八年级数学下册专题13 一次函数中的正方形

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专题13 一次函数中的正方形
【例题讲解】
如图，已知一次函数y=﹣x+6的图象与坐标轴交于A、B两点，点E是线段OB上的一个动点（点E不与点O、B重合）”，过点B作BF⊥AE，垂足为F，以EF为边作正方形EFMN，当点M落在坐标轴上时，求E点坐标．
【详解】解：①如图3中，当点M在y轴上时，作FP⊥OB于P，FQ⊥OM于Q．
∵四边形EFMN是正方形，∴FE=FM，∠EFM=∠PFQ，
∴∠EFP=∠MFQ，∵∠FPE=∠FQM=90°，
∴△FPE≌△FQM，
∴FP=FQ，四边形OPFQ是正方形，设边长为x．
∵∠AEO=∠BEF，∠AOE=∠PFE=90°，
∴∠FAQ=∠FBP，∵∠AQF=∠BPF=90°，
∴△AQF≌△BPF，∴AQ=BP，∴6+x=8﹣x∴x=1，∴F（1，﹣1），
∴直线AF的解析式为y=﹣7x+6，∴E（，0）；
②如图4中，当点M在x轴上时，易知OA=OE=6，可得E（6，0）．
综上所述，满足条件的点E坐标为（，0）或（6，0）．








【综合演练】
1．如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的边长为3，点A的坐标为(1，1)．若直线y=x+b与正方形有两个公共点，则b的取值范围是_________．

2．如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的对称中心与原点重合，顶点A的坐标为(﹣1，1)，顶点B在第一象限，若点B在直线y=kx+3上，则k的值为___．


3．如图所示，在平面直角坐标系中，已知一次函数的图象与x轴，y轴分别交于A，B两点，以AB为边在第二象限内作正方形ABCD．

(1)求正方形ABCD的面积；
(2)求点C和点D的坐标；
(3)在x轴上是否存在点M，使△MDB的周长最小？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
4．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象交x轴、y轴于A、B两点，以AB为边在直线右侧作正方形ABCD，连接BD，过点C作CF⊥x轴于点F，交BD于点E，连接AE．

（1）求线段AB的长；
（2）求证：AD平分∠EAF；
（3）求△AEF的周长．
5．如图，已知一次函数y=﹣x+b的图象过点A（0，3），点p是该直线上的一个动点，过点P分别作PM垂直x轴于点M，PN垂直y轴于点N，在四边形PMON上分别截取：PC=MP，MB=OM，OE=ON，ND=NP．
（1）b=　　；
（2）求证：四边形BCDE是平行四边形；
（3）在直线y=﹣x+b上是否存在这样的点P，使四边形BCDE为正方形？若存在，请求出所有符合的点P的坐标；若不存在，请说明理由．

6．在平面直角坐标系中，直线y＝2x+4与两坐标轴分别交于A，B两点．

（1）若一次函数y＝﹣x+m与直线AB的交点在第二象限，求m的取值范围；
（2）若M是y轴上一点，N是x轴上一点，直线AB上是否存在两点P，Q，使得以M，N，P，Q四点为顶点的四边形是正方形．若存在，求出M，N两点的坐标，若不存在，请说明理由．
7．y＝kx+b的图象经过点（﹣2，2）、（3，7）且与坐标轴相交于点、B两点．
（1）求一次函数的解析式．
（2）如图，点P是直线AB上一动点，以OP为边作正方形OPNM，连接ON、PM交于点Q，连BQ，当点P在直线AB上运动时，的值是否会发生变化？若不变，请求出其值；若变化，请说明理由．
（3）在（2）的条件下，在平面内有一点H，当以H、N、B、P为顶点的四边形为菱形时，直接写出点H的坐标．






8．如图，在平而直角坐标系中．直线：经过点，与x轴，y轴分别交于点A，B，点D的坐标为(8，4)，连接OD，交直线于点M，连按OC，CD，AD．

(1)填空：点A的坐标为_________；点M的坐标为______；
(2)求证：四边形OADC是菱形；
(3)直线AP：与y轴交于点P．
①连接MP，则MP的长为_______；
②已知点E在直线AP上，在平面直角坐标系中是否存在一点F，使以O，A，E，F为顶点的四边形是正方形？若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由．
9．直线与轴、轴分别交于两点，以为边向外作正方形，对角线交于点，则过两点的直线的解析式是__________．






10．如图，四边形和四边形都是正方形，点F，O，A在一条直线上，点D在边上，以为x轴，为y轴建立平面直角坐标系，直线经过点B，E．

（1）求正方形和正方形的边长；
（2）若点P是的中点，试证明：点C，P，A三点在同一条直线上．
11．在平面直角坐标系xOy中，点A（0，4），B（3，0），以AB为边在第一象限内作正方形ABCD，直线l：y=k（x+3）．
（1）点D的坐标是 ；
（2）当直线l经过D点时，求k的值；
（3）该直线l一定经过一个定点，其坐标是 ；
（4）当直线l与正方形的四边有两个交点时，求k的取值范围．





12．在平面直角坐标系xOy中，对于点P与图形W给出如下定义：如果存在以点P为端点的一条射线与图形W有且只有2个公共点，那么称点P是图形W的“相关点”．已知点，，．
(1)当时，
①在点，，，中，是折线的“相关点”的是______；
②点M是直线上一点，如果点M是折线的“相关点”，求点M的横坐标的取值范围；
(2)正方形DEFG的各边都平行于坐标轴，对角线的交点N的坐标是．如果正方形的边长是2，正方形DEFG上的任意一点都是折线的“相关点”，请直接写出m的取值范围．
13．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣2x+8与x轴交于点A，与y轴交于点B，过点B的另一条直线交x轴负半轴于点C，且OC＝6．

(1)求直线BC的解析式；
(2)如图1，若M为线段BC上一点，且满足S△AMB＝S△AOB，请求出点M的坐标；
(3)如图2，设点F为线段AB中点，点G为y轴上一动点，连接FG，以FG为边向FG左侧作正方形FGQP，在G点的运动过程中，当顶点Q落在直线BC上时，求点G的坐标．



答案与解析
【例题讲解】
如图，已知一次函数y=﹣x+6的图象与坐标轴交于A、B两点，点E是线段OB上的一个动点（点E不与点O、B重合）”，过点B作BF⊥AE，垂足为F，以EF为边作正方形EFMN，当点M落在坐标轴上时，求E点坐标．
【详解】解：①如图3中，当点M在y轴上时，作FP⊥OB于P，FQ⊥OM于Q．
∵四边形EFMN是正方形，∴FE=FM，∠EFM=∠PFQ，
∴∠EFP=∠MFQ，∵∠FPE=∠FQM=90°，
∴△FPE≌△FQM，
∴FP=FQ，四边形OPFQ是正方形，设边长为x．
∵∠AEO=∠BEF，∠AOE=∠PFE=90°，
∴∠FAQ=∠FBP，∵∠AQF=∠BPF=90°，
∴△AQF≌△BPF，∴AQ=BP，∴6+x=8﹣x∴x=1，∴F（1，﹣1），
∴直线AF的解析式为y=﹣7x+6，∴E（，0）；
②如图4中，当点M在x轴上时，易知OA=OE=6，可得E（6，0）．
综上所述，满足条件的点E坐标为（，0）或（6，0）．








【综合演练】
1．如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的边长为3，点A的坐标为(1，1)．若直线y=x+b与正方形有两个公共点，则b的取值范围是_________．

【答案】-3＜b＜3
【分析】当直线y=x+b过D，B时，求得b，即可得到结论．
【详解】解：∵正方形ABCD的边长为3，点A的坐标为（1，1），
∴D（1，4），B（4，1）
当直线y=x+b经过点D时，4=1+b，此时b=3，
当直线y=x+b经过点B时，1=4+b，此时b=-3．
∴直线y=x+b与正方形有两个公共点，则b的取值范围是-3＜b＜3．
故答案是：-3＜b＜3．
【点睛】此题考查了一次函数图象上点的坐标特征，正方形的性质，关键是掌握待定系数法正确求出函数的解析式．
2．如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的对称中心与原点重合，顶点A的坐标为(﹣1，1)，顶点B在第一象限，若点B在直线y=kx+3上，则k的值为___．

【答案】﹣2
【分析】根据正方形的对称性得到点B坐标，代入直线解析式即可求出k．
【详解】解：∵正方形ABCD的对称中心与原点重合，顶点A的坐标为（﹣1，1），
∴点B坐标为（1，1），
∵点B在直线y=kx+3上，
∴1=k+3，解得k=﹣2．
故答案为：﹣2
【点睛】本题考查了正方形的对称性，一次函数的性质，熟知相关知识点，求出点B的坐标是解题关键．
3．如图所示，在平面直角坐标系中，已知一次函数的图象与x轴，y轴分别交于A，B两点，以AB为边在第二象限内作正方形ABCD．

(1)求正方形ABCD的面积；
(2)求点C和点D的坐标；
(3)在x轴上是否存在点M，使△MDB的周长最小？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)5
(2)C(-1，3)，D(-3，2)
(3)，理由见详解

【分析】（1）由一次函数，可求出A和B点坐标，即得出OA和OB的长，再根据勾股定理求出AB的长，最后由正方形面积公式计算即可；
（2）作轴，轴．根据正方形的性质结合所作辅助线易证，即得出，，从而可求出，，即得出C、D两点坐标；
（3）找出点关于轴的对称点，连接，与轴交于点，根据轴对称的性质可知此时周长最小．由B(0，1)，得出(0，-1)，利用待定系数法可求出直线的解析式为，从而可求出M点坐标．
（1）
对于直线，令，得到；令，得到，
∴A(-2，0)，B(0，1)，
∴在中，，，
∴根据勾股定理得：，
∴正方形面积为5；
（2）
如图，作轴，轴，
∴．
∵四边形是正方形，
∴，，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∴，，
∴，，
∴C(-1，3)，D(-3，2)；

（3）
如图，找出点关于轴的对称点，连接，与轴交于点，则此时周长最小．
∵B(0，1)，
∴(0，-1)
设直线的解析式为，
把与坐标代入得：，
解得：，
∴直线的解析式为．
对于，令，得到，
∴M(-1，0)．

【点睛】本题考查正方形的性质，勾股定理，坐标与图形，三角形全等的判定和性质，一次函数的应用以及轴对称变换等知识．正确的作出辅助线并利用数形结合的思想是解题关键．
4．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象交x轴、y轴于A、B两点，以AB为边在直线右侧作正方形ABCD，连接BD，过点C作CF⊥x轴于点F，交BD于点E，连接AE．

（1）求线段AB的长；
（2）求证：AD平分∠EAF；
（3）求△AEF的周长．
【答案】（1）AB＝13；（2）见解析；（3）△AEF周长为24．
【分析】（1）根据一次函数解析式，令x、y分别为0，即可求出A、B两点坐标，再利用勾股定理即可算出AB的长；
（2）证明△CDE和△ADE中，可得∠DCE＝∠DAE，根据三角形内角和和对顶角的性质可得∠DCM＝∠MAF，等量代换得∠MAF＝∠EAM；
（3）过点C作y轴垂线交y轴于点N，构造三角形全等即可推出点C的坐标；将AE+EF转换为CF即可求出△AEF的周长．
【详解】解：（1）∵一次函数y＝﹣x+12的图象交x轴、y轴与A、B两点，
∴当x=0，则y=12，故B(0，12)，
当y=0，则x=5，故A(5，0)，
即OA＝5，OB＝12，
∴AB＝＝＝13，
故AB＝13；
（2）∵四边形ABCD是正方形，
∴CD＝AD，
∵BD是正方形的对角线，
∴∠CDE＝∠ADE，
在△CDE和△ADE中，
，
∴△CDE≌△ADE（SAS），
∴∠DCE＝∠DAE，
设FC与AD交点为M，
∵∠EMD＝∠AMF（对顶角相等），∠DCM+∠EMD＝∠MAF+∠AMF，
∴∠DCM＝∠MAF，
∴∠MAF＝∠EAM，
∴AD平分∠EAF；

（3）过点C作y轴垂线交y轴于点N，如图所示：
∵∠CBN+∠NCB=∠CBN+ABO=90°，
∴∠NCB=∠ABO，
在△CNB和△BOA中，
，
∴△CNB≌△BOA（AAS），
∴BN=AO=5，CN=BO=12，
又∵CF⊥x轴，
∴CF=BO+BN=12+5=17，
∴C的坐标为(12，17)；
∵△CDE≌△ADE，
∴AE=CE，
∴AE+EF=CF=17，AF=OF-AO=12-5=7，
∴C△AEF=AE+EF+AF=CF+AF=17+7=24．
【点睛】本题考查一次函数图象与坐标轴的交点，勾股定理，正方形的性质，全等三角形的判定与性质，对顶角的性质，以及三角形内角和的应用，正确作出辅助线，构造全等三角形是解题关键．
5．如图，已知一次函数y=﹣x+b的图象过点A（0，3），点p是该直线上的一个动点，过点P分别作PM垂直x轴于点M，PN垂直y轴于点N，在四边形PMON上分别截取：PC=MP，MB=OM，OE=ON，ND=NP．
（1）b=　　；
（2）求证：四边形BCDE是平行四边形；
（3）在直线y=﹣x+b上是否存在这样的点P，使四边形BCDE为正方形？若存在，请求出所有符合的点P的坐标；若不存在，请说明理由．

【答案】（1）3；（2）证明见解析；（3）在直线y=﹣x+b上存在这样的点P，使四边形BCDE为正方形，P点坐标是（2，2）或（﹣6，6）．
【详解】分析：（1）根据待定系数法，可得b的值；（2）根据矩形的判定与性质，可得PM与ON，PN与OM的关系，根据PC=MP，MB=OM，OE=ON，NO=NP，可得PC与OE，CM与NE，BM与ND，OB与PD的关系，根据全等三角形的判定与性质，可得BE与CD，BC与DE的关系，根据平行四边形的判定，可得答案；（3）根据正方形的判定与性质，可得BE与BC的关系，∠CBM与∠EBO的关系，根据全等三角形的判定与性质，可得OE与BM的关系，可得P点坐标间的关系，可得答案．
本题解析：
（1）一次函数y=﹣x+b的图象过点A（0，3），
3=﹣×0+b，解得b=3．
故答案为3；
（2）证明：过点P分别作PM垂直x轴于点M，PN垂直y轴于点N，
∴∠M=∠N=∠O=90°，
∴四边形PMON是矩形，
∴PM=ON，OM=PN，∠M=∠O=∠N=∠P=90°．
∵PC=MP，MB=OM，OE=ON，NO=NP，
∴PC=OE，CM=NE，ND=BM，PD=OB，
在△OBE和△PDC中，
，
∴△OBE≌△PDC（SAS），
BE=DC．
在△MBC和△NDE中，
，
∴△MBC≌△NDE（SAS），
DE=BC．
∵BE=DC，DE=BC，
∴四边形BCDE是平行四边形；
（3）设P点坐标（x，y），
当△OBE≌△MCB时，四边形BCDE为正方形，
OE=BM，
当点P在第一象限时，即y=x，x=y．
P点在直线上，
，
解得，
当点P在第二象限时，﹣x=y
，
解得
在直线y=﹣x+b上存在这样的点P，使四边形BCDE为正方形，P点坐标是（2，2）或（﹣6，6）．
点睛：本题考查了一次函数的综合题，利用了全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，正方形的性质，注意数形结合.
6．在平面直角坐标系中，直线y＝2x+4与两坐标轴分别交于A，B两点．

（1）若一次函数y＝﹣x+m与直线AB的交点在第二象限，求m的取值范围；
（2）若M是y轴上一点，N是x轴上一点，直线AB上是否存在两点P，Q，使得以M，N，P，Q四点为顶点的四边形是正方形．若存在，求出M，N两点的坐标，若不存在，请说明理由．
【答案】（1）m＜4；（2）M（0，），N（﹣，0）或M（0，﹣），N（，0）或M（0，﹣4），N（﹣，0）；
【分析】（1）根据题意联立一次函数解析式与直线AB的解析式，据此进一步用表示出，最后根据第二象限的点的坐标特征加以分析即可；
（2）首先求出A、B两点坐标，然后根据题意分图1、图2、图3共三种情况结合相似三角形性质进一步分析求解即可.
【详解】（1）联立与，得：，
∴，
∵交点位于第二象限，
∴，
∴；
（2）当时，，
∴A（0，4），
当时，，即：，
∴B（，0），
∴OA＝4，OB＝2．

如图1，过点Q作QH⊥轴于H，
∵MN∥AB，
∴△NMO~△BAO，
∴，
设ON＝，则OM＝，
∵∠MNQ＝90°，
∴∠QNH+∠MNO＝∠MNO+∠NMO＝90°，
∴∠QNH＝∠NMO，
在△QNH和△NMO中，
∵∠QNH＝∠NMO，∠QHN=∠NOM，QN=MN，
∴△QNH≅△NMO（AAS），
∴QH＝ON＝，HN＝OM＝2，
易得：△BQH~△BAO，
∴，
∴BH＝，
∵OB＝BH+HN+ON，
∴2＝，解得，
∴M（0，），N（，0）；

如图2，过点P作PH⊥轴于H，
易证△PNH~△BAO，
∴，
设PH＝b，则NH＝2b，
同理证得△PNH≅△NMO，
∴PH＝ON＝b，HN＝OM＝2b，
∴OH＝HN−OH＝b，
易得：△BPH~△BAO，
∴，
∴BH＝b，
∵OB＝BH+OH，
∴2＝b+b，解得b＝，
∴M（0，），N（，0）；

如图3，过点P作PH⊥轴于H，PE⊥y轴于E，QF⊥y轴于F，
易得：△PAE~△BAO，
∴，
设PE＝c，则AE＝2c，
同理证得△PNH≅△PME，
∴PH＝PE＝OE＝c，则AE＝2c，
∵OA＝AE+OE，
∴4＝2c+c，解得c＝，
∵△MQF≅△PME，
∴MF＝PE＝OE，EM＝FQ，
∴EM＝OF＝FQ，设EM＝OF＝FQ＝m，
则Q（﹣m，﹣m），代入y＝2x+4中，得﹣m＝﹣2m+4，解得m＝4，
∴NO＝NH+OH＝，∴N（，0），
∵OF＝m＝4，
∴M（0，﹣4）．
综上所述M（0，），N（，0）或M（0，），N（，0）或M（0，﹣4），N（，0）．
【点睛】本题主要考查了一次函数与相似三角形的判定及性质的综合运用，熟练掌握相关方法是解题关键.
7．y＝kx+b的图象经过点（﹣2，2）、（3，7）且与坐标轴相交于点、B两点．
（1）求一次函数的解析式．
（2）如图，点P是直线AB上一动点，以OP为边作正方形OPNM，连接ON、PM交于点Q，连BQ，当点P在直线AB上运动时，的值是否会发生变化？若不变，请求出其值；若变化，请说明理由．
（3）在（2）的条件下，在平面内有一点H，当以H、N、B、P为顶点的四边形为菱形时，直接写出点H的坐标．

【答案】（1）y＝x+4；（2）的值不变，理由见解析；（3） 点H的坐标为或或．
【分析】（1）利用待定系数法转化为解方程组解决问题．
（2）如图1中，结论：的值不变．连接BM，设PB交OM于G．想办法证明∠PBM＝90°，利用直角三角形斜边中线的性质以及等腰直角三角形的性质即可解决问题．
（3）分三种情形：如图2﹣1中，当四边形PBNH是菱形时，如图2﹣2中，当点P与A重合时．得到四边形PNMO是正方形（是菱形），此时H与原点O重合．如图2﹣3中，当四边形PBNH是菱形时，分别求解即可解决问题．
【详解】解：（1）∵y＝kx+b的图象经过点（﹣2，2）、（3，7），
∴，
解得，
∴一次函数的解析式为y＝x+4．
（2）如图1中，结论：的值不变．
理由：连接BM，设PB交OM于G．

∵直线y＝x+4与坐标轴相交于点、B两点，
∴A（﹣4，0），B（0，4），
∴OA＝OB＝4，
∵四边形POMN是正方形，
∴∠POM＝∠AOB＝90°，OM＝OP，
∴∠AOP＝∠BOM，
∵OA＝OB，
∴△AOP≌△BOM（SAS），
∴∠OPG＝∠GMB，
∵∠OGP＝∠BGM，
∴∠GBM＝∠GOP＝90°，
∴QM＝QP，
∴QB＝QP＝QM，
∵△POQ是等腰直角三角形，
∴OP＝QP，
∴．
（3）如图2﹣1中，当四边形PBNH是菱形时，

∵BH垂直平分线段PN，BH垂直平分线段OM，
∴BM＝OB＝4，
∴M（﹣2，4+2），
∴P（﹣4﹣2，﹣2），
∴BN＝BP＝，
∴PH＝BN＝，
∵QB＝QN＝OQ，
∴∠NBO＝90°，
∴BN∥OA∥PH，
∴H（﹣4﹣2，﹣2）．
如图2﹣2中，当点P与A重合时，得到四边形PNMO是正方形（是菱形），此时H与原点O重合，H（0，0）．

如图2﹣3中，当四边形PBNH是菱形时，设PH交OB于J，在JO上取一点F，使得PJ＝JF．

∵BP＝BN，
∴∠BPN＝∠BNP＝22.5°，
∵∠OPN＝90°，∠PAO＝45°，
∴∠APO＝67.5°，
∴∠AOP＝67.5°，
∴∠POJ＝22.5°，
∵∠PFJ＝∠FPO+∠POF＝45°，
∴∠FPO＝∠POF＝22.5°，
∴PF＝OF，设PJ＝BJ＝JF＝x，则PB＝BN＝PF＝OF＝x，
∴2x+x＝4，
∴x＝4﹣2，
∴BN＝PH＝4﹣4，P（2﹣4，2），
∴H（6﹣8，2），
综上所述，满足条件的点H的坐标为（﹣4﹣2﹣4，﹣2）或（0，0）或（6﹣8，2）．
【点睛】本题考查的是一次函数与几何的综合，难度系数较大，第三问比较容易忽略的点在于当点P与A重合时．得到四边形PNMO是正方形，此时是特殊的菱形.
8．如图，在平而直角坐标系中．直线：经过点，与x轴，y轴分别交于点A，B，点D的坐标为(8，4)，连接OD，交直线于点M，连按OC，CD，AD．

(1)填空：点A的坐标为_________；点M的坐标为______；
(2)求证：四边形OADC是菱形；
(3)直线AP：与y轴交于点P．
①连接MP，则MP的长为_______；
②已知点E在直线AP上，在平面直角坐标系中是否存在一点F，使以O，A，E，F为顶点的四边形是正方形？若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)(5，0)，(4，2)
(2)见解析
(3)①5；②存在，点F的坐标为（5，5）或（，-）．

【分析】（1）利用一次函数图象上点的坐标特征，可得出点A的坐标，又点D的坐标，利用待定系数法可求出直线OD的解析式，再联立两函数解析式，可求出交点M的坐标；
（2）过点C作CQ⊥x轴于点Q，利用勾股定理可得出OC=5，又点C，D的坐标可得出CD=5，CDx轴，结合点A的坐标，可得出CD=OA，进而可得出四边形OADC为平行四边形，再结合OC=OA，即可证出四边形OADC是菱形；
（3）①过点M作MN⊥y轴于点N，利用一次函数图象上点的坐标特征，可求出点P的坐标，结合点M的坐标可得出MN，PN的长，再利用勾股定理，即可求出MP的长；
②存在，分OA为边及OA为对角线两种情况考虑，（i）当OA为边时，点E与点P重合，利用正方形的性质可求出点F的坐标；（ii）当OA为对角线时，点E在线段AP的中点，结合点A，P的坐标可得出点E的坐标，再利用正方形的性质，即可求出点F的坐标．
（1）
解：当y=0时，-2x+10=0，
解得：x=5，
∴点A的坐标为（5，0）；
设直线OD的解析式为y=kx（k≠0），
将D（8，4）代入y=kx，得：4=8k，
解得：k=，
∴直线OD的解析式为y=x．
联立两函数解析式得：，
解得：，
∴点M的坐标为（4，2），
故答案为：（5，0）；（4，2）；
（2）
证明：过点C作CQ⊥x轴于点Q，如图1所示．

∵点C的坐标为（3， 4），
∴OQ=3，CQ=4，
∴OC= =5．
∵点C的坐标为（3，4），点D的坐标为（8，4），
∴CD=5，CDx轴，
即CDOA．
∵点A的坐标为（5，0），
∴OA=5=CD，
∴四边形OADC为平行四边形，
又∵OA=OC=5，
∴四边形OADC是菱形；
（3）
解：①过点M作MN⊥y轴于点N，如图2所示．

当x=0时，y=-1×0+5=5，
∴点P的坐标为（0，5）．
∵点M的坐标为（4，2），
∴MN=4，ON=2，
∴PN=5-2=3，
∴MP==5.
故答案为：5；
②存在，分两种情况考虑，如图3所示．

（i）当OA为边时，∵OA=OP=5，∠AOP=90°，
∴点E与点P重合，
∴点F的坐标为（5，5）；
（ii）当OA为对角线时，∵OA=OP=5，∠AOP=90°，
∴△AOP为等腰直角三角形，
又∵四边形AEOF为正方形，
∴点E为线段AP的中点，
∴点E的坐标为（，），
∴点F的坐标为（0+5-，0+0-），即（，-）．
∴在平面直角坐标系中存在一点F，使以O，A，E，F为顶点的四边形是正方形，点F的坐标为（5，5）或（，-）．
【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、待定系数法求一次函数解析式、勾股定理、平行四边形的判定、菱形的判定以及正方形的性质，解题的关键是：（1）利用待定系数法，求出直线OD的解析式；（2）利用邻边相等的平行四边形为菱形，证出四边形OADC是菱形；（3）①利用勾股定理，求出MP的长；②分OA为边及OA为对角线两种情况，求出点F的坐标．
9．直线与轴、轴分别交于两点，以为边向外作正方形，对角线交于点，则过两点的直线的解析式是__________．

【答案】
【分析】分别过点E作EF⊥x轴于F，过点E作EG⊥y轴于点G,再证明△BEG≌△AEF，得出EG=EF，从而可得出结论.
【详解】解：过点E作EF⊥x轴于F，过点E作EG⊥y轴于点G,
∵四边形ABCD为正方形，
∴BE=AE,且∠AEB=90°，
∴∠BEG+∠AEG=∠AEG+∠AEF,
∴∠BEG=∠AEF,
又∠BGE=∠AFE=90°，
∴△BEG≌△AEF（ASA）,
∴EF=EG.
所以设过OE两点的直线的函数解析式为y=kx(k≠0),点E的坐标为(a,a),
代入可得a=ak,解得k=1,
∴过两点的直线的解析式是为y=x.
故答案为：y=x.

【点睛】本题主要考查解析式的求法，正方形的性质以及全等三角形的判定与性质，正确构造全等三角形是解题的关键.
10．如图，四边形和四边形都是正方形，点F，O，A在一条直线上，点D在边上，以为x轴，为y轴建立平面直角坐标系，直线经过点B，E．

（1）求正方形和正方形的边长；
（2）若点P是的中点，试证明：点C，P，A三点在同一条直线上．
【答案】（1）6和2；（2）见详解
【分析】（1）设B（a，a），A（-b，b），代入，即可求解；
（2）先写出P（2，4），A（6，0），C（0，6），从而求出直线AC的解析式，把P的坐标代入AC的解析式，即可得到答案．
【详解】解：（1）设正方形和正方形的边长分别为：a，b，
∴B（a，a），A（-b，b），
∵直线经过点B，E，
∴，解得：，
∴正方形和正方形的边长分别为：6和2；
（2）∵B（6，6），A（-2，2），点P是的中点，
∴P（2，4），
∵A（6，0），C（0，6），
设 AC的解析式为：y=kx+b，
∴，解得：，
∴ AC的解析式为：y=-x+6，
∵x=2时，y=-2+6=4，
∴P点在直线AC上，即点C，P，A三点在同一条直线上．
【点睛】本题主要考查一次函数的性质和图像以及正方形的性质，掌握待定系数法，是解题的关键．
11．在平面直角坐标系xOy中，点A（0，4），B（3，0），以AB为边在第一象限内作正方形ABCD，直线l：y=k（x+3）．
（1）点D的坐标是 ；
（2）当直线l经过D点时，求k的值；
（3）该直线l一定经过一个定点，其坐标是 ；
（4）当直线l与正方形的四边有两个交点时，求k的取值范围．

【答案】(1)(4，7)；(2) k=1；(3)(-3,0)；(4)
【分析】（1）过D点作DE⊥y轴，证△AED≌△BOA，根据全等求出DE=AO=4，AE=OB=3，即可得出D的坐标；
（2）把D的坐标代入解析式即可求出k的值；
（3）y=k（x+3）是经过（-3，0）的直线系，故经过定点（-3，0）；
（4）把A的坐标代入求出k的值，即可得出答案．
【详解】解：(1)如图，过D点作DE⊥y轴，

则∠AED=∠1+∠2=90°.
在正方形ABCD中，∠DAB=90°，AD=AB.
∴∠1+∠3=90°，
∴∠2=∠3.
又∵∠AOB=∠AED=90°，
在△AED和△BOA中，

∴△AED≌△BOA，
∴DE=AO=4，AE=OB=3，
∴OE=7，
∴D点坐标为(4，7)；
（2）把D(4，7)代入y=k（x+3），得k=1；
（3）y=k（x+3）是经过（-3，0）的直线系，故经过定点（-3，0）；
（4）当直线y=k(x+3)过A点时，
把(0，4)代入得：4=3k，解得：k=.
所以当直线l与正方形有两个交点时，k的取值范围是.
【点睛】本题考查了用待定系数法求一次函数的解析式，正方形的性质，全等三角形的性质和判定，三角形的内角和定理的应用，能求出点D的坐标是解此题的关键，难度偏大.
12．在平面直角坐标系xOy中，对于点P与图形W给出如下定义：如果存在以点P为端点的一条射线与图形W有且只有2个公共点，那么称点P是图形W的“相关点”．已知点，，．
(1)当时，
①在点，，，中，是折线的“相关点”的是______；
②点M是直线上一点，如果点M是折线的“相关点”，求点M的横坐标的取值范围；
(2)正方形DEFG的各边都平行于坐标轴，对角线的交点N的坐标是．如果正方形的边长是2，正方形DEFG上的任意一点都是折线的“相关点”，请直接写出m的取值范围．
【答案】(1)①；②
(2)或

【分析】（1）①根据所给坐标画出图像，根据定义进行判断即可求解；
②根据题意画出，结合定义可知当与点重合时取得最小值，与直线相交时，取得最大值，进而即可求解；
（2）根据题意求得直线的解析式为，直线的解析式为，正方形上的任意一点都不在所围成的锐角之内以及边上（除线段AB,AC外），当正方形有一点在或上时，根据点的坐标以及正方形的性质求得点的坐标，分别代入直线的解析式即可求得点的坐标，结合函数图像即可求解．
(1)
当时，，
①如图，在平面直角坐标系中描出点，，，，连接，

由图像可知，为折线的“相关点”；
②如图，

点M是直线上一点，
根据定义可知：点为折线的“相关点”
当与点重合时，此时取得最小值，为，
当在直线上时，取得最大值，
设直线解析式为

则
解得
直线解析式为
联立
解得
即的最大值为

(2)
点，，．
设直线的解析式为，解析式为,
则，，
解得，
直线的解析式为，直线的解析式为，
当正方形上的任意一点都是折线的“相关点”；
正方形上的任意一点都不在所围成的锐角之内以及边上（除线段AB,AC外），
当正方形有一点在或上时，如图，

当点在上时，，正方形的边长为2，
则，
代入直线解析式，可得，
解得；
当点在上时，，正方形的边长为2，
则，
代入直线解析式，可得，
解得，
结合图像可知，当正方形DEFG上的任意一点都是折线的“相关点”，或．
【点睛】本题考查了新定义问题，待定系数法求一次函数解析式，正方形的性质，坐标与图形，两直线交点问题，理解新定义是解题的关键．
13．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣2x+8与x轴交于点A，与y轴交于点B，过点B的另一条直线交x轴负半轴于点C，且OC＝6．

(1)求直线BC的解析式；
(2)如图1，若M为线段BC上一点，且满足S△AMB＝S△AOB，请求出点M的坐标；
(3)如图2，设点F为线段AB中点，点G为y轴上一动点，连接FG，以FG为边向FG左侧作正方形FGQP，在G点的运动过程中，当顶点Q落在直线BC上时，求点G的坐标．
【答案】(1)
(2)
(3)或


【分析】（1）直接分别令x=0和y=0求出B点坐标后，再结合C点坐标，利用待定系数法即可求解；
（2）先进行面积之间的转换，再求出M点到AC的距离，最后代入解析式求出M点横坐标即可；
（3）对G点位于F点上方或下方进行分类讨论，利用正方形的性质，可以证明△GQH≌△FGN，得到对应边相等，再利用点Q在直线BC上，利用纵坐标建立方程即可求解．
（1）
当x=0时，y=8；
当y=0时，x=4；
∴，
∵OC=6，
∴，
设直线BC的解析式为，
∴，
∴，
∴直线BC的解析式为．
（2）
∵S△AMB＝S△AOB，
∴S△ACB-S△AMB＝S△ACB-S△AOB，
∴S△AMC＝S△COB，
∵，
∴，
设AC边上的高为h，
∴，
∴，
∴，
∴M点的纵坐标为，
当，
，
∴．
（3）
如图，当点G分别在F点上方或下方时，分别过点F和点Q向y轴作垂线，垂足分别记为N和H，
∴∠GQH+∠QGH=90°，∠GFN+∠FGN=90°，
∵∠FGQ=90°，
∴∠QGH+∠FGN=90°，
∴∠QGH=∠GFN，
∵GQ=GF，
∴△GQH≌△FGN（AAS）
∴QH=GN，GH=FN，
∵F点为AB的中点，
∴，
∴FN=2，NO=4，
∴GH=2，
设HN=a，
∴GN=2+a；
图1中，OH=4+a；图2中，OH=4-a；
∴QH=2+a，即Q点横坐标为-2-a，
因为Q点在直线BC上，
∴Q点纵坐标为；
∴图1中，，图2中，；
∴图1中，，图2中，（说明H点位于原点处）；
∴图1中，，
图2中，；
∴或．

【点睛】本题考查了用待定系数法求解析式、正方形的性质、一次函数的图像与解析式等知识，涉及到了分类讨论的思想方法，解题关键是能正确进行面积转化以及通过作辅助线构造全等三角形对图中的线段进行数量关系上的转化．