苏科版七年级下册7.2 探索平行线的性质课堂检测

这是一份苏科版七年级下册7.2 探索平行线的性质课堂检测，共21页。试卷主要包含了5°．等内容，欢迎下载使用。
7.2探索平行线的性质
班级：___________________ 姓名：_________________ 得分：_______________
注意事项：
本试卷满分100分，试题共24题，其中选择8道、填空8道、解答8道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．
一、选择题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2022•孝义市三模）如图，直线a，b被直线c所截，且a∥b，∠1＝55°，则∠2等于（　　）

A．55° B．65° C．125° D．135°
2．（2022•长治二模）如图，直线a，b被直线m，n所截，且a∥b，则下列结论正确的是（　　）

A．∠1＝∠2 B．∠2+∠3＝180° C．∠3＝∠4 D．∠1+∠4＝180°
3．（2022秋•桥西区期中）下面是投影屏上出示的抢答题，需要回答横线上符号代表的内容．（　　）
如图，AB∥EF，CB∥DE．求证：∠ADE+∠BFE＝180°．
证明：
∵AB∥EF，∴∠ADE＝※（两直线平行，⊙相等）．
∵CB∥DE，∴∠DEF+▲＝180°（两直线平行，@互补）．
∴∠ADE+∠BFE＝180°．


A．※代表∠ABC B．⊙代表同旁内角
C．▲代表∠BFE D．@代表同位角
4．（2022•项城市校级模拟）如图，AB∥CD，∠MNC＝138°，MP平分∠BMN，则∠MPN的度数为（　　）

A．59° B．48° C．54° D．69°
5．（2022•博望区校级一模）如图是一款手推车的平面示意图，其中AB∥CD，∠1＝24°，∠2＝76°，则∠3的度数为（　　）

A．104° B．128° C．138° D．156°
6．（2022秋•南岗区校级期中）如图，AB∥CD∥EF，则下列各式中正确的是（　　）

A．∠1+∠2+∠3＝180° B．∠1+∠2＝180°+∠3
C．∠1+∠3＝180°+∠2 D．∠2+∠3＝180°+∠1
7．（2021秋•晋中期末）如图，已知AB∥CD，点F，G分别在直线AB，CD上，∠BFE的平分线FQ所在直
线与∠CGE的平分线相交于点P，若∠BFE＝50°，∠CGE＝140°，则∠GPQ的度数为（　　）

A．30° B．40° C．45° D．50°
8．（2021秋•雅安期末）如图，AB∥EF，∠BCD＝90°，探索图中角α，β，γ之间的关系式正确的是（　　）

A．α+β+γ＝360° B．α+β＝γ+90° C．α+γ＝β D．α+β+γ＝180°
二、填空题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）请把答案直接填写在横线上
9．（2022春•海淀区校级月考）如图，一把长方形直尺沿直线断开并错位，点E，D，B，F在同一条直线上．若∠DBC＝54°，则∠ADE的度数是 　 　．

10．（2022•吉安模拟）如图，直线a∥b，则∠1的度数为 　 　．

11．（2022•吉林二模）如图，直线AB∥CD，AB平分∠EAD，若∠2＝43°，则∠1＝　 　°．

12．（2022•盐池县模拟）如图1是我们常用的折叠式小刀，图2中刀柄外形是一个长方形挖去一个小半圆，其中刀片的两条边缘线可看成两条平行的线段，转动刀片时会形成如图2所示的∠1与∠2，若∠1＝52°，则∠2的度数是 　 　度．

13．（2021秋•市中区期末）如图，将一副三角板中的两个直角顶点C放在一起，∠A＝60°，∠D＝30°，∠B＝∠E＝45°．点E在直线AC的上方，且∠ACE＜90°，当这两块三角板有一组边互相平行时，∠ACE的度数是 　 　．

14．（2022秋•南岗区校级月考）如图，AB∥CD，E是CD上的点，过点E作EF∥DP，若∠PEF＝∠PEH，EG平分∠DEH，∠B＝152o，∠PEG＝65°，则∠BPD＝　 　．

15．（2022秋•南岗区校级期中）已知两个角的两边分别互相平行，其中一个角的度数比另一个角度数的多15°，则这个角为 　 　°．
16．（2021秋•盘州市期末）如图，已知AB∥CD，易得∠1+∠2+∠3＝360°，∠1+∠2+∠3+∠4＝540°，根据以上的规律求∠1+∠2+∠3+…+∠n＝　 　．

三、解答题（本大题共8小题，共68分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（2021秋•安岳县期末）填空并完成以下证明：
如图，已知点P在直线CD上，∠BAP+∠APD＝180°，∠1＝∠2．
求证：AB∥CD，∠E＝∠F．
证明：∵∠BAP+∠APD＝180°，（已知）
∴　 　．（ 　 　）
∴∠BAP＝　 　．（ 　 　）
又∵∠1＝∠2，（已知）
∠3＝　 　﹣∠1，∠4＝　 　﹣∠2，
∴∠3＝∠4．（ 　 　）
∴AE∥PF．（ 　 　）
∴∠E＝∠F．（ 　 　）

18．（2022春•思明区校级期中）如图，AB∥CD，CE平分∠ACD，∠A＝108°，求∠AEC的度数．

19．（2022春•清镇市期中）如图，直线b，c被直线a所截，已知∠1+∠2＝240°，b∥c，求∠2和∠3的度数．

20．（2022春•岳麓区校级期末）如图，已知∠1＝∠C，∠2＝∠3，FG⊥AC于G，你能说明BD与AC互相垂直吗？

21．（2022春•长葛市期末）已知：如图，直线l1∥l2，∠ABC＝∠C，若∠1＝40°，求∠2的度数．

22．（2022春•山阳县期末）如图，已知AC∥FE，∠1+∠2＝180°．
（1）求证：∠FAB＝∠BDC；
（2）若AC平分∠FAD，EF⊥BE于点E，∠FAD＝80°，求∠BCD的度数．

23．（2022春•长顺县月考）综合与探究
（1）问题情境：如图1，AB∥CD，∠PAB＝130°，∠PCD＝120°．求∠APC的度数．
小明想到一种方法，但是没有解答完，
如图2．过点P作PE∥AB，∴∠APE+∠PAB＝180°，∴∠APE＝180°﹣∠PAB＝180°﹣130°＝50°．∵AB∥CD．
∴PE∥CD．…
请你帮助小明完成剩余的解答．
（2）问题探究：请你依据小明的思路，解答下面的问题：
如图3，AD∥BC，点P在射线OM上运动，∠ADP＝∠α，∠BCP＝∠β．当点P在A，B两点之间时，∠CPD，∠α，
∠β之间有何数量关系？请说明理由．

24．（2021秋•三元区期末）如图1，已知AM∥CN，点B为平面内一点，AB⊥BC于点B，BD⊥AM于点D．
（1）求证：∠ABD＝∠C；
（2）如图2，BE平分∠ABD，BF平分∠CBD，分别交直线DM于点E，F，连接CF，若∠FCB＝∠DFC，∠BFC＝3∠DBE，求∠CBE的度数．


答案与解析
一、选择题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2022•孝义市三模）如图，直线a，b被直线c所截，且a∥b，∠1＝55°，则∠2等于（　　）

A．55° B．65° C．125° D．135°
【分析】根据邻补角定义求出∠3，根据平行线性质得出∠2＝∠3，代入求出即可．
【解答】解：
∵∠1+∠3＝180°，∠1＝55°，
∴∠3＝125°，
∵a∥b，
∴∠2＝∠3＝125°，
故选：C．
2．（2022•长治二模）如图，直线a，b被直线m，n所截，且a∥b，则下列结论正确的是（　　）

A．∠1＝∠2 B．∠2+∠3＝180° C．∠3＝∠4 D．∠1+∠4＝180°
【分析】依据两直线平行，同旁内角互补，即可得到正确结论．
【解答】解：∵直线a，b被m，n所截，且a∥b，
∴∠1+∠5＝180°，
∵∠4＝∠5，
∴∠1+∠4＝180°．
故选：D．

3．（2022秋•桥西区期中）下面是投影屏上出示的抢答题，需要回答横线上符号代表的内容．（　　）
如图，AB∥EF，CB∥DE．求证：∠ADE+∠BFE＝180°．
证明：
∵AB∥EF，∴∠ADE＝※（两直线平行，⊙相等）．
∵CB∥DE，∴∠DEF+▲＝180°（两直线平行，@互补）．
∴∠ADE+∠BFE＝180°．


A．※代表∠ABC B．⊙代表同旁内角
C．▲代表∠BFE D．@代表同位角
【分析】先根据平行线的性质，得出∠ADE＝∠DEF，∠DEF+∠BFE＝180°，再求得∠ADE+∠BFE＝180°即可．
【解答】证明：∵AB∥EF，
∴∠ADE＝∠DEF （两直线平行，内错角相等）．
∵CB∥DE，
∴∠DEF+∠BFE＝180°（两直线平行，同旁内角互补）．
∴∠ADE+∠BFE＝180°．
故选：C．
4．（2022•项城市校级模拟）如图，AB∥CD，∠MNC＝138°，MP平分∠BMN，则∠MPN的度数为（　　）

A．59° B．48° C．54° D．69°
【分析】首先根据AB∥CD，∠MNC＝138°，求出∠MNC＝∠BMN＝138°，再根据MP平分∠BMN，求出∠BNP的度数．
【解答】解：∵AB∥CD，∠MNC＝138°，
∴∠MNC＝∠BMN＝138°，
∵MP平分∠BMN，
∴∠BNP＝BMN＝69°，
∵AB∥CD，
∴∠BMP＝∠MPN＝69°．
故选：D．
5．（2022•博望区校级一模）如图是一款手推车的平面示意图，其中AB∥CD，∠1＝24°，∠2＝76°，则∠3的度数为（　　）

A．104° B．128° C．138° D．156°
【分析】先根据平行线性质求出∠A，再根据邻补角的定义求出∠4，最后根据三角形外角性质得出∠3＝∠4+∠A．
【解答】解：如图：

∵AB∥CD，∠1＝24°，
∴∠A＝∠1＝24°，
∵∠2＝76°，∠2+∠4＝180°，
∴∠4＝180°﹣∠2＝180°﹣76°＝104°，
∴∠3＝∠4+∠A＝104°+24°＝128°．
故选：B．
6．（2022秋•南岗区校级期中）如图，AB∥CD∥EF，则下列各式中正确的是（　　）

A．∠1+∠2+∠3＝180° B．∠1+∠2＝180°+∠3
C．∠1+∠3＝180°+∠2 D．∠2+∠3＝180°+∠1
【分析】根据两直线平行，同旁内角互补可得∠2+∠BDC＝180°，再根据两直线平行，内错角相等可得∠3＝∠CDE，而∠CDE＝∠1+∠BDC，整理可得∠2+∠3﹣∠1＝180°．
【解答】解：∵AB∥CD∥EF，
∴∠2+∠BDC＝180°，∠3＝∠CDE，
又∠BDC＝∠CDE﹣∠1，
∴∠2+∠3﹣∠1＝180°．
故选：D．
7．（2021秋•晋中期末）如图，已知AB∥CD，点F，G分别在直线AB，CD上，∠BFE的平分线FQ所在直
线与∠CGE的平分线相交于点P，若∠BFE＝50°，∠CGE＝140°，则∠GPQ的度数为（　　）

A．30° B．40° C．45° D．50°
【分析】根据平行线的性质可得∠BMG＝∠CGP，根据角平分线的定义得：∠BFQ＝∠BFE，∠CGP＝∠CGE，由三角形的外角的性质得：∠GPQ＝∠GMF﹣∠PFM＝∠CGP﹣∠BFQ，代入计算即可得到答案．
【解答】解：如图：

∵AB∥CD，
∴∠BMG＝∠CGP，
∵FQ平分∠BFE，GP平分∠CGE，∠BFE＝50°，∠CGE＝140°，
∴∠BFQ＝∠BFE＝25°，∠CGP＝∠CGE＝70°，
∴∠GPQ＝∠BMG﹣∠PFM＝∠CGP﹣∠BFQ＝70°﹣25°＝45°．
故选：C．
8．（2021秋•雅安期末）如图，AB∥EF，∠BCD＝90°，探索图中角α，β，γ之间的关系式正确的是（　　）

A．α+β+γ＝360° B．α+β＝γ+90° C．α+γ＝β D．α+β+γ＝180°
【分析】首先过点C作CM∥AB，过点D作DN∥AB，由AB∥EF，即可得AB∥CM∥DN∥EF，然后由两直线平行，内错角相等，即可求得答案．
【解答】解：过点C作CM∥AB，过点D作DN∥AB，
∵AB∥EF，
∴AB∥CM∥DN∥EF，
∴∠BCM＝α，∠DCM＝∠CDN，∠EDN＝γ，
∵β＝∠CDN+∠EDN＝∠CDN+γ①，∠BCD＝α+∠CDN＝90°②，
由①②得：α+β﹣γ＝90°．
故选：B．

二、填空题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）请把答案直接填写在横线上
9．（2022春•海淀区校级月考）如图，一把长方形直尺沿直线断开并错位，点E，D，B，F在同一条直线上．若∠DBC＝54°，则∠ADE的度数是 　126°　．

【分析】先根据平行线的性质得出∠ADF＝∠DBC＝54°，再由补角的定义即可得出结论．
【解答】解：∵直尺的两边互相平行，
∴∠ADF＝∠DBC＝54°，
∴∠ADE＝180°﹣54°＝126°．
故答案为：126°．
10．（2022•吉安模拟）如图，直线a∥b，则∠1的度数为 　30°　．

【分析】根据平行线的性质即可求解．
【解答】解：∵直线a∥b，
∴∠1＝30°（两直线平行，内错角相等）．
故答案为：30°．
11．（2022•吉林二模）如图，直线AB∥CD，AB平分∠EAD，若∠2＝43°，则∠1＝　94　°．

【分析】根据邻补角的定义、角平分线的定义及平行线的性质求解即可．
【解答】解：∵AB∥CD，∠2＝43°，
∴∠EAB＝∠2＝43°，
∵AB平分∠EAD，
∴∠EAD＝2∠EAB＝86°，
∴∠1＝180°﹣∠EAD＝94°，
故答案为：94．
12．（2022•盐池县模拟）如图1是我们常用的折叠式小刀，图2中刀柄外形是一个长方形挖去一个小半圆，其中刀片的两条边缘线可看成两条平行的线段，转动刀片时会形成如图2所示的∠1与∠2，若∠1＝52°，则∠2的度数是 　38　度．

【分析】如图2，AB∥CD，∠AEC＝90°，作EF∥AB，根据平行线的传递性得到EF∥CD，则根据平行线的性质得∠1＝∠AEF，∠2＝∠CEF，所以∠1+∠2＝∠AEC＝90°，再求解即可．
【解答】解：图2，AB∥CD，∠AEC＝90°，
作EF∥AB，则EF∥CD，
以∠1＝∠AEF，∠2＝∠CEF，
所以∠1+∠2＝∠AEF+∠CEF＝∠AEC＝90°．
若∠1＝52°，∠2＝38°
故答案为：38．
13．（2021秋•市中区期末）如图，将一副三角板中的两个直角顶点C放在一起，∠A＝60°，∠D＝30°，∠B＝∠E＝45°．点E在直线AC的上方，且∠ACE＜90°，当这两块三角板有一组边互相平行时，∠ACE的度数是 　45°或30°　．

【分析】分类讨论BE∥AC，BC∥AD两种情况，利用平行线的性质定理解答即可．
【解答】解：当BE∥AC时，
∠ACE＝∠E＝45°，
当BC∥AD时，
∠BCD＝∠D＝30°，
∵∠ACE+∠ECD＝90°，∠BCD+∠ECD＝90°，
∴∠ACE＝∠BCD＝30°．
∴综上所述，∠ACE为45°或30°．
故答案为：45°或30°．
14．（2022秋•南岗区校级月考）如图，AB∥CD，E是CD上的点，过点E作EF∥DP，若∠PEF＝∠PEH，EG平分∠DEH，∠B＝152o，∠PEG＝65°，则∠BPD＝　22°　．

【分析】延长AB交PH于M，设∠DEG＝∠GEH＝α，则∠PEH＝∠PEG+∠GEH＝65°+α，由平行线性质可得∠PEF＝∠EPH，进而可得∠EPH＝∠PEH＝65°+α，利用三角形内角和定理可得∠H＝50°﹣2α，可推出∠PDE＝50°，再利用三角形的外角性质和平行线性质可得出答案．
【解答】解：延长AB交PH于M，
∵EG平分∠DEH，
∴∠DEG＝∠GEH，
设∠DEG＝∠GEH＝α，
则∠PEH＝∠PEG+∠GEH＝65°+α，
∵EF∥DP，
∴∠PEF＝∠EPH，
∵∠PEF＝∠PEH，
∴∠EPH＝∠PEH＝65°+α，
∴∠H＝180°﹣（∠EPH+∠PEH）＝180°﹣（65°+α+65°+α）＝50°﹣2α，
∴∠PDE＝∠H+∠DEH＝50°﹣2α+2α＝50°，
∵∠ABP＝152°，
∴∠PBM＝180°﹣152°＝28°，
∵AB∥CD，
∴∠BMD＝∠PDE＝50°，
∴∠BPD＝∠BMD﹣∠PBM＝50°﹣28°＝22°．
故答案为：22°

15．（2022秋•南岗区校级期中）已知两个角的两边分别互相平行，其中一个角的度数比另一个角度数的多15°，则这个角为 　20°或48　°．
【分析】由两个角的两边都平行，可得此两角互补或相等，然后设其中一个角为x°，分别从两角相等或互补去分析，由其中一个角的度数是另一个角的3倍少20°，列方程求解即可求得答案．
【解答】解：∵两个角的两边都平行，
∴此两角互补或相等，
设其中一个角为x°，
∵其中一个角的度数比另一个角度数的多15°，
∴①若两角相等，则x＝x+15，解得：x＝20，
②若两角互补，则x＝（180﹣x）+15，解得：x＝48，
∴两个角的度数分别是20°或48°．
故答案为：20°或48．
16．（2021秋•盘州市期末）如图，已知AB∥CD，易得∠1+∠2+∠3＝360°，∠1+∠2+∠3+∠4＝540°，根据以上的规律求∠1+∠2+∠3+…+∠n＝　（n﹣1）×180°　．


【分析】由∠1+∠2+∠3＝2×180°＝360°，∠1+∠2+∠3+∠4＝3×180°＝540°，可得一般规律为∠1+∠2+∠3+…+∠n＝（n﹣1）×180°．
【解答】解：∵∠1+∠2+∠3＝360°，∠1+∠2+∠3+∠4＝540°，
∴∠1+∠2+∠3＝2×180°＝360°，∠1+∠2+∠3+∠4＝3×180°＝540°，
∴∠1+∠2+∠3+…+∠n＝（n﹣1）×180°，
故答案为：（n﹣1）×180°．
三、解答题（本大题共8小题，共68分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（2021秋•安岳县期末）填空并完成以下证明：
如图，已知点P在直线CD上，∠BAP+∠APD＝180°，∠1＝∠2．
求证：AB∥CD，∠E＝∠F．
证明：∵∠BAP+∠APD＝180°，（已知）
∴　AB∥CD　．（ 　同旁内角互补，两直线平行　）
∴∠BAP＝　∠APC　．（ 　两直线平行，内错角相等　）
又∵∠1＝∠2，（已知）
∠3＝　∠BAP　﹣∠1，∠4＝　∠APC　﹣∠2，
∴∠3＝∠4．（ 　等式的性质　）
∴AE∥PF．（ 　内错角相等，两直线平行　）
∴∠E＝∠F．（ 　两直线平行，内错角相等　）

【分析】根据平行线的性质和判定即可解决问题；
【解答】解：∵∠BAP+∠APD＝180°，（已知）
∴AB∥CD．（同旁内角互补，两直线平行）
∴∠BAP＝∠APC．（两直线平行，内错角相等）
又∵∠1＝∠2，（已知）
∠3＝∠BAP﹣∠1，
∠4＝∠APC﹣∠2，
∴∠3＝∠4（等式的性质）
∴AE∥PF．（内错角相等，两直线平行）
∴∠E＝∠F．（两直线平行，内错角相等）
故答案为：AB∥CD，同旁内角互补，两直线平行，∠APC，两直线平行，内错角相等，∠BAP，∠APC，等式的性质，内错角相等，两直线平行，两直线平行，内错角相等．

18．（2022春•思明区校级期中）如图，AB∥CD，CE平分∠ACD，∠A＝108°，求∠AEC的度数．

【分析】先由AB∥CD，∠A＝108°，得∠ACD的度数，再根据CE平分∠ACD，可得∠DCE的度数，再根据两直线平行，内错角相等求出结论．
【解答】解：∵AB∥CD，
∴∠A+∠ACD＝180°，
∵∠A＝108°，
∴∠ACD＝180°﹣∠A＝180°﹣108°＝72°，
∵CE平分∠ACD，
∴∠ACE＝∠DCE＝36°，
∵AB∥CD，
∴∠AEC＝∠DCE＝36°．
19．（2022春•清镇市期中）如图，直线b，c被直线a所截，已知∠1+∠2＝240°，b∥c，求∠2和∠3的度数．

【分析】由对顶角相等知∠1＝∠2，再根据∠1+∠2＝240°可求出∠2，然后由平行线的性质可求∠3．
【解答】解：∵∠1＝∠2（对顶角相等），
∠1+∠2＝240°，
∴∠1＝∠2＝120°．
∵b∥c，
∴∠2+∠3＝180°（两直线平行，同旁内角互补）．
∴∠3＝60°．
20．（2022春•岳麓区校级期末）如图，已知∠1＝∠C，∠2＝∠3，FG⊥AC于G，你能说明BD与AC互相垂直吗？

【分析】根据∠1＝∠C，得ED∥BC，所以∠2＝∠DBC，再由∠2＝∠3，得∠DBC＝∠3，所以BD∥FG，即可得FG⊥AC．
【解答】解：BD与AC互相垂直．
∵∠1＝∠C，
∴ED∥BC，
∴∠2＝∠DBC，
∵∠2＝∠3，
∴∠DBC＝∠3，
∴BD∥FG，
∵FG⊥AC，
∴BD⊥AC．
21．（2022春•长葛市期末）已知：如图，直线l1∥l2，∠ABC＝∠C，若∠1＝40°，求∠2的度数．

【分析】根据平行线的性质，由l1∥l2，∠1＝40°得出∠1＝∠3＝40°，再由∠ABC＝∠C，得出AE∥CD，由平行线性质知∠2+∠3＝180°，进而求得∠2＝140°．
【解答】解：∵∠ABC＝∠C，
∴AE∥CD，
∴∠2+∠3＝180°．
又∵l1∥l2，∠1＝40°，
∴∠1＝∠3＝40°，
∴∠2＝180°﹣40°＝140°．
22．（2022春•山阳县期末）如图，已知AC∥FE，∠1+∠2＝180°．
（1）求证：∠FAB＝∠BDC；
（2）若AC平分∠FAD，EF⊥BE于点E，∠FAD＝80°，求∠BCD的度数．

【分析】（1）根据AC∥EF，证得∠1+∠FAC＝180°，已知∠1+∠2＝180°，等量代换∠2＝∠FAC，从而证得FA∥CD，得出∠FAB＝∠BDC；
（2）根据角平分线的定义得∠FAC＝∠CAD，∠FAD＝2∠FAC，得出∠FAD＝2∠2，根据已知求出∠2的度数，根据EF⊥BE，AC∥EF，证得AC⊥BE，得出∠ACB＝90°，进一步求出∠BCD的度数．
【解答】（1）证明：∵AC∥EF，
∴∠1+∠FAC＝180°，
∵∠1+∠2＝180°，
∴∠2＝∠FAC，
∴FA∥CD，
∴∠FAB＝∠BDC；
（2）解：∵AC平分∠FAD，
∴∠FAC＝∠CAD，∠FAD＝2∠FAC，
由（1）知∠2＝∠FAC，
∴∠FAD＝2∠2，
∴∠2＝∠FAD，
∵∠FAD＝80°，
∴∠2＝×80°＝40°，
∵EF⊥BE，AC∥EF，
∴AC⊥BE，
∴∠ACB＝90°，
∴∠BCD＝90°﹣∠2＝50°．
23．（2022春•长顺县月考）综合与探究
（1）问题情境：如图1，AB∥CD，∠PAB＝130°，∠PCD＝120°．求∠APC的度数．
小明想到一种方法，但是没有解答完，
如图2．过点P作PE∥AB，∴∠APE+∠PAB＝180°，∴∠APE＝180°﹣∠PAB＝180°﹣130°＝50°．∵AB∥CD．
∴PE∥CD．…
请你帮助小明完成剩余的解答．
（2）问题探究：请你依据小明的思路，解答下面的问题：
如图3，AD∥BC，点P在射线OM上运动，∠ADP＝∠α，∠BCP＝∠β．当点P在A，B两点之间时，∠CPD，∠α，
∠β之间有何数量关系？请说明理由．

【分析】（1）过P作PE∥AB，构造同旁内角，通过平行线性质，可得∠APC＝50°+60°＝110°．
（2）过P作PE∥AD交CD于E，推出AD∥PE∥BC，根据平行线的性质得出∠α＝∠DPE，∠β＝∠CPE，即可得出答案．
【解答】解：（1）剩余过程：∴∠CPE+∠PCD＝180°，
∴∠CPE＝180°﹣120°＝60°，
∴∠APC＝50°+60°＝110°；
（2）∠CPD＝∠α+∠β，理由如下：
如图3，过P作PE∥AD交CD于E，

∵AD∥BC，
∴AD∥PE∥BC，
∴∠α＝∠DPE，∠β＝∠CPE，
∴∠CPD＝∠DPE+∠CPE＝∠α+∠β．
24．（2021秋•三元区期末）如图1，已知AM∥CN，点B为平面内一点，AB⊥BC于点B，BD⊥AM于点D．
（1）求证：∠ABD＝∠C；
（2）如图2，BE平分∠ABD，BF平分∠CBD，分别交直线DM于点E，F，连接CF，若∠FCB＝∠DFC，∠BFC＝3∠DBE，求∠CBE的度数．

【分析】（1）延长DB，交NC于点H，利用平行线的性质可求得∠BHC的度数，利用平角的定义可得结论；
（2）设∠BCN＝α，延长DB，交NC于点H，利用（1）中的方法求出∠ABD，利用已知条件和平行线的性质用α分别表示∠DFC和∠DBF，在△DBF中利用三角形的内角和定理列出关于α的方程，解方程可得α的值，则结论可求．
【解答】（1）证明：延长DB，交NC于点H，如图：

∵AM∥CN，BD⊥AM，
∴DH⊥NC．
∴∠BHC＝90°．
∴∠C＝90°﹣∠HBC．
∵AB⊥BC，
∴∠ABC＝90°．
∴∠ABD＝180°﹣∠ABC﹣∠HBC＝180°﹣90°﹣∠HBC＝90°﹣∠HBC，
∴∠ABD＝∠C；
（2）解：延长DB，交NC于点H，延长NC到点G，如图，

设∠BCN＝α，
∵AM∥CN，BD⊥AM，
∴DH⊥NC．
∴∠BHC＝90°．
∵∠BCN＝α，
∴∠HBC＝90°﹣α．
∵AB⊥BC，
∴∠ABC＝90°．
∴∠ABD＝180°﹣∠ABC﹣∠HBC＝α．
∵BE平分∠ABD，
∴∠DBE＝∠ABE＝α．
∵∠HBC＝90°﹣α，
∴∠DBC＝180°﹣∠HBC＝90°+α．
∵BF平分∠DBC，
∴∠DBF＝∠CBF＝∠DBC＝45°+α．
∵AM∥CN，
∴∠DFC＝∠GCF，
∵∠FCB＝∠DFC，
∴∠FCB＝∠GCF，
∵∠BFC＝3∠BCN，
∴∠BFC＝3α．
∴∠DFB＝∠DFC﹣∠BFC＝90°﹣α．
∵BD⊥AM，
∴∠D＝90°．
∴∠DBF+∠DFB＝90°．
∴45°+α+90°﹣α＝90°．
解得：α＝15°．
∴∠FBC＝∠DBF＝45°+α＝52.5°．
∴∠CBE＝∠FBC+∠EBF＝52.5°+45°＝97.5°．