13∠CFH，∴∠DBJ=23∠GBD，∠HFJ=23∠CFH，∴∠DBJ+∠HFJ=23∠GBD+∠CFH，∴∠BJF=23∠BIF
【点睛】本题考查了平行线的判定和性质，平行公理的推论，角平分线的定义等知识．正确添加辅助线、熟练掌握平行线的判定和性质是解题的关键．
28．（北京市第一六一中学2021—2022学年七年级下学期期末数学模拟练习）如图1，已知直线EF与直线AB交于点E，直线EF与直线CD交于点F，EM平分∠AEF交直线CD于点M，且∠FEM＝∠FME．点G是射线MD上的一个动点（不与点M、F重合），EH平分∠FEG交直线CD于点H，过点H作HN∥EM交直线AB于点N，设∠EHN＝α，∠EGF＝β．
图1
图2
(1)求证：AB//CD；
(2)当点G在点F的右侧时，
①依据题意在图1中补全图形；
②若β＝80°，则α＝ 度；
(3)当点G在运动过程中，α和β之间有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并加以证明．
【答案】(1)见解析
(2)①见解析；②50
(3)β＝2α或β＝180°−2α；证明见解析
【分析】（1）根据EM平分∠AEF和∠FEM＝∠FME，可证明∠AEM＝∠FME，即可解答．
（2）①根据题意画图即可；
②依据平行线的性质可得∠EHN＝∠HEM＝∠HEF+∠FEM，再根据EH平分∠FEG，∠FEM＝∠FME，即可得到∠EHN＝∠HEF+∠FME＝α，再根据三角形内角和定理即可解答；
（3）分两种情况解答：当点G在点F的右侧时，由（2）可得结果；当点G在点F的左侧时，进行解答即可．
【详解】（1）证明：∵EM平分∠AEF，
∴∠AEM＝∠FEM，
∵∠FEM＝∠FME，
∴∠AEM＝∠FME，
∴AB//CD；
（2）解：①如图1，
②∵EH平分∠FEG，
∴∠HEF＝∠HEG，
∵HN//EM，
∴∠EHN＝∠HEM＝∠HEF+∠FEM，
∵∠FEM＝∠FME，
∴∠EHN＝∠HEF+∠FME＝α，
∵∠EGF＝180°−∠FME−∠GEM
＝180°−∠FME−∠FEM−2∠HEF
＝180°−2(∠FME+∠HEF)，
∴β＝180°−2α，
∵β＝80°，
∴80°＝180°−2α，
解得α＝50°；
故答案为：50；
（3）解：α和β之间的数量关系为β＝2α或β＝180°−2α．
理由如下：
当点G在点F的右侧，由（2）得β＝180°−2α，
当点G在点F的左侧时，如图2，
∵EH平分∠FEG，
∴∠HEF＝∠HEG，
∵HN//EM，
∴∠EHN＝∠HEM，
∵∠FEM＝∠FME，
∴∠EGF＝∠FME+∠GEM＝∠FEM+∠GEM
＝∠GEM+2∠HEG+∠GEM
＝2(∠GEM+∠HEG)＝2∠HEM，
∴∠EGF＝2∠EHN，
即β＝2α，
综上所述，α和β之间的数量关系为β＝2α或β＝180°−2α．
【点睛】本题考查了平行线的判定与性质，三角形的内角和定理，角平分线的定义，熟练掌握这些知识，并熟练利用角的和差关系进行运算是解题的关键．
29．（北京市第十九中学2021-2022学年七年级下学期期中考试数学试卷）如图，直线a∥b，点A为直线a上的动点，点B为直线a、b之间的定点，点C为直线上的定点．
(1)当点A运动到图1所示位置时，容易发现∠ABC,∠DAB,∠BCE之间的数量关系为 ；
(2)如图2，当BA⊥BC时，作等边△BPQ，BM平分∠ABP，交直线a于点M，BN平分∠QBC，交直线b于点N，将BPQ绕点B转动，且BC始终在∠PBQ的内部时，∠DMB+∠ENB的值是否发生变化？若不变，求其值，若变化，说明理由；
(3)点F为直线a上一点，使得∠AFB=∠ABF，∠ABC的平分线交直线a于点G，当点A在直线a上运动时（A，B，C三点不共线），探究并直接写出∠FBG与∠ECB之间的数量关系．（本问中的角均为小于180°的角）
【答案】(1)∠ABC＝∠DAB+∠BCE；
(2)不变化，75°；
(3)∠ECB＝2∠FBG或2∠FBG−∠ECB=180°，理由见解析．
【分析】（1）过点B作BH∥a，根据两直线平行、内错角相等解答；
（2）根据角平分线的定义得到∠MBP=12∠ABP,∠NBC=12∠QBC，结合图形计算，得到答案；
（3）分点F在点A的右侧时和点F在点A的左侧时两种情况求解．
【详解】（1）解：作BH∥a，如图1：
则∠ABH=∠DAB，
∵BH∥a,a∥b，
∴BH∥b,，
∴∠HBC=∠BCE，
∴∠ABC=∠ABH+∠HBC=∠DAB+∠BCE，
故答案为：∠ABC=∠DAB+∠BCE；
（2）∠DMB+∠ENB的值不变化，理由如下：
如图2：
∵∠ABQ=∠ABC+∠QBP−∠PBC=90°+60°−∠PBC，
∴∠ABQ+∠PBC=150°，
∵∠ABQ=∠PBC+∠ABP+∠QBC，
∴2∠PBC+∠ABP+∠QBC=150°，
∵∠MBP=12∠ABP,∠NBC=12∠QBC，
∴2∠PBC+2∠MBP+2∠NBC=150°，即∠PBC+∠MBP+∠NBC=75°，
由（1）得∠DMB+∠ENB=∠MBN=∠PBC+∠MBP+∠NBC，
∴∠DMB+∠ENB=75°；
（3）当点F在点A的右侧时，如图3：
∠ECB=2∠FBG，理由如下：
∵∠AFB=∠1+∠2，
由（1）知∠3=∠2+∠4，
∵∠ABC的平分线交直线a于点G，
∴∠3=∠ABG，
∵∠ABG=∠1+∠ABF，
∴∠2+∠4=∠1+∠ABF，
∵∠AFB=∠ABF，
∴∠2+∠4=∠1+∠1+∠2，
∴∠4=2∠1，
即∠ECB=2∠FBG．
当点F在点A的左侧时，如图4，
2∠FBG−∠ECB=180°，理由如下：
∵∠ABC的平分线交直线a于点G，
∴∠ABC=2∠ABG．
∵∠FAB=180°−∠AFB−∠ABF，∠AFB=∠ABF，
∴∠FAB=180°−2∠ABF．
由（1）知∠ABC=∠FAB+∠ECB，
∴2∠ABG=∠FAB+∠ECB，
∴2∠ABG=180°−2∠ABF+∠ECB，
∴2∠ABG+2∠ABF−∠ECB=180°，
∴2∠FBG−∠ECB=180°．
综上可知，∠FBG与∠ECB之间的数量关系为：∠DMB+∠ENB=75°或2∠FBG−∠ECB=180°．
【点睛】本题考查的是平行线的性质、三角形的外角性质、角平分线的定义等知识，掌握平行线的性质定理、三角形的外角的性质是解题的关键．
30．（浙江省温州市永嘉县崇德实验学校2021-2022学年七年级下学期期中数学试题）如图1，直线AB∥CD，△ABE的顶点E在AB与CD之间.
(1)若∠ABE=150°，∠BAE=20°．
①当∠CDE=2∠EDM时，求∠BED的度数.
②如图2，作出∠CDE的角平分线DF，当DF平行于△ABE中的一边时，求∠BED的度数.
(2)如图3，∠CDE的角平分线DF交EB的延长线于点H，连结BF，当∠ABH=2∠HBF，12∠BED+13∠F=40°时，求∠CDE的度数.
【答案】(1)①90°；②150°；170°
(2)150°
【分析】（1）①过点E在作EG∥CD，分别利用邻角互补求得∠NBE和∠EDM，再利用平行线的性质即可求解；
②分两种情况：（i）当DF∥BE时，设DF与AB交于点P，利用先邻角互补求得∠NBE=180°-∠ABE=30°，再利用平行线的性质和角平分线的定义求得∠CDE的度数，进而求得∠EDM，最后利用①的结论即可求解；（ii）当DF∥AE时，设DF与AB交于点P，如图所示，类似（i）的求解方法可求得∠BED=∠NBE+∠EDM=170°；
（2）设DF与AB交于点P，如图所示，且设∠ABH=2∠HBF=2x，∠CDF=∠EDF=y，则∠CDE=2∠CDF=2y，在△BPF中，∠BPD=∠F+∠ABF，即y=3x+∠F，
由（1）小题可得∠BED=∠NBE+∠EDM =2x+180°-2y，再利用已知12∠BED+13∠F=40°，即可得到90°+x-y+13y-x=40°，求得y=75°，进而得到∠CDE的度数．
（1）
①如图，过点E在作EG∥CD，
∵AB∥CD，
∴AB∥CD∥EG，
∴∠NBE=∠BEG，∠GED=∠EDM，
∵∠NBE+∠ABE=180°，∠ABE=150°，
∴∠NBE=∠BEG=180°-∠ABE=30°；
∵∠CDE+∠EDM=180°，∠CDE=2∠EDM，
∴∠EDM=∠GED=60°，
∴∠BED=∠NBE+∠EDM=∠GED+∠BEG=90°；
②分两种情况：（i）当DF∥BE时，设DF与AB交于点P，如图所示，
∵∠NBE+∠ABE=180°，∠ABE=150°，
∴∠NBE=180°-∠ABE=30°；
∵DF∥BE，
∴∠NBE=∠BPD=30°，
∵AB∥CD，
∴∠CDP=∠BPD=30°，
∵DF平分∠CDE，
∴∠CDE=2∠CDP=60°，
∴∠EDM=180°-∠CDE=120°，
∴由①得∠BED=∠NBE+∠EDM=30°+120°=150°；
（ii）当DF∥AE时，设DF与AB交于点P，如图所示，∠BAE=20°，
∴∠BAE=∠BPD=20°，
∵AB∥CD，
∴∠CDP=∠BPD=20°，
∵DF平分∠CDE，
∴∠CDE=2∠CDP=40°，
∴∠EDM=180°-∠CDE=140°，
∵∠NBE+∠ABE=180°，∠ABE=150°，
∴∠NBE=180°-∠ABE=30°；
∴由①得∠BED=∠NBE+∠EDM=30°+140°=170°；
（2）
解：设DF与AB交于点P，如图所示，设∠ABH=2∠HBF=2x，∠CDF=∠EDF=y，则∠CDE=2∠CDF=2y，
∵AB∥CD，
∴∠BPD=∠CDF=y，
∴在△BPF中，
∠BPD=∠F+∠ABF=∠F+∠ABH+∠HBF=∠F+3x，
即y=3x+∠F，
由（1）小题可得∠BED=∠NBE+∠EDM =∠ABH+180°-∠CDE =2x+180°-2y，
∵12∠BED+13∠F=40°，
∴90°+x-y+13y-x=40°．
∴y=75°，
∴∠CDE=2∠CDF=2y=150°．
【点睛】本题考查了平行线的判定和性质以及角平分线的有关计算，熟练掌握已经学过的性质和定理，作出适当的辅助线是解题的关键．
7.10平行线的性质与判定（压轴篇）
班级：___________________ 姓名：_________________ 得分：_______________
注意事项：
本试卷试题解答30道，共分成三个层组：基础过关题（第1-10题）、能力提升题（第11-20题）、培优压轴题（第21-30题），每个题组各10题，可以灵活选用．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．
一、解答题
1．（2023春·七年级单元测试）如图1，直线MN与直线AB、CD分别交于点E、F，∠1+∠2=180°．
(1)试判断直线AB与直线CD的位置关系，并说明理由；
(2)如图2，∠BEF与∠EFD的角平分线交于点P，延长EP交CD于点G，点H是MN上一点，且GH⊥EG，过点P作PQ∥AB，则PF与GH平行吗？为什么？
2．（2022春·江苏无锡·七年级校考阶段练习）小明同学在完成七年级下册数学第1章的线上学习后，遇到了一些问题，请你帮他解决一下．
(1)如图1，已知AB∥CD，则∠AEC＝∠BAE＋∠DCE成立吗？请说明理由．
(2)如图2，已知AB∥CD，BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，BE、DE所在直线交于点E，若∠FAD＝50°，∠ABC＝40°，求∠BED的度数．
3．（2018春·江苏扬州·七年级扬州市竹西中学阶段练习）问题情境：如图1，AB∥CD，∠PAB＝130°，∠PCD＝120°，求∠APC的度数．小明的思路是：过P作PE∥AB，通过平行线性质来求∠APC．
(1)按小明的思路，易求得∠APC的度数为______度；
(2)问题迁移：如图2，AB∥CD，点P在射线OM上运动，记∠PAB＝α，∠PCD＝β，当点P在B、D两点之间运动时，问∠APC与α、β之间有何数量关系？请说明理由；
(3)在（2）的条件下，如果点P在B、D两点外侧运动时（点P与点O、B、D三点不重合），请直接写出∠APC与α、β之间的数量关系．
4．（2022春·江苏盐城·七年级校考期中）图1是苏教版七年级下册数学书封底上的一幅几何图形，本学期同学们已经对这幅图形有了一定认识，小明同学在复习的时候又进行了变式研究，请解决下列问题．
【课本问题】（1）如图1，△ABC中，点D在BC边上，直线DG∥AB交AC于点G，E在AB边上，F在BC边上，∠ADG与∠AEF互补，AD与EF平行吗？为什么？
【变式探究】（2）在（1）的条件下，如图2，AD是△ABC的角平分线，延长CA与FE，交于点H，直线DG与EF的延长线交于点K，∠K=∠H相等吗？为什么？
5．（2022春·江苏无锡·七年级校考阶段练习）长江汛期即将来临，防汛指挥部在一危险地带两岸各安置了一探照灯，便于夜间查看江水及两岸河堤的情况．如图，灯A射线自AM顺时针旋转至AN便立即回转，灯B射线自BP顺时针旋转至BQ便立即回转，两灯不停交叉照射巡视．若灯A转动的速度是a°/秒，灯B转动的速度是b°/秒，且a、b满足|a−3b|+(a−3)2=0．假定这一带长江两岸河堤是平行的，即PQ∥MN，且∠BAN=45°．
(1)求a、b的值；
(2)若灯B射线先转动20秒，灯A射线才开始转动，在灯B射线到达BQ之前，A灯转动几秒，两灯的光束互相平行？
(3)如图，两灯同时转动，在灯A射线到达AN之前．若射出的光束交于点C，过C作CD⊥AC交PQ于点D，则在转动过程中，∠BAC与∠BCD的数量关系是否发生变化？若不变，请求出其数量关系；若改变，请求出其取值范围．
6．（2022春·江苏盐城·七年级校考阶段练习）（1）（问题）如图1，若AB∥CD，∠AEP＝40°，∠PFD＝120°，求∠EPF的度数．
（2）（问题迁移）如图2，AB∥CD，点P在AB的上方，问∠PEA，∠PFC，∠EPF之间有何数量关系？请说明理由；
（3）（联想拓展）如图3所示，在（2）的条件下，已知∠EPF＝50°，∠PFC＝120°，∠PEA的平分线和∠PFC的平分线交于点G，直接写出∠G的度数．
7．（2022春·江苏苏州·七年级校考阶段练习）已知AB∥CD，点E在AB与CD之间．
(1)图1中，试说明：∠BED＝∠ABE+∠CDE；
(2)图2中，∠ABE的平分线与∠CDE的平分线相交于点F，请利用（1）的结论说明：∠BED＝2∠BFD．
(3)图3中，∠ABE的平分线与∠CDE的平分线相交于点F，请直接写出∠BED与∠BFD之间的数量关系．
8．（2022春·江苏镇江·七年级统考期中）如图，∠1=∠2，∠DEH+∠EHG=180°，∠C=∠A
(1)试说明：∠AEH=∠F；
(2)若∠B=40°，∠F=25°，则∠DEF=________．
9．（2022春·江苏宿迁·七年级统考期中）已知直线AB∥CD ，EF是截线，点M在直线AB、CD之间．
(1)如图，连接GM，HM．求证：∠M=∠AGM+∠CHM；
(2)如图2，在∠GHC的角平分线上取两点M、Q，使得∠AGM=∠HGQ．请直接写出∠M与∠GQH之间的数量关系；
(3)如图3，若射线GH平分∠BGM，点N在MH的延长线上，连接GN，若∠AGM=∠N，∠M=∠N+12∠FGN，求∠MHG的度数．
10．（2020春·江苏南京·七年级校考期中）已知的三角形的三个内角的度数和是180°，如图是两个三角板不同位置的摆放，其中∠ACB=∠CDE=90°，∠BAC=60°，∠DEC=45°．
(1)当AB∥DC时，如图①，求∠DCB的度数．
(2)当CD与CB重合时，如图②，判断DE与AC的位置关系，并说明理由．
(3)如图③，当∠DCB等于______度时，AB∥EC．（直接写出答案）
11．（2022春·江苏扬州·七年级校考阶段练习）已知，直线AB∥DC，点P为平面上一点，连接AP与CP．
(1)如图1，点P在直线AB、CD之间，当∠BAP＝60°，∠DCP＝20°时，求∠APC．
(2)如图2，点P在直线AB、CD之间，∠BAP与∠DCP的角平分线相交于点K，写出∠AKC与∠APC之间的数量关系，并说明理由．
(3)如图3，点P落在CD外，∠BAP与∠DCP的角平分线相交于点K，∠AKC与∠APC有何数量关系？并说明理由．
12．（2022春·江苏南通·七年级统考期末）如图，△ABC中，∠ACB=90°，BD平分∠ABC交△ABC的边AC于点D，E为直线AC上一点，过点E向直线AC的右边作射线EF，使EF∥BC，作∠CEF的平分线EG交射线BD于点G．
(1)如图1，∠ABC=40°，点E与点A重合，求∠G的度数；
(2)若∠ABC=α，
①如图2，点E在DC的延长线上，求∠G的度数（用含有α的式子表示）；
②点E在直线AC上滑动，当存在∠G时，其度数是否发生变化？若不变，请说明理由；若变化，请直接用含α的式子表示∠G的度数．
13．（2022春·江苏南京·七年级统考期末）（1）如图1，AC平分∠DAB，∠1=∠2，试说明AB与CD的位置关系，并予以证明；
（2）如图2，在（1）的结论下，AB的下方点Р满足∠ABP=38°，G是CD上任一点，PO平分∠BPG，PQ∥GN，GM平分∠DGP，下列结论：①∠DGP−∠MGN的值不变；②∠MGN的度数不变．可以证明，只有一个是正确的，请你作出正确的选择并求值．
14．（2022春·江苏常州·七年级统考期末）去年汛期期间，防汛指挥部在某重要河流的一段危险地带两岸各安置了一探照灯，便于夜间查看河水及两岸河堤的情况．如图1，灯A射线自AM顺时针旋转至AN便立即回转，灯B射线自BP顺时针旋转至BQ便立即回转，两灯不停交叉照射巡视．若灯A转动的速度是15度/秒，灯B转动的速度是5度/秒．假定这一带两岸河堤是平行的，即PQ∥MN，且∠BAN=45°．
(1)若灯B射线先转动4秒，灯A射线才开始转动，在灯B射线到达BQ之前，A灯转动几秒，两灯的光束互相平行？
(2)如图2，两灯同时转动，在灯A射线到达AN之前．若灯A射出的光束与灯B射出的光束交于点C，过C作CD⊥AC交PQ于点D，则在转动过程中，∠BAC与∠BCD的数量关系是否发生变化？若不变，请直接写出其数量关系；若改变，请说明理由．
15．（2022春·江苏盐城·七年级景山中学校考期中）如图：已知，∠HCO＝∠EBC，∠BHC+∠BEF＝180°．
(1)求证：EF∥BH；
(2)若BH平分∠EBO，EF⊥AO于F，∠HCO＝64°，求∠CHO的度数．
16．（2022春·江苏南京·七年级南京外国语学校校考期中）对于平面内的∠M和∠N，若存在一个常数k>0，使得∠M+k∠N=360°，则称∠N为∠M的k系补周角，若∠M=90°,∠N=45°，则∠N为∠M的6系补周角．
(1)若∠H=80°，则∠H的4系补周角的度数为__________°．
(2)在平面内AB∥CD，点E是平面内一点，连接BE、DE．
①如图1，∠D=60°，若∠B是∠E的3系补周角，求∠B的度数．
②如图2，∠ABE和∠CDE均为钝角，点F在点E的右侧，且满足∠ABF=n∠ABE，∠CDF=n∠CDE（其中n为常数且n>1），点P是∠ABE角平分线BG上的一个动点，在P点运动过程中，请你确定一个点P的位置，使得∠BPD是∠F的k系补周角，写出你的解题思路并求出此时的k值（用含n的式子表示）．
17．（2022春·江苏常州·七年级统考期中）问题情境：如图①，直线AB∥CD，点E，F分别在直线AB，CD上．
(1)猜想：若∠1=130°，∠2=150°，试猜想∠P=______°；
(2)探究：在图①中探究∠1，∠2，∠P之间的数量关系，并证明你的结论；
(3)拓展：将图①变为图②，若∠1+∠2=325°，∠EPG=75°，求∠PGF的度数．
18．（2022·江苏·七年级假期作业）如图，已知MN∥PQ，点A是直线MN上一个定点，点B在直线PQ上运动，设∠ABQ=α，在射线AM上取一点C，作∠ACD＝52°，CD交PQ于D．
(1)如图1，当∠BAN=108°+α时，α=______°；
(2)作∠ABQ的平分线BE，若BE⊥CD，垂足为E，如图2，求α的值；
(3)作∠ACD的角平分线CF，若CF与AB相交，当CF与AB的夹角是60°时，直接写出α的值：______
19．（2022春·江苏宿迁·七年级统考期中）【数学抽象】实验证明：平面镜反射光线的规律是射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的锐角相等，如图①，一束光线m射到平面镜a上，被a反射后的光线为n，则入射光线m，反射光线n与平面镜a所夹的锐角相等，即∠1=∠2．
(1)利用这个规律人们制作了潜望镜，图②是潜望镜工作原理示意图，AB、CD是平行放置的两面平面镜，请解释进入潜望镜的光线m为什么和离开潜望镜的光线n是平行的？
(2)如图③，改变两平面镜之间的位置关系，经过两次反射后，入射光线m与反射光线n之间的位置关系会随之改变．若入射光线m与反射光线n平行但方向相反，则两平面镜的夹角∠ABC为多少度？
20．（黑龙江省哈尔滨市南岗区虹桥中学2021-2022学年七年级上学期期中数学素养测试题）已知，∠ATM+∠DRN=180°．
(1)如图1，求证AB∥CD：
(2)如图2，点E位平面内一点，连接BE、CE，求证：∠E=∠C+∠B；
(3)如图3，在（2）的条件下，过点E作线段EF，连接BF，且∠EBF=∠F，∠ABF=45°，过点B作BG∥EF交CE于点G，若∠BEC=2∠ABE，EH=4，EF−BG=2，且△BEF的面积为36时，求线段EF的长．
21．（重庆市铜梁区铜梁区巴川初级中学校2021-2022学年七年级下学期9月月考数学试题）课题学习：平行线的“等角转化”功能．
(1)阅读理解：如图1，已知点A是BC外一点，连接AB、AC，求∠B+∠BAC+∠C的度数．阅读并补充下面推理过程．
解：过点A作ED∥BC，
∴ ∠B= ，∠C ，
∵ ∠EAB+∠BAC+∠DAC=180°，
∴ ∠B+∠BAC+∠C=180°．
解题反思：从上面的推理过程中，我们发现平行线具有“等角转化”的功能，将∠BAC、∠B、∠C“凑”在一起，得出角之间的关系，使问题得以解决．
(2)方法运用：如图2，已知AB∥ED，求∠B+∠BCD+∠D的度数；
(3)深化拓展：已知AB∥CD，点C在点D的右侧，∠ADC=50°，BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，BE，DE所在的直线交于点E，点E在直线AB与CD之间．
①如图3，点B在点A的左侧，若∠ABC=36°，求∠BED的度数．
②如图4，点B在点A的右侧，且AB
(1)图1，图2均是由一块三角板和一把直尺拼成的图形，三角板的两直角边与直尺的两边重合，∠ACB=90∘，DF∥CG，AB与FD相交于点E，有一动点P在边BC上运动，连接PE，PA，记∠PED=∠α，∠PAC=∠β．
①如图1，当点P在C，D两点之间运动时，请直接写出∠APE与∠α，∠β之间的数量关系；
②如图2，当点P在B，D两点之间运动时，∠APE与∠α，∠β之间有何数量关系？请判断并说明理由；
(2)当点P在C，D两点之间运动时，若∠PED，∠PAC的角平分线EN，AN相交于点N，请直接写出∠ANE与∠α，∠β之间的数量关系．
23．（河北省衡水市武邑县武罗学校2021-2022学年七年级下学期期末数学试卷）【发现】如图1，CE平分∠ACD，AE平分∠BAC．
(1)当∠EAC＝∠ACE＝45°时，AB与CD的位置关系是______；
当∠EAC＝50°，∠ACE＝40°时，AB与CD的位置关系是______；
当∠EAC+∠ACE＝90°，请判断AB与CD的位置关系并说明理由；
(2)【探究】如图2，AB∥CD，M是AE上一点，∠AEC＝90°保持不变，移动顶点E，使CE平分∠MCD，∠BAE与∠MCD存在怎样的数量关系？并说明理由，
(3)【拓展】如图3，AB∥CD，P为线段AC上一定点，Q为直线CD上一动点，且点Q不与点C重合．直接写出∠CPQ+∠CQP与∠BAC的数量关系．
24．（山西省忻州市代县2021-2022学年七年级下学期期末数学试题）如图1，AB∥CD，点E为直线AB，CD外一点．
(1)若AE⊥AB，∠C=65°，求出∠E的度数．
(2)如图2，点F在BA的延长线上，连接BE，EF，若CE⊥CD，EF平分∠AEC，∠B=∠AEB，求∠BEF的度数：
(3)如图3，在（2）的条件下，过点F作∠BFG=∠BFE，交EC的延长线于点G，延长EF交CD于点H，过点F作FI∥BE交CD于点I．当FH平分∠IFG时，请直接写出∠CHF的度数．
25．（江苏省宿迁市泗阳县2021-2022学年七年级下学期期中数学试题）如图1，AB,AC被直线BC所截，点E是线段BC上一点，过点E作DE∥AB，连接BD,∠A=∠D=60°．
(1)BD与AC平行吗？为什么？
(2)将线段BD沿着直线BC进行平移，平移后得到的对应线段记为线段FG，连接EG；
①当线段FG在E点下方时，如图2，若∠EGF=15°，求∠DEG的度数．
②在整个平移的过程中，当∠EGF=3∠DEG时，求∠EGF的度数．
26．（江苏省无锡市滨湖区2020-2021学年七年级下学期期中数学试题）如图①，已知直线a∥b，点O、C分别是直线a、b上的定点，点A从点O出发，沿射线OA的方向平移，点B从点C出发，沿射线CB的方向平移，且始终满足∠BCO＝∠BAO＝100°．
(1)求证：AB∥CO；
(2)如图②，若OF平分∠BOC，点E是直线b上的一个动点．
① 当∠AOB＝30°，且△EOB中有两个内角相等时，求∠EOF的度数；
② 当∠EOB＝∠AOB，且∠BOC＝6∠EOF时，求∠ABO的度数．
27．（广东省广州市白云区2021-2022学年七年级下学期期末数学试题）如图，点A，B，C，D四点共线，点E，F，G，H四点共线．BG，CF相交于点I，点J是直线AD与EH之间的一个动点，∠ABJ+∠J+∠EFJ=360°．
(1)求证：AD∥EH；
(2)若BJ平分∠DBG，FJ平分∠CFH，请探索并证明∠BIF和∠BJF之间的数量关系；
(3)若∠GBJ=13∠GBD，∠CFJ=13∠CFH，（2）中的结论还成立吗？若成立请证明；若不成立，请写出你认为正确的结论，并证明．
28．（北京市第一六一中学2021—2022学年七年级下学期期末数学模拟练习）如图1，已知直线EF与直线AB交于点E，直线EF与直线CD交于点F，EM平分∠AEF交直线CD于点M，且∠FEM＝∠FME．点G是射线MD上的一个动点（不与点M、F重合），EH平分∠FEG交直线CD于点H，过点H作HN∥EM交直线AB于点N，设∠EHN＝α，∠EGF＝β．
图1
图2
(1)求证：AB//CD；
(2)当点G在点F的右侧时，
①依据题意在图1中补全图形；
②若β＝80°，则α＝ 度；
(3)当点G在运动过程中，α和β之间有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并加以证明．
29．（北京市第十九中学2021-2022学年七年级下学期期中考试数学试卷）如图，直线a∥b，点A为直线a上的动点，点B为直线a、b之间的定点，点C为直线上的定点．
(1)当点A运动到图1所示位置时，容易发现∠ABC,∠DAB,∠BCE之间的数量关系为 ；
(2)如图2，当BA⊥BC时，作等边△BPQ，BM平分∠ABP，交直线a于点M，BN平分∠QBC，交直线b于点N，将BPQ绕点B转动，且BC始终在∠PBQ的内部时，∠DMB+∠ENB的值是否发生变化？若不变，求其值，若变化，说明理由；
(3)点F为直线a上一点，使得∠AFB=∠ABF，∠ABC的平分线交直线a于点G，当点A在直线a上运动时（A，B，C三点不共线），探究并直接写出∠FBG与∠ECB之间的数量关系．（本问中的角均为小于180°的角）
30．（浙江省温州市永嘉县崇德实验学校2021-2022学年七年级下学期期中数学试题）如图1，直线AB∥CD，△ABE的顶点E在AB与CD之间.
(1)若∠ABE=150°，∠BAE=20°．
①当∠CDE=2∠EDM时，求∠BED的度数.
②如图2，作出∠CDE的角平分线DF，当DF平行于△ABE中的一边时，求∠BED的度数.
(2)如图3，∠CDE的角平分线DF交EB的延长线于点H，连结BF，当∠ABH=2∠HBF，12∠BED+13∠F=40°时，求∠CDE的度数.
答案与解析
一、解答题
1．（2023春·七年级单元测试）如图1，直线MN与直线AB、CD分别交于点E、F，∠1+∠2=180°．
(1)试判断直线AB与直线CD的位置关系，并说明理由；
(2)如图2，∠BEF与∠EFD的角平分线交于点P，延长EP交CD于点G，点H是MN上一点，且GH⊥EG，过点P作PQ∥AB，则PF与GH平行吗？为什么？
【答案】(1)AB∥CD，见解析
(2)平行，理由见解析
【分析】（1）根据同旁内角互补，两直线平行即可得到结论；
（2）先求得∠EPF=90°，则EG⊥PF，由GH⊥EG即可得到结论．
【详解】（1）解：AB∥CD，
理由：∵∠1+∠2=180°，∠1=∠AEF，∠2=∠CFE，
∴∠AEF+∠CFE=180°，
∴AB∥CD．
（2）解：由（1）知，AB∥CD，
∴∠BEF+∠EFD=180°．
∵AB∥PQ,AB∥CD,
∴∠EPQ=∠BEP=12∠BEF,PQ∥CD，
∴∠FPQ=∠PFD=12∠EFD，
∴∠EPQ+∠FPQ=12(∠BEF+∠EFD),
∴∠EPF=90°，
即EG⊥PF．
∵GH⊥EG，
∴PF∥GH．
【点睛】此题考查了平行线的判定和性质，灵活应用平行线的判定和性质是解题解题的关键．
2．（2022春·江苏无锡·七年级校考阶段练习）小明同学在完成七年级下册数学第1章的线上学习后，遇到了一些问题，请你帮他解决一下．
(1)如图1，已知AB∥CD，则∠AEC＝∠BAE＋∠DCE成立吗？请说明理由．
(2)如图2，已知AB∥CD，BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，BE、DE所在直线交于点E，若∠FAD＝50°，∠ABC＝40°，求∠BED的度数．
【答案】(1)成立，理由见详解
(2)45°
【分析】（1）过E点作EN∥AB，根据CD∥AB，可得EN∥CD，根据平行的性质有∠BAE=∠AEN，∠DCE=∠CEN，结合∠AEC=∠AEN+∠CEN，即可证明；
（2）根据CD∥AB，可得∠FAD=∠ADC，根据BE、DE分别平分∠ABC、∠ADC，即可求出∠ABE和∠CDE，再结合（1）的结论即可求解．
（1）成立，理由如下：
过E点作EN∥AB，如图，
∵EN∥AB，CD∥AB，
∴EN∥CD，
∴∠BAE=∠AEN，∠DCE=∠CEN，
∵∠AEC=∠AEN+∠CEN，
∴∠AEC＝∠BAE＋∠DCE，
结论得证；
（2）
∵CD∥AB，
∴∠FAD=∠ADC，
∵BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，
∴∠ABE=12∠ABC，∠CDE=12∠ADC=12∠FAD，
∵∠FAD＝50°，∠ABC＝40°，
∴∠ABE=12∠ABC=20∘，∠CDE=12∠ADC=12∠FAD=25∘，
根据（1）的结论可知：∠BED＝∠ABE＋∠CDE，
∴∠BED＝∠ABE＋∠CDE=20°+25°=45°，
即∠BED的度数为45°．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质、角平分线的性质等知识，构筑辅助线EN是解答本题的关键．
3．（2018春·江苏扬州·七年级扬州市竹西中学阶段练习）问题情境：如图1，AB∥CD，∠PAB＝130°，∠PCD＝120°，求∠APC的度数．小明的思路是：过P作PE∥AB，通过平行线性质来求∠APC．
(1)按小明的思路，易求得∠APC的度数为______度；
(2)问题迁移：如图2，AB∥CD，点P在射线OM上运动，记∠PAB＝α，∠PCD＝β，当点P在B、D两点之间运动时，问∠APC与α、β之间有何数量关系？请说明理由；
(3)在（2）的条件下，如果点P在B、D两点外侧运动时（点P与点O、B、D三点不重合），请直接写出∠APC与α、β之间的数量关系．
【答案】(1)110
(2)∠APC=α+β，理由见解析
(3)当P在BD延长线上时，∠CPA=α-β；当P在DB延长线上时，∠CPA=β-α
【分析】（1）过P作PE∥AB，通过平行线性质求∠APC即可；
（2）过P作PE∥AB交AC于E，推出AB∥PE∥DC，根据平行线的性质得出∠α=∠APE，∠β=∠CPE，即可得出答案；
（3）分两种情况：P在BD延长线上；P在DB延长线上，分别画出图形，根据平行线的性质得出∠α=∠APE，∠β=∠CPE，即可得出答案．
【详解】（1）解：过点P作PE∥AB，
∵AB∥CD，
∴PE∥AB∥CD，
∴∠A+∠APE=180°，∠C+∠CPE=180°，
∵∠PAB=130°，∠PCD=120°，
∴∠APE=50°，∠CPE=60°，
∴∠APC=∠APE+∠CPE=110°．
故答案为：110．
（2）解：∠APC=α+β，
理由：如图2，过P作PE∥AB交AC于E，
∵AB∥CD，
∴AB∥PE∥CD，
∴α=∠APE，β=∠CPE，
∴∠APC=∠APE+∠CPE=α+β；
（3）解分两种情况：当P在BD延长线上时，过P作PE∥AB交AC于E，如图所示，
∵AB∥CD，
∴AB∥PE∥CD，
∴α=∠APE，β=∠CPE，
∴∠CPA=∠APE-∠CPE=α-β，
即∠CPA=α-β；
当P在DB延长线上时，过P作PE∥AB交AC于E，如图所示，
∵AB∥CD，
∴AB∥PE∥CD，
∴α=∠APE，β=∠CPE，
∴∠CPA=∠CPE-∠CPA=β-α，
即∠CPA=β-α．
综上，当P在BD延长线上时，∠CPA=α-β；当P在DB延长线上时，∠CPA=β-α．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质和判定的应用，主要考查学生的推理能力，题目是一道比较典型的题目，解题时注意分类思想的运用．
4．（2022春·江苏盐城·七年级校考期中）图1是苏教版七年级下册数学书封底上的一幅几何图形，本学期同学们已经对这幅图形有了一定认识，小明同学在复习的时候又进行了变式研究，请解决下列问题．
【课本问题】（1）如图1，△ABC中，点D在BC边上，直线DG∥AB交AC于点G，E在AB边上，F在BC边上，∠ADG与∠AEF互补，AD与EF平行吗？为什么？
【变式探究】（2）在（1）的条件下，如图2，AD是△ABC的角平分线，延长CA与FE，交于点H，直线DG与EF的延长线交于点K，∠K=∠H相等吗？为什么？
【答案】（1）AD∥EF，理由见解析；（2）∠K=∠H，理由见解析
【分析】（1）根据平行线的性质可得∠ADG=∠BAD，结合∠ADG与∠AEF互补可得∠BAD+∠AEF=180°，然后根据平行线的判定即可得出AD∥EF；
（2）根据角平分线定义可得∠BAD=∠CAD，根据AD∥EF可得∠DAC=∠H，∠BAD=∠ADG，进而得出∠H=∠ADG，再根据DG∥AB得出∠K=∠ADG，从而得出∠K=∠H．
【详解】解：（1）AD∥EF．
理由：∵DG∥AB，
∴∠ADG=∠BAD，
∵∠ADG与∠AEF互补，
∴∠ADG+∠AEF=180°，
∴∠BAD+∠AEF=180°，
∴AD∥EF；
（2）∠K=∠H．
理由：∵AD是△ABC的角平分线，
∴∠BAD=∠CAD，
∵AD∥EF，
∴∠DAC=∠H，∠BAD=∠ADG，
∴∠H=∠ADG，
∵DG∥AB，
∴∠K=∠ADG，
∴∠K=∠H．
【点睛】本题考查了平行线的判定与性质，角平分线的定义等知识，掌握平行线的判定与性质是解题的关键．
5．（2022春·江苏无锡·七年级校考阶段练习）长江汛期即将来临，防汛指挥部在一危险地带两岸各安置了一探照灯，便于夜间查看江水及两岸河堤的情况．如图，灯A射线自AM顺时针旋转至AN便立即回转，灯B射线自BP顺时针旋转至BQ便立即回转，两灯不停交叉照射巡视．若灯A转动的速度是a°/秒，灯B转动的速度是b°/秒，且a、b满足|a−3b|+(a−3)2=0．假定这一带长江两岸河堤是平行的，即PQ∥MN，且∠BAN=45°．
(1)求a、b的值；
(2)若灯B射线先转动20秒，灯A射线才开始转动，在灯B射线到达BQ之前，A灯转动几秒，两灯的光束互相平行？
(3)如图，两灯同时转动，在灯A射线到达AN之前．若射出的光束交于点C，过C作CD⊥AC交PQ于点D，则在转动过程中，∠BAC与∠BCD的数量关系是否发生变化？若不变，请求出其数量关系；若改变，请求出其取值范围．
【答案】(1)a=3，b=1
(2)t=10或t=85
(3)2∠BAC=3∠BCD
【分析】（1）根据|a−3b|+(a−3)2=0，得a−3b=0，a−3=0，即可求出a，b的值；
（2）设t秒后，两束灯光平行，①当灯A射线转到AN之前；②当灯A射线转到AN之后；根据平行线的性质，即可求出两束灯光互相平行的时间；
（3）设灯A射线转动的时间为t秒，得∠CBD=t，∠CAN=180°−3t，根据∠BAN=45°，得∠BAC=∠BAN−∠CAN=45°−(180°−3t)；过点C作HG∥QP，根据平行线的性质，得∠BCA=∠CAN+∠CBD；根据∠ACD=90°，得∠BCD=∠ACD−∠BCA，即可得到∠BAC和∠BCD的数量关系．
（1）解：∵|a−3b|+(a−3)2=0
∴|a−3b|≥0，(a−3)2≥0
∴a−3b=0，a−3=0
∴a=3，b=1
（2）
解：设t秒后，两束灯光平行
①当灯A射线转到AN之前
∴3t=(20+t)×1
解得t=10
②当灯A射线转到AN之后
∴3t−3×60+(20+t)×1=180°
解得t=85
∴当t=10或t=85秒后，两束灯光互相平行．
（3）
解：设灯A射线转动的时间为t秒
∴∠CBD=t，∠CAN=180°−3t
∵∠BAN=45°
∴∠BAC=∠BAN−∠CAN=45°−(180°−3t)
∴∠BAC=3t−135°
过点C作HG∥QP
∴HG∥QP∥MN
∴∠HCB=∠CBD，∠HCA=∠CAN
∴∠BCA=∠CBD+∠CAN
∴∠BCA=t+(180°−3t)=180°−2t
又∵∠ACD=90°
∴∠BCD=90°−∠BCA
∴∠BCD=90°−(180°−2t)=2t−90°
∴∠BAC∶∠BCD=(3t−135°)∶2t−90°
∴∠BAC∶∠BCD=3(t−45°)∶2(t−45°)
∠BAC∶∠BCD=3∶2
∴2∠BAC=3∠BCD．
【点睛】本题考查了非负数的性质，平行线的性质等知识，解题的关键是掌握：任何一个数的绝对值是非负数，a2≥0；平行线的性质．
6．（2022春·江苏盐城·七年级校考阶段练习）（1）（问题）如图1，若AB∥CD，∠AEP＝40°，∠PFD＝120°，求∠EPF的度数．
（2）（问题迁移）如图2，AB∥CD，点P在AB的上方，问∠PEA，∠PFC，∠EPF之间有何数量关系？请说明理由；
（3）（联想拓展）如图3所示，在（2）的条件下，已知∠EPF＝50°，∠PFC＝120°，∠PEA的平分线和∠PFC的平分线交于点G，直接写出∠G的度数．
【答案】（1）100°；（2）∠PFC＝∠PEA＋∠EPF；（3）25°
【分析】（1）如图，过点P作PN∥AB，根据平行线的性质与判定可求解；
（2）过P点作PN∥AB，则PN∥CD，可得∠FPN＝∠PEA＋∠FPE，进而可得∠PFC＝∠PEA＋∠FPE，即可求解；
（3）过点G作AB的平行线，利用平行线的性质解答即可．
【详解】解：（1）解：如图，过点P作PN∥AB，
∴∠1＝∠AEP，
∵∠AEP＝40°，
∴∠1＝40°，
∵AB∥CD，
∴PN∥CD，
∴∠2＋∠PFD＝180°，
∵∠PFD＝120°，
∴∠2＝180°−120°＝60°．
∴∠1＋∠2＝40°＋60°＝100°，
即∠EPF＝100°；
（2）∠PFC＝∠PEA＋∠EPF，理由如下：
如图，过P点作PN∥AB，则PN∥CD，
∴∠PEA＝∠NPE，
∵∠FPN＝∠NPE＋∠EPF，
∴∠FPN＝∠PEA＋∠EPF，
∵PN∥CD，
∴∠FPN＝∠PFC，
∴∠PFC＝∠PEA＋∠EPF；
（3）如图，过点G作AB的平行线GH．
∵GH∥AB，AB∥CD，
∴GH∥AB∥CD，
∴∠HGE＝∠AEG，∠HGF＝∠CFG，
又∵∠PEA的平分线和∠PFC的平分线交于点G，
∴∠HGE＝∠AEG＝12∠AEP，∠HGF＝∠CFG＝12∠PFC，
由（2）可知，∠PFC＝∠EPF＋∠AEP，
∴∠HGF＝12（∠EPF＋∠AEP），
∴∠EGF＝∠HGF−∠HGE＝12（∠EPF＋∠AEP）−12∠AEP＝12∠EPF，
∵∠EPF＝50°，
∴∠EGF＝25°．
【点睛】本题主要考查平行线的性质与判定，角平分线的定义，灵活运用平行线的性质与判定是解题的关键．
7．（2022春·江苏苏州·七年级校考阶段练习）已知AB∥CD，点E在AB与CD之间．
(1)图1中，试说明：∠BED＝∠ABE+∠CDE；
(2)图2中，∠ABE的平分线与∠CDE的平分线相交于点F，请利用（1）的结论说明：∠BED＝2∠BFD．
(3)图3中，∠ABE的平分线与∠CDE的平分线相交于点F，请直接写出∠BED与∠BFD之间的数量关系．
【答案】(1)∠BED=∠ABE+∠CDE
(2)∠BED=2∠BFD
(3)∠BED=360°-2∠BFD
【分析】（1）图1中，过点E作EG∥AB，则∠BEG=∠ABE，根据AB∥CD，EG∥AB，所以CD∥EG，所以∠DEG=∠CDE，进而可得∠BED=∠ABE+∠CDE；
（2）图2中，根据∠ABE的平分线与∠CDE的平分线相交于点F，结合（1）的结论即可说明：∠BED=2∠BFD；
（3）图3中，根据∠ABE的平分线与∠CDE的平分线相交于点F，过点E作EG∥AB，则∠BEG+∠ABE=180°，因为AB∥CD，EG∥AB，所以CD∥EG，所以∠DEG+∠CDE=180°，再结合（1）的结论即可说明∠BED与∠BFD之间的数量关系．
（1）
解：如图1中，过点E作EG∥AB，
则∠BEG=∠ABE，
因为AB∥CD，EG∥AB，
所以CD∥EG，
所以∠DEG=∠CDE，
所以∠BEG+∠DEG=∠ABE+∠CDE，
即∠BED=∠ABE+∠CDE；
（2）
解：图2中，因为BF平分∠ABE，
所以∠ABE=2∠ABF，
因为DF平分∠CDE，
所以∠CDE=2∠CDF，
所以∠ABE+∠CDE=2∠ABF+2∠CDF=2(∠ABF+∠CDF)，
由（1）得：因为AB∥CD，
所以∠BED=∠ABE+∠CDE，
∠BFD=∠ABF+∠CDF，
所以∠BED=2∠BFD．
（3）
解：∠BED=360°-2∠BFD．
图3中，过点E作EG∥AB，
则∠BEG+∠ABE=180°，
因为AB∥CD，EG∥AB，
所以CD∥EG，
所以∠DEG+∠CDE=180°，
所以∠BEG+∠DEG=360°-(∠ABE+∠CDE），
即∠BED=360°-(∠ABE+∠CDE)，
因为BF平分∠ABE，
所以∠ABE=2∠ABF，
因为DF平分∠CDE，
所以∠CDE=2∠CDF，
∠BED=360°-2(∠ABF+∠CDF)，
由（1）得：因为AB∥CD，
所以∠BFD=∠ABF+∠CDF，
所以∠BED=360°-2∠BFD．
【点睛】本题考查了平行线的性质，平行公理的推论，解决本题的关键是掌握平行线的性质．
8．（2022春·江苏镇江·七年级统考期中）如图，∠1=∠2，∠DEH+∠EHG=180°，∠C=∠A
(1)试说明：∠AEH=∠F；
(2)若∠B=40°，∠F=25°，则∠DEF=________．
【答案】(1)见解析
(2)85°
【分析】（1）根据平行线的判定和性质定理即可得到结论；
（2）由平行线的性质及平角的定义可求解∠2的度数，再利用三角形的内角和定理可求解．
（1）
解：∵∠DEH+∠EHG=180°
∴DE∥AC
∴∠1=∠C，∠2=∠DGC
∵∠C=∠A，∠1=∠2
∴∠A=∠DGC
∴AB∥DF
∴∠AEH=∠F
（2）
解：∵AB∥DF，
∴∠CDF=∠B=40°，
∵∠1+∠2+∠CDF=180°，∠1=∠2，
∴∠1=∠2=70°，
∵∠F=25°，∠F+∠2+∠DEF=180°，
∴∠DEF=180°-25°-70°=85°．
故答案为：85°．
【点睛】本题考查了平行线的判定和性质，三角形的内角和定理，熟练掌握平行线的判定和性质是解题的关键．
9．（2022春·江苏宿迁·七年级统考期中）已知直线AB∥CD ，EF是截线，点M在直线AB、CD之间．
(1)如图，连接GM，HM．求证：∠M=∠AGM+∠CHM；
(2)如图2，在∠GHC的角平分线上取两点M、Q，使得∠AGM=∠HGQ．请直接写出∠M与∠GQH之间的数量关系；
(3)如图3，若射线GH平分∠BGM，点N在MH的延长线上，连接GN，若∠AGM=∠N，∠M=∠N+12∠FGN，求∠MHG的度数．
【答案】(1)详见解析
(2)∠M＋∠HQG＝180°
(3)60°
【分析】（1）如图1，过点M作MR∥AB，可得CD∥MR∥AB．进而可以证明；
（2）根据角平分线的定义得到∠CHM=∠MHG，由（1）知∠M=∠AGM+∠MHC，等量代换得到∠M=∠MQG，根据平角的定义即可得到结论；
（3）如图3，令∠AGM=2α，∠CHM=β，则∠N=2α，∠M=2α+β，过点H作HT∥GN，可得∠MHT=∠N=2α，∠GHT=∠FGN=2β，进而可得结论．
（1）
如图1，过点M作MR∥AB，
又∵AB∥CD，
∴CD∥MR∥AB．
∴∠GMR＝∠AGM，∠HMR＝∠CHM．
∴∠GMH＝∠GMR＋∠RMH＝∠AGM＋∠CHM．
（2）
∠M＋∠HQG＝180°，
理由：∵MH是∠CHG的平分线，
∴∠CHM＝∠MHG，
由（1）知∠M＝∠AGM＋∠MHC，
∵∠MQG＝∠HGQ＋∠MHG，∠AGM＝∠HGQ，
∴∠M＝∠MQG，
∵∠MQG＋∠HQG＝180°，
∴∠M＋∠HQG＝180°．
（3）
如图3，令∠AGM＝2α，∠CHM＝β，则∠N＝2α，∠M＝2α＋β，
∵射线GH是∠BGM的平分线，
∴∠FGM＝12∠BGM＝12（180°－∠AGM）＝90°－α，
∴∠AGH＝∠AGM＋∠FGM＝2α＋90°－α＝90°＋α，
∵∠M＝∠N＋12∠FGN，
∴2α＋β＝2α＋12∠FGN，
∴∠FGN＝2β，
过点H作HT∥GN，
则∠MHT＝∠N＝2α，∠GHT＝∠FGN＝2β，
∴∠GHM＝∠MHT＋∠GHT＝2α＋2β，
∠CHG＝∠CHM＋∠MHT＋∠GHT＝β＋2α＋2β＝2α＋3β，
∵AB∥CD，
∴∠AGH＋∠CHG＝180°，
∴90°＋α＋2α＋3β＝180°，
∴α＋β＝30°，
∴∠GHM＝2（α＋β）＝60°．
【点睛】本题考查了平行线的判定与性质，解决本题的关键是掌握平行线的判定与性质．
10．（2020春·江苏南京·七年级校考期中）已知的三角形的三个内角的度数和是180°，如图是两个三角板不同位置的摆放，其中∠ACB=∠CDE=90°，∠BAC=60°，∠DEC=45°．
(1)当AB∥DC时，如图①，求∠DCB的度数．
(2)当CD与CB重合时，如图②，判断DE与AC的位置关系，并说明理由．
(3)如图③，当∠DCB等于______度时，AB∥EC．（直接写出答案）
【答案】(1)30°
(2)DE∥AC
(3)15
【分析】（1）根据AB∥DC，运用平行线的性质，求得∠DCB的度数；
（2）根据∠ABE+∠BAC=180°，运用平行线的判定，得出DE∥AC；
（3）根据AB∥CE，求得∠ECB=30°，再根据∠DCE=45°，求得∠DCB的度数．
【详解】（1）解：∵∠ACB=90°，∠BAC=60°，
∴∠B=180°-90°-60°=30°，
∵AB∥DC，
∴∠DCB=∠B=30°；
（2）解：DE∥AC．
当CD与CB重合时，∠CDA=∠CBA=30°，
∴∠ADE=∠CDE+∠CDA=90°+30°=120°，
∵∠BAC=60°，
∴∠ABE+∠BAC=180°，
∴DE∥AC；
（3）解：当AB∥CE时，∠B=∠ECB=30°，
又∵∠DCE=45°，
∴∠DCB=45°-30°=15°．
故答案为：15．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质与判定，解题时注意：平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系，平行线的性质是由平行关系来得出角的数量关系．
11．（2022春·江苏扬州·七年级校考阶段练习）已知，直线AB∥DC，点P为平面上一点，连接AP与CP．
(1)如图1，点P在直线AB、CD之间，当∠BAP＝60°，∠DCP＝20°时，求∠APC．
(2)如图2，点P在直线AB、CD之间，∠BAP与∠DCP的角平分线相交于点K，写出∠AKC与∠APC之间的数量关系，并说明理由．
(3)如图3，点P落在CD外，∠BAP与∠DCP的角平分线相交于点K，∠AKC与∠APC有何数量关系？并说明理由．
【答案】(1)∠APC=80°；
(2)∠AKC=12∠APC，理由见解析
(3)∠AKC=12∠APC，理由见解析
【分析】（1）先过P作PE∥AB，根据平行线的性质即可得到∠APE=∠BAP，∠CPE=∠DCP，再根据∠APC=∠APE+∠CPE=∠BAP+∠DCP进行计算即可；
（2）过K作KE∥AB，根据KE∥AB∥CD，可得∠AKE=∠BAK，∠CKE=∠DCK，进而得到∠AKC=∠AKE+∠CKE=∠BAK+∠DCK，同理可得，∠APC=∠BAP+∠DCP，再根据角平分线的定义，得出∠BAK+∠DCK=12∠BAP+12∠DCP=12（∠BAP+∠DCP）=12∠APC，进而得到∠AKC=12∠APC；
（3）过K作KE∥AB，根据KE∥AB∥CD，可得∠BAK=∠AKE，∠DCK=∠CKE，进而得到∠AKC=∠AKE-∠CKE=∠BAK-∠DCK，同理可得，∠APC=∠BAP-∠DCP，再根据角平分线的定义，得出∠BAK-∠DCK=12∠BAP-12∠DCP=12（∠BAP-∠DCP）=12∠APC，进而得到∠AKC=12∠APC．
（1）
解：如图1，过P作PE∥AB，
∵AB∥CD，
∴PE∥AB∥CD，
∴∠APE=∠BAP，∠CPE=∠DCP，
∴∠APC=∠APE+∠CPE=∠BAP+∠DCP=60°+20°=80°；
（2）
解：∠AKC=12∠APC．
理由：如图2，过K作KE∥AB，
∵AB∥CD，
∴KE∥AB∥CD，
∴∠AKE=∠BAK，∠CKE=∠DCK，
∴∠AKC=∠AKE+∠CKE=∠BAK+∠DCK，
过P作PF∥AB，
同理可得，∠APC=∠BAP+∠DCP，
∵∠BAP与∠DCP的角平分线相交于点K，
∴∠BAK+∠DCK=12∠BAP+12∠DCP=12（∠BAP+∠DCP）=12∠APC，
∴∠AKC=12∠APC；
（3）
解：∠AKC=12∠APC．
理由：如图3，过K作KE∥AB，
∵AB∥CD，
∴KE∥AB∥CD，
∴∠BAK=∠AKE，∠DCK=∠CKE，
∴∠AKC=∠AKE-∠CKE=∠BAK-∠DCK，
过P作PF∥AB，
同理可得，∠APC=∠BAP-∠DCP，
∵∠BAP与∠DCP的角平分线相交于点K，
∴∠BAK-∠DCK=12∠BAP-12∠DCP=12（∠BAP-∠DCP）=12∠APC，
∴∠AKC=12∠APC．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质以及角平分线的定义的运用，解决问题的关键是作平行线构造内错角，依据两直线平行，内错角相等进行计算．
12．（2022春·江苏南通·七年级统考期末）如图，△ABC中，∠ACB=90°，BD平分∠ABC交△ABC的边AC于点D，E为直线AC上一点，过点E向直线AC的右边作射线EF，使EF∥BC，作∠CEF的平分线EG交射线BD于点G．
(1)如图1，∠ABC=40°，点E与点A重合，求∠G的度数；
(2)若∠ABC=α，
①如图2，点E在DC的延长线上，求∠G的度数（用含有α的式子表示）；
②点E在直线AC上滑动，当存在∠G时，其度数是否发生变化？若不变，请说明理由；若变化，请直接用含α的式子表示∠G的度数．
【答案】(1)65°
(2)①45°−12α；②变化，45°−12α或45°+12α
【分析】(1)过G作GM∥BC交AB于点M，根据平行线的性质及角平分线的定义，可得∠MGB=∠GBC=12∠ABC=20°，∠EGM=∠FEG=12∠CEF=45°，据此即可求得；
(2)①过G作GM∥BC交AB于点M，根据平行线的性质及角平分线的定义，可得∠MGB=∠GBC=12∠ABC=12α，∠EGM=∠FEG=12∠CEF=45°，据此即可求得；②根据(1)和①即可解答．
(1)
解：如图1，过G作GM∥BC交AB于点M．
∵EF∥BC，
∴EF∥BC∥GM，
∴∠EGM=∠FEG，∠MGB=∠GBC．
∵BD平分∠ABC，∠ABC=40°，
∴∠GBC=12∠ABC=12×40°=20°．
∵EF∥BC，
∴∠CEF=∠ACB=90°．
∵EG平分∠CEF，
∴∠FEG=12∠CEF=12×90°=45°．
∴∠AGB=∠EGM+∠MGB=∠FEG+∠GBC=65°．
(2)
解：①如图2，过G作GM∥BC交AB于点M．
∵EF∥BC，
∴EF∥BC∥GM．
∵BD平∠ABC，EG平分∠CEF，
∴∠GBC=12∠ABC=12a ，∠FEG=12∠CEF=12×90°=45°．
∴∠BGE=∠MGE−∠MGB=∠FEG−∠GBC=45°−12α．
②变化；
当点E在点D的上方时，方法同(1)可得，∠G=45°+12α，
当点E在点D的下方时，方法同①可得，∠G=45°−12α，
故当存在∠G时，其度数发生变化，度数为45°−12α或45°+12α．
【点睛】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，作出辅助线和采用分类讨论的思想是解决本题的关键．
13．（2022春·江苏南京·七年级统考期末）（1）如图1，AC平分∠DAB，∠1=∠2，试说明AB与CD的位置关系，并予以证明；
（2）如图2，在（1）的结论下，AB的下方点Р满足∠ABP=38°，G是CD上任一点，PO平分∠BPG，PQ∥GN，GM平分∠DGP，下列结论：①∠DGP−∠MGN的值不变；②∠MGN的度数不变．可以证明，只有一个是正确的，请你作出正确的选择并求值．
【答案】（1）AB∥CD，证明见解析；（2）②正确，19°
【分析】（1）由AC平分ÐDAB，Ð1=Ð2，可得∠2=∠BAC,进而即可得到结论；
（2）由角平分线的定义和三角形外角的性质，可得∠MGP=12（∠BPG+∠B），由PQ∥GN，得∠NGP=∠GPQ=12∠BPG，进而由∠MGN=∠MGP-∠NGP，即可得到结论．
【详解】解：（1）AB∥CD．
理由如下：∵AC平分∠DAB，
∴∠1=∠BAC．
∵∠1=∠2，
∴∠BAC=∠2，
∴AB∥CD；
（2）②正确
如图，根据三角形的外角性质，∠1=∠BPG+∠B，
∵PQ平分∠BPG，GM平分∠DGP，
∴∠GPQ=12∠BPG，∠MGP=12∠DGP．
∵AB∥CD，
∴∠1=∠DGP，
∴∠MGP=12∠BPG+∠B．
∵PQ∥GN，
∴∠NGP=∠GPQ=12∠BPG，
∴∠MGN=∠MGP−∠NGP=12∠BPG+∠B−12∠BPG=12∠B=12×38°=19°，
∴②∠MGN的度数不变．
【点睛】本题主要考查角平分线的性质定理与平行线的性质和判定定理，理清角的和差倍分关系，是解题的关键．
14．（2022春·江苏常州·七年级统考期末）去年汛期期间，防汛指挥部在某重要河流的一段危险地带两岸各安置了一探照灯，便于夜间查看河水及两岸河堤的情况．如图1，灯A射线自AM顺时针旋转至AN便立即回转，灯B射线自BP顺时针旋转至BQ便立即回转，两灯不停交叉照射巡视．若灯A转动的速度是15度/秒，灯B转动的速度是5度/秒．假定这一带两岸河堤是平行的，即PQ∥MN，且∠BAN=45°．
(1)若灯B射线先转动4秒，灯A射线才开始转动，在灯B射线到达BQ之前，A灯转动几秒，两灯的光束互相平行？
(2)如图2，两灯同时转动，在灯A射线到达AN之前．若灯A射出的光束与灯B射出的光束交于点C，过C作CD⊥AC交PQ于点D，则在转动过程中，∠BAC与∠BCD的数量关系是否发生变化？若不变，请直接写出其数量关系；若改变，请说明理由．
【答案】(1)2秒或17秒
(2)不变，2∠BAC=3∠BCD
【分析】（1）设A灯转动x秒时两灯的光束互相平行，分两种情况进行讨论：①在灯A射线转到AN之前；②在灯A射线转到AN之后．分别求得x的值即可．
（2）设灯A转动的时间为x秒，根据角的和差关系分别用含x的代数式表示出∠BAC和∠BCD，即可得到两角的数量关系．
(1)
设A灯转动x秒时两灯的光束互相平行，
①当0＜x＜12时，
15x＝(x＋4)×5，
解得x＝2；
②12＜x＜24时，
180−15(x−12)＝(4＋x)×5，
解得x＝17；
③24＜x＜32时，
15(x−24)＝(4＋x)×5，
解得x＝38，
38＞32，不符合题意，舍去．
综上所述，当A灯转动2秒或17秒时两灯的光束互相平行．
(2)
设灯A转动的时间为x秒，
则∠MAC＝15x，∠PBC＝5x．
∴∠CAN＝180°−15x，
∴∠BAC＝45°−（180°−15x）＝15x−135°，
∵PQ∥MN，
∴∠BCA＝∠PBC＋∠CAN＝180°−10x．
∵∠ACD＝90°，
∴∠BCD＝90°−∠BCA＝10x−90°＝10（x−9°），
∵∠BAC＝15x−135°＝15（x−9°），
∴∠BAC：∠BCD＝3：2，
即2∠BAC＝3∠BCD．
【点睛】本题考查了平行线的性质及角的和差关系，分类讨论是解题的关键．
15．（2022春·江苏盐城·七年级景山中学校考期中）如图：已知，∠HCO＝∠EBC，∠BHC+∠BEF＝180°．
(1)求证：EF∥BH；
(2)若BH平分∠EBO，EF⊥AO于F，∠HCO＝64°，求∠CHO的度数．
【答案】(1)见解析
(2)58°
【分析】（1）要证明EF//BH，可通过∠E与∠EBH互补求得，利用平行线的性质说明∠EBH=∠CHB可得结论；
（2）要求∠CHO的度数，可通过平角和∠FHC求得，利用（1）的结论及角平分线的性质求出∠FHB及∠BHC的度数即可．
【详解】（1）证明：∵∠HCO=∠EBC，
∴EB//HC，
∴∠EBH=∠CHB．
∵∠BHC+∠BEF=180°，
∴∠EBH+∠BEF=180°．
∴EF//BH；
（2）解：∵∠HCO=∠EBC，
∴∠HCO=∠EBC=64°，
∵BH平分∠EBC，
∴∠EBH=∠CHB=12∠EBC=32°．
∵EF⊥AO，EF//BH，
∴∠BHA=90°，
∴∠FHC=∠BHA+∠CHB=122°．
∴∠CHO=180°−∠FHC=180°−122°=58°．
【点睛】本题考查了平行线的性质和判定、角平分线的性质等知识点，理解题意学会分析是解决此类问题的关键．
16．（2022春·江苏南京·七年级南京外国语学校校考期中）对于平面内的∠M和∠N，若存在一个常数k>0，使得∠M+k∠N=360°，则称∠N为∠M的k系补周角，若∠M=90°,∠N=45°，则∠N为∠M的6系补周角．
(1)若∠H=80°，则∠H的4系补周角的度数为__________°．
(2)在平面内AB∥CD，点E是平面内一点，连接BE、DE．
①如图1，∠D=60°，若∠B是∠E的3系补周角，求∠B的度数．
②如图2，∠ABE和∠CDE均为钝角，点F在点E的右侧，且满足∠ABF=n∠ABE，∠CDF=n∠CDE（其中n为常数且n>1），点P是∠ABE角平分线BG上的一个动点，在P点运动过程中，请你确定一个点P的位置，使得∠BPD是∠F的k系补周角，写出你的解题思路并求出此时的k值（用含n的式子表示）．
【答案】(1)70°
(2)①75°；②当BG上的动点P为∠CDE的角平分线与BG的交点时，满足∠BPD是∠F的k系补周角，此时k=2n
【分析】（1）根据题中新定义列出方程求解，即可得出答案．
（2）①过点E作EF∥AB，得∠B+∠D=∠BED，由∠D=60°，∠B是∠E的3系补周角，列出∠B的方程，即可求出∠B的度数．
②根据k系补周角的定义先确定点P的位置，再结合∠ABF=n∠ABE，∠CDF=n∠CDE求解与n的关系即可求解．
（1）
解：设∠H的4系补周角为x，根据题意，
有80＋4x＝360
解得x＝70°．
故答案为：70°．
（2）
①解：如图，过点E作EF∥AB，
∴∠B=∠BEF，
∵AB∥CD,EF∥AB
∴EF∥CD，
∵∠D=60°，
∴∠D=∠DEF=60°，
∵∠B+60°=∠BEF+∠DEF，
即∠B+60°=∠BED
∵∠B是∠BED的3系补周角，
∴∠BED+3∠B=360°，
∴∠B+60°+3∠B=360°，
∴∠B=75°．
②解：当BG上的动点P为∠CDE的角平分线与BG的交点时，满足∠BPD是∠F的k系补周角，此时k=2n．
若∠BPD是∠F的k系补周角，
则∠F＋k∠BPD=360°，
∴k∠BPD=360°－∠F，
由图可知∠ABF+∠CDF+∠F=360°，即∠ABF+∠CDF=360°−∠F，
∴k∠BPD＝∠ABF+∠CDF，
又∵∠ABF=n∠ABE，∠CDF=n∠CDE，
∴k∠BPD＝n∠ABE＋n∠CDE，
∵∠BPD＝∠PHD＋∠PDH，AB∥CD，PG平分∠ABE，PD平分∠CDE，
∴∠PHD＝∠ABH＝12 ∠ABE，∠PDH＝12 ∠CDE，
∴k2＝∠ABE+∠CDE＝n∠ABE+∠CDE
∴k=2n．
【点睛】本题主要考查平行线的性质与判定、角平分线的定义，理解题意是解题的关键．
17．（2022春·江苏常州·七年级统考期中）问题情境：如图①，直线AB∥CD，点E，F分别在直线AB，CD上．
(1)猜想：若∠1=130°，∠2=150°，试猜想∠P=______°；
(2)探究：在图①中探究∠1，∠2，∠P之间的数量关系，并证明你的结论；
(3)拓展：将图①变为图②，若∠1+∠2=325°，∠EPG=75°，求∠PGF的度数．
【答案】(1)80°
(2)∠P=360°−∠1−∠2；证明见详解
(3)140°
【分析】（1）过点P作MN∥AB，利用平行的性质就可以求角度，解决此问；
（2）利用平行线的性质求位置角的数量关系，就可以解决此问；
（3）分别过点P、点G作MN∥AB、KR∥AB，然后利用平行线的性质求位置角的数量关系即可．
（1）
解：如图过点P作MN∥AB，
∵AB∥CD，
∴AB∥MN∥CD．
∴∠1+∠EPN=180°，
∠2+∠FPN=180°．
∵∠1=130°，∠2=150°，
∴∠1+∠2+∠EPN+∠FPN=360°
∴∠EPN+FPN=360°−130°−150°=80°．
∵∠P=∠EPN+∠FPN，
∴∠P=80°．
故答案为：80°；
（2）
解：∠P=360°−∠1−∠2，理由如下：
如图过点P作MN∥AB，
∵AB∥CD，
∴AB∥MN∥CD．
∴∠1+∠EPN=180°，
∠2+∠FPN=180°．
∴∠1+∠2+∠EPN+∠FPN=360°
∵∠EPN+∠FPN=∠P，
∠P=360°−∠1−∠2．
（3）
如图分别过点P、点G作MN∥AB、KR∥AB
∵AB∥CD，
∴AB∥MN∥KR∥CD．
∴∠1+∠EPN=180°，
∠NPG+∠PGR=180°，
∠RGF+∠2=180°．
∴∠1+∠EPN+∠NPG+∠PGR+RGF+∠2=540°
∵∠EPG=∠EPN+∠NPG=75°，
∠PGR+∠RGF=∠PGF，
∠1+∠2=325°，
∴∠PGF+∠1+∠2+∠EPG=540°
∴∠PGF=540°−325°−75°=140°
故答案为：140°．
【点睛】本题考查了平行线的性质定理，准确的作出辅助线和正确的计算是解决本题的关键．
18．（2022·江苏·七年级假期作业）如图，已知MN∥PQ，点A是直线MN上一个定点，点B在直线PQ上运动，设∠ABQ=α，在射线AM上取一点C，作∠ACD＝52°，CD交PQ于D．
(1)如图1，当∠BAN=108°+α时，α=______°；
(2)作∠ABQ的平分线BE，若BE⊥CD，垂足为E，如图2，求α的值；
(3)作∠ACD的角平分线CF，若CF与AB相交，当CF与AB的夹角是60°时，直接写出α的值：______
【答案】(1)36
(2)76°
(3)94°
【分析】（1）根据平行线的性质及邻补角定义求解即可；
（2）根据平行线的性质及角平分线定义求解即可；
（3）根据平行线的性质、三角形内角和及角平分线定义求解即可．
（1）
解：∵MN∥PQ，
∴∠MAB=∠ABQ=α，
∵∠MAB+∠BAN=180°，
∴∠BAN=180°-α，
∵∠BAN=108°+α，
∴α=36°，
故答案为：36；
（2）
解∶ ∵MN∥PQ，
∴∠CDB=∠ACD=52°，
∵BE⊥CD，
∴∠BED=90°，
∴∠EBD=90°-∠CDB=38°，
∵BE是∠ABQ的平分线，
∴∠ABQ=2∠EBD=76°，
即α=76°；
（3）
如图，作∠ACD的角平分线CF，CF与AB相交于点G，∠AGC=60°，
∵∠ACD=52°，CF为∠ACD的角平分线，
∴∠ACG=12∠ACD=26°，
∵MN∥PQ，
∴∠GFB=∠ACG=26°，
∵∠FGB=∠AGC=60°，
∴∠GBF=180°-∠FGB-∠GFB=180°-60°-26°=94°，
即∠ABQ=94°，
∴α=94°，
故答案为：94°．
【点睛】此题考查了平行线的性质，角平分线的定义等知识，熟记平行线的性质定理是解题的关键．
19．（2022春·江苏宿迁·七年级统考期中）【数学抽象】实验证明：平面镜反射光线的规律是射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的锐角相等，如图①，一束光线m射到平面镜a上，被a反射后的光线为n，则入射光线m，反射光线n与平面镜a所夹的锐角相等，即∠1=∠2．
(1)利用这个规律人们制作了潜望镜，图②是潜望镜工作原理示意图，AB、CD是平行放置的两面平面镜，请解释进入潜望镜的光线m为什么和离开潜望镜的光线n是平行的？
(2)如图③，改变两平面镜之间的位置关系，经过两次反射后，入射光线m与反射光线n之间的位置关系会随之改变．若入射光线m与反射光线n平行但方向相反，则两平面镜的夹角∠ABC为多少度？
【答案】(1)见解析；
(2)90°
【分析】（1）根据平行线的性质及等量代换、平角的概念即可得证；
（2）根据平行线的性质、平角的概念及等量代换即可求得答案．
(1)
证明：由题可知AB//CD，∠1=∠2，∠3=∠4，
∵AB//CD，
∴∠2=∠3，
∴∠1=∠2= ∠3=∠4，
∵∠5=180°−∠1−∠2，∠6=180°−∠3−∠4，
∴∠5=∠6，
∴m//n；
(2)
∠ABC=90°，
由题可知AD//CE，∠1=∠2，∠3=∠4，
∵AD//CE，
∴∠DAC+∠ACE=180°，
又∵∠1+∠2+∠DAC=180°，∠3+∠4+∠ACE=180°，
∴∠2+∠3=90°，
∴∠B=90°.
【点睛】本题考查了平行线的性质、平角的概念，能够将实际问题转化为我们所学的数学知识是解题的关键．
20．（黑龙江省哈尔滨市南岗区虹桥中学2021-2022学年七年级上学期期中数学素养测试题）已知，∠ATM+∠DRN=180°．
(1)如图1，求证AB∥CD：
(2)如图2，点E位平面内一点，连接BE、CE，求证：∠E=∠C+∠B；
(3)如图3，在（2）的条件下，过点E作线段EF，连接BF，且∠EBF=∠F，∠ABF=45°，过点B作BG∥EF交CE于点G，若∠BEC=2∠ABE，EH=4，EF−BG=2，且△BEF的面积为36时，求线段EF的长．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)EF=10
【分析】（1）根据同角的补角相等，得出∠ATR=∠DRN，再根据平行线的判定即可得出答案；
（2）过点E作EF∥AB，根据AB∥CD得出AB∥EF∥CD，根据平行线的性质得出∠B=∠BEF，∠C=∠CEF，即可得出答案；
（3）先根据三角形内角和定理及已知角度之间的关系，得出∠FEH=90°，再根据平行线的性质得出∠BGH=∠FBH=90°，从而得出BG⊥EC，EF⊥EC，根据三角形的面积公式得出BG+EF=18，结合已知条件EF−BG=2，即可求出结果．
【详解】（1）证明：∵∠ATM+∠DRN=180°，∠ATM+∠ATR=180°，
∴∠ATR=∠DRN，
∴AB∥CD．
（2）证明：过点E作EF∥AB，如图所示：
∵AB∥CD，
∴AB∥EF∥CD，
∴∠B=∠BEF，∠C=∠CEF，
∴∠BEC=∠BEF+∠CEF=∠B+∠C．
（3）解：∵∠BEF+∠EFB+∠EBF=180°，
∴∠FEH+∠HEB+∠EFB+∠EBF=180°，
∵∠EFB=∠EBF，∠BEH=2∠ABE，
∴∠FEH+2∠ABE+2∠EBF=180°，
即∠FEH=180°−2∠ABE+∠EBF，
∵∠ABE+∠EBH=∠ABF=45°，
∴∠FEH=180°−2×45°=90°，
∵BG∥EF，
∴∠BGH=∠FBH=90°，
∴BG⊥EC，EF⊥EC，
∴S△BEF=S△BEH+S△FEH
=12EH⋅BG+12EH⋅EF
=12EHBG+EF
=2BG+EF，
∵△BEF的面积为36，
∴36=2BG+EF，
∴BG+EF=18①，
∵EF−BG=2②，
①+②得：2EF=20，
∴EF=10．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质和判定，平行公理，三角形内角和定理的应用，补角的性质，解题的关键是作出辅助线，证明BG⊥EC，EF⊥EC．
21．（重庆市铜梁区铜梁区巴川初级中学校2021-2022学年七年级下学期9月月考数学试题）课题学习：平行线的“等角转化”功能．
(1)阅读理解：如图1，已知点A是BC外一点，连接AB、AC，求∠B+∠BAC+∠C的度数．阅读并补充下面推理过程．
解：过点A作ED∥BC，
∴ ∠B= ，∠C ，
∵ ∠EAB+∠BAC+∠DAC=180°，
∴ ∠B+∠BAC+∠C=180°．
解题反思：从上面的推理过程中，我们发现平行线具有“等角转化”的功能，将∠BAC、∠B、∠C“凑”在一起，得出角之间的关系，使问题得以解决．
(2)方法运用：如图2，已知AB∥ED，求∠B+∠BCD+∠D的度数；
(3)深化拓展：已知AB∥CD，点C在点D的右侧，∠ADC=50°，BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，BE，DE所在的直线交于点E，点E在直线AB与CD之间．
①如图3，点B在点A的左侧，若∠ABC=36°，求∠BED的度数．
②如图4，点B在点A的右侧，且AB
(2)360°
(3)①43°；②(205−12n)°
【分析】（1）由“两直线平行，内错角相等”可得结果；
（2）过C作CF∥AB，利用“两直线平行，同旁内角互补”可以求得结果；
（3）①过E作EG∥AB，利用角平分线的概念求得∠EDC＝12∠ADC＝25°，∠ABE＝12∠ABC＝18°，再利用“两直线平行，内错角相等”导角即可；②过E作PE∥AB，利用角平分线的概念求得∠PED＝∠EDC＝25°，∠ABE＝12∠ABC＝12n°，再利用平行线的性质导角即可．
【详解】（1）解：∵ ED∥BC，
∴ ∠B=∠EAB，∠C=∠DAC（两直线平行，内错角相等）；
故答案为：∠EAB；∠DAC
（2）解：过C作CF∥AB，
∵ AB∥DE，
∴ CF∥DE，
∴ ∠D+∠FCD=180°，
∵ CF∥AB，
∴ ∠B+∠FCB=180°，
∴ ∠B+∠FCB+∠FCD+∠D=360°，
∴ ∠B+∠BCD+∠D=360°；
（3）解：①过E作EG∥AB，
∵ AB∥DC，
∴ EG∥CD，
∴ ∠GED＝∠EDC，
∵ DE平分∠ADC，
∴ ∠EDC＝12∠ADC＝25°，
∴ ∠GED＝25°，
∵ BE平分∠ABC，
∴ ∠ABE＝12∠ABC＝18°，
∵ GE∥AB，
∴ ∠BEG＝∠ABE＝18°，
∴ ∠BED＝∠GED+∠BEG＝25°+18°＝43°；
②过E作PE∥AB，
∵ AB∥CD，
∴ PE∥CD，
∴ ∠PED＝∠EDC＝25°，
∵ BE平分∠ABC，∠ABC＝n°，
∴ ∠ABE＝12∠ABC＝12n°，
∵ AB∥PE，
∴ ∠ABE+∠PEB=180°，
∴ ∠PEB＝180°－12n°，
∴ ∠BED＝∠PEB+∠PED＝(205−12n)°．
【点睛】本题考查了平行线的性质、平行线的传递性以及角平分线的概念，作出辅助线构造平行线导角是解决本题的关键．
22．（广东省东莞市松山湖实验中学2020-2021学年七年级下学期期中数学试卷）请作答：
(1)图1，图2均是由一块三角板和一把直尺拼成的图形，三角板的两直角边与直尺的两边重合，∠ACB=90∘，DF∥CG，AB与FD相交于点E，有一动点P在边BC上运动，连接PE，PA，记∠PED=∠α，∠PAC=∠β．
①如图1，当点P在C，D两点之间运动时，请直接写出∠APE与∠α，∠β之间的数量关系；
②如图2，当点P在B，D两点之间运动时，∠APE与∠α，∠β之间有何数量关系？请判断并说明理由；
(2)当点P在C，D两点之间运动时，若∠PED，∠PAC的角平分线EN，AN相交于点N，请直接写出∠ANE与∠α，∠β之间的数量关系．
【答案】(1)①∠APE=∠α+∠β；②∠APE=∠β−∠α，理由见解析
(2)∠ANE=12(∠α+∠β)
【分析】（1）①过点P作PQ∥DF，先根据平行线的性质可得∠QPE=∠α，∠QPA=∠β再根据∠APE=∠QPE+∠QPA即可得；
②过点P作PQ∥DF，先根据平行线的性质可得∠QPE=∠α，∠QPA=∠β，再根据∠APE=∠QPA−∠QPE即可得；
（2）先根据角平分线的定义可得∠NED=12∠α，∠NAC=12∠β过点N作NQ∥DF，再根据平行线的性质可得∠QNE=∠NED=12∠α，∠QNA=∠NAC=12∠β，然后根据∠ANE=∠QNE+∠QNA即可得．
（1）
解：①∠APE=∠α+∠β，理由如下：
如图，过点P作PQ∥DF，如图所示：
∴∠QPE=∠α，
∵DF∥CG，
∴PQ∥CG，
∴∠QPA=∠β，
∴∠APE=∠QPE+∠QPA=∠α+∠β；
②∠APE=∠β−∠α，理由如下：
如图，过点P作PQ∥DF，
∴∠QPE=∠α，
∵DF∥CG，
∴PQ∥CG，
∴∠QPA=∠β，
∴∠APE=∠QPA−∠QPE=∠β−∠α．
（2）
解：∠ANE=12(∠α+∠β)，理由如下：
∵EN，AN分别平分∠PED，∠PAC，
∴∠NED=12∠PED=12∠α，∠NAC=12∠PAC=12∠β，
如图，过点N作NQ∥DF，
∴∠QNE=∠NED=12∠α，
∵DF∥CG，
∴NQ∥CG，
∴∠QNA=∠NAC=12∠β，
∴∠ANE=∠QNE+∠QNA=12∠α+12∠β=12(∠α+∠β)．
【点睛】本题考查了平行线的判定和性质、角平分线的定义等知识点，过拐点作平行线，利用平行线的判定与性质是解题关键．
23．（河北省衡水市武邑县武罗学校2021-2022学年七年级下学期期末数学试卷）【发现】如图1，CE平分∠ACD，AE平分∠BAC．
(1)当∠EAC＝∠ACE＝45°时，AB与CD的位置关系是______；
当∠EAC＝50°，∠ACE＝40°时，AB与CD的位置关系是______；
当∠EAC+∠ACE＝90°，请判断AB与CD的位置关系并说明理由；
(2)【探究】如图2，AB∥CD，M是AE上一点，∠AEC＝90°保持不变，移动顶点E，使CE平分∠MCD，∠BAE与∠MCD存在怎样的数量关系？并说明理由，
(3)【拓展】如图3，AB∥CD，P为线段AC上一定点，Q为直线CD上一动点，且点Q不与点C重合．直接写出∠CPQ+∠CQP与∠BAC的数量关系．
【答案】(1)AB∥CD；AB∥CD；AB∥CD，理由见解析
(2)∠BAE+12∠MCD＝90°，理由见解析
(3)∠BAC＝∠PQC+∠QPC或∠PQC+∠QPC+∠BAC＝180°
【分析】（1）由角平分线的定义得∠BAC＝2∠EAC，∠ACD＝2∠ACE，则∠BAC+∠ACD＝180°，可得结论AB∥CD；
（2）过点E作EF∥AB，利用平行线的性质可得答案；
（3）利用平行线的性质和三角形内角和定理可得答案．
【详解】（1）解：当∠EAC＝∠ACE＝45°时，AB∥CD，理由如下：
∵CE平分∠ACD，AE平分∠BAC，
∴∠BAC＝2∠EAC，∠ACD＝2∠ACE，
∵∠EAC＝∠ACE＝45°，
∴∠BAC＝∠ACD＝90°，
∴∠BAC+∠ACD＝180°，
∴AB∥CD，
故答案为：AB∥CD；
当∠EAC＝50°，∠ACE＝40°时，AB∥CD，理由如下：
∵CE平分∠ACD，AE平分∠BAC，
∴∠BAC＝2∠EAC，∠ACD＝2∠ACE，
∵∠EAC＝50°，∠ACE＝40°
∴∠BAC＝100°，∠ACD＝80°，
∴∠BAC+∠ACD＝180°，
∴AB∥CD，
故答案为：AB∥CD；
当∠EAC+∠ACE＝90°，AB∥CD，理由如下：
∵CE平分∠ACD，AE平分∠BAC，
∴∠BAC＝2∠EAC，∠ACD＝2∠ACE，
∵∠EAC+∠ACE＝90°，
∴∠BAC+∠ACD＝180°，
∴AB∥CD；
（2）解：∠BAE+12∠MCD＝90°，理由如下：
过点E作EF∥AB，如图所示，
∵AB∥CD，
∴EF∥AB∥CD，
∴∠BAE＝∠AEF，∠FEC＝∠DCE，
∵∠AEC＝90°，
∴∠AEF+∠FEC＝∠BAE+∠ECD＝90°，
∵CE平分∠MCD，
∴∠ECD＝12∠MCD，
∴∠BAE+12∠MCD＝90°；
（3）解：分两种情况分类讨论，
第一种情况如图，当点Q在射线CD上运动时，∠BAC＝∠PQC+∠QPC，
理由：过点P作PE∥AB，
∵AB∥CD，
∴EP∥AB∥CD，
∴∠BAC＝∠EPC，∠PQC＝∠EPQ，
∵∠EPC＝∠EPQ+∠QPC
∴∠BAC＝∠PQC+∠QPC；
第二种情况如图，当点Q在射线CD的反向延长线上运动时（点C除外）∠PQC+∠QPC+∠BAC＝180°，
理由：∵AB∥CD，
∴∠BAC＝∠PCQ，
∵∠PQC+∠QPC +∠PCQ＝180°，
∴∠PQC+∠QPC+∠BAC＝180°，
综上，∠BAC＝∠PQC+∠QPC或∠PQC+∠QPC+∠BAC＝180°．
【点睛】本题考查平行线的性质，解题关键需要根据题意作出相关的辅助线，运用数形结合的思想方法，从图形中寻找角之间的位置关系，根据平行线的性质从而判断角之间的大小关系，同时注意运用分类讨论的思想方法．
24．（山西省忻州市代县2021-2022学年七年级下学期期末数学试题）如图1，AB∥CD，点E为直线AB，CD外一点．
(1)若AE⊥AB，∠C=65°，求出∠E的度数．
(2)如图2，点F在BA的延长线上，连接BE，EF，若CE⊥CD，EF平分∠AEC，∠B=∠AEB，求∠BEF的度数：
(3)如图3，在（2）的条件下，过点F作∠BFG=∠BFE，交EC的延长线于点G，延长EF交CD于点H，过点F作FI∥BE交CD于点I．当FH平分∠IFG时，请直接写出∠CHF的度数．
【答案】(1)25°
(2)45°
(3)67.5°
【分析】（1）首先延长BA，则易得AB∥CD，然后由两直线平行，同位角相等，即可证得：∠E+∠C=90°；
（2）过点E作EN∥AB，易证∠NEB=∠AEB， 再根据平行公理的推论可得EN∥CD，再证得∠ECD=90°，进一步证明∠BEF=∠AEF+∠AEB，即可得出∠BEF；
（3）根据平行线的性质得出∠HIF=∠BFI=∠B，根据三角形外角的性质得出∠CHF=12∠IFG+∠HIF，然后根据已知条件和三角形外角定理即可求得∠CHF=12∠BFE+12∠B=12（180°-∠BEF-∠B）+12∠B=12（180°-45°-∠B）+12∠B=67.5°．
（1）
解：延长BA交CE于点M，
∵AB∥CD，∠C=65°
∴∠AME=∠C=65°
又∵AE⊥AB，
∴∠EAM=90°
∴∠E=90°−∠AME=25°；
（2）
如图，过点E作EN∥AB，
∴∠B=∠NEB，
∵∠B=∠AEB，
∴∠NEB=∠AEB，
∵EN∥AB，AB∥CD，
∴EN∥CD，
∵CE⊥CD，
∴∠ECD=90°，
∴∠CEN=180°−∠ECD=180°−90°=90°，
∵EF平分∠AEC，
∴∠AEF=∠FEC，
∴∠BEF=∠AEF+∠AEB=12∠AEC+∠AEN=12∠CEN=45°；
（3）
∵∠CHF=∠IFH+∠HIF，∠IFH=12∠IFG，
∴∠CHF=12∠IFG+∠HIF，
∵AB∥CD，FI∥BE.，
∴∠HIF=∠BFI=∠B，
∴∠IFG=∠BFG-∠B，
∴∠CHF=12∠IFG+∠HIF=12（∠BFG-∠B）+∠B=12∠BFG+12∠B
∵∠BFG=∠BFE，
∴∠CHF=12∠BFE+12∠B
=12（180°-∠BEF-∠B）+12∠B
=12（180°-45°-∠B）+12∠B
=67.5°
∴∠CHF=67.5°．
【点睛】本题考查了平行线的性质，平行公理的推论，三角形外角的性质等，熟练掌握这些性质是解题的关键．
25．（江苏省宿迁市泗阳县2021-2022学年七年级下学期期中数学试题）如图1，AB,AC被直线BC所截，点E是线段BC上一点，过点E作DE∥AB，连接BD,∠A=∠D=60°．
(1)BD与AC平行吗？为什么？
(2)将线段BD沿着直线BC进行平移，平移后得到的对应线段记为线段FG，连接EG；
①当线段FG在E点下方时，如图2，若∠EGF=15°，求∠DEG的度数．
②在整个平移的过程中，当∠EGF=3∠DEG时，求∠EGF的度数．
【答案】(1)BD∥AC；理由见解析
(2)①∠DEG＝75°；②∠EGF的值为45°或90°
【分析】（1）结论：BD∥AC，延长DE交AC于点T．利用平行线的性质以及判定证明即可；
（2）①过点E作EK∥BD，利用平行线的性质求解即可；
②分两种情形：当点F在线段BE上时，过点E作EK∥BD，当点F在点B的上方时，过点E作EK∥BD，分别利用平行线的性质求解即可．
（1）
解：结论：BD∥AC．理由如下：
延长DE交AC于点T，如图所示：
∵DT∥AB，
∴∠DTC＝∠A＝60°，
∵∠D＝60°，
∴∠D＝∠DTC，
∴BD∥AC．
（2）
①过点E作EK∥BD，
∵BD∥FG，
∴EK∥FG∥BD，
∴∠EGF＝∠KEG＝15°，∠DEK＝∠D＝60°，
∴∠DEG＝∠DEK＋∠KEG＝75°．
②当点F在线段BE上时，过点E作EK∥BD，如图所示：
∵BD∥FG，
∴EK∥FG∥BD，
∴∠EGF＝∠KEG，∠DEK＝∠D＝60°，
∴∠DEG＝60°−∠FGE，
∵∠EGF＝3∠DEG，
∴∠DEG＝15°，
∴∠EGF＝45°；
当点F在点B的上方时，过点E作EK∥BD，如图所示：
∵BD∥FG，
∴EK∥FG∥BD，
∴∠EGF＝∠KEG，∠DEK＝∠D＝60°，
∴∠DEG＝∠FGE−60°，
∵∠EGF＝3∠DEG，
∴∠DEG＝30°，
∴∠EGF＝90°．
综上所述，满足条件的∠EGF的值为45°或90°．
【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了平行线的判定和性质，平移变换等知识，解题关键是学会添加常用辅助线，构造平行线解决问题，属于中考常考题型．
26．（江苏省无锡市滨湖区2020-2021学年七年级下学期期中数学试题）如图①，已知直线a∥b，点O、C分别是直线a、b上的定点，点A从点O出发，沿射线OA的方向平移，点B从点C出发，沿射线CB的方向平移，且始终满足∠BCO＝∠BAO＝100°．
(1)求证：AB∥CO；
(2)如图②，若OF平分∠BOC，点E是直线b上的一个动点．
① 当∠AOB＝30°，且△EOB中有两个内角相等时，求∠EOF的度数；
② 当∠EOB＝∠AOB，且∠BOC＝6∠EOF时，求∠ABO的度数．
【答案】(1)见解析
(2)①95°，5°，50°或40°；②48°或60°
【分析】（1）根据a∥b，可得∠OCB+∠AOC=180°，再由∠BCO=∠BAO=100°．得出∠AOC+∠OAB=180°即可判断OC∥AB；
（2）①根据△EOB中有两个内角相等时，分别有4种可能性，分别画出相应的图形，依据角平分线，平行线的性质以及三角形内角和定理进行计算即可；
②分点E在点F的右侧或左侧两种情况，设∠AOB=α，利用含有α的代数式表示∠BOC，∠EOF，列方程求解即可．
（1）
证明：∵a∥b
∴∠AOC＋∠BCO=180°
∵∠BAO=∠BCO，
∴∠AOC＋∠BAO=180°，
∴AB∥CO．
（2）解：①∵a∥b，∠AOB=30°
∴∠FOB=∠AOB=30°
∵OC∥AB，∠BAO=100°
∴∠AOC=80°，
∴∠BOC=50°．
∵OF平分∠BOC，
∴∠BOF=12∠BOC=25°．
1°∠BEO=∠EBO=30°，
∴∠EOB=120°．
∴∠EOF=∠EOB−∠BOF=95°
2°∠BOE=∠EBO=30°
∴∠EOF=∠EOB−∠BOF=5°．
3°∠BOE=∠BEO=75°（点E在点B的左侧）
∴∠EOF=∠BOE−∠BOF=50°．
4°∠BOE=∠BEO（点E在点B的右侧），
∵∠CBO=∠BOE＋∠BEO=30°，
∴∠BOE=∠BEO=15°．
∴∠EOF=∠BOE＋∠BOF=40°．
综上∠EOF的度数为95°，5°，50°或40°．
②设∠EOF=x，则∠BOC=6x，
∴∠AOB=80°−6x．
∵OF平分∠BOC，
∴∠BOF=∠COF=3x．
1°点F在点E右侧，
∠EOB=∠BOF＋∠BOF=4x，
∵∠AOB=∠EOB，
∴80°−6x=4x，x=8°
∴∠ABO=∠BOC=48°．
2°点F在点E左侧，
∠EOB=∠BOF−∠BOF=2x，
∵∠AOB=∠EOB，
∴80°−6x=2x，x=10°．
∴∠ABO=∠BOC=60°．
综上，∠ABO的度数为48°或60°．
【点睛】本题考查平行线的性质，三角形内角和定理，掌握平行线的性质和判定，三角形内角和定理以及角角平分线的定义是正确解答的前提．
27．（广东省广州市白云区2021-2022学年七年级下学期期末数学试题）如图，点A，B，C，D四点共线，点E，F，G，H四点共线．BG，CF相交于点I，点J是直线AD与EH之间的一个动点，∠ABJ+∠J+∠EFJ=360°．
(1)求证：AD∥EH；
(2)若BJ平分∠DBG，FJ平分∠CFH，请探索并证明∠BIF和∠BJF之间的数量关系；
(3)若∠GBJ=13∠GBD，∠CFJ=13∠CFH，（2）中的结论还成立吗？若成立请证明；若不成立，请写出你认为正确的结论，并证明．
【答案】(1)证明见解析
(2)∠BIF=2∠BJF，证明见解析
(3)不成立；∠BJF=23∠BIF，证明见解析
【分析】（1）过点J作JP∥AD，根据平行线的性质即可得结论；
（2）过点J作JP∥AD，过点I作IQ∥AD，根据平行线的判定和性质以及角平分线的定义可得∠BIF=∠DBG+∠CFH，∠BJF=∠DBJ+∠HFJ，∠DBG=2∠DBJ，∠CFH=2∠HFJ，则∠DBG+∠CFH=2∠DBJ+∠HFJ，即可得到∠BIF和∠BJF之间的数量关系；
（3）过点J作JP∥AD，过点I作IQ∥AD，根据平行线的判定和性质和已知条件∠GBJ=13∠GBD，∠CFJ=13∠CFH得出∠BIF=∠DBG+∠CFH，∠BJF=∠DBJ+∠HFJ，∠DBJ=23∠GBD，∠HFJ=23∠CFH，则∠DBJ+∠HFJ=23∠GBD+∠CFH，从而得到∠BIF和∠BJF之间的数量关系．
（1）证明：如图，过点J作JP∥AD，∴∠ABJ+∠BJP=180°，∵∠ABJ+∠J+∠EFJ=360°，∴∠EFJ+∠FJP=360°−180°=180°，∴JP∥EH，∴AD∥EH．
（2）解：∠BIF=2∠BJF，证明如下：过点J作JP∥AD，过点I作IQ∥AD，由（1）知：AD∥EH，∴IQ∥EH，∴∠BIQ=∠DBG，∠FIQ=∠CFH，∴∠BIQ+∠FIQ=∠DBG+∠CFH，即∠BIF=∠DBG+∠CFH，∵JP∥AD，∴∠BJP=∠DBJ，又∵AD∥EH，∴JP∥EH，∴∠FJP=∠HFJ，∴∠BJP+∠FJP=∠DBJ+∠HFJ，即∠BJF=∠DBJ+∠HFJ，∵BJ平分∠DBG，FJ平分∠CFH，∴∠DBG=2∠DBJ，∠CFH=2∠HFJ，∴∠DBG+∠CFH=2∠DBJ+∠HFJ，∴∠BIF=2∠BJF．
（3）如图，（2）中的结论不成立，正确的结论是∠BJF=23∠BIF，证明如下：过点J作JP∥AD，过点I作IQ∥AD，由（2）得：∠BIF=∠DBG+∠CFH，∠BJF=∠DBJ+∠HFJ，∵∠GBJ=13∠GBD，∠CFJ=13∠CFH，∴∠DBJ=23∠GBD，∠HFJ=23∠CFH，∴∠DBJ+∠HFJ=23∠GBD+∠CFH，∴∠BJF=23∠BIF
【点睛】本题考查了平行线的判定和性质，平行公理的推论，角平分线的定义等知识．正确添加辅助线、熟练掌握平行线的判定和性质是解题的关键．
28．（北京市第一六一中学2021—2022学年七年级下学期期末数学模拟练习）如图1，已知直线EF与直线AB交于点E，直线EF与直线CD交于点F，EM平分∠AEF交直线CD于点M，且∠FEM＝∠FME．点G是射线MD上的一个动点（不与点M、F重合），EH平分∠FEG交直线CD于点H，过点H作HN∥EM交直线AB于点N，设∠EHN＝α，∠EGF＝β．
图1
图2
(1)求证：AB//CD；
(2)当点G在点F的右侧时，
①依据题意在图1中补全图形；
②若β＝80°，则α＝ 度；
(3)当点G在运动过程中，α和β之间有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并加以证明．
【答案】(1)见解析
(2)①见解析；②50
(3)β＝2α或β＝180°−2α；证明见解析
【分析】（1）根据EM平分∠AEF和∠FEM＝∠FME，可证明∠AEM＝∠FME，即可解答．
（2）①根据题意画图即可；
②依据平行线的性质可得∠EHN＝∠HEM＝∠HEF+∠FEM，再根据EH平分∠FEG，∠FEM＝∠FME，即可得到∠EHN＝∠HEF+∠FME＝α，再根据三角形内角和定理即可解答；
（3）分两种情况解答：当点G在点F的右侧时，由（2）可得结果；当点G在点F的左侧时，进行解答即可．
【详解】（1）证明：∵EM平分∠AEF，
∴∠AEM＝∠FEM，
∵∠FEM＝∠FME，
∴∠AEM＝∠FME，
∴AB//CD；
（2）解：①如图1，
②∵EH平分∠FEG，
∴∠HEF＝∠HEG，
∵HN//EM，
∴∠EHN＝∠HEM＝∠HEF+∠FEM，
∵∠FEM＝∠FME，
∴∠EHN＝∠HEF+∠FME＝α，
∵∠EGF＝180°−∠FME−∠GEM
＝180°−∠FME−∠FEM−2∠HEF
＝180°−2(∠FME+∠HEF)，
∴β＝180°−2α，
∵β＝80°，
∴80°＝180°−2α，
解得α＝50°；
故答案为：50；
（3）解：α和β之间的数量关系为β＝2α或β＝180°−2α．
理由如下：
当点G在点F的右侧，由（2）得β＝180°−2α，
当点G在点F的左侧时，如图2，
∵EH平分∠FEG，
∴∠HEF＝∠HEG，
∵HN//EM，
∴∠EHN＝∠HEM，
∵∠FEM＝∠FME，
∴∠EGF＝∠FME+∠GEM＝∠FEM+∠GEM
＝∠GEM+2∠HEG+∠GEM
＝2(∠GEM+∠HEG)＝2∠HEM，
∴∠EGF＝2∠EHN，
即β＝2α，
综上所述，α和β之间的数量关系为β＝2α或β＝180°−2α．
【点睛】本题考查了平行线的判定与性质，三角形的内角和定理，角平分线的定义，熟练掌握这些知识，并熟练利用角的和差关系进行运算是解题的关键．
29．（北京市第十九中学2021-2022学年七年级下学期期中考试数学试卷）如图，直线a∥b，点A为直线a上的动点，点B为直线a、b之间的定点，点C为直线上的定点．
(1)当点A运动到图1所示位置时，容易发现∠ABC,∠DAB,∠BCE之间的数量关系为 ；
(2)如图2，当BA⊥BC时，作等边△BPQ，BM平分∠ABP，交直线a于点M，BN平分∠QBC，交直线b于点N，将BPQ绕点B转动，且BC始终在∠PBQ的内部时，∠DMB+∠ENB的值是否发生变化？若不变，求其值，若变化，说明理由；
(3)点F为直线a上一点，使得∠AFB=∠ABF，∠ABC的平分线交直线a于点G，当点A在直线a上运动时（A，B，C三点不共线），探究并直接写出∠FBG与∠ECB之间的数量关系．（本问中的角均为小于180°的角）
【答案】(1)∠ABC＝∠DAB+∠BCE；
(2)不变化，75°；
(3)∠ECB＝2∠FBG或2∠FBG−∠ECB=180°，理由见解析．
【分析】（1）过点B作BH∥a，根据两直线平行、内错角相等解答；
（2）根据角平分线的定义得到∠MBP=12∠ABP,∠NBC=12∠QBC，结合图形计算，得到答案；
（3）分点F在点A的右侧时和点F在点A的左侧时两种情况求解．
【详解】（1）解：作BH∥a，如图1：
则∠ABH=∠DAB，
∵BH∥a,a∥b，
∴BH∥b,，
∴∠HBC=∠BCE，
∴∠ABC=∠ABH+∠HBC=∠DAB+∠BCE，
故答案为：∠ABC=∠DAB+∠BCE；
（2）∠DMB+∠ENB的值不变化，理由如下：
如图2：
∵∠ABQ=∠ABC+∠QBP−∠PBC=90°+60°−∠PBC，
∴∠ABQ+∠PBC=150°，
∵∠ABQ=∠PBC+∠ABP+∠QBC，
∴2∠PBC+∠ABP+∠QBC=150°，
∵∠MBP=12∠ABP,∠NBC=12∠QBC，
∴2∠PBC+2∠MBP+2∠NBC=150°，即∠PBC+∠MBP+∠NBC=75°，
由（1）得∠DMB+∠ENB=∠MBN=∠PBC+∠MBP+∠NBC，
∴∠DMB+∠ENB=75°；
（3）当点F在点A的右侧时，如图3：
∠ECB=2∠FBG，理由如下：
∵∠AFB=∠1+∠2，
由（1）知∠3=∠2+∠4，
∵∠ABC的平分线交直线a于点G，
∴∠3=∠ABG，
∵∠ABG=∠1+∠ABF，
∴∠2+∠4=∠1+∠ABF，
∵∠AFB=∠ABF，
∴∠2+∠4=∠1+∠1+∠2，
∴∠4=2∠1，
即∠ECB=2∠FBG．
当点F在点A的左侧时，如图4，
2∠FBG−∠ECB=180°，理由如下：
∵∠ABC的平分线交直线a于点G，
∴∠ABC=2∠ABG．
∵∠FAB=180°−∠AFB−∠ABF，∠AFB=∠ABF，
∴∠FAB=180°−2∠ABF．
由（1）知∠ABC=∠FAB+∠ECB，
∴2∠ABG=∠FAB+∠ECB，
∴2∠ABG=180°−2∠ABF+∠ECB，
∴2∠ABG+2∠ABF−∠ECB=180°，
∴2∠FBG−∠ECB=180°．
综上可知，∠FBG与∠ECB之间的数量关系为：∠DMB+∠ENB=75°或2∠FBG−∠ECB=180°．
【点睛】本题考查的是平行线的性质、三角形的外角性质、角平分线的定义等知识，掌握平行线的性质定理、三角形的外角的性质是解题的关键．
30．（浙江省温州市永嘉县崇德实验学校2021-2022学年七年级下学期期中数学试题）如图1，直线AB∥CD，△ABE的顶点E在AB与CD之间.
(1)若∠ABE=150°，∠BAE=20°．
①当∠CDE=2∠EDM时，求∠BED的度数.
②如图2，作出∠CDE的角平分线DF，当DF平行于△ABE中的一边时，求∠BED的度数.
(2)如图3，∠CDE的角平分线DF交EB的延长线于点H，连结BF，当∠ABH=2∠HBF，12∠BED+13∠F=40°时，求∠CDE的度数.
【答案】(1)①90°；②150°；170°
(2)150°
【分析】（1）①过点E在作EG∥CD，分别利用邻角互补求得∠NBE和∠EDM，再利用平行线的性质即可求解；
②分两种情况：（i）当DF∥BE时，设DF与AB交于点P，利用先邻角互补求得∠NBE=180°-∠ABE=30°，再利用平行线的性质和角平分线的定义求得∠CDE的度数，进而求得∠EDM，最后利用①的结论即可求解；（ii）当DF∥AE时，设DF与AB交于点P，如图所示，类似（i）的求解方法可求得∠BED=∠NBE+∠EDM=170°；
（2）设DF与AB交于点P，如图所示，且设∠ABH=2∠HBF=2x，∠CDF=∠EDF=y，则∠CDE=2∠CDF=2y，在△BPF中，∠BPD=∠F+∠ABF，即y=3x+∠F，
由（1）小题可得∠BED=∠NBE+∠EDM =2x+180°-2y，再利用已知12∠BED+13∠F=40°，即可得到90°+x-y+13y-x=40°，求得y=75°，进而得到∠CDE的度数．
（1）
①如图，过点E在作EG∥CD，
∵AB∥CD，
∴AB∥CD∥EG，
∴∠NBE=∠BEG，∠GED=∠EDM，
∵∠NBE+∠ABE=180°，∠ABE=150°，
∴∠NBE=∠BEG=180°-∠ABE=30°；
∵∠CDE+∠EDM=180°，∠CDE=2∠EDM，
∴∠EDM=∠GED=60°，
∴∠BED=∠NBE+∠EDM=∠GED+∠BEG=90°；
②分两种情况：（i）当DF∥BE时，设DF与AB交于点P，如图所示，
∵∠NBE+∠ABE=180°，∠ABE=150°，
∴∠NBE=180°-∠ABE=30°；
∵DF∥BE，
∴∠NBE=∠BPD=30°，
∵AB∥CD，
∴∠CDP=∠BPD=30°，
∵DF平分∠CDE，
∴∠CDE=2∠CDP=60°，
∴∠EDM=180°-∠CDE=120°，
∴由①得∠BED=∠NBE+∠EDM=30°+120°=150°；
（ii）当DF∥AE时，设DF与AB交于点P，如图所示，∠BAE=20°，
∴∠BAE=∠BPD=20°，
∵AB∥CD，
∴∠CDP=∠BPD=20°，
∵DF平分∠CDE，
∴∠CDE=2∠CDP=40°，
∴∠EDM=180°-∠CDE=140°，
∵∠NBE+∠ABE=180°，∠ABE=150°，
∴∠NBE=180°-∠ABE=30°；
∴由①得∠BED=∠NBE+∠EDM=30°+140°=170°；
（2）
解：设DF与AB交于点P，如图所示，设∠ABH=2∠HBF=2x，∠CDF=∠EDF=y，则∠CDE=2∠CDF=2y，
∵AB∥CD，
∴∠BPD=∠CDF=y，
∴在△BPF中，
∠BPD=∠F+∠ABF=∠F+∠ABH+∠HBF=∠F+3x，
即y=3x+∠F，
由（1）小题可得∠BED=∠NBE+∠EDM =∠ABH+180°-∠CDE =2x+180°-2y，
∵12∠BED+13∠F=40°，
∴90°+x-y+13y-x=40°．
∴y=75°，
∴∠CDE=2∠CDF=2y=150°．
【点睛】本题考查了平行线的判定和性质以及角平分线的有关计算，熟练掌握已经学过的性质和定理，作出适当的辅助线是解题的关键．
相关试卷
苏科版七年级下册7.5 多边形的内角和与外角和同步训练题： 这是一份苏科版七年级下册7.5 多边形的内角和与外角和同步训练题，共44页。试卷主要包含了25＜n＜9等内容，欢迎下载使用。
初中数学苏科版七年级下册7.2 探索平行线的性质同步达标检测题： 这是一份初中数学苏科版七年级下册7.2 探索平行线的性质同步达标检测题，共46页。
初中数学苏科版七年级下册7.2 探索平行线的性质课后作业题： 这是一份初中数学苏科版七年级下册7.2 探索平行线的性质课后作业题，共30页。
