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2022-2023学年湖北省宜昌市中考数学专项提升仿真模拟试题（一模二模）含解析
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这是一份2022-2023学年湖北省宜昌市中考数学专项提升仿真模拟试题（一模二模）含解析，共58页。试卷主要包含了选一选，填 空 题，解 答 题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年湖北省宜昌市中考数学专项提升仿真模拟试题
（一模）
一、选一选：本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的代号填入题后括号内．
1. 的值等于（ ）
A. 2 B. C. D. ﹣2
2. 已知某种纸一张的厚度约为0.0089cm，用科学记数法表示这个数为（ ）
A. 8.9×10﹣5 B. 8.9×10﹣4 C. 8.9×10﹣3 D. 8.9×10﹣2
3. 化简（﹣a）2a3所得的结果是（ ）
A. a5 B. ﹣a5 C. a6 D. ﹣a6
4. 如图，矩形ABCD的边AD长为2，AB长为1，点A在数轴上对应的数是－1，以A点为圆心，对角线AC长为半径画弧，交数轴于点E，则点E表示的实数是（ ）
A. ＋1 B. －1 C. D. 1－
5. 已知函数y=ax﹣x﹣a+1（a为常数），则其函数图象一定过象限（ ）
A. 一、二 B. 二、三 C. 三、四 D. 一、四
6. 如图，在△ABC中， AB＝3，AC＝2．当∠B时，BC的长是（ ）
A. 1 B. 5 C. D.
7. 一元二次方程的根的情况是（ ）
A. 有两个没有相等的实数根 B. 有两个相等的实数根
C. 没有实数根 D. 无法确定
8. 已知a≠0，下列计算正确是（ ）
A. a2+a3＝a5 B. a2•a3＝a6 C. a3÷a2＝a D. （a2）3＝a5
9. 如图，将矩形ABCD绕点A逆时针旋转90°至矩形AEFG，点D的旋转路径为，若AB＝1，BC＝2，则阴影部分的面积为（ ）
A. B. C. D.
10. 如图，将正六边形ABCDEF放入平面直角坐标系后，若点A、B、E的坐标分别为（a，b）、（3，1）、（﹣a，b），则点D的坐标为（ ）
A. （1，3） B. （3，﹣1） C. （﹣1，﹣3） D. （﹣3，1）
二、填 空 题：本大题共8小题，每小题3分，共24分，没有需写出解答过程，请把结果填在题中横线上．
11. 分解因式：_________．
12. 已知一组数据2，6，5，2，4，则这组数据的中位数是_____．
13. 若关于x的方程x2＋mx＋5＝0有一个根为1，则该方程的另一根为_______．
14. 如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AD是⊙O的直径，∠ABC=50°，则∠CAD=________ ．
15. 如图，在□ABCD中，E、F分别是AD、CD中点，EF与BD相交于点M，若△DEM的面积为1，则□ABCD的面积为________．
16. 如图，A（a，b）、B（1，4）（a＞1）是反比例函数y＝（x＞0）图像上两点，过A、B分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别为C、D、E、F，AE、BD交于点G．则四边形ACDG的面积随着a的增大而_________．（填“减小”、“没有变”或“增大”）
17. 二次函数y=a（x﹣b）2+c（a＜0）的图象点（1，1）和（3，3），则b的取值范围是________．
18. 如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝1，P为△ABC内一个动点，∠PAB＝∠PBC，则CP的最小值为_________．
三、解 答 题（共10小题）
19. 计算:.
20. 解没有等式组，并把它们的解集表示在数轴上．
21. 先化简，再求值：() ÷ ．其中．
22. 一个没有透明的袋子中，装有2个红球，1个白球，1个黄球，这些球除颜色外都相同．求下列的概率：
（1）搅匀后从中任意摸出1个球，恰好是红球；
（2）搅匀后从中任意摸出2个球，2个都是红球．
23. 某公司在某市五个区投放共享单车供市民使用，投放量的分布及投放后的使用情况统计如下．
（1）该公司全市一共投放了 万辆共享单车；
（2）在扇形统计图中，B区所对应扇形的圆心角为 °；
（3）该公司在全市投放的共享单车的使用量占投放量的85%，请计算C区共享单车的使用量并补全条形统计图．
24. 将平行四边形纸片按如图方式折叠，使点C与A重合，点D落到处，折痕为．
（1）求证：；
（2）连接，判断四边形是没有是平行四边形？证明你的结论．
25. 如图，正比例函数y=2x的图象与反比例函数y=的图象交于点A、B，AB=2，
（1）求k的值；
（2）若反比例函数y=的图象上存在一点C，则当△ABC为直角三角形，请直接写出点C的坐标．
26. 如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，点D，E分别在AC，BC上，且CD·BC＝AC·CE，以E为圆心，DE长为半径作圆，⊙E点B，与AB，BC分别交于点F，G．
（1）求证：AC是⊙E的切线；
（2）若AF＝4，CG＝5，
①求⊙E半径；
②若Rt△ABC内切圆圆心为I，则IE＝ ．
27. 如图，在平面直角坐标系xOy中，二次函数（）的图象与x轴交于A（﹣2，0）、B（8，0）两点，与y轴交于点B，其对称轴与x轴交于点D．
（1）求该二次函数的解析式；
（2）如图1，连结BC，在线段BC上是否存在点E，使得△CDE为等腰三角形？若存在，求出所有符合条件的点E的坐标；若没有存在，请说明理由；
（3）如图2，若点P（m，n）是该二次函数图象上的一个动点（其中m＞0，n＜0），连结PB，PD，BD，求△BDP面积的值及此时点P的坐标．
28. 如图，A（-5，0），B（-3，0），点C在y轴的正半轴上，∠CBO=45°，CD∥AB．∠CDA=90°．点P从点Q（4，0）出发，沿x轴向左以每秒1个单位长度的速度运动，运动时时间t秒．
（1）求点C的坐标；
（2）当∠BCP=15°时，求t的值；
（3）以点P为圆心，PC为半径的⊙P随点P的运动而变化，当⊙P与四边形ABCD的边（或边所在的直线）相切时，求t的值．
2022-2023学年湖北省宜昌市中考数学专项提升仿真模拟试题
（一模）
一、选一选：本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的代号填入题后括号内．
1. 的值等于（ ）
A. 2 B. C. D. ﹣2
【正确答案】A
【详解】根据数轴上某个点与原点的距离叫做这个点表示的数的值的定义，
在数轴上，点﹣2到原点的距离是2，
所以，
故选A．
2. 已知某种纸一张的厚度约为0.0089cm，用科学记数法表示这个数为（ ）
A. 8.9×10﹣5 B. 8.9×10﹣4 C. 8.9×10﹣3 D. 8.9×10﹣2
【正确答案】C
【详解】试题解析：0.0089=8.9×10-3.
故选C.
考点：科学记数法—表示较小的数.
3. 化简（﹣a）2a3所得的结果是（ ）
A. a5 B. ﹣a5 C. a6 D. ﹣a6
【正确答案】A
【分析】根据同底数幂的乘法法则进行计算即可.
【详解】原式
故选A.
本题主要考查同底数幂的乘法，熟记法则是解题的关键.
4. 如图，矩形ABCD的边AD长为2，AB长为1，点A在数轴上对应的数是－1，以A点为圆心，对角线AC长为半径画弧，交数轴于点E，则点E表示的实数是（ ）
A. ＋1 B. －1 C. D. 1－
【正确答案】B
【分析】首先根据勾股定理计算出AC的长，进而得到AE的长，再根据A点表示-1，可得E点表示的数．
【详解】解：∵AD长为2，AB长为1，
∴AC=，
∵A点表示−1，
∴E点表示的数为：−1，
故选B．
5. 已知函数y=ax﹣x﹣a+1（a为常数），则其函数图象一定过象限（ ）
A. 一、二 B. 二、三 C. 三、四 D. 一、四
【正确答案】D
【详解】分析：根据函数的图形与性质，由函数y=kx+b的系数k和b的符号，判断所过的象限即可.
详解：∵y=ax﹣x﹣a+1（a为常数），
∴y=（a-1）x-（a-1）
当a-1＞0时，即a＞1，此时函数的图像过一三四象限；
当a-1＜0时，即a＜1，此时函数的图像过一二四象限.
故其函数的图像一定过一四象限.
故选D.
点睛：此题主要考查了函数的图像与性质，利用函数的图像与性质的关系判断即可.
函数y=kx+b（k≠0，k、b为常数）的图像与性质：当k＞0，b＞0时，图像过一二三象限，y随x增大而增大；当k＞0，b＜0时，图像过一三四象限，y随x增大而增大；当k＜0，b＞0时，图像过一二四象限，y随x增大而减小；当k＜0，b＜0，图像过二三四象限，y随x增大而减小.
6. 如图，在△ABC中， AB＝3，AC＝2．当∠B时，BC的长是（ ）
A. 1 B. 5 C. D.
【正确答案】D
【详解】如图，以点A为圆心，AC为半径作⊙A，当点C在⊙A上移动时，∠B的大小在发生变化，观察可得当BC和⊙A相切时，∠B，此时∠ACB=90°，
∵AB=3，AC=2，∠ACB=90°，
∴BC=.
故选D
7. 一元二次方程的根的情况是（ ）
A. 有两个没有相等的实数根 B. 有两个相等的实数根
C. 没有实数根 D. 无法确定
【正确答案】A
【分析】根据根的判别式大于0，方程有两个实数根；等于0，有两个相等的实数根；小于0，方程无实数根．
【详解】解：∵△=，
∴方程有两个没有相等的实数根．故选A．
本题考查了根的判别式，解题的关键是算出判别式的大小．
8. 已知a≠0，下列计算正确的是（ ）
A. a2+a3＝a5 B. a2•a3＝a6 C. a3÷a2＝a D. （a2）3＝a5
【正确答案】C
【分析】选项分别进行同底数幂的乘法、同底数幂的除法、幂的乘方的运算，选出正确答案．
【详解】A、a2和a3没有是同类项，没有能合并，故本选项错误；
B、a2•a3＝a5，原式计算错误，故本选项错误；
C、a3÷a2＝a，计算正确，故本选项正确；
D、（a2）3＝a6，原式计算错误，故本选项错误．
故选：C．
本题考查了同底数幂的乘法、同底数幂的除法、幂的乘方等运算，掌握运算法则是解答本题的关键．
9. 如图，将矩形ABCD绕点A逆时针旋转90°至矩形AEFG，点D的旋转路径为，若AB＝1，BC＝2，则阴影部分的面积为（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】A
【详解】
由旋转得:AG=AD,AE=AB, ∠AEF=∠B,
∵四边形ABCD是矩形,
∴AD=BC=2∠B=90°,
∴∠AEF=90°
∴AH=AG=2
∴AH=2AE
∴∠AHE=30°,EH=,
∵四边形AEFG是矩形,
∴EF∥AG,
∴∠GAH=∠AHE=30°
∴
故选A
点睛;没有规则图形面积的求法一般用割补法或转化法来求，这道题就是把阴影部分分成一个扇形和一个规则三角形，利用相应的面积公式即可求解.
10. 如图，将正六边形ABCDEF放入平面直角坐标系后，若点A、B、E的坐标分别为（a，b）、（3，1）、（﹣a，b），则点D的坐标为（ ）
A. （1，3） B. （3，﹣1） C. （﹣1，﹣3） D. （﹣3，1）
【正确答案】D
【详解】∵A（a，b）,E（－a，b）,
∴A,E关于y轴对称
∵六边形ABCDEF正六边形,
∴y轴过C,F
∴B,D关于y轴对称
∵B（3，1）
∴D（－3，1）
故选D.
解决点的坐标问题关键在于利用数形思想，认真观察题中的条件确定坐标轴的位置.
二、填 空 题：本大题共8小题，每小题3分，共24分，没有需写出解答过程，请把结果填在题中横线上．
11. 分解因式：_________．
【正确答案】2（a+1）2
【分析】
【详解】2（a+1）2.
故答案为2（a+1）2
考点：因式分解
12. 已知一组数据2，6，5，2，4，则这组数据的中位数是_____．
【正确答案】4
【详解】把数据从小到大排列为:2,2,4,5,6
中间的数是4,
∴中位数是4
故答案为:4
13. 若关于x方程x2＋mx＋5＝0有一个根为1，则该方程的另一根为_______．
【正确答案】5
【详解】∵关于x的方程x2＋mx＋5＝0有一个根为1,
∴设另一根为m,
可得: ,
解得:m=5.
故答案为:5.
14. 如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AD是⊙O的直径，∠ABC=50°，则∠CAD=________ ．
【正确答案】40°
【详解】连接CD，
则∠ADC=∠ABC=50°，
∵AD是⊙O的直径，
∴∠ACD=90°，
∴∠CAD+∠ADC=90°，
∴∠CAD=90°-∠ADC=90°-50°=40°，
故 40°.
15. 如图，在□ABCD中，E、F分别是AD、CD的中点，EF与BD相交于点M，若△DEM的面积为1，则□ABCD的面积为________．
【正确答案】16
【详解】延长EF交BC的延长线与H,
在平行四边形ABCD中,
∵AD=BC,AD∥BC
∴△DEF∽△CHF, △DEM∽△BHM
∴ ,
∵F是CD的中点
∴DF=CF
∴DE=CH
∵E是AD中点
∴AD=2DE
∴BC=2DE
∴BC=2CH
∴BH=3CH
∵
∴
∴
∴
∴
∴
∴
∴
∵四边形ABCD是平行四边形
∴
故答案为:16.
16. 如图，A（a，b）、B（1，4）（a＞1）是反比例函数y＝（x＞0）图像上两点，过A、B分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别为C、D、E、F，AE、BD交于点G．则四边形ACDG的面积随着a的增大而_________．（填“减小”、“没有变”或“增大”）
【正确答案】增大
【详解】DC=a−1，AC=b，
则=AC⋅DC=(a−1)b=ab−b.
∵B(1,4)、A(a,b)在函数y=(x>0)的图象上，
∴ab=k=4(常数).
∴=AC⋅DC=4−n，
∵当a>1时，b随a的增大而减小，
∴=4−a随a的增大而增大.
17. 二次函数y=a（x﹣b）2+c（a＜0）的图象点（1，1）和（3，3），则b的取值范围是________．
【正确答案】b＞2
【详解】∵二次函数y＝a(x－b)2＋c（a＜0）的图像点（1，1）和（3，3）
∴
∴
∵a<0
∴4-2b<0
b>2
18. 如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝1，P为△ABC内一个动点，∠PAB＝∠PBC，则CP的最小值为_________．
【正确答案】－1
【详解】如图所示：
在△ABC中，，AC=BC=1
又∵∠PAB=∠PBC
∴∠APB=135°
∴点P在以AB为弦的⊙O上,
∵∠APB=135°
∴∠AOB=90°
∴四边形ACBO为矩形
四边形AOBC为正方形
当点O、P、C在一条直线上时，PC有最小值
PC的最小值=OC-OP=-1．
故-1．
三、解 答 题（共10小题）
19. 计算:.
【正确答案】-2
【详解】分析：利用零次幂性质，值，二次根式的性质，负整指数幂的性质，依次计算即可.
详解：
=1-2+3-4
=-2
点睛：此题主要考查了实数的运算，关键是熟记零次幂的性质，值，二次根式的性质，负整指数幂的性质，灵活计算即可.
20. 解没有等式组，并把它们的解集表示在数轴上．
【正确答案】，数轴见解析
【分析】分别求出两个没有等式的解集，然后求出两个解集的公共部分即可得解．
【详解】解：，
解没有等式①得，，
解没有等式②得，，
在数轴上表示如下：
所以没有等式组的解集为：．
本题主要考查了一元没有等式组解集的求法，解题的关键是掌握其简便求法就是用口诀求解．求没有等式组解集的口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，小小找没有到（无解）．
21. 先化简，再求值：() ÷ ．其中．
【正确答案】2b，2
【详解】分析：根据分式的混合运算的顺序，先把括号内的式子通分后再加减，然后再算除法，化简后再代入求值.
详解：原式＝
＝2b
当时，原式=.
点睛：本考查了分式的混合运算：分式的混合运算，要注意运算顺序，式与数有相同的混合运算顺序；先乘方，再乘除，然后加减，有括号的先算括号里面的．结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式．
22. 一个没有透明的袋子中，装有2个红球，1个白球，1个黄球，这些球除颜色外都相同．求下列的概率：
（1）搅匀后从中任意摸出1个球，恰好是红球；
（2）搅匀后从中任意摸出2个球，2个都是红球．
【正确答案】（1）；（2）
【详解】试题分析：（1）直接根据概率的概念求解；
（2）根据题意展示所有6种等可能的结果，其中摸出两个球恰好是2个红球占1种，然后根据概率的概念计算即可．
试题解析：
（1）搅匀后从中任意摸出1个球，所有可能出现的结果共有4种，它们出现的可能性相同．所有的结果中，满足“恰好是红球”(记为A)的结果有2种，
所以P(A)＝＝．
（2）搅匀后从中任意摸出2个球，所有可能出现的结果有：(红1，红2)、(红1，黄)、(红2，黄)、(红1，白)、(红2，白)、(白，黄)，共有6种，它们出现的可能性相同．所有的结果中，满足“2个都是红球”(记为B)的结果只有1种，所以P(B)＝．
点睛:用列举法计算概率时,要注意求出发生情况的数目及其中一个发生的数目,而且每一种情况发生的可能性都相同,需要操作即可完成的,用概率公式来求解;需要两次或两次以上的操作完成的,先用列表法或画树状图法列举所有等可能的情况,再利用概率计算公式求解.
23. 某公司在某市五个区投放共享单车供市民使用，投放量的分布及投放后的使用情况统计如下．
（1）该公司在全市一共投放了 万辆共享单车；
（2）在扇形统计图中，B区所对应扇形的圆心角为 °；
（3）该公司在全市投放的共享单车的使用量占投放量的85%，请计算C区共享单车的使用量并补全条形统计图．
【正确答案】（1）4；（2）36 ；（3）C区共享单车的使用量为0.7万辆，图见解析.
【详解】试题分析：（1）根据D区投放量除以占的百分比，求出总量数；
（2）先求出C区所占的百分比，再求出B区所占的百分比，乘以360°；
（3）求出共享单车的使用量，减去其余各区的就可求出C区共享单车的使用量．
试题解析：
（1）
（2），
（3）C区共享单车的使用量=4×85%－0.8－0.3－0.9－0.7＝0.7（万辆）；
补全条形统计图如图：
答： C区共享单车的使用量为0.7万辆．
24. 将平行四边形纸片按如图方式折叠，使点C与A重合，点D落到处，折痕为．
（1）求证：；
（2）连接，判断四边形是没有是平行四边形？证明你的结论．
【正确答案】（1）见解析；（2）是，理由见解析
【分析】（1）根据折叠得性质得CD=AD′，CE=AE，DF=D′F，∠CEF=∠AEF，再根据平行四边形的性质得AD∥BC，AD=BC，AD=BC，则AB=AD′；由AD∥BC得到∠AFE=∠CEF，则∠AFE=∠AEF，所以AE=AF，AF=CE，DF=BE，得到BE=FD′，于是可利用“SSS”判断△ABE≌△AD′F；
（2）证明AF=EC，再由AF∥EC即可得到结论．
【详解】解：（1）∵平行四边形纸片ABCD折叠，使点C与A重合，点D落到D′处，折痕为EF，
∴CD=AD′，CE=AE，DF=D′F，∠CEF=∠AEF
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD∥BC，AD=BC，AB=CD，
∴AB=AD′，
∵AD∥BC，
∴∠AFE=∠CEF，
∴∠AFE=∠AEF，
∴AE=AF，
∴AF=CE，
∴AD-AF=BC-CE，
∴DF=BE，
∴BE=FD′，
在△ABE和△AD′F中，
，
∴△ABE≌△AD′F（SSS）；
（2）四边形AECF是平行四边形．
证明：由折叠可知：AE=EC，∠4=∠5．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC．
∴∠5=∠6．
∴∠4=∠6．
∴AF=AE．
∵AE=EC，
∴AF=EC．
又∵AF∥EC，
∴四边形AECF是平行四边形．
此题考查了全等三角形的判定及平行四边形的判定方法，做题时要求学生对常用的知识点牢固掌握．
25. 如图，正比例函数y=2x的图象与反比例函数y=的图象交于点A、B，AB=2，
（1）求k的值；
（2）若反比例函数y=的图象上存在一点C，则当△ABC为直角三角形，请直接写出点C的坐标．
【正确答案】（1）k=2（2）当△ABC为直角三角形，点C的坐标为（﹣4，﹣）、（4，）、（﹣2，﹣1）或（2，1）
【详解】分析：（1）过点A作AD⊥x轴，垂足为D，由点A、B的对称性可求出OA的值，根据点在直线上，设点A的坐标为（a，2a），在Rt△OAD中，通过勾股定理即可求出A的坐标，由点A的坐标利用待定系数法即可求出结论；
（2）由点A、B的对称性，点A的坐标求出点B的坐标，根据点C在反比例函数上，设出点C的坐标为（n，），分△ABC三个角分别为直角来考虑，利用“两直线垂直斜率之积为-1（斜率都存在）”求出点C的坐标.
详解：（1）过点A作AD⊥x轴，垂足为D，如图1所示．
由题意可知点A与点B关于点O对称，且AB=2，∴OA=OB=．
设点A的坐标为（a，2a），在Rt△OAD中，∠ADO=90°，由勾股定理得：
a2+（2a）2=（）2，解得：a=1，∴点A的坐标为（1，2）．
把A（1，2）代入y=中得：2=，解得：k=2．
（2）∵点A的坐标为（1，2），点A、B关于原点O对称，
∴点B的坐标为（﹣1，﹣2）．设点C的坐标为（n，），
△ABC为直角三角形分三种情况：
①∠ABC=90°，则有AB⊥BC，=﹣1，即n2+5n+4，
解得：n1=﹣4，n2=﹣1（舍去），此时点C的坐标为（﹣4，﹣）；
②∠BAC=90°，则有BA⊥AC，=﹣1，即n2﹣5n+4=0，
解得：n3=4，n4=1（舍去），此时点C的坐标为（4，）；
③∠ACB=90°，则有AC⊥BC，=﹣1，即n2=4，解得：n5=﹣2，n6=2，
此时点C的坐标为（﹣2，﹣1）或（2，1）．综上所述：当△ABC为直角三角形，点C的坐标为（﹣4，﹣）、（4，）、（﹣2，﹣1）或（2，1）．
点睛：此题考查了正比列函数与反比例函数的交点问题，涉及的知识有：坐标与图形性质，待定系数法确定函数解析式，利用了数形的思想，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．
26. 如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，点D，E分别在AC，BC上，且CD·BC＝AC·CE，以E为圆心，DE长为半径作圆，⊙E点B，与AB，BC分别交于点F，G．
（1）求证：AC是⊙E的切线；
（2）若AF＝4，CG＝5，
①求⊙E的半径；
②若Rt△ABC的内切圆圆心为I，则IE＝ ．
【正确答案】（1）证明见解析；（2）①⊙E的半径为20；②IE＝
【分析】（1）证明△CDE∽△CAB，得∠EDC=∠A=90°，所以AC是⊙E的切线；
（2）①如图1，作辅助线，构建矩形AHED，设⊙E的半径为r，表示BH和EC的长，证明△BHE∽△EDC，
列比例式代入r可得结论；
②如图2，作辅助线，构建直角△IME，分别求IM和ME的值，利用勾股定理可求IE的长．
【详解】（1）∵CD•BC=AC•CE，
∴，
∵∠DCE=∠ACB，
∴△CDE∽△CAB，
∴∠EDC=∠A=90°，
∴ED⊥AC，
∵点D在⊙E上，
∴AC是⊙E的切线；
（2）①如图1，过E作EH⊥AB于H，
∴BH=FH，
∵∠A=∠AHE=∠ADE=90°，
∴四边形AHED是矩形，
∴ED=AH，ED∥AB，
∴∠B=∠DEC，
设⊙E的半径为r，则EB=ED=EG=r，
∴BH=FH=AH-AF=DE-AF=r-4，
EC=EG+CG=r+5，
△BHE和△EDC中，
∵∠B=∠DEC，∠BHE=∠EDC=90°，
∴△BHE∽△EDC，
∴，即，
∴r=20，
∴⊙E的半径为20；
②如图2，过I作IM⊥BC于M，过I作IJ⊥AB于J，
由①得：FJ=BJ=r-4=20-4=16，AB=AF+2BJ=4+2×16=36，
BC=2r+5=2×20+5=45，
∴AC==27，
∵I是Rt△ABC的内心，
∴IM==9，
∴AJ=IM=9，
∴BJ=BM=36-9=27，
∴EM=27-20=7，
在Rt△IME中，由勾股定理得：IE=．
27. 如图，在平面直角坐标系xOy中，二次函数（）的图象与x轴交于A（﹣2，0）、B（8，0）两点，与y轴交于点B，其对称轴与x轴交于点D．
（1）求该二次函数的解析式；
（2）如图1，连结BC，在线段BC上是否存在点E，使得△CDE为等腰三角形？若存在，求出所有符合条件的点E的坐标；若没有存在，请说明理由；
（3）如图2，若点P（m，n）是该二次函数图象上的一个动点（其中m＞0，n＜0），连结PB，PD，BD，求△BDP面积的值及此时点P的坐标．
【正确答案】（1）；（2）E的坐标为、（0，﹣4）、；（3），．
【详解】试题分析：（1）采用待定系数法求得二次函数的解析式；
（2）先求得直线BC的解析式为，则可设E（m，），然后分三种情况讨论即可求得；
（3）利用△PBD的面积即可求得．
试题解析：（1）∵二次函数（）的图象与x轴交于A（﹣2，0）、C（8，0）两点，
∴，解得：，∴该二次函数的解析式为；
（2）由二次函数可知对称轴x=3，∴D（3，0），∵C（8，0），∴CD=5，由二次函数可知B（0，﹣4），设直线BC的解析式为，∴，解得：，∴直线BC的解析式为，设E（m，），
当DC=CE时，，即，解得，（舍去），∴E；
当DC=DE时，，即，解得，（舍去），∴E（0，﹣4）；
当EC=DE时，，解得=，∴E．
综上，存在点E，使得△CDE为等腰三角形，所有符合条件的点E的坐标为、（0，﹣4）、；
（3）过点P作y轴的平行线交x轴于点F，∵P点的横坐标为m，∴P点的纵坐标为：，
∵△PBD的面积
==
=，
∴当m=时，△PBD的面积为，∴点P的坐标为．
考点：二次函数综合题．
28. 如图，A（-5，0），B（-3，0），点C在y轴的正半轴上，∠CBO=45°，CD∥AB．∠CDA=90°．点P从点Q（4，0）出发，沿x轴向左以每秒1个单位长度的速度运动，运动时时间t秒．
（1）求点C的坐标；
（2）当∠BCP=15°时，求t的值；
（3）以点P为圆心，PC为半径的⊙P随点P的运动而变化，当⊙P与四边形ABCD的边（或边所在的直线）相切时，求t的值．
【正确答案】（1）C (0,3)；（2）t的值为4+或4+3；（3）t的值为1或4或5.6.
【分析】（1）由∠CBO=45°，∠BOC为直角，得到△BOC为等腰直角三角形，又OB=3，利用等腰直角三角形AOB的性质知OC=OB=3，然后由点C在y轴的正半轴可以确定点C的坐标；
（2）需要对点P的位置进行分类讨论：①当点P在点B右侧时，如图2所示，由∠BCO=45°，用∠BCO-∠BCP求出∠PCO为30°，又OC=3，在Rt△POC中，利用锐角三角函数定义及角的三角函数值求出OP的长，由PQ=OQ+OP求出运动的总路程，由速度为1个单位/秒，即可求出此时的时间t；②当点P在点B左侧时，如图3所示，用∠BCO+∠BCP求出∠PCO为60°，又OC=3，在Rt△POC中，利用锐角三角函数定义及角的三角函数值求出OP的长，由PQ=OQ+OP求出运动的总路程，由速度为1个单位/秒，即可求出此时的时间t；
（3）当⊙P与四边形ABCD的边（或边所在的直线）相切时，分三种情况考虑：
①当⊙P与BC边相切时，利用切线的性质得到BC垂直于CP，可得出∠BCP=90°，由∠BCO=45°，得到∠OCP=45°，即此时△COP为等腰直角三角形，可得出OP=OC，由OC=3，得到OP=3，用OQ-OP求出P运动的路程，即可得出此时的时间t；
②当⊙P与CD相切于点C时，P与O重合，可得出P运动的路程为OQ的长，求出此时的时间t；
③当⊙P与AD相切时，利用切线的性质得到∠DAO=90°，得到此时A为切点，由PC=PA，且PA=9-t，PO=t-4，在Rt△OCP中，利用勾股定理列出关于t的方程，求出方程的解得到此时的时间t．
综上，得到所有满足题意的时间t的值．
【详解】（1）∵∠BCO=∠CBO=45°，
∴OC=OB=3，
又∵点C在y轴的正半轴上，
∴点C的坐标为（0，3）；
（2）分两种情况考虑：
①当点P在点B右侧时，如图2，
若∠BCP=15°，得∠PCO=30°，
故PO=CO•tan30°=，此时t=4+；
②当点P在点B左侧时，如图3，
由∠BCP=15°，得∠PCO=60°，
故OP=COtan60°=3，
此时，t=4+3，
∴t的值为4+或4+3；
（3）由题意知，若⊙P与四边形ABCD的边相切时，有以下三种情况：
①当⊙P与BC相切于点C时，有∠BCP=90°，
从而∠OCP=45°，得到OP=3，此时t=1；
②当⊙P与CD相切于点C时，有PC⊥CD，即点P与点O重合，此时t=4；
③当⊙P与AD相切时，由题意，得∠DAO=90°，
∴点A为切点，如图4，PC2=PA2=（9-t）2，PO2=（t-4）2，
于是（9-t）2=（t-4）2+32，即81-18t+t2=t2-8t+16+9，
解得：t=5.6，
∴t的值为1或4或5.6．
2022-2023学年湖北省宜昌市中考数学专项提升仿真模拟试题
（二模）
一、选一选（共10小题，满分30分，每小题3分）
1. ﹣2相反数是（ ）
A. 2 B. C. ﹣2 D. 以上都没有对
2. 在游戏当中，小明将下面四张扑克牌中的三张旋转了180°，得到的图案和原来的一模一样，小芳看了后，很快知道没有旋转那张扑克牌是（ ）
A. 黑桃Q B. 梅花2 C. 梅花6 D. 方块9
3. 用6个相同的小正方体搭成一个几何体，若它的俯视图如图所示，则它的主视图没有可能是（ ）
A. B. C. D.
4. 地球的表面积约为510000000km2，将510000000用科学记数法表示为（ ）
A. 0.51×109 B. 5.1×108 C. 5.1×109 D. 51×107
5. 如图，AB∥CD，EF与AB、CD分别相交于点E、F，EP⊥EF，与∠EFD的平分线FP相交于点P，且∠EPF=70°，则∠BEP的度数为（ ）
A. 50° B. 55° C. 60° D. 65°
6. 下列运算，结果正确的是（ ）
A. a3a2=a6 B. （2a2）2=24
C. （x3）3=x6 D. （﹣ab）5÷（﹣ab）2=﹣a3b3
7. 某校八年级两个班，各选派10名学生参加学校举行的“汉字听写”大赛．各参赛选手成绩的数据分析如下表所示，则以下判断错误的是
A. 八（2）班的总分高于八（1）班
B. 八（2）班的成绩比八（1）班稳定
C. 八（2）班的成绩集中在中上游
D. 两个班的分在八（2）班
8. 定义[a，b，c]为函数y=ax2+bx+c特征数，下面给出特征数为[2m，1-m，-1-m]的函数的一些结论，其中没有正确的是（ ）
A. 当m=-3时，函数图象的顶点坐标是
B. 当m>0时，函数图象截x轴所得的线段长度大于
C. 当m≠0时，函数图象同一个点
D. 当m<0时，函数在x>时，y随x的增大而减小
9. 没有透明的袋子里装有2个红球和1个白球，这些球除了颜色外其他都相同，从中任意摸出一个球，记下颜色后，放回摇匀，再从中摸出一个，则两次摸到球的颜色相同的概率是( )
A. B. C. D.
10. 如图，点M为▱ABCD的边AB上一动点，过点M作直线l垂直于AB，且直线l与▱ABCD的另一边交于点N．当点M从A→B匀速运动时，设点M的运动时间为t，△AMN的面积为S，能大致反映S与t函数关系的图象是（ ）
A. B. C. D.
二、填 空 题（共5小题，满分15分，每小题3分）
11. 随着数系没有断扩大，我们引进新数i，新 i满足交换律、律，并规定：i2=﹣1，那么（2+i）（2﹣i）=________（结果用数字表示）．
12. 关于x的正比例函数y=（m+2）x，若y随x的增大而减小，则m的取值范围是_____．
13. 如图，在ABCD中，AM=AD，BD与MC相交于点O，则S△MOD∶S△BOC=_____．
14. 如图，正方形ABCD的边长为2，分别以A、D为圆心，2为半径画弧BD、AC，则图中阴影部分的面积为_____．
15. 如图，在菱形ABCD中，，，点M是对角线AC上的一个动点，过点M作交AB于点P，交AD于点Q，将沿PQ折叠，点A落在点E处，连接BE，当是等腰三角形时，AP的长为________．
三、解 答 题（共8小题，满分75分）
16. 先化简，再求值：（﹣）÷，其中x=+1，y=﹣1．
17. 全民健身运动已成为一种时尚 ，为了解揭阳市居民健身运动的情况，某健身馆的工作人员开展了一项问卷，问卷内容包括五个项目:
A:健身房运动；B:跳广场舞；C:参加暴走团；D:散步；E:没有运动.
以下是根据结果绘制的统计图表的一部分，
运动形式
A
B
C
D
E
人数
请你根据以上信息，回答下列问题:
接受问卷的共有 人，图表中的 ， .
统计图中，类所对应扇形的圆心角的度数是 度.
揭阳市环岛路是市民喜爱的运动场所之一，每天都有“暴走团”，若某社区约有人，请你估计一下该社区参加环岛路“暴走团”的人数.
18. 如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AD是中线，E是AD的中点，过点A作AF∥BC交BE的延长线于点F，连接CF．
(1) 求证：AD=AF；
(2) 当△ABC满足什么条件时，四边形ADCF是矩形．并说明理由．
19. 如图，已知A（3，m），B（﹣2，﹣3）是直线AB和某反比例函数的图象的两个交点．
（1）求直线AB和反比例函数的解析式；
（2）观察图象，直接写出当x满足什么范围时，直线AB在双曲线的下方；
（3）反比例函数的图象上是否存在点C，使得△OBC的面积等于△OAB的面积？如果没有存在，说明理由；如果存在，求出满足条件的所有点C的坐标．
20. 如图，大楼底右侧有一障碍物，在障碍物的旁边有一幢小楼DE，在小楼的顶端D处测得障碍物边缘点C的俯角为30°，测得大楼顶端A的仰角为45°（点B，C，E在同一水平直线上）．已知AB＝80m，DE＝10m，求障碍物B，C两点间的距离．（结果保留根号）
21. 某科技有限公司准备购进A和B两种机器人来搬运化工材料，已知购进A种机器人2个和B种机器人3个共需16万元，购进A种机器人3个和B种机器人2个共需14万元，请解答下列问题：
（1）求A、B两种机器人每个的进价；
（2）已知该公司购买B种机器人的个数比购买A种机器人的个数的2倍多4个，如果需要购买A、B两种机器人的总个数没有少于28个，且该公司购买的A、B两种机器人的总费用没有超过106万元，那么该公司有哪几种购买？
22. 如图，已知△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠ACB=∠ADE=90°，点F为BE的中点，连接CF，DF．
（1）如图1，当点D在AB上，点E在AC上时
①证明：△BFC是等腰三角形；
②请判断线段CF，DF的关系？并说明理由；
（2）如图2，将图1中的△ADE绕点A旋转到图2位置时，请判断（1）中②的结论是否仍然成立？并证明你的判断．
23. 已知，抛物线y＝ax2+ax+b（a≠0）与直线y＝2x+m有一个公共点M（1，0），且a＜b．
（1）求b与a关系式和抛物线的顶点D坐标（用a的代数式表示）；
（2）直线与抛物线另外一个交点记为N，求△DMN的面积与a的关系式；
（3）a＝﹣1时，直线y＝﹣2x与抛物线在第二象限交于点G，点G、H关于原点对称，现将线段GH沿y轴向上平移t个单位（t＞0），若线段GH与抛物线有两个没有同的公共点，试求t的取值范围．
2022-2023学年湖北省宜昌市中考数学专项提升仿真模拟试题
（二模）
一、选一选（共10小题，满分30分，每小题3分）
1. ﹣2的相反数是（ ）
A. 2 B. C. ﹣2 D. 以上都没有对
【正确答案】A
【详解】﹣2的相反数是2，
故选:A.
2. 在游戏当中，小明将下面四张扑克牌中的三张旋转了180°，得到的图案和原来的一模一样，小芳看了后，很快知道没有旋转那张扑克牌是（ ）
A. 黑桃Q B. 梅花2 C. 梅花6 D. 方块9
【正确答案】C
【详解】牌黑桃Q、草花2、方块9是对称图形，旋转180度后与原图重合．若得到的图案和原来的一模一样，则需梅花6没有发生变化．
故选C．
3. 用6个相同的小正方体搭成一个几何体，若它的俯视图如图所示，则它的主视图没有可能是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】D
【详解】分析：根据主视图和俯视图之间的关系可以得出答案．
详解： ∵主视图和俯视图的长要相等， ∴只有D选项中的长和俯视图没有相等，故选D．
点睛：本题主要考查的就是三视图的画法，属于基础题型．三视图的画法为：主视图和俯视图的长要相等；主视图和左视图的高要相等；左视图和俯视图的宽要相等．
4. 地球的表面积约为510000000km2，将510000000用科学记数法表示为（ ）
A. 0.51×109 B. 5.1×108 C. 5.1×109 D. 51×107
【正确答案】B
【详解】解：510 000 000=5.1×108．
故选B．
5. 如图，AB∥CD，EF与AB、CD分别相交于点E、F，EP⊥EF，与∠EFD的平分线FP相交于点P，且∠EPF=70°，则∠BEP的度数为（ ）
A. 50° B. 55° C. 60° D. 65°
【正确答案】A
【详解】分析：本题只要根据角平分线的性质得出∠EFD的度数，然后根据平行线的性质得出∠BEF的度数，从而得出答案．
详解：∵∠PEF=90°，∠EPF=70°， ∴∠EFP=20°，∵FP平分∠EFD， ∴∠EFD=40°，
∵AB∥CD， ∴∠BEF=180°－40°=140°， 又∵∠PEF=90°，∴∠BEP=50°，故选A．
点睛：本题主要考查的就是平行线的性质以及角平分线的性质，属于基础题型．熟记平行线的性质是解决本题的关键．
6. 下列运算，结果正确的是（ ）
A. a3a2=a6 B. （2a2）2=24
C. （x3）3=x6 D. （﹣ab）5÷（﹣ab）2=﹣a3b3
【正确答案】D
【详解】解：A、原式=，故错误；
B、原式=，故错误；
C、原式=，故错误；
D、原式=，正确，
本题故选D．
7. 某校八年级两个班，各选派10名学生参加学校举行的“汉字听写”大赛．各参赛选手成绩的数据分析如下表所示，则以下判断错误的是
A. 八（2）班的总分高于八（1）班
B. 八（2）班的成绩比八（1）班稳定
C. 八（2）班的成绩集中在中上游
D. 两个班的分在八（2）班
【正确答案】D
【分析】根据平均数、中位数、众数和方差的性质就可以得出正确答案．
【详解】解：根据平均分可知八(1)班的总分为940分，八(2)班的总分为950分，故A正确；八(2)班的方差小于八(1)班的方差，则八(2)班的成绩比较稳定，故B正确；根据中位数和平均分可知八(2)班的成绩集中在中上游，故C正确；分从这张表格上无法显示，故D错误；故选D．
本题主要考查的就是平均数、中位数、方差及众数的作用，属于基础题型．解决本题的关键就是要明白各数据的作用．
8. 定义[a，b，c]为函数y=ax2+bx+c的特征数，下面给出特征数为[2m，1-m，-1-m]的函数的一些结论，其中没有正确的是（ ）
A. 当m=-3时，函数图象的顶点坐标是
B. 当m>0时，函数图象截x轴所得的线段长度大于
C. 当m≠0时，函数图象同一个点
D. 当m<0时，函数在x>时，y随x的增大而减小
【正确答案】D
【详解】分析：A、把m=-3代入[2m，1-m，-1-m]，求得[a，b，c]，求得解析式，利用顶点坐标公式解答即可；
B、令函数值为0，求得与x轴交点坐标，利用两点间距离公式解决问题；
C、首先求得对称轴，利用二次函数的性质解答即可；
D、根据特征数的特点，直接得出x的值，进一步验证即可解答．
详解：
因为函数y=ax2+bx+c的特征数为[2m，1﹣m，﹣1﹣m]；
A、当m=﹣3时，y=﹣6x2+4x+2=﹣6（x﹣）2+，顶点坐标；此结论正确；
B、当m＞0时，令y=0，有2mx2+（1﹣m）x+（﹣1﹣m）=0，解得：x1=1，x2=﹣﹣，
|x2﹣x1|=+＞，所以当m＞0时，函数图象截x轴所得的线段长度大于，此结论正确；
C、当x=1时，y=2mx2+（1﹣m）x+（﹣1﹣m）=2m+（1﹣m）+（﹣1﹣m）=0 即对任意m，函数图象都点（1，0）那么同样的：当m=0时，函数图象都同一个点（1，0），当m≠0时，函数图象同一个点（1，0），故当m≠0时，函数图象x轴上一个定点此结论正确．
D、当m＜0时，y=2mx2+（1﹣m）x+（﹣1﹣m） 是一个开口向下的抛物线，其对称轴是：直线x=，在对称轴的右边y随x的增大而减小．因为当m＜0时，，即对称轴在x=右边，因此函数在x=右边先递增到对称轴位置，再递减，此结论错误；
根据上面的分析，①②③都是正确的，④是错误的．
故选D．
点睛：考查二次函数的性质，顶点坐标，两点间的距离公式，以及二次函数图象上点的坐标特征．
9. 没有透明的袋子里装有2个红球和1个白球，这些球除了颜色外其他都相同，从中任意摸出一个球，记下颜色后，放回摇匀，再从中摸出一个，则两次摸到球的颜色相同的概率是( )
A. B. C. D.
【正确答案】B
【详解】解：画树状图如下：
易得共有3×3=9种可能，两次摸到球的颜色相同的有5种，所以概率是．
故选：B．
本题考查列表法与树状图法．
10. 如图，点M为▱ABCD的边AB上一动点，过点M作直线l垂直于AB，且直线l与▱ABCD的另一边交于点N．当点M从A→B匀速运动时，设点M的运动时间为t，△AMN的面积为S，能大致反映S与t函数关系的图象是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】C
【详解】分析：本题需要分两种情况来进行计算得出函数解析式，即当点N和点D重合之前以及点M和点B重合之前，根据题意得出函数解析式．
详解：假设当∠A=45°时，AD=2，AB=4，则MN=t，当0≤t≤2时，AM=MN=t，则S=，为二次函数；当2≤t≤4时，S=t，为函数，故选C．
点睛：本题主要考查的就是函数图像的实际应用问题，属于中等难度题型．解答这个问题的关键就是得出函数关系式．
二、填 空 题（共5小题，满分15分，每小题3分）
11. 随着数系没有断扩大，我们引进新数i，新 i满足交换律、律，并规定：i2=﹣1，那么（2+i）（2﹣i）=________（结果用数字表示）．
【正确答案】5
【详解】分析：利用平方差公式进行计算，即可得出答案．
详解：原式=．
点睛：本题主要考查的就是平方差公式的应用以及新运算的使用，属于简单题型．解决这个问题的时候理解新定义是解题的关键．
12. 关于x的正比例函数y=（m+2）x，若y随x的增大而减小，则m的取值范围是_____．
【正确答案】m＜﹣2
【详解】分析：根据正比例函数的增减性即可求出m的取值范围．
详解：∵y随着x的增大而减小， ∴m+2＜0， 解得：m＜－2．
点睛：本题主要考查的就是正比例函数的增减性，属于基础题型．对于正比例函数y=kx，当k＞0时，y随着x的增大而增大；当k＜0时，y随着x的增大而减小．
13. 如图，在ABCD中，AM=AD，BD与MC相交于点O，则S△MOD∶S△BOC=_____．
【正确答案】4：9
【详解】∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC，AD∥BC，
∵AM=AD，
∴，
∵AD∥BC，
∴△DOM∽△BOC，
∴=（）2=，
故答案为4：9．
14. 如图，正方形ABCD的边长为2，分别以A、D为圆心，2为半径画弧BD、AC，则图中阴影部分的面积为_____．
【正确答案】2﹣
【分析】过点F作FE⊥AD于点E，则AE=AD=AF，故∠AFE=∠BAF=30°，再根据勾股定理求出EF的长，由S弓形AF=S扇形ADF－S△ADF可得出其面积，再根据S阴影=2(S扇形BAF－S弓形AF)即可得出结论
【详解】如图所示,过点F作FE⊥AD于点E，∵正方形ABCD的边长为2，
∴AE=AD=AF=1，∴∠AFE=∠BAF=30°，∴EF=．
∴S弓形AF=S扇形ADF－S△ADF=，
∴ S阴影=2(S扇形BAF－S弓形AF)=2×[]=2×()=．
本题考查了扇形的面积公式和长方形性质的应用，关键是根据图形的对称性分析，主要考查学生的计算能力．
15. 如图，在菱形ABCD中，，，点M是对角线AC上的一个动点，过点M作交AB于点P，交AD于点Q，将沿PQ折叠，点A落在点E处，连接BE，当是等腰三角形时，AP的长为________．
【正确答案】或
【详解】设BD与AC相交于点O，∵四边形ABCD是菱形，∴，∵，，∴，∴，①当时，如解图①，则，，，∵，∴，∴，∴；②当时，如解图②，点E是BC的垂直平分线与AC的交点，作于点F，则，∵，∴，∴，∴，∴，∴，∵，∴，；③当时，E与A重合（舍）；综上所述，当是等腰三角形时，AP的长为或．
三、解 答 题（共8小题，满分75分）
16. 先化简，再求值：（﹣）÷，其中x=+1，y=﹣1．
【正确答案】原式==
【详解】分析：首先将分式进行通分，然后根据除法的计算法则进行约分化简，将x和y的值代入化简后的式子进行计算得出答案．
详解：解：原式=，
当x=+1，y=﹣1时，原式=．
点睛：本题主要考查的就是分式的化简求值以及二次根式的计算，属于简单题型．在解答这个问题的时候，明确分式的化简法则是基础．
17. 全民健身运动已成为一种时尚 ，为了解揭阳市居民健身运动的情况，某健身馆的工作人员开展了一项问卷，问卷内容包括五个项目:
A:健身房运动；B:跳广场舞；C:参加暴走团；D:散步；E:没有运动.
以下是根据结果绘制的统计图表的一部分，
运动形式
A
B
C
D
E
人数
请你根据以上信息，回答下列问题:
接受问卷的共有 人，图表中的 ， .
统计图中，类所对应的扇形的圆心角的度数是 度.
揭阳市环岛路是市民喜爱的运动场所之一，每天都有“暴走团”，若某社区约有人，请你估计一下该社区参加环岛路“暴走团”的人数.
【正确答案】（1）150、45、36；（2）28.8°；（3）450人
【分析】（1）由B项目人数及其百分比求得总人数，根据各项目人数之和等于总人数求得m=45，再用D项目人数除以总人数可得n的值；
（2）360°乘以A项目人数占总人数的比例可得；
（3）利用总人数乘以样本中C人数所占比例可得．
【详解】解：（1）接受问卷的共有30÷20%=150人，m=150-（12+30+54+9）=45，
∴n=36，
故150、45、36；
（2）A类所对应的扇形圆心角的度数为
故28.8°；
（3）（人）
答：估计该社区参加碧沙岗“暴走团”的大约有450人
本题考查的是统计表和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从没有同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
18. 如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AD是中线，E是AD的中点，过点A作AF∥BC交BE的延长线于点F，连接CF．
(1) 求证：AD=AF；
(2) 当△ABC满足什么条件时，四边形ADCF是矩形．并说明理由．
【正确答案】（1）见解析；（2）当AB=AC时，四边形ADCF是矩形，理由见解析
【分析】(1) 由E是AD的中点，AF∥BC，易证得△AEF≌△DEB，即可得AF=BD，又由在△ABC中，∠BAC=90°，AD是中线，根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，即可证得AD=BD=CD=BC，即可证得：AD=AF；
(2) 当AB=AC时，四边形ADCF是矩形．由AF=BD=DC，AF∥BC，可证得：四边形ADCF是平行四边形，又由AB=AC，根据三线合一的性质，可得AD⊥BC，AD=DC，继而可得四边形ADCF是正方形．
【详解】(1) 证明：∵AF∥BC，
∴∠EAF=∠EDB，
∵E是AD的中点，
∴AE=DE，
在△AEF和△DEB中，
，
∴△AEF≌△DEB（ASA），
∴AF=BD，
∵在△ABC中，∠BAC=90°，AD是中线，
∴AD=BD=DC=BC，
∴AD=AF．
(2) 当AB=AC时，四边形ADCF是矩形．
∵AF=BD=DC，AF∥BC，
∴四边形ADCF是平行四边形，
∵AB=AC，AD中线，
∴AD⊥BC，
∵AD=AF，
∴四边形ADCF是正方形，是的矩形.
查了正方形的判定、平行四边形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质．此题难度适中，注意掌握数形思想的应用．
19. 如图，已知A（3，m），B（﹣2，﹣3）是直线AB和某反比例函数的图象的两个交点．
（1）求直线AB和反比例函数的解析式；
（2）观察图象，直接写出当x满足什么范围时，直线AB在双曲线的下方；
（3）反比例函数的图象上是否存在点C，使得△OBC的面积等于△OAB的面积？如果没有存在，说明理由；如果存在，求出满足条件的所有点C的坐标．
【正确答案】（1）y=，y=x﹣1；（2）x＜﹣2或0＜x＜3时，直线AB在双曲线的下方；（3）存在点C，点C的坐标为（﹣3，﹣2），，（﹣，﹣）．
【分析】（1）设反比例函数解析式为y=，将B点坐标代入，求出反比例函数解析式，将A点坐标代入反比例解析式求出m的值，确定出点A的坐标，设直线AB 的解析式为y=ax+b，将A与B的坐标代入函数解析式求出a与b的值，即可确定出函数解析式；
（2）根据图像写出答案即可；
（3）分3中情况求解，延长AO交双曲线于点C1，由点A与点C1关于原点对称，求出点点C1的坐标；如图，过点C1作BO的平行线，交双曲线于点C2，将OB的解析式与C1C2的解析式联立，求出点C2的坐标；A作OB的平行线，交双曲线于点C3，，将AC3的解析式与反比例函数的解析式联立，求出点C3的坐标．
【详解】解：（1）设反比例函数解析式y=，
把B（﹣2，﹣3）代入，可得k=﹣2×（﹣3）=6，
∴反比例函数解析式为y=；
把A（3，m）代入y=，可得3m=6，
即m=2，
∴A（3，2），
设直线AB 的解析式为y=ax+b，
把A（3，2），B（﹣2，﹣3）代入，可得，
解得，
∴直线AB 的解析式为y=x﹣1；
（2）由题可得，当x满足：x＜﹣2或0＜x＜3时，直线AB在双曲线的下方；
（3）存在点C．
如图所示，延长AO交双曲线于点C1，
∵点A与点C1关于原点对称，
∴AO=C1O，
∴△OBC1的面积等于△OAB的面积，
此时，点C1的坐标为（﹣3，﹣2）；
如图，过点C1作BO的平行线，交双曲线于点C2，则△OBC2的面积等于△OBC1的面积，
∴△OBC2的面积等于△OAB的面积，
由B（﹣2，﹣3）可得OB的解析式为y=x，
可设直线C1C2的解析式为y=x+b'，
把C1（﹣3，﹣2）代入，可得﹣2=×（﹣3）+b'，
解得b'=，
∴直线C1C2的解析式为y=x+，
解方程组，可得C2；
如图，过A作OB的平行线，交双曲线于点C3，则△OBC3的面积等于△OBA的面积，
设直线AC3的解析式为y=x+，
把A（3，2）代入，可得2=×3+，
解得=﹣，
∴直线AC3的解析式为y=x﹣，
解方程组，可得C3（﹣，﹣）；
综上所述，点C的坐标为（﹣3，﹣2），，（﹣，﹣）．
此题考查了反比例函数与函数的综合，涉及的知识有：坐标与图形性质，函数图像的交点与二元方程组的关系，反比例函数与函数的交点问题，利用函数图像解没有等式，待定系数法求函数解析式，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．
20. 如图，大楼底右侧有一障碍物，在障碍物的旁边有一幢小楼DE，在小楼的顶端D处测得障碍物边缘点C的俯角为30°，测得大楼顶端A的仰角为45°（点B，C，E在同一水平直线上）．已知AB＝80m，DE＝10m，求障碍物B，C两点间的距离．（结果保留根号）
【正确答案】（70﹣10）m．
【分析】过点D作DF⊥AB于点F，过点C作CH⊥DF于点H．通过解得到DF的长度；通过解得到CE的长度，则
【详解】如图，过点D作DF⊥AB于点F，过点C作CH⊥DF于点H．
则DE=BF=CH=10m，
在中，∵AF=80m−10m=70m，
∴DF=AF=70m．
在中，∵DE=10m，
∴
∴
答：障碍物B，C两点间的距离为
21. 某科技有限公司准备购进A和B两种机器人来搬运化工材料，已知购进A种机器人2个和B种机器人3个共需16万元，购进A种机器人3个和B种机器人2个共需14万元，请解答下列问题：
（1）求A、B两种机器人每个的进价；
（2）已知该公司购买B种机器人的个数比购买A种机器人的个数的2倍多4个，如果需要购买A、B两种机器人的总个数没有少于28个，且该公司购买的A、B两种机器人的总费用没有超过106万元，那么该公司有哪几种购买？
【正确答案】（1）A种机器人每个的进价是2万元，B种机器人每个的进价是4万元；（2）有如下两种：（1）购买A种机器人的个数是8个，则购买B种机器人的个数是20个；（2）购买A种机器人的个数是9个，则购买B种机器人的个数是22个．
【详解】分析：(1)、首先设A种机器人每个的进价是x万元，B种机器人每个的进价是y万元，根据题意列出二元方程组，从而得出答案；(2)、设购买A种机器人的个数是m个，则购买B种机器人的个数是（2m+4）个，根据题意列出没有等式组，从而求出没有等式组的解，根据解为整数得出．
详解：解：(1)、设A种机器人每个的进价是x万元，B种机器人每个的进价是y万元，依题意有：， 解得：．
故A种机器人每个的进价是2万元，B种机器人每个的进价是4万元；
(2)、设购买A种机器人的个数是m个，则购买B种机器人的个数是（2m+4）个，依题意有
， 解得：8≤m≤9， ∵m是整数， ∴m=8或9，
故有如下两种：
(1)：m=8，2m+4=20，即购买A种机器人的个数是8个，则购买B种机器人的个数是20个；
(2)：m=9，2m+4=22，即购买A种机器人的个数是9个，则购买B种机器人的个数是22个．
点睛：本题主要考查的就是二元方程组和没有等式组的应用问题，属于基础题型．解答这个题目的关键就是要能够根据题意列出方程组和没有等式组．
22. 如图，已知△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠ACB=∠ADE=90°，点F为BE的中点，连接CF，DF．
（1）如图1，当点D在AB上，点E在AC上时
①证明：△BFC是等腰三角形；
②请判断线段CF，DF的关系？并说明理由；
（2）如图2，将图1中的△ADE绕点A旋转到图2位置时，请判断（1）中②的结论是否仍然成立？并证明你的判断．
【正确答案】（1）①证明见解析；②结论：CF=DF且CF⊥DF．理由见解析；（2）（1）中的结论仍然成立．理由见解析.
【详解】分析：(1)、根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”可知CF=BF=EF，根据∠CFD=2∠ABC，∠ACB=90°，∠ABC=45°得出∠CFD=90°，从而得出答案；(2)、延长DF至G使FG=DF，连接BG，CG，DC，首先证明△BFG和△EFD全等，然后再证明△BCG和△ACD全等，从而得出GC=DC，∠BCG=∠ACD，∠DCG=∠ACB=90°，根据直角三角形斜中线的性质得出答案．
详解：（1）①证明：∵∠BCE=90°．EF=FB，∴CF=BF=EF，∴△BFC是等腰三角形．
②解：结论：CF=DF且CF⊥DF．理由如下：
∵∠ADE=90°，∴∠BDE=90°，又∵∠BCE=90°，点F是BE的中点，∴CF=DF=BE=BF，
∴∠1=∠3，∠2=∠4，∴∠5=∠1+∠3=2∠1，∠6=∠2+∠4=2∠2，
∴∠CFD=∠5+∠6=2（∠1+∠2）=2∠ABC，
又∵△ABC是等腰直角三角形，且∠ACB=90°，∴∠ABC=45°，∴∠CFD=90°，
∴CF=DF且CF⊥DF．
（2）（1）中的结论仍然成立．理由如下：
如图，延长DF至G使FG=DF，连接BG，CG，DC，∵F是BE的中点，∴BF=EF，
又∵∠BFG=∠EFD，GF=DF，∴△BFG≌△EFD（SAS），∴∠FBG=∠FED，BG=ED，
∴BG∥DE，∵△ADE和△ACB都是等腰直角三角形，
∴DE=DA，∠DAE=∠DEA=45°，AC=BC，∠CAB=∠CBA=45°，
又∵∠CBG=∠EBG﹣∠EBA﹣∠ABC=∠DEF﹣（180°﹣∠AEB﹣∠EAB）﹣45°
=∠DEF﹣180°+∠AEB+∠EAB﹣45°=（∠DEF+∠AEB）+∠EAB﹣225°
=360°﹣∠DEA+∠EAB﹣225°=360°﹣45°+∠EAB﹣225°=90°+∠EAB，
而∠DAC=∠DAE+∠EAB+∠CAB=45°+∠EAB+45°=90°+∠EAB，
∴∠CBG=∠DAC，又∵BG=ED，DE=DA，∴BG=AD，又∵BC=AC，
∴△BCG≌△ACD（SAS），∴GC=DC，∠BCG=∠ACD，
∴∠DCG=∠DCB+∠BCG=∠DCB+∠ACD=∠ACB=90°，
∴△DCG是等腰直角三角形，又∵F是DG的中点，∴CF⊥DF且CF=DF．
点睛：主要考查了旋转的性质，等腰三角形和全等三角形的判定，及勾股定理的运用．要掌握等腰三角形和全等三角形的性质及其判定定理并会灵活应用是解题的关键．
23. 已知，抛物线y＝ax2+ax+b（a≠0）与直线y＝2x+m有一个公共点M（1，0），且a＜b．
（1）求b与a的关系式和抛物线的顶点D坐标（用a的代数式表示）；
（2）直线与抛物线的另外一个交点记为N，求△DMN的面积与a的关系式；
（3）a＝﹣1时，直线y＝﹣2x与抛物线在第二象限交于点G，点G、H关于原点对称，现将线段GH沿y轴向上平移t个单位（t＞0），若线段GH与抛物线有两个没有同的公共点，试求t的取值范围．
【正确答案】（1）b=﹣2a，顶点D的坐标为（﹣，﹣）；（2）；（3） 2≤t＜．
【分析】（1）把M点坐标代入抛物线解析式可得到b与a的关系，可用a表示出抛物线解析式，化为顶点式可求得其顶点D的坐标；
（2）把点M（1，0）代入直线解析式可先求得m的值，联立直线与抛物线解析式，消去y，可得到关于x的一元二次方程，可求得另一交点N的坐标，根据a＜b，判断a＜0，确定D、M、N的位置，画图1，根据面积和可得△DMN的面积即可；
（3）先根据a的值确定抛物线的解析式，画出图2，先联立方程组可求得当GH与抛物线只有一个公共点时，t的值，再确定当线段一个端点在抛物线上时，t的值，可得：线段GH与抛物线有两个没有同的公共点时t的取值范围．
【详解】解：（1）∵抛物线y=ax2+ax+b有一个公共点M（1，0），
∴a+a+b=0，即b=-2a，
∴y=ax2+ax+b=ax2+ax-2a=a（x+）2-，
∴抛物线顶点D的坐标为（-，-）；
（2）∵直线y=2x+m点M（1，0），
∴0=2×1+m，解得m=-2，
∴y=2x-2，
则，
得ax2+（a-2）x-2a+2=0，
∴（x-1）（ax+2a-2）=0，
解得x=1或x=-2，
∴N点坐标为（-2，-6），
∵a＜b，即a＜-2a，
∴a＜0，
如图1，设抛物线对称轴交直线于点E，
∵抛物线对称轴为，
∴E（-，-3），
∵M（1，0），N（-2，-6），
设△DMN的面积为S，
∴S=S△DEN+S△DEM=|（ -2）-1|•|--（-3）|=−−a，
（3）当a=-1时，
抛物线的解析式为：y=-x2-x+2=-（x+）2+，
由，
-x2-x+2=-2x，
解得：x1=2，x2=-1，
∴G（-1，2），
∵点G、H关于原点对称，
∴H（1，-2），
设直线GH平移后的解析式为：y=-2x+t，
-x2-x+2=-2x+t，
x2-x-2+t=0，
△=1-4（t-2）=0，
t=，
当点H平移后落在抛物线上时，坐标（1，0），
把（1，0）代入y=-2x+t，
t=2，
∴当线段GH与抛物线有两个没有同的公共点，t的取值范围是2≤t＜．
本题为二次函数的综合应用，涉及函数图象的交点、二次函数的性质、根的判别式、三角形的面积等知识．在（1）中由M的坐标得到b与a的关系是解题的关键，在（2）中联立两函数解析式，得到关于x的一元二次方程是解题的关键，在（3）中求得GH与抛物线一个交点和两个交点的分界点是解题的关键，本题考查知识点较多，综合性较强，难度较大．
2022-2023学年湖北省宜昌市中考数学专项提升仿真模拟试题
（一模）
一、选一选：本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的代号填入题后括号内．
1. 的值等于（ ）
A. 2 B. C. D. ﹣2
2. 已知某种纸一张的厚度约为0.0089cm，用科学记数法表示这个数为（ ）
A. 8.9×10﹣5 B. 8.9×10﹣4 C. 8.9×10﹣3 D. 8.9×10﹣2
3. 化简（﹣a）2a3所得的结果是（ ）
A. a5 B. ﹣a5 C. a6 D. ﹣a6
4. 如图，矩形ABCD的边AD长为2，AB长为1，点A在数轴上对应的数是－1，以A点为圆心，对角线AC长为半径画弧，交数轴于点E，则点E表示的实数是（ ）
A. ＋1 B. －1 C. D. 1－
5. 已知函数y=ax﹣x﹣a+1（a为常数），则其函数图象一定过象限（ ）
A. 一、二 B. 二、三 C. 三、四 D. 一、四
6. 如图，在△ABC中， AB＝3，AC＝2．当∠B时，BC的长是（ ）
A. 1 B. 5 C. D.
7. 一元二次方程的根的情况是（ ）
A. 有两个没有相等的实数根 B. 有两个相等的实数根
C. 没有实数根 D. 无法确定
8. 已知a≠0，下列计算正确是（ ）
A. a2+a3＝a5 B. a2•a3＝a6 C. a3÷a2＝a D. （a2）3＝a5
9. 如图，将矩形ABCD绕点A逆时针旋转90°至矩形AEFG，点D的旋转路径为，若AB＝1，BC＝2，则阴影部分的面积为（ ）
A. B. C. D.
10. 如图，将正六边形ABCDEF放入平面直角坐标系后，若点A、B、E的坐标分别为（a，b）、（3，1）、（﹣a，b），则点D的坐标为（ ）
A. （1，3） B. （3，﹣1） C. （﹣1，﹣3） D. （﹣3，1）
二、填 空 题：本大题共8小题，每小题3分，共24分，没有需写出解答过程，请把结果填在题中横线上．
11. 分解因式：_________．
12. 已知一组数据2，6，5，2，4，则这组数据的中位数是_____．
13. 若关于x的方程x2＋mx＋5＝0有一个根为1，则该方程的另一根为_______．
14. 如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AD是⊙O的直径，∠ABC=50°，则∠CAD=________ ．
15. 如图，在□ABCD中，E、F分别是AD、CD中点，EF与BD相交于点M，若△DEM的面积为1，则□ABCD的面积为________．
16. 如图，A（a，b）、B（1，4）（a＞1）是反比例函数y＝（x＞0）图像上两点，过A、B分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别为C、D、E、F，AE、BD交于点G．则四边形ACDG的面积随着a的增大而_________．（填“减小”、“没有变”或“增大”）
17. 二次函数y=a（x﹣b）2+c（a＜0）的图象点（1，1）和（3，3），则b的取值范围是________．
18. 如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝1，P为△ABC内一个动点，∠PAB＝∠PBC，则CP的最小值为_________．
三、解 答 题（共10小题）
19. 计算:.
20. 解没有等式组，并把它们的解集表示在数轴上．
21. 先化简，再求值：() ÷ ．其中．
22. 一个没有透明的袋子中，装有2个红球，1个白球，1个黄球，这些球除颜色外都相同．求下列的概率：
（1）搅匀后从中任意摸出1个球，恰好是红球；
（2）搅匀后从中任意摸出2个球，2个都是红球．
23. 某公司在某市五个区投放共享单车供市民使用，投放量的分布及投放后的使用情况统计如下．
（1）该公司全市一共投放了 万辆共享单车；
（2）在扇形统计图中，B区所对应扇形的圆心角为 °；
（3）该公司在全市投放的共享单车的使用量占投放量的85%，请计算C区共享单车的使用量并补全条形统计图．
24. 将平行四边形纸片按如图方式折叠，使点C与A重合，点D落到处，折痕为．
（1）求证：；
（2）连接，判断四边形是没有是平行四边形？证明你的结论．
25. 如图，正比例函数y=2x的图象与反比例函数y=的图象交于点A、B，AB=2，
（1）求k的值；
（2）若反比例函数y=的图象上存在一点C，则当△ABC为直角三角形，请直接写出点C的坐标．
26. 如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，点D，E分别在AC，BC上，且CD·BC＝AC·CE，以E为圆心，DE长为半径作圆，⊙E点B，与AB，BC分别交于点F，G．
（1）求证：AC是⊙E的切线；
（2）若AF＝4，CG＝5，
①求⊙E半径；
②若Rt△ABC内切圆圆心为I，则IE＝ ．
27. 如图，在平面直角坐标系xOy中，二次函数（）的图象与x轴交于A（﹣2，0）、B（8，0）两点，与y轴交于点B，其对称轴与x轴交于点D．
（1）求该二次函数的解析式；
（2）如图1，连结BC，在线段BC上是否存在点E，使得△CDE为等腰三角形？若存在，求出所有符合条件的点E的坐标；若没有存在，请说明理由；
（3）如图2，若点P（m，n）是该二次函数图象上的一个动点（其中m＞0，n＜0），连结PB，PD，BD，求△BDP面积的值及此时点P的坐标．
28. 如图，A（-5，0），B（-3，0），点C在y轴的正半轴上，∠CBO=45°，CD∥AB．∠CDA=90°．点P从点Q（4，0）出发，沿x轴向左以每秒1个单位长度的速度运动，运动时时间t秒．
（1）求点C的坐标；
（2）当∠BCP=15°时，求t的值；
（3）以点P为圆心，PC为半径的⊙P随点P的运动而变化，当⊙P与四边形ABCD的边（或边所在的直线）相切时，求t的值．
2022-2023学年湖北省宜昌市中考数学专项提升仿真模拟试题
（一模）
一、选一选：本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的代号填入题后括号内．
1. 的值等于（ ）
A. 2 B. C. D. ﹣2
【正确答案】A
【详解】根据数轴上某个点与原点的距离叫做这个点表示的数的值的定义，
在数轴上，点﹣2到原点的距离是2，
所以，
故选A．
2. 已知某种纸一张的厚度约为0.0089cm，用科学记数法表示这个数为（ ）
A. 8.9×10﹣5 B. 8.9×10﹣4 C. 8.9×10﹣3 D. 8.9×10﹣2
【正确答案】C
【详解】试题解析：0.0089=8.9×10-3.
故选C.
考点：科学记数法—表示较小的数.
3. 化简（﹣a）2a3所得的结果是（ ）
A. a5 B. ﹣a5 C. a6 D. ﹣a6
【正确答案】A
【分析】根据同底数幂的乘法法则进行计算即可.
【详解】原式
故选A.
本题主要考查同底数幂的乘法，熟记法则是解题的关键.
4. 如图，矩形ABCD的边AD长为2，AB长为1，点A在数轴上对应的数是－1，以A点为圆心，对角线AC长为半径画弧，交数轴于点E，则点E表示的实数是（ ）
A. ＋1 B. －1 C. D. 1－
【正确答案】B
【分析】首先根据勾股定理计算出AC的长，进而得到AE的长，再根据A点表示-1，可得E点表示的数．
【详解】解：∵AD长为2，AB长为1，
∴AC=，
∵A点表示−1，
∴E点表示的数为：−1，
故选B．
5. 已知函数y=ax﹣x﹣a+1（a为常数），则其函数图象一定过象限（ ）
A. 一、二 B. 二、三 C. 三、四 D. 一、四
【正确答案】D
【详解】分析：根据函数的图形与性质，由函数y=kx+b的系数k和b的符号，判断所过的象限即可.
详解：∵y=ax﹣x﹣a+1（a为常数），
∴y=（a-1）x-（a-1）
当a-1＞0时，即a＞1，此时函数的图像过一三四象限；
当a-1＜0时，即a＜1，此时函数的图像过一二四象限.
故其函数的图像一定过一四象限.
故选D.
点睛：此题主要考查了函数的图像与性质，利用函数的图像与性质的关系判断即可.
函数y=kx+b（k≠0，k、b为常数）的图像与性质：当k＞0，b＞0时，图像过一二三象限，y随x增大而增大；当k＞0，b＜0时，图像过一三四象限，y随x增大而增大；当k＜0，b＞0时，图像过一二四象限，y随x增大而减小；当k＜0，b＜0，图像过二三四象限，y随x增大而减小.
6. 如图，在△ABC中， AB＝3，AC＝2．当∠B时，BC的长是（ ）
A. 1 B. 5 C. D.
【正确答案】D
【详解】如图，以点A为圆心，AC为半径作⊙A，当点C在⊙A上移动时，∠B的大小在发生变化，观察可得当BC和⊙A相切时，∠B，此时∠ACB=90°，
∵AB=3，AC=2，∠ACB=90°，
∴BC=.
故选D
7. 一元二次方程的根的情况是（ ）
A. 有两个没有相等的实数根 B. 有两个相等的实数根
C. 没有实数根 D. 无法确定
【正确答案】A
【分析】根据根的判别式大于0，方程有两个实数根；等于0，有两个相等的实数根；小于0，方程无实数根．
【详解】解：∵△=，
∴方程有两个没有相等的实数根．故选A．
本题考查了根的判别式，解题的关键是算出判别式的大小．
8. 已知a≠0，下列计算正确的是（ ）
A. a2+a3＝a5 B. a2•a3＝a6 C. a3÷a2＝a D. （a2）3＝a5
【正确答案】C
【分析】选项分别进行同底数幂的乘法、同底数幂的除法、幂的乘方的运算，选出正确答案．
【详解】A、a2和a3没有是同类项，没有能合并，故本选项错误；
B、a2•a3＝a5，原式计算错误，故本选项错误；
C、a3÷a2＝a，计算正确，故本选项正确；
D、（a2）3＝a6，原式计算错误，故本选项错误．
故选：C．
本题考查了同底数幂的乘法、同底数幂的除法、幂的乘方等运算，掌握运算法则是解答本题的关键．
9. 如图，将矩形ABCD绕点A逆时针旋转90°至矩形AEFG，点D的旋转路径为，若AB＝1，BC＝2，则阴影部分的面积为（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】A
【详解】
由旋转得:AG=AD,AE=AB, ∠AEF=∠B,
∵四边形ABCD是矩形,
∴AD=BC=2∠B=90°,
∴∠AEF=90°
∴AH=AG=2
∴AH=2AE
∴∠AHE=30°,EH=,
∵四边形AEFG是矩形,
∴EF∥AG,
∴∠GAH=∠AHE=30°
∴
故选A
点睛;没有规则图形面积的求法一般用割补法或转化法来求，这道题就是把阴影部分分成一个扇形和一个规则三角形，利用相应的面积公式即可求解.
10. 如图，将正六边形ABCDEF放入平面直角坐标系后，若点A、B、E的坐标分别为（a，b）、（3，1）、（﹣a，b），则点D的坐标为（ ）
A. （1，3） B. （3，﹣1） C. （﹣1，﹣3） D. （﹣3，1）
【正确答案】D
【详解】∵A（a，b）,E（－a，b）,
∴A,E关于y轴对称
∵六边形ABCDEF正六边形,
∴y轴过C,F
∴B,D关于y轴对称
∵B（3，1）
∴D（－3，1）
故选D.
解决点的坐标问题关键在于利用数形思想，认真观察题中的条件确定坐标轴的位置.
二、填 空 题：本大题共8小题，每小题3分，共24分，没有需写出解答过程，请把结果填在题中横线上．
11. 分解因式：_________．
【正确答案】2（a+1）2
【分析】
【详解】2（a+1）2.
故答案为2（a+1）2
考点：因式分解
12. 已知一组数据2，6，5，2，4，则这组数据的中位数是_____．
【正确答案】4
【详解】把数据从小到大排列为:2,2,4,5,6
中间的数是4,
∴中位数是4
故答案为:4
13. 若关于x方程x2＋mx＋5＝0有一个根为1，则该方程的另一根为_______．
【正确答案】5
【详解】∵关于x的方程x2＋mx＋5＝0有一个根为1,
∴设另一根为m,
可得: ,
解得:m=5.
故答案为:5.
14. 如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AD是⊙O的直径，∠ABC=50°，则∠CAD=________ ．
【正确答案】40°
【详解】连接CD，
则∠ADC=∠ABC=50°，
∵AD是⊙O的直径，
∴∠ACD=90°，
∴∠CAD+∠ADC=90°，
∴∠CAD=90°-∠ADC=90°-50°=40°，
故 40°.
15. 如图，在□ABCD中，E、F分别是AD、CD的中点，EF与BD相交于点M，若△DEM的面积为1，则□ABCD的面积为________．
【正确答案】16
【详解】延长EF交BC的延长线与H,
在平行四边形ABCD中,
∵AD=BC,AD∥BC
∴△DEF∽△CHF, △DEM∽△BHM
∴ ,
∵F是CD的中点
∴DF=CF
∴DE=CH
∵E是AD中点
∴AD=2DE
∴BC=2DE
∴BC=2CH
∴BH=3CH
∵
∴
∴
∴
∴
∴
∴
∴
∵四边形ABCD是平行四边形
∴
故答案为:16.
16. 如图，A（a，b）、B（1，4）（a＞1）是反比例函数y＝（x＞0）图像上两点，过A、B分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别为C、D、E、F，AE、BD交于点G．则四边形ACDG的面积随着a的增大而_________．（填“减小”、“没有变”或“增大”）
【正确答案】增大
【详解】DC=a−1，AC=b，
则=AC⋅DC=(a−1)b=ab−b.
∵B(1,4)、A(a,b)在函数y=(x>0)的图象上，
∴ab=k=4(常数).
∴=AC⋅DC=4−n，
∵当a>1时，b随a的增大而减小，
∴=4−a随a的增大而增大.
17. 二次函数y=a（x﹣b）2+c（a＜0）的图象点（1，1）和（3，3），则b的取值范围是________．
【正确答案】b＞2
【详解】∵二次函数y＝a(x－b)2＋c（a＜0）的图像点（1，1）和（3，3）
∴
∴
∵a<0
∴4-2b<0
b>2
18. 如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝1，P为△ABC内一个动点，∠PAB＝∠PBC，则CP的最小值为_________．
【正确答案】－1
【详解】如图所示：
在△ABC中，，AC=BC=1
又∵∠PAB=∠PBC
∴∠APB=135°
∴点P在以AB为弦的⊙O上,
∵∠APB=135°
∴∠AOB=90°
∴四边形ACBO为矩形
四边形AOBC为正方形
当点O、P、C在一条直线上时，PC有最小值
PC的最小值=OC-OP=-1．
故-1．
三、解 答 题（共10小题）
19. 计算:.
【正确答案】-2
【详解】分析：利用零次幂性质，值，二次根式的性质，负整指数幂的性质，依次计算即可.
详解：
=1-2+3-4
=-2
点睛：此题主要考查了实数的运算，关键是熟记零次幂的性质，值，二次根式的性质，负整指数幂的性质，灵活计算即可.
20. 解没有等式组，并把它们的解集表示在数轴上．
【正确答案】，数轴见解析
【分析】分别求出两个没有等式的解集，然后求出两个解集的公共部分即可得解．
【详解】解：，
解没有等式①得，，
解没有等式②得，，
在数轴上表示如下：
所以没有等式组的解集为：．
本题主要考查了一元没有等式组解集的求法，解题的关键是掌握其简便求法就是用口诀求解．求没有等式组解集的口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，小小找没有到（无解）．
21. 先化简，再求值：() ÷ ．其中．
【正确答案】2b，2
【详解】分析：根据分式的混合运算的顺序，先把括号内的式子通分后再加减，然后再算除法，化简后再代入求值.
详解：原式＝
＝2b
当时，原式=.
点睛：本考查了分式的混合运算：分式的混合运算，要注意运算顺序，式与数有相同的混合运算顺序；先乘方，再乘除，然后加减，有括号的先算括号里面的．结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式．
22. 一个没有透明的袋子中，装有2个红球，1个白球，1个黄球，这些球除颜色外都相同．求下列的概率：
（1）搅匀后从中任意摸出1个球，恰好是红球；
（2）搅匀后从中任意摸出2个球，2个都是红球．
【正确答案】（1）；（2）
【详解】试题分析：（1）直接根据概率的概念求解；
（2）根据题意展示所有6种等可能的结果，其中摸出两个球恰好是2个红球占1种，然后根据概率的概念计算即可．
试题解析：
（1）搅匀后从中任意摸出1个球，所有可能出现的结果共有4种，它们出现的可能性相同．所有的结果中，满足“恰好是红球”(记为A)的结果有2种，
所以P(A)＝＝．
（2）搅匀后从中任意摸出2个球，所有可能出现的结果有：(红1，红2)、(红1，黄)、(红2，黄)、(红1，白)、(红2，白)、(白，黄)，共有6种，它们出现的可能性相同．所有的结果中，满足“2个都是红球”(记为B)的结果只有1种，所以P(B)＝．
点睛:用列举法计算概率时,要注意求出发生情况的数目及其中一个发生的数目,而且每一种情况发生的可能性都相同,需要操作即可完成的,用概率公式来求解;需要两次或两次以上的操作完成的,先用列表法或画树状图法列举所有等可能的情况,再利用概率计算公式求解.
23. 某公司在某市五个区投放共享单车供市民使用，投放量的分布及投放后的使用情况统计如下．
（1）该公司在全市一共投放了 万辆共享单车；
（2）在扇形统计图中，B区所对应扇形的圆心角为 °；
（3）该公司在全市投放的共享单车的使用量占投放量的85%，请计算C区共享单车的使用量并补全条形统计图．
【正确答案】（1）4；（2）36 ；（3）C区共享单车的使用量为0.7万辆，图见解析.
【详解】试题分析：（1）根据D区投放量除以占的百分比，求出总量数；
（2）先求出C区所占的百分比，再求出B区所占的百分比，乘以360°；
（3）求出共享单车的使用量，减去其余各区的就可求出C区共享单车的使用量．
试题解析：
（1）
（2），
（3）C区共享单车的使用量=4×85%－0.8－0.3－0.9－0.7＝0.7（万辆）；
补全条形统计图如图：
答： C区共享单车的使用量为0.7万辆．
24. 将平行四边形纸片按如图方式折叠，使点C与A重合，点D落到处，折痕为．
（1）求证：；
（2）连接，判断四边形是没有是平行四边形？证明你的结论．
【正确答案】（1）见解析；（2）是，理由见解析
【分析】（1）根据折叠得性质得CD=AD′，CE=AE，DF=D′F，∠CEF=∠AEF，再根据平行四边形的性质得AD∥BC，AD=BC，AD=BC，则AB=AD′；由AD∥BC得到∠AFE=∠CEF，则∠AFE=∠AEF，所以AE=AF，AF=CE，DF=BE，得到BE=FD′，于是可利用“SSS”判断△ABE≌△AD′F；
（2）证明AF=EC，再由AF∥EC即可得到结论．
【详解】解：（1）∵平行四边形纸片ABCD折叠，使点C与A重合，点D落到D′处，折痕为EF，
∴CD=AD′，CE=AE，DF=D′F，∠CEF=∠AEF
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD∥BC，AD=BC，AB=CD，
∴AB=AD′，
∵AD∥BC，
∴∠AFE=∠CEF，
∴∠AFE=∠AEF，
∴AE=AF，
∴AF=CE，
∴AD-AF=BC-CE，
∴DF=BE，
∴BE=FD′，
在△ABE和△AD′F中，
，
∴△ABE≌△AD′F（SSS）；
（2）四边形AECF是平行四边形．
证明：由折叠可知：AE=EC，∠4=∠5．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC．
∴∠5=∠6．
∴∠4=∠6．
∴AF=AE．
∵AE=EC，
∴AF=EC．
又∵AF∥EC，
∴四边形AECF是平行四边形．
此题考查了全等三角形的判定及平行四边形的判定方法，做题时要求学生对常用的知识点牢固掌握．
25. 如图，正比例函数y=2x的图象与反比例函数y=的图象交于点A、B，AB=2，
（1）求k的值；
（2）若反比例函数y=的图象上存在一点C，则当△ABC为直角三角形，请直接写出点C的坐标．
【正确答案】（1）k=2（2）当△ABC为直角三角形，点C的坐标为（﹣4，﹣）、（4，）、（﹣2，﹣1）或（2，1）
【详解】分析：（1）过点A作AD⊥x轴，垂足为D，由点A、B的对称性可求出OA的值，根据点在直线上，设点A的坐标为（a，2a），在Rt△OAD中，通过勾股定理即可求出A的坐标，由点A的坐标利用待定系数法即可求出结论；
（2）由点A、B的对称性，点A的坐标求出点B的坐标，根据点C在反比例函数上，设出点C的坐标为（n，），分△ABC三个角分别为直角来考虑，利用“两直线垂直斜率之积为-1（斜率都存在）”求出点C的坐标.
详解：（1）过点A作AD⊥x轴，垂足为D，如图1所示．
由题意可知点A与点B关于点O对称，且AB=2，∴OA=OB=．
设点A的坐标为（a，2a），在Rt△OAD中，∠ADO=90°，由勾股定理得：
a2+（2a）2=（）2，解得：a=1，∴点A的坐标为（1，2）．
把A（1，2）代入y=中得：2=，解得：k=2．
（2）∵点A的坐标为（1，2），点A、B关于原点O对称，
∴点B的坐标为（﹣1，﹣2）．设点C的坐标为（n，），
△ABC为直角三角形分三种情况：
①∠ABC=90°，则有AB⊥BC，=﹣1，即n2+5n+4，
解得：n1=﹣4，n2=﹣1（舍去），此时点C的坐标为（﹣4，﹣）；
②∠BAC=90°，则有BA⊥AC，=﹣1，即n2﹣5n+4=0，
解得：n3=4，n4=1（舍去），此时点C的坐标为（4，）；
③∠ACB=90°，则有AC⊥BC，=﹣1，即n2=4，解得：n5=﹣2，n6=2，
此时点C的坐标为（﹣2，﹣1）或（2，1）．综上所述：当△ABC为直角三角形，点C的坐标为（﹣4，﹣）、（4，）、（﹣2，﹣1）或（2，1）．
点睛：此题考查了正比列函数与反比例函数的交点问题，涉及的知识有：坐标与图形性质，待定系数法确定函数解析式，利用了数形的思想，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．
26. 如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，点D，E分别在AC，BC上，且CD·BC＝AC·CE，以E为圆心，DE长为半径作圆，⊙E点B，与AB，BC分别交于点F，G．
（1）求证：AC是⊙E的切线；
（2）若AF＝4，CG＝5，
①求⊙E的半径；
②若Rt△ABC的内切圆圆心为I，则IE＝ ．
【正确答案】（1）证明见解析；（2）①⊙E的半径为20；②IE＝
【分析】（1）证明△CDE∽△CAB，得∠EDC=∠A=90°，所以AC是⊙E的切线；
（2）①如图1，作辅助线，构建矩形AHED，设⊙E的半径为r，表示BH和EC的长，证明△BHE∽△EDC，
列比例式代入r可得结论；
②如图2，作辅助线，构建直角△IME，分别求IM和ME的值，利用勾股定理可求IE的长．
【详解】（1）∵CD•BC=AC•CE，
∴，
∵∠DCE=∠ACB，
∴△CDE∽△CAB，
∴∠EDC=∠A=90°，
∴ED⊥AC，
∵点D在⊙E上，
∴AC是⊙E的切线；
（2）①如图1，过E作EH⊥AB于H，
∴BH=FH，
∵∠A=∠AHE=∠ADE=90°，
∴四边形AHED是矩形，
∴ED=AH，ED∥AB，
∴∠B=∠DEC，
设⊙E的半径为r，则EB=ED=EG=r，
∴BH=FH=AH-AF=DE-AF=r-4，
EC=EG+CG=r+5，
△BHE和△EDC中，
∵∠B=∠DEC，∠BHE=∠EDC=90°，
∴△BHE∽△EDC，
∴，即，
∴r=20，
∴⊙E的半径为20；
②如图2，过I作IM⊥BC于M，过I作IJ⊥AB于J，
由①得：FJ=BJ=r-4=20-4=16，AB=AF+2BJ=4+2×16=36，
BC=2r+5=2×20+5=45，
∴AC==27，
∵I是Rt△ABC的内心，
∴IM==9，
∴AJ=IM=9，
∴BJ=BM=36-9=27，
∴EM=27-20=7，
在Rt△IME中，由勾股定理得：IE=．
27. 如图，在平面直角坐标系xOy中，二次函数（）的图象与x轴交于A（﹣2，0）、B（8，0）两点，与y轴交于点B，其对称轴与x轴交于点D．
（1）求该二次函数的解析式；
（2）如图1，连结BC，在线段BC上是否存在点E，使得△CDE为等腰三角形？若存在，求出所有符合条件的点E的坐标；若没有存在，请说明理由；
（3）如图2，若点P（m，n）是该二次函数图象上的一个动点（其中m＞0，n＜0），连结PB，PD，BD，求△BDP面积的值及此时点P的坐标．
【正确答案】（1）；（2）E的坐标为、（0，﹣4）、；（3），．
【详解】试题分析：（1）采用待定系数法求得二次函数的解析式；
（2）先求得直线BC的解析式为，则可设E（m，），然后分三种情况讨论即可求得；
（3）利用△PBD的面积即可求得．
试题解析：（1）∵二次函数（）的图象与x轴交于A（﹣2，0）、C（8，0）两点，
∴，解得：，∴该二次函数的解析式为；
（2）由二次函数可知对称轴x=3，∴D（3，0），∵C（8，0），∴CD=5，由二次函数可知B（0，﹣4），设直线BC的解析式为，∴，解得：，∴直线BC的解析式为，设E（m，），
当DC=CE时，，即，解得，（舍去），∴E；
当DC=DE时，，即，解得，（舍去），∴E（0，﹣4）；
当EC=DE时，，解得=，∴E．
综上，存在点E，使得△CDE为等腰三角形，所有符合条件的点E的坐标为、（0，﹣4）、；
（3）过点P作y轴的平行线交x轴于点F，∵P点的横坐标为m，∴P点的纵坐标为：，
∵△PBD的面积
==
=，
∴当m=时，△PBD的面积为，∴点P的坐标为．
考点：二次函数综合题．
28. 如图，A（-5，0），B（-3，0），点C在y轴的正半轴上，∠CBO=45°，CD∥AB．∠CDA=90°．点P从点Q（4，0）出发，沿x轴向左以每秒1个单位长度的速度运动，运动时时间t秒．
（1）求点C的坐标；
（2）当∠BCP=15°时，求t的值；
（3）以点P为圆心，PC为半径的⊙P随点P的运动而变化，当⊙P与四边形ABCD的边（或边所在的直线）相切时，求t的值．
【正确答案】（1）C (0,3)；（2）t的值为4+或4+3；（3）t的值为1或4或5.6.
【分析】（1）由∠CBO=45°，∠BOC为直角，得到△BOC为等腰直角三角形，又OB=3，利用等腰直角三角形AOB的性质知OC=OB=3，然后由点C在y轴的正半轴可以确定点C的坐标；
（2）需要对点P的位置进行分类讨论：①当点P在点B右侧时，如图2所示，由∠BCO=45°，用∠BCO-∠BCP求出∠PCO为30°，又OC=3，在Rt△POC中，利用锐角三角函数定义及角的三角函数值求出OP的长，由PQ=OQ+OP求出运动的总路程，由速度为1个单位/秒，即可求出此时的时间t；②当点P在点B左侧时，如图3所示，用∠BCO+∠BCP求出∠PCO为60°，又OC=3，在Rt△POC中，利用锐角三角函数定义及角的三角函数值求出OP的长，由PQ=OQ+OP求出运动的总路程，由速度为1个单位/秒，即可求出此时的时间t；
（3）当⊙P与四边形ABCD的边（或边所在的直线）相切时，分三种情况考虑：
①当⊙P与BC边相切时，利用切线的性质得到BC垂直于CP，可得出∠BCP=90°，由∠BCO=45°，得到∠OCP=45°，即此时△COP为等腰直角三角形，可得出OP=OC，由OC=3，得到OP=3，用OQ-OP求出P运动的路程，即可得出此时的时间t；
②当⊙P与CD相切于点C时，P与O重合，可得出P运动的路程为OQ的长，求出此时的时间t；
③当⊙P与AD相切时，利用切线的性质得到∠DAO=90°，得到此时A为切点，由PC=PA，且PA=9-t，PO=t-4，在Rt△OCP中，利用勾股定理列出关于t的方程，求出方程的解得到此时的时间t．
综上，得到所有满足题意的时间t的值．
【详解】（1）∵∠BCO=∠CBO=45°，
∴OC=OB=3，
又∵点C在y轴的正半轴上，
∴点C的坐标为（0，3）；
（2）分两种情况考虑：
①当点P在点B右侧时，如图2，
若∠BCP=15°，得∠PCO=30°，
故PO=CO•tan30°=，此时t=4+；
②当点P在点B左侧时，如图3，
由∠BCP=15°，得∠PCO=60°，
故OP=COtan60°=3，
此时，t=4+3，
∴t的值为4+或4+3；
（3）由题意知，若⊙P与四边形ABCD的边相切时，有以下三种情况：
①当⊙P与BC相切于点C时，有∠BCP=90°，
从而∠OCP=45°，得到OP=3，此时t=1；
②当⊙P与CD相切于点C时，有PC⊥CD，即点P与点O重合，此时t=4；
③当⊙P与AD相切时，由题意，得∠DAO=90°，
∴点A为切点，如图4，PC2=PA2=（9-t）2，PO2=（t-4）2，
于是（9-t）2=（t-4）2+32，即81-18t+t2=t2-8t+16+9，
解得：t=5.6，
∴t的值为1或4或5.6．
2022-2023学年湖北省宜昌市中考数学专项提升仿真模拟试题
（二模）
一、选一选（共10小题，满分30分，每小题3分）
1. ﹣2相反数是（ ）
A. 2 B. C. ﹣2 D. 以上都没有对
2. 在游戏当中，小明将下面四张扑克牌中的三张旋转了180°，得到的图案和原来的一模一样，小芳看了后，很快知道没有旋转那张扑克牌是（ ）
A. 黑桃Q B. 梅花2 C. 梅花6 D. 方块9
3. 用6个相同的小正方体搭成一个几何体，若它的俯视图如图所示，则它的主视图没有可能是（ ）
A. B. C. D.
4. 地球的表面积约为510000000km2，将510000000用科学记数法表示为（ ）
A. 0.51×109 B. 5.1×108 C. 5.1×109 D. 51×107
5. 如图，AB∥CD，EF与AB、CD分别相交于点E、F，EP⊥EF，与∠EFD的平分线FP相交于点P，且∠EPF=70°，则∠BEP的度数为（ ）
A. 50° B. 55° C. 60° D. 65°
6. 下列运算，结果正确的是（ ）
A. a3a2=a6 B. （2a2）2=24
C. （x3）3=x6 D. （﹣ab）5÷（﹣ab）2=﹣a3b3
7. 某校八年级两个班，各选派10名学生参加学校举行的“汉字听写”大赛．各参赛选手成绩的数据分析如下表所示，则以下判断错误的是
A. 八（2）班的总分高于八（1）班
B. 八（2）班的成绩比八（1）班稳定
C. 八（2）班的成绩集中在中上游
D. 两个班的分在八（2）班
8. 定义[a，b，c]为函数y=ax2+bx+c特征数，下面给出特征数为[2m，1-m，-1-m]的函数的一些结论，其中没有正确的是（ ）
A. 当m=-3时，函数图象的顶点坐标是
B. 当m>0时，函数图象截x轴所得的线段长度大于
C. 当m≠0时，函数图象同一个点
D. 当m<0时，函数在x>时，y随x的增大而减小
9. 没有透明的袋子里装有2个红球和1个白球，这些球除了颜色外其他都相同，从中任意摸出一个球，记下颜色后，放回摇匀，再从中摸出一个，则两次摸到球的颜色相同的概率是( )
A. B. C. D.
10. 如图，点M为▱ABCD的边AB上一动点，过点M作直线l垂直于AB，且直线l与▱ABCD的另一边交于点N．当点M从A→B匀速运动时，设点M的运动时间为t，△AMN的面积为S，能大致反映S与t函数关系的图象是（ ）
A. B. C. D.
二、填 空 题（共5小题，满分15分，每小题3分）
11. 随着数系没有断扩大，我们引进新数i，新 i满足交换律、律，并规定：i2=﹣1，那么（2+i）（2﹣i）=________（结果用数字表示）．
12. 关于x的正比例函数y=（m+2）x，若y随x的增大而减小，则m的取值范围是_____．
13. 如图，在ABCD中，AM=AD，BD与MC相交于点O，则S△MOD∶S△BOC=_____．
14. 如图，正方形ABCD的边长为2，分别以A、D为圆心，2为半径画弧BD、AC，则图中阴影部分的面积为_____．
15. 如图，在菱形ABCD中，，，点M是对角线AC上的一个动点，过点M作交AB于点P，交AD于点Q，将沿PQ折叠，点A落在点E处，连接BE，当是等腰三角形时，AP的长为________．
三、解 答 题（共8小题，满分75分）
16. 先化简，再求值：（﹣）÷，其中x=+1，y=﹣1．
17. 全民健身运动已成为一种时尚 ，为了解揭阳市居民健身运动的情况，某健身馆的工作人员开展了一项问卷，问卷内容包括五个项目:
A:健身房运动；B:跳广场舞；C:参加暴走团；D:散步；E:没有运动.
以下是根据结果绘制的统计图表的一部分，
运动形式
A
B
C
D
E
人数
请你根据以上信息，回答下列问题:
接受问卷的共有 人，图表中的 ， .
统计图中，类所对应扇形的圆心角的度数是 度.
揭阳市环岛路是市民喜爱的运动场所之一，每天都有“暴走团”，若某社区约有人，请你估计一下该社区参加环岛路“暴走团”的人数.
18. 如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AD是中线，E是AD的中点，过点A作AF∥BC交BE的延长线于点F，连接CF．
(1) 求证：AD=AF；
(2) 当△ABC满足什么条件时，四边形ADCF是矩形．并说明理由．
19. 如图，已知A（3，m），B（﹣2，﹣3）是直线AB和某反比例函数的图象的两个交点．
（1）求直线AB和反比例函数的解析式；
（2）观察图象，直接写出当x满足什么范围时，直线AB在双曲线的下方；
（3）反比例函数的图象上是否存在点C，使得△OBC的面积等于△OAB的面积？如果没有存在，说明理由；如果存在，求出满足条件的所有点C的坐标．
20. 如图，大楼底右侧有一障碍物，在障碍物的旁边有一幢小楼DE，在小楼的顶端D处测得障碍物边缘点C的俯角为30°，测得大楼顶端A的仰角为45°（点B，C，E在同一水平直线上）．已知AB＝80m，DE＝10m，求障碍物B，C两点间的距离．（结果保留根号）
21. 某科技有限公司准备购进A和B两种机器人来搬运化工材料，已知购进A种机器人2个和B种机器人3个共需16万元，购进A种机器人3个和B种机器人2个共需14万元，请解答下列问题：
（1）求A、B两种机器人每个的进价；
（2）已知该公司购买B种机器人的个数比购买A种机器人的个数的2倍多4个，如果需要购买A、B两种机器人的总个数没有少于28个，且该公司购买的A、B两种机器人的总费用没有超过106万元，那么该公司有哪几种购买？
22. 如图，已知△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠ACB=∠ADE=90°，点F为BE的中点，连接CF，DF．
（1）如图1，当点D在AB上，点E在AC上时
①证明：△BFC是等腰三角形；
②请判断线段CF，DF的关系？并说明理由；
（2）如图2，将图1中的△ADE绕点A旋转到图2位置时，请判断（1）中②的结论是否仍然成立？并证明你的判断．
23. 已知，抛物线y＝ax2+ax+b（a≠0）与直线y＝2x+m有一个公共点M（1，0），且a＜b．
（1）求b与a关系式和抛物线的顶点D坐标（用a的代数式表示）；
（2）直线与抛物线另外一个交点记为N，求△DMN的面积与a的关系式；
（3）a＝﹣1时，直线y＝﹣2x与抛物线在第二象限交于点G，点G、H关于原点对称，现将线段GH沿y轴向上平移t个单位（t＞0），若线段GH与抛物线有两个没有同的公共点，试求t的取值范围．
2022-2023学年湖北省宜昌市中考数学专项提升仿真模拟试题
（二模）
一、选一选（共10小题，满分30分，每小题3分）
1. ﹣2的相反数是（ ）
A. 2 B. C. ﹣2 D. 以上都没有对
【正确答案】A
【详解】﹣2的相反数是2，
故选:A.
2. 在游戏当中，小明将下面四张扑克牌中的三张旋转了180°，得到的图案和原来的一模一样，小芳看了后，很快知道没有旋转那张扑克牌是（ ）
A. 黑桃Q B. 梅花2 C. 梅花6 D. 方块9
【正确答案】C
【详解】牌黑桃Q、草花2、方块9是对称图形，旋转180度后与原图重合．若得到的图案和原来的一模一样，则需梅花6没有发生变化．
故选C．
3. 用6个相同的小正方体搭成一个几何体，若它的俯视图如图所示，则它的主视图没有可能是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】D
【详解】分析：根据主视图和俯视图之间的关系可以得出答案．
详解： ∵主视图和俯视图的长要相等， ∴只有D选项中的长和俯视图没有相等，故选D．
点睛：本题主要考查的就是三视图的画法，属于基础题型．三视图的画法为：主视图和俯视图的长要相等；主视图和左视图的高要相等；左视图和俯视图的宽要相等．
4. 地球的表面积约为510000000km2，将510000000用科学记数法表示为（ ）
A. 0.51×109 B. 5.1×108 C. 5.1×109 D. 51×107
【正确答案】B
【详解】解：510 000 000=5.1×108．
故选B．
5. 如图，AB∥CD，EF与AB、CD分别相交于点E、F，EP⊥EF，与∠EFD的平分线FP相交于点P，且∠EPF=70°，则∠BEP的度数为（ ）
A. 50° B. 55° C. 60° D. 65°
【正确答案】A
【详解】分析：本题只要根据角平分线的性质得出∠EFD的度数，然后根据平行线的性质得出∠BEF的度数，从而得出答案．
详解：∵∠PEF=90°，∠EPF=70°， ∴∠EFP=20°，∵FP平分∠EFD， ∴∠EFD=40°，
∵AB∥CD， ∴∠BEF=180°－40°=140°， 又∵∠PEF=90°，∴∠BEP=50°，故选A．
点睛：本题主要考查的就是平行线的性质以及角平分线的性质，属于基础题型．熟记平行线的性质是解决本题的关键．
6. 下列运算，结果正确的是（ ）
A. a3a2=a6 B. （2a2）2=24
C. （x3）3=x6 D. （﹣ab）5÷（﹣ab）2=﹣a3b3
【正确答案】D
【详解】解：A、原式=，故错误；
B、原式=，故错误；
C、原式=，故错误；
D、原式=，正确，
本题故选D．
7. 某校八年级两个班，各选派10名学生参加学校举行的“汉字听写”大赛．各参赛选手成绩的数据分析如下表所示，则以下判断错误的是
A. 八（2）班的总分高于八（1）班
B. 八（2）班的成绩比八（1）班稳定
C. 八（2）班的成绩集中在中上游
D. 两个班的分在八（2）班
【正确答案】D
【分析】根据平均数、中位数、众数和方差的性质就可以得出正确答案．
【详解】解：根据平均分可知八(1)班的总分为940分，八(2)班的总分为950分，故A正确；八(2)班的方差小于八(1)班的方差，则八(2)班的成绩比较稳定，故B正确；根据中位数和平均分可知八(2)班的成绩集中在中上游，故C正确；分从这张表格上无法显示，故D错误；故选D．
本题主要考查的就是平均数、中位数、方差及众数的作用，属于基础题型．解决本题的关键就是要明白各数据的作用．
8. 定义[a，b，c]为函数y=ax2+bx+c的特征数，下面给出特征数为[2m，1-m，-1-m]的函数的一些结论，其中没有正确的是（ ）
A. 当m=-3时，函数图象的顶点坐标是
B. 当m>0时，函数图象截x轴所得的线段长度大于
C. 当m≠0时，函数图象同一个点
D. 当m<0时，函数在x>时，y随x的增大而减小
【正确答案】D
【详解】分析：A、把m=-3代入[2m，1-m，-1-m]，求得[a，b，c]，求得解析式，利用顶点坐标公式解答即可；
B、令函数值为0，求得与x轴交点坐标，利用两点间距离公式解决问题；
C、首先求得对称轴，利用二次函数的性质解答即可；
D、根据特征数的特点，直接得出x的值，进一步验证即可解答．
详解：
因为函数y=ax2+bx+c的特征数为[2m，1﹣m，﹣1﹣m]；
A、当m=﹣3时，y=﹣6x2+4x+2=﹣6（x﹣）2+，顶点坐标；此结论正确；
B、当m＞0时，令y=0，有2mx2+（1﹣m）x+（﹣1﹣m）=0，解得：x1=1，x2=﹣﹣，
|x2﹣x1|=+＞，所以当m＞0时，函数图象截x轴所得的线段长度大于，此结论正确；
C、当x=1时，y=2mx2+（1﹣m）x+（﹣1﹣m）=2m+（1﹣m）+（﹣1﹣m）=0 即对任意m，函数图象都点（1，0）那么同样的：当m=0时，函数图象都同一个点（1，0），当m≠0时，函数图象同一个点（1，0），故当m≠0时，函数图象x轴上一个定点此结论正确．
D、当m＜0时，y=2mx2+（1﹣m）x+（﹣1﹣m） 是一个开口向下的抛物线，其对称轴是：直线x=，在对称轴的右边y随x的增大而减小．因为当m＜0时，，即对称轴在x=右边，因此函数在x=右边先递增到对称轴位置，再递减，此结论错误；
根据上面的分析，①②③都是正确的，④是错误的．
故选D．
点睛：考查二次函数的性质，顶点坐标，两点间的距离公式，以及二次函数图象上点的坐标特征．
9. 没有透明的袋子里装有2个红球和1个白球，这些球除了颜色外其他都相同，从中任意摸出一个球，记下颜色后，放回摇匀，再从中摸出一个，则两次摸到球的颜色相同的概率是( )
A. B. C. D.
【正确答案】B
【详解】解：画树状图如下：
易得共有3×3=9种可能，两次摸到球的颜色相同的有5种，所以概率是．
故选：B．
本题考查列表法与树状图法．
10. 如图，点M为▱ABCD的边AB上一动点，过点M作直线l垂直于AB，且直线l与▱ABCD的另一边交于点N．当点M从A→B匀速运动时，设点M的运动时间为t，△AMN的面积为S，能大致反映S与t函数关系的图象是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】C
【详解】分析：本题需要分两种情况来进行计算得出函数解析式，即当点N和点D重合之前以及点M和点B重合之前，根据题意得出函数解析式．
详解：假设当∠A=45°时，AD=2，AB=4，则MN=t，当0≤t≤2时，AM=MN=t，则S=，为二次函数；当2≤t≤4时，S=t，为函数，故选C．
点睛：本题主要考查的就是函数图像的实际应用问题，属于中等难度题型．解答这个问题的关键就是得出函数关系式．
二、填 空 题（共5小题，满分15分，每小题3分）
11. 随着数系没有断扩大，我们引进新数i，新 i满足交换律、律，并规定：i2=﹣1，那么（2+i）（2﹣i）=________（结果用数字表示）．
【正确答案】5
【详解】分析：利用平方差公式进行计算，即可得出答案．
详解：原式=．
点睛：本题主要考查的就是平方差公式的应用以及新运算的使用，属于简单题型．解决这个问题的时候理解新定义是解题的关键．
12. 关于x的正比例函数y=（m+2）x，若y随x的增大而减小，则m的取值范围是_____．
【正确答案】m＜﹣2
【详解】分析：根据正比例函数的增减性即可求出m的取值范围．
详解：∵y随着x的增大而减小， ∴m+2＜0， 解得：m＜－2．
点睛：本题主要考查的就是正比例函数的增减性，属于基础题型．对于正比例函数y=kx，当k＞0时，y随着x的增大而增大；当k＜0时，y随着x的增大而减小．
13. 如图，在ABCD中，AM=AD，BD与MC相交于点O，则S△MOD∶S△BOC=_____．
【正确答案】4：9
【详解】∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC，AD∥BC，
∵AM=AD，
∴，
∵AD∥BC，
∴△DOM∽△BOC，
∴=（）2=，
故答案为4：9．
14. 如图，正方形ABCD的边长为2，分别以A、D为圆心，2为半径画弧BD、AC，则图中阴影部分的面积为_____．
【正确答案】2﹣
【分析】过点F作FE⊥AD于点E，则AE=AD=AF，故∠AFE=∠BAF=30°，再根据勾股定理求出EF的长，由S弓形AF=S扇形ADF－S△ADF可得出其面积，再根据S阴影=2(S扇形BAF－S弓形AF)即可得出结论
【详解】如图所示,过点F作FE⊥AD于点E，∵正方形ABCD的边长为2，
∴AE=AD=AF=1，∴∠AFE=∠BAF=30°，∴EF=．
∴S弓形AF=S扇形ADF－S△ADF=，
∴ S阴影=2(S扇形BAF－S弓形AF)=2×[]=2×()=．
本题考查了扇形的面积公式和长方形性质的应用，关键是根据图形的对称性分析，主要考查学生的计算能力．
15. 如图，在菱形ABCD中，，，点M是对角线AC上的一个动点，过点M作交AB于点P，交AD于点Q，将沿PQ折叠，点A落在点E处，连接BE，当是等腰三角形时，AP的长为________．
【正确答案】或
【详解】设BD与AC相交于点O，∵四边形ABCD是菱形，∴，∵，，∴，∴，①当时，如解图①，则，，，∵，∴，∴，∴；②当时，如解图②，点E是BC的垂直平分线与AC的交点，作于点F，则，∵，∴，∴，∴，∴，∴，∵，∴，；③当时，E与A重合（舍）；综上所述，当是等腰三角形时，AP的长为或．
三、解 答 题（共8小题，满分75分）
16. 先化简，再求值：（﹣）÷，其中x=+1，y=﹣1．
【正确答案】原式==
【详解】分析：首先将分式进行通分，然后根据除法的计算法则进行约分化简，将x和y的值代入化简后的式子进行计算得出答案．
详解：解：原式=，
当x=+1，y=﹣1时，原式=．
点睛：本题主要考查的就是分式的化简求值以及二次根式的计算，属于简单题型．在解答这个问题的时候，明确分式的化简法则是基础．
17. 全民健身运动已成为一种时尚 ，为了解揭阳市居民健身运动的情况，某健身馆的工作人员开展了一项问卷，问卷内容包括五个项目:
A:健身房运动；B:跳广场舞；C:参加暴走团；D:散步；E:没有运动.
以下是根据结果绘制的统计图表的一部分，
运动形式
A
B
C
D
E
人数
请你根据以上信息，回答下列问题:
接受问卷的共有 人，图表中的 ， .
统计图中，类所对应的扇形的圆心角的度数是 度.
揭阳市环岛路是市民喜爱的运动场所之一，每天都有“暴走团”，若某社区约有人，请你估计一下该社区参加环岛路“暴走团”的人数.
【正确答案】（1）150、45、36；（2）28.8°；（3）450人
【分析】（1）由B项目人数及其百分比求得总人数，根据各项目人数之和等于总人数求得m=45，再用D项目人数除以总人数可得n的值；
（2）360°乘以A项目人数占总人数的比例可得；
（3）利用总人数乘以样本中C人数所占比例可得．
【详解】解：（1）接受问卷的共有30÷20%=150人，m=150-（12+30+54+9）=45，
∴n=36，
故150、45、36；
（2）A类所对应的扇形圆心角的度数为
故28.8°；
（3）（人）
答：估计该社区参加碧沙岗“暴走团”的大约有450人
本题考查的是统计表和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从没有同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
18. 如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AD是中线，E是AD的中点，过点A作AF∥BC交BE的延长线于点F，连接CF．
(1) 求证：AD=AF；
(2) 当△ABC满足什么条件时，四边形ADCF是矩形．并说明理由．
【正确答案】（1）见解析；（2）当AB=AC时，四边形ADCF是矩形，理由见解析
【分析】(1) 由E是AD的中点，AF∥BC，易证得△AEF≌△DEB，即可得AF=BD，又由在△ABC中，∠BAC=90°，AD是中线，根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，即可证得AD=BD=CD=BC，即可证得：AD=AF；
(2) 当AB=AC时，四边形ADCF是矩形．由AF=BD=DC，AF∥BC，可证得：四边形ADCF是平行四边形，又由AB=AC，根据三线合一的性质，可得AD⊥BC，AD=DC，继而可得四边形ADCF是正方形．
【详解】(1) 证明：∵AF∥BC，
∴∠EAF=∠EDB，
∵E是AD的中点，
∴AE=DE，
在△AEF和△DEB中，
，
∴△AEF≌△DEB（ASA），
∴AF=BD，
∵在△ABC中，∠BAC=90°，AD是中线，
∴AD=BD=DC=BC，
∴AD=AF．
(2) 当AB=AC时，四边形ADCF是矩形．
∵AF=BD=DC，AF∥BC，
∴四边形ADCF是平行四边形，
∵AB=AC，AD中线，
∴AD⊥BC，
∵AD=AF，
∴四边形ADCF是正方形，是的矩形.
查了正方形的判定、平行四边形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质．此题难度适中，注意掌握数形思想的应用．
19. 如图，已知A（3，m），B（﹣2，﹣3）是直线AB和某反比例函数的图象的两个交点．
（1）求直线AB和反比例函数的解析式；
（2）观察图象，直接写出当x满足什么范围时，直线AB在双曲线的下方；
（3）反比例函数的图象上是否存在点C，使得△OBC的面积等于△OAB的面积？如果没有存在，说明理由；如果存在，求出满足条件的所有点C的坐标．
【正确答案】（1）y=，y=x﹣1；（2）x＜﹣2或0＜x＜3时，直线AB在双曲线的下方；（3）存在点C，点C的坐标为（﹣3，﹣2），，（﹣，﹣）．
【分析】（1）设反比例函数解析式为y=，将B点坐标代入，求出反比例函数解析式，将A点坐标代入反比例解析式求出m的值，确定出点A的坐标，设直线AB 的解析式为y=ax+b，将A与B的坐标代入函数解析式求出a与b的值，即可确定出函数解析式；
（2）根据图像写出答案即可；
（3）分3中情况求解，延长AO交双曲线于点C1，由点A与点C1关于原点对称，求出点点C1的坐标；如图，过点C1作BO的平行线，交双曲线于点C2，将OB的解析式与C1C2的解析式联立，求出点C2的坐标；A作OB的平行线，交双曲线于点C3，，将AC3的解析式与反比例函数的解析式联立，求出点C3的坐标．
【详解】解：（1）设反比例函数解析式y=，
把B（﹣2，﹣3）代入，可得k=﹣2×（﹣3）=6，
∴反比例函数解析式为y=；
把A（3，m）代入y=，可得3m=6，
即m=2，
∴A（3，2），
设直线AB 的解析式为y=ax+b，
把A（3，2），B（﹣2，﹣3）代入，可得，
解得，
∴直线AB 的解析式为y=x﹣1；
（2）由题可得，当x满足：x＜﹣2或0＜x＜3时，直线AB在双曲线的下方；
（3）存在点C．
如图所示，延长AO交双曲线于点C1，
∵点A与点C1关于原点对称，
∴AO=C1O，
∴△OBC1的面积等于△OAB的面积，
此时，点C1的坐标为（﹣3，﹣2）；
如图，过点C1作BO的平行线，交双曲线于点C2，则△OBC2的面积等于△OBC1的面积，
∴△OBC2的面积等于△OAB的面积，
由B（﹣2，﹣3）可得OB的解析式为y=x，
可设直线C1C2的解析式为y=x+b'，
把C1（﹣3，﹣2）代入，可得﹣2=×（﹣3）+b'，
解得b'=，
∴直线C1C2的解析式为y=x+，
解方程组，可得C2；
如图，过A作OB的平行线，交双曲线于点C3，则△OBC3的面积等于△OBA的面积，
设直线AC3的解析式为y=x+，
把A（3，2）代入，可得2=×3+，
解得=﹣，
∴直线AC3的解析式为y=x﹣，
解方程组，可得C3（﹣，﹣）；
综上所述，点C的坐标为（﹣3，﹣2），，（﹣，﹣）．
此题考查了反比例函数与函数的综合，涉及的知识有：坐标与图形性质，函数图像的交点与二元方程组的关系，反比例函数与函数的交点问题，利用函数图像解没有等式，待定系数法求函数解析式，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．
20. 如图，大楼底右侧有一障碍物，在障碍物的旁边有一幢小楼DE，在小楼的顶端D处测得障碍物边缘点C的俯角为30°，测得大楼顶端A的仰角为45°（点B，C，E在同一水平直线上）．已知AB＝80m，DE＝10m，求障碍物B，C两点间的距离．（结果保留根号）
【正确答案】（70﹣10）m．
【分析】过点D作DF⊥AB于点F，过点C作CH⊥DF于点H．通过解得到DF的长度；通过解得到CE的长度，则
【详解】如图，过点D作DF⊥AB于点F，过点C作CH⊥DF于点H．
则DE=BF=CH=10m，
在中，∵AF=80m−10m=70m，
∴DF=AF=70m．
在中，∵DE=10m，
∴
∴
答：障碍物B，C两点间的距离为
21. 某科技有限公司准备购进A和B两种机器人来搬运化工材料，已知购进A种机器人2个和B种机器人3个共需16万元，购进A种机器人3个和B种机器人2个共需14万元，请解答下列问题：
（1）求A、B两种机器人每个的进价；
（2）已知该公司购买B种机器人的个数比购买A种机器人的个数的2倍多4个，如果需要购买A、B两种机器人的总个数没有少于28个，且该公司购买的A、B两种机器人的总费用没有超过106万元，那么该公司有哪几种购买？
【正确答案】（1）A种机器人每个的进价是2万元，B种机器人每个的进价是4万元；（2）有如下两种：（1）购买A种机器人的个数是8个，则购买B种机器人的个数是20个；（2）购买A种机器人的个数是9个，则购买B种机器人的个数是22个．
【详解】分析：(1)、首先设A种机器人每个的进价是x万元，B种机器人每个的进价是y万元，根据题意列出二元方程组，从而得出答案；(2)、设购买A种机器人的个数是m个，则购买B种机器人的个数是（2m+4）个，根据题意列出没有等式组，从而求出没有等式组的解，根据解为整数得出．
详解：解：(1)、设A种机器人每个的进价是x万元，B种机器人每个的进价是y万元，依题意有：， 解得：．
故A种机器人每个的进价是2万元，B种机器人每个的进价是4万元；
(2)、设购买A种机器人的个数是m个，则购买B种机器人的个数是（2m+4）个，依题意有
， 解得：8≤m≤9， ∵m是整数， ∴m=8或9，
故有如下两种：
(1)：m=8，2m+4=20，即购买A种机器人的个数是8个，则购买B种机器人的个数是20个；
(2)：m=9，2m+4=22，即购买A种机器人的个数是9个，则购买B种机器人的个数是22个．
点睛：本题主要考查的就是二元方程组和没有等式组的应用问题，属于基础题型．解答这个题目的关键就是要能够根据题意列出方程组和没有等式组．
22. 如图，已知△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠ACB=∠ADE=90°，点F为BE的中点，连接CF，DF．
（1）如图1，当点D在AB上，点E在AC上时
①证明：△BFC是等腰三角形；
②请判断线段CF，DF的关系？并说明理由；
（2）如图2，将图1中的△ADE绕点A旋转到图2位置时，请判断（1）中②的结论是否仍然成立？并证明你的判断．
【正确答案】（1）①证明见解析；②结论：CF=DF且CF⊥DF．理由见解析；（2）（1）中的结论仍然成立．理由见解析.
【详解】分析：(1)、根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”可知CF=BF=EF，根据∠CFD=2∠ABC，∠ACB=90°，∠ABC=45°得出∠CFD=90°，从而得出答案；(2)、延长DF至G使FG=DF，连接BG，CG，DC，首先证明△BFG和△EFD全等，然后再证明△BCG和△ACD全等，从而得出GC=DC，∠BCG=∠ACD，∠DCG=∠ACB=90°，根据直角三角形斜中线的性质得出答案．
详解：（1）①证明：∵∠BCE=90°．EF=FB，∴CF=BF=EF，∴△BFC是等腰三角形．
②解：结论：CF=DF且CF⊥DF．理由如下：
∵∠ADE=90°，∴∠BDE=90°，又∵∠BCE=90°，点F是BE的中点，∴CF=DF=BE=BF，
∴∠1=∠3，∠2=∠4，∴∠5=∠1+∠3=2∠1，∠6=∠2+∠4=2∠2，
∴∠CFD=∠5+∠6=2（∠1+∠2）=2∠ABC，
又∵△ABC是等腰直角三角形，且∠ACB=90°，∴∠ABC=45°，∴∠CFD=90°，
∴CF=DF且CF⊥DF．
（2）（1）中的结论仍然成立．理由如下：
如图，延长DF至G使FG=DF，连接BG，CG，DC，∵F是BE的中点，∴BF=EF，
又∵∠BFG=∠EFD，GF=DF，∴△BFG≌△EFD（SAS），∴∠FBG=∠FED，BG=ED，
∴BG∥DE，∵△ADE和△ACB都是等腰直角三角形，
∴DE=DA，∠DAE=∠DEA=45°，AC=BC，∠CAB=∠CBA=45°，
又∵∠CBG=∠EBG﹣∠EBA﹣∠ABC=∠DEF﹣（180°﹣∠AEB﹣∠EAB）﹣45°
=∠DEF﹣180°+∠AEB+∠EAB﹣45°=（∠DEF+∠AEB）+∠EAB﹣225°
=360°﹣∠DEA+∠EAB﹣225°=360°﹣45°+∠EAB﹣225°=90°+∠EAB，
而∠DAC=∠DAE+∠EAB+∠CAB=45°+∠EAB+45°=90°+∠EAB，
∴∠CBG=∠DAC，又∵BG=ED，DE=DA，∴BG=AD，又∵BC=AC，
∴△BCG≌△ACD（SAS），∴GC=DC，∠BCG=∠ACD，
∴∠DCG=∠DCB+∠BCG=∠DCB+∠ACD=∠ACB=90°，
∴△DCG是等腰直角三角形，又∵F是DG的中点，∴CF⊥DF且CF=DF．
点睛：主要考查了旋转的性质，等腰三角形和全等三角形的判定，及勾股定理的运用．要掌握等腰三角形和全等三角形的性质及其判定定理并会灵活应用是解题的关键．
23. 已知，抛物线y＝ax2+ax+b（a≠0）与直线y＝2x+m有一个公共点M（1，0），且a＜b．
（1）求b与a的关系式和抛物线的顶点D坐标（用a的代数式表示）；
（2）直线与抛物线的另外一个交点记为N，求△DMN的面积与a的关系式；
（3）a＝﹣1时，直线y＝﹣2x与抛物线在第二象限交于点G，点G、H关于原点对称，现将线段GH沿y轴向上平移t个单位（t＞0），若线段GH与抛物线有两个没有同的公共点，试求t的取值范围．
【正确答案】（1）b=﹣2a，顶点D的坐标为（﹣，﹣）；（2）；（3） 2≤t＜．
【分析】（1）把M点坐标代入抛物线解析式可得到b与a的关系，可用a表示出抛物线解析式，化为顶点式可求得其顶点D的坐标；
（2）把点M（1，0）代入直线解析式可先求得m的值，联立直线与抛物线解析式，消去y，可得到关于x的一元二次方程，可求得另一交点N的坐标，根据a＜b，判断a＜0，确定D、M、N的位置，画图1，根据面积和可得△DMN的面积即可；
（3）先根据a的值确定抛物线的解析式，画出图2，先联立方程组可求得当GH与抛物线只有一个公共点时，t的值，再确定当线段一个端点在抛物线上时，t的值，可得：线段GH与抛物线有两个没有同的公共点时t的取值范围．
【详解】解：（1）∵抛物线y=ax2+ax+b有一个公共点M（1，0），
∴a+a+b=0，即b=-2a，
∴y=ax2+ax+b=ax2+ax-2a=a（x+）2-，
∴抛物线顶点D的坐标为（-，-）；
（2）∵直线y=2x+m点M（1，0），
∴0=2×1+m，解得m=-2，
∴y=2x-2，
则，
得ax2+（a-2）x-2a+2=0，
∴（x-1）（ax+2a-2）=0，
解得x=1或x=-2，
∴N点坐标为（-2，-6），
∵a＜b，即a＜-2a，
∴a＜0，
如图1，设抛物线对称轴交直线于点E，
∵抛物线对称轴为，
∴E（-，-3），
∵M（1，0），N（-2，-6），
设△DMN的面积为S，
∴S=S△DEN+S△DEM=|（ -2）-1|•|--（-3）|=−−a，
（3）当a=-1时，
抛物线的解析式为：y=-x2-x+2=-（x+）2+，
由，
-x2-x+2=-2x，
解得：x1=2，x2=-1，
∴G（-1，2），
∵点G、H关于原点对称，
∴H（1，-2），
设直线GH平移后的解析式为：y=-2x+t，
-x2-x+2=-2x+t，
x2-x-2+t=0，
△=1-4（t-2）=0，
t=，
当点H平移后落在抛物线上时，坐标（1，0），
把（1，0）代入y=-2x+t，
t=2，
∴当线段GH与抛物线有两个没有同的公共点，t的取值范围是2≤t＜．
本题为二次函数的综合应用，涉及函数图象的交点、二次函数的性质、根的判别式、三角形的面积等知识．在（1）中由M的坐标得到b与a的关系是解题的关键，在（2）中联立两函数解析式，得到关于x的一元二次方程是解题的关键，在（3）中求得GH与抛物线一个交点和两个交点的分界点是解题的关键，本题考查知识点较多，综合性较强，难度较大．
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