八年级数学下册专题12 一次函数中的菱形

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专题12 一次函数中的菱形
【例题讲解】
如图，矩形OABC的顶点A、C分别在、轴的正半轴上，点B的坐标为（6，8），一次函数的图象与边OC、AB分别交于点D、E，并且满足OD=BE，点M是线段DE上的一个动点．（1）求的值；
（2）设点N是x轴上方平面内的一点，以O、M、D、N为顶点的四边形为菱形时，请求出点N的坐标．
解：（1）∵四边形OABC是矩形，∴ 轴， 轴，
∵一次函数的图象与边OC、AB分别交于点D、E，并且满足OD=BE，
∴OD=BE=b，∵点B的坐标为（6，8），∴AB=8，点E的横坐标为6，
∴AE=AB-BE=8-b，∴点E（6，8-b），将点E代入，得：
，解得： ；
（2）如图（1），若以OD为对角线，得到菱形OMDN， 则MN垂直平分OD，M和N关于y轴对称，∵OD=6，
∴点M的纵坐标均是 ，
将 代入，得：
，解得： ，
∴点M ，∴点N；
如图（2），若以DM为对角线，得到菱形ODNM，则OM=OD=6，线段DM与线段ON的中点重合，
设点M的横坐标为a，则纵坐标为，
∴ ，
即 ，解得： 或（舍去） ，∴点M，设点N ，由（1）知： ，
∴ ，解得： ，∴点N ，
综上所述，以O、M、D、N为顶点的四边形为菱形时，点N的坐标为或．
【综合演练】
1．如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的顶点A、B、D的坐标分别为（0，5）、（0，2）、（4，5），直线l的解析式为y＝kx+2﹣4k（k＞0）．
（1）当直线l经过原点O时，求一次函数的解析式；
（2）通过计算说明：不论k为何值，直线l总经过点C；
（3）在（1）的条件下，点M为直线l上的点，平面内是否存在x轴上方的点N，使以点O、A、M、N为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点M的坐标：若不存在，请说明理由．

2．如图，矩形OABC的顶点A、C分别在x轴、y轴的正半轴上，点B的坐标为（3，4），一次函数的图象与边OC、AB分别交于点D、E，且OD=BE．点M是线段DE上的一个动点．
（1）求b的值；
（2）连结OM，若三角形ODM的面积与四边形OAEM的面积之比为1：3，求点M的坐标；
（3）设点N是平面内的一点，以O、D、M、N为顶点的四边形是菱形，求点N的坐标．

3．问题情境：在综合实践课上，老师让同学们探究“平面直角坐标系中的旋转问题”，如图，在平面直角坐标系中，四边形是矩形，，点，点．
操作发现：以点为中心，顺时针旋转矩形，得到矩形，点，，的对应点分别为，，．
(1)如图，当点落在边上时，求点的坐标；

(2)继续探究：如图，当点落在线段上时，与交于点，求证：；

(3)拓展探究：如图，点是轴上任意一点，点是平面内任意一点，是否存在点使以、、、为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．







4．如图1，在平面直角坐标系中，过点的两条直线分别交y轴于B、C两点，且B、C两点的纵坐标分别是一元二次方程的两个根．

（1）判断直线AC与直线AB的位置关系？并说明理由；
（2）如图2，若点D在直线AC上，且△BCD为等边三角形，动点E在直线AC上（不与点D、C重合），做直线BD，垂足为点F，设点EF的长为d，点E的横坐标是x，请求出d与x的函数关系式：
（3）在（2）的条件下，直线BD上是否存在点P，平面内是否存在点Q，使以A、B、P、Q四点为顶点的四边形是菱形，若存在请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
5．如图，四边形OABC为矩形，其中O为原点，A、C两点分别在x轴和y轴上，B点的坐标是（4，7）．点D，E分别在OC，CB边上，且CE：EB＝5：3．将矩形OABC沿直线DE折叠，使点C落在AB边上点F处．
（1）求F点的坐标；
（2）点P在第二象限，若四边形PEFD是矩形，求P点的坐标；
（3）若M是坐标系内的点，点N在y轴上，若以点M，N，D，F为顶点的四边形是菱形，请直接写出所有满足条件的点M和点N的坐标．




6．如图，已知四边形OABC是矩形，点A，C在坐标轴上，点B坐标为（，4），将△OCB绕点O顺时针旋转90°后得到△ODE，点D在x轴上，直线BD交y轴于点F，交OE于点H．

（1）求点D的坐标为_______，点E的坐标为______；
（2）求S△BOH：S△BOD的值；
（3）若点M在坐标轴上，试探究在坐标平面内是否存在点N，使以点D，F，M，N为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
7．如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点、分别在轴、轴上，且，为直线上一动点，连，过作，交直线、直线于点、，连．

(1)求直线的解析式．
(2)当为中点时，求的长．
(3)在点的运动过程中，坐标平面内是否存在点，使得以、、、为顶点的四边形为菱形，若存在，求出点的横坐标，若不存在，请说明理由．






8．已知：在平面直角坐标系中，直线与x轴，y轴分别交于A、B两点，直线经过点A，与y轴交于点．

(1)求直线的解析式；
(2)如图1，点P为直线一个动点，若的面积等于10时，请求出点P的坐标；
(3)如图2，将沿着x轴平移，平移过程中的记为，请问在平面内是否存在点D，使得以为顶点的四边形是菱形？若存在，直接写出点D的坐标．
9．如图1，在平面直角坐标系中，直线分别与x轴、y轴交于点A、B，且点A的坐标为(8，0)，四边形ABCD是正方形．

(1)求b的值和点D的坐标；
(2)点M是线段AB上的一个动点（点A、B除外）．
①如图2，将△BMC沿CM折叠，点B的对应点是点E，连接ME并延长交AD边于点F，问△AMF的周长是否发生变化？若不变，求出其值；若变化，请说明理由；
②点P是x轴上一个动点，Q是坐标平面内一点，探索是否存在一个点P，使得以A、B、P、Q为顶点的四边形是菱形？若不存在，请说明理由；若存在，请直接写出点Q的坐标．


10．如图，矩形OABC的顶点A、C分别在、轴的正半轴上，点B的坐标为（6，8），一次函数的图象与边OC、AB分别交于点D、E，并且满足OD=BE，点M是线段DE上的一个动点．
（1）求的值；
（2）连结OM，若△ODM的面积与四边形OAEM的面积之比为1：2，求点M的坐标；
（3）设点N是x轴上方平面内的一点，以O、M、D、N为顶点的四边形为菱形时，请求出点N的坐标．



答案与解析
【例题讲解】
如图，矩形OABC的顶点A、C分别在、轴的正半轴上，点B的坐标为（6，8），一次函数的图象与边OC、AB分别交于点D、E，并且满足OD=BE，点M是线段DE上的一个动点．（1）求的值；
（2）设点N是x轴上方平面内的一点，以O、M、D、N为顶点的四边形为菱形时，请求出点N的坐标．
解：（1）∵四边形OABC是矩形，∴ 轴， 轴，
∵一次函数的图象与边OC、AB分别交于点D、E，并且满足OD=BE，
∴OD=BE=b，∵点B的坐标为（6，8），∴AB=8，点E的横坐标为6，
∴AE=AB-BE=8-b，∴点E（6，8-b），将点E代入，得：
，解得： ；
（2）如图（1），若以OD为对角线，得到菱形OMDN， 则MN垂直平分OD，M和N关于y轴对称，∵OD=6，∴点M的纵坐标均是 ，
将 代入，得： ，解得： ，∴点M ，∴点N；
如图（2），若以DM为对角线，得到菱形ODNM，则OM=OD=6，线段DM与线段ON的中点重合，
设点M的横坐标为a，则纵坐标为，
∴ ，
即 ，解得： 或（舍去） ，∴点M，设点N ，由（1）知： ，
∴ ，解得： ，∴点N ，
综上所述，以O、M、D、N为顶点的四边形为菱形时，点N的坐标为或．
【综合演练】
1．如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的顶点A、B、D的坐标分别为（0，5）、（0，2）、（4，5），直线l的解析式为y＝kx+2﹣4k（k＞0）．
（1）当直线l经过原点O时，求一次函数的解析式；
（2）通过计算说明：不论k为何值，直线l总经过点C；
（3）在（1）的条件下，点M为直线l上的点，平面内是否存在x轴上方的点N，使以点O、A、M、N为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点M的坐标：若不存在，请说明理由．

【答案】（1）；（2）详见解析；（3）存在，满足条件的点M为或或．
【分析】（1）将原点坐标代入解析式可求出k的值，即可求解；
（2）由题意可得点C（4，2），当x＝4时，y＝4k+2﹣4k＝2，则可得不论k为何值，直线l总经过点C；
（3）分OA为边，OA为对角线两种情况讨论，由菱形的性质可求解．
【详解】解：（1）∵直线l经过原点，
∴把点（0，0）代入y＝kx+2﹣4k，
得：2﹣4k＝0，
解得：，
∴一次函数的解析式为：；
（2）由题意可知，点C的坐标为（4，2），
当x＝4时，y＝4k+2﹣4k＝2，
∴不论k为何值，直线l总经过点C；
（3）设点M（x，x）
①以OA为菱形的边，此时，OM＝OA＝5，
∴
∴x＝±2，
点M的坐标为或；
②以OA为菱形的一条对角线，
此时MN垂直平分OA，
则x＝
∴x＝5
则M的坐标为；
综上所述：满足条件的点M为或或．
【点睛】本题是一次函数综合题，考查了待定系数法求解析式，菱形的性质，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键．
2．如图，矩形OABC的顶点A、C分别在x轴、y轴的正半轴上，点B的坐标为（3，4），一次函数的图象与边OC、AB分别交于点D、E，且OD=BE．点M是线段DE上的一个动点．
（1）求b的值；
（2）连结OM，若三角形ODM的面积与四边形OAEM的面积之比为1：3，求点M的坐标；
（3）设点N是平面内的一点，以O、D、M、N为顶点的四边形是菱形，求点N的坐标．

【答案】（1）；（2）M(1, )；（3）当四边形OMDN是菱形时，N(－, )或(,)
【分析】（1）首先在一次函数的解析式中令x=0，即可求得D的坐标，则OD的长度即可求得，OD=b，则E的坐标即可利用b表示出来，然后代入一次函数解析式即可得到关于b的方程，求得b的值；
（2）首先求得四边形OAED的面积，则△ODM的面积即可求得，设出M的横坐标，根据三角形的面积公式即可求得M的横坐标，进而求得M的坐标；
（3）分成四边形OMDN是菱形和四边形OMND是菱形两种情况进行讨论，四边形OMDN是菱形时，M是OD的中垂线与DE的交点，M关于OD的对称点就是N；四边形OMND是菱形，OM=OD，M在直角DE上，设出M的坐标，根据OM=OD即可求得M的坐标，则根据ON和DM的中点重合，即可求得N的坐标．
【详解】(1)y= x+b中,令x=0,解得y=b,则D的坐标是(0,b)，OD=b，
∵OD=BE，
∴BE=b,则E的坐标是(3,4−b)，
把E的坐标代入y=x+b得4−b=−2+b，
解得：b=3；
(2)，
∵三角形ODM的面积与四边形OAEM的面积之比为1:3，
∴，
设M的横坐标是a，则×3a=1.5，解得：a=1，
把x=a=1代入y=x+3得y=+3=，
则M的坐标是(1，)；
(3)当四边形OMDN是菱形时,如图(1),

M的纵坐标是 ,把y=代入y=x+3,得x+3=,解得：x=，
则M的坐标是(, )，
则N的坐标是(−, )；
当四边形OMND是菱形时,如图(2)OM=OD=3，

设M的横坐标是m,则纵坐标是m+3，则，
解得：m=或0(舍去).
则M的坐标是(, ).
则DM的中点是( ,).
则N的坐标是(,).
故N的坐标是(−,)或(,).
【点睛】本题是一次函数与菱形的判定与性质的综合题考查了菱形的判定方法，正确运用菱形的性质求出M的坐标是关键.
3．问题情境：在综合实践课上，老师让同学们探究“平面直角坐标系中的旋转问题”，如图，在平面直角坐标系中，四边形是矩形，，点，点．
操作发现：以点为中心，顺时针旋转矩形，得到矩形，点，，的对应点分别为，，．
(1)如图，当点落在边上时，求点的坐标；

(2)继续探究：如图，当点落在线段上时，与交于点，求证：；

(3)拓展探究：如图，点是轴上任意一点，点是平面内任意一点，是否存在点使以、、、为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．

【答案】(1)
(2)证明见解析
(3)存在，点的坐标为或或或

【分析】（1）先根据矩形的性质得到，，，再根据旋转的性质得到，根据勾股定理求出的长，从而可得的长，由此即可得；
（2）先根据旋转的性质得到，，从而可得，再利用定理即可得证；
（3）分三种情况讨论：①当四边形为菱形时；②当四边形为菱形时；③当四边形为菱形时，利用菱形的性质求解即可得．
（1）解：∵，，∴，，∵四边形是矩形，∴，，，∵矩形是由矩形旋转得到，∴，在中，，∴，∴．
（2）证明：四边形是矩形，，点在线段上，，由旋转的性质得：，在和中，，∴．
（3）解：存在，求解过程如下：设点的坐标为，点的坐标为，由题意，分以下三种情况：①如图，当四边形为菱形时，则，，解得或，当时，点的坐标为，菱形的对角线互相平分，，解得，即此时点的坐标为；当时，点的坐标为，菱形的对角线互相平分，，解得，即此时点的坐标为；②如图，当四边形为菱形时，菱形的对角线互相垂直且平分，点与点关于轴对称，，；③如图，当四边形为菱形时，菱形的对角线互相平分，，解得，，又四边形为菱形，，，即，解得，则此时点的坐标为，综上，存在点使以为顶点的四边形是菱形，点的坐标为或或或．
【点睛】本题考查了矩形的性质、三角形全等的判定、旋转的性质、菱形的性质、两点之间的距离公式等知识点，较难的是题（3），正确分三种情况讨论是解题关键．
4．如图1，在平面直角坐标系中，过点的两条直线分别交y轴于B、C两点，且B、C两点的纵坐标分别是一元二次方程的两个根．

（1）判断直线AC与直线AB的位置关系？并说明理由；
（2）如图2，若点D在直线AC上，且△BCD为等边三角形，动点E在直线AC上（不与点D、C重合），做直线BD，垂足为点F，设点EF的长为d，点E的横坐标是x，请求出d与x的函数关系式：
（3）在（2）的条件下，直线BD上是否存在点P，平面内是否存在点Q，使以A、B、P、Q四点为顶点的四边形是菱形，若存在请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）AB⊥AC，，理由见解析；（2）；（3）或，或，或，
【分析】（1）结论：．先求出、两点坐标，得到AB2，AC2，BC2，利用勾股定理的逆定理证明．
（2）分两种情形解答①，②，分别在中，解直角三角形即可．
（3）分两种情形讨论即可①当为菱形对角线时，线段的垂直平分线的解析式为，直线与轴的交点即为点，此时．
②当为菱形的边时，，可得，，，，根据菱形的性质求出点坐标即可．
【详解】解：（1），理由如下：
一元二次方程的两个根为，3，
，，
，，
∴，，，
∴，
；
（2）如图1中，作于．

∵△BCD是等边三角形，
∴，，
，
，，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∵，，，，
直线的解析式为，直线的解析式为，
①当点在点上方时，即时，
点的横坐标为，
，，
，
．
②当点在点下方时，即时，同理可得．
综上所述．
（3）如图2中，存在，理由如下：

当为菱形对角线时,设线段的垂直平分线的解析式为
把的中点代入：  
所以线段的垂直平分线的解析式为，
直线与轴的交点即为点，此时．
当为菱形的边时，
同理可得：的解析式为：
而，
设
，
则或
所以，，
同理可得，
四边形、四边形、四边形是菱形，
所以由平移的性质可得：
，，，，，
综上所述，满足条件的点坐标或，或，或，．
【点睛】本题考查四边形综合题、一次函数、两直线位置关系、菱形的判定和性质、解直角三角形等知识，解题的关键是灵活运用所学知识，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．
5．如图，四边形OABC为矩形，其中O为原点，A、C两点分别在x轴和y轴上，B点的坐标是（4，7）．点D，E分别在OC，CB边上，且CE：EB＝5：3．将矩形OABC沿直线DE折叠，使点C落在AB边上点F处．
（1）求F点的坐标；
（2）点P在第二象限，若四边形PEFD是矩形，求P点的坐标；
（3）若M是坐标系内的点，点N在y轴上，若以点M，N，D，F为顶点的四边形是菱形，请直接写出所有满足条件的点M和点N的坐标．

【答案】（1）（4，5）；（2）（−，4）；（3）（4，），（0，）或（4，10），（0，7）或（4，0），（0，-3）．
【分析】（1）先求出点E坐标是（，7），由折叠的性质可得EF＝CE＝，由勾股定理可求BF的长，即可求解；
（2）连接PF交DE于J，过点D作DM⊥AB，先求出D（0，2），再根据矩形的对角线互相平分，即可求解；
（3）分3种情况：①当DF为菱形的对角线时，②当DF为菱形的边时，M在AB的延长上，点N与点C重合，③当DF为菱形的边时，N在CO的延长上，点M与点A重合，分别求解，即可．
【详解】解：（1）∵B点的坐标是（4，7）．点D，E分别在OC，CB边上，且CE：EB＝5：3，
∴点E坐标是（，7），
∵四边形OABC为矩形，
∴BC＝AO＝4，OC＝AB＝7，CE＝，BE＝BC−CE＝，
∵将矩形沿直线DE折叠，点C落在AB边上点F处，
∴EF＝CE＝，
∴BF＝，
∴AF＝7−2＝5，
∴点F（4，5）；
（2）如图2中，连接PF交DE于J，过点D作DM⊥AB，

当四边形PEFD是矩形时，△PDE≌△FDE≌△CED，
设OD=x，则CD=DF=7-x，FM=7-2-x=5-x，
在中，，解得：x=2，
∴D（0，2），
∵E（，7），DJ＝JE，
∴J（，），
∵PJ＝JF，
∴P（−，4）；
（3）①当DF为菱形的对角线时，M、N分别在AB与OC上， ND=NF，

设N（0，y），
∴(y-2)2=，解得：，
∴N（0，），FM=DN=-2=,
∴AM=5-=，
∴M（4，）；
②当DF为菱形的边时，M在AB的延长上，点N与点C重合， ND=DF=5，

∴MF=5，AM=5+5=10，
∴M（4，10），N（0，7）；
③当DF为菱形的边时，N在CO的延长上，点M与点A重合， ND=DF=5，
∴ON=5-2=3，
∴N（0，-3），M（4，0）．

综上所述：M，N的坐标为：（4，），（0，）或（4，10），（0，7）或（4，0），（0，-3）．
【点睛】本题属于四边形综合题，考查了矩形的性质，菱形的性质，翻折变换，图形与坐标，解题的关键是添加辅助线，构造直角三角形，掌握分类讨论思想方法，属于中考压轴题．
6．如图，已知四边形OABC是矩形，点A，C在坐标轴上，点B坐标为（，4），将△OCB绕点O顺时针旋转90°后得到△ODE，点D在x轴上，直线BD交y轴于点F，交OE于点H．

（1）求点D的坐标为_______，点E的坐标为______；
（2）求S△BOH：S△BOD的值；
（3）若点M在坐标轴上，试探究在坐标平面内是否存在点N，使以点D，F，M，N为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）（4，0），（4，）；（2）S△BOH：S△BOD=10：13；（3）存在，满足条件的点N的坐标为（0，-3）或（-5，3）或（5，3）或（，3），（4，5），（4，-5），（4，），（-4，0）．
【分析】（1）先求出D的坐标，利用待定系数法可求得直线BD的解析式；
（2）求出直线OE的解析式，然后求出H的坐标，最后计算面积即可得到答案；
（3）分M在x轴和y轴上进行分类讨论即可得到答案.
【详解】解：（1）由翻折的性质可知，OD=OC，BC=DE
∵四边形OABC是矩形，B（，4）
∴AB=OC=OD=4，BC=AO=DE=
∴D点的坐标为（4，0），E点的坐标为（4，）
（2）设直线BD的解析式为：，直线OE的解析式为：
∴，
解得，
∴直线BD的解析式为：，直线OE的解析式为：
联立，解得
∴H点的坐标为（，）
∵S△BOD
S△BOH=S△BOD-S△OHD
∴S△BOH：S△BOD=10：13
（3）如图，由题意得F（0，3），D（4，0），

∴OF=3，OD=4，
∴DF=，
M在x轴上时
当DM1为菱形的对角线时，M1（-4，0），N1（0，-3）．
当DM=DF时，M2（-1，0）或M3（9，0），可得N2（-5，3），N3（5，3），
当DF为对角线时，设OM4=x，则FM4= DM4=4-x
∵
∴
解得
∴M4（，0），可得N4（，3）
当M在y轴上时
当DM为菱形的对角线时，此时有FD=F M=5
∴M5（0，-2），N5（4，-5）或M6（0，8），N6（4，5）
当FM为菱形的对角线时，此时有OF=OM
∴M7（0，-3），N5（-4，0）
当DF为菱形的对角线时，如图所示，此时DF与MN交于P，设FM=a，MP=b
∵
∴
∴
∵
∴
∴
解得
∴
∴M8（0，-），N8（4，）
满足条件的点N的坐标为（0，-3）或（-5，3）或（5，3）或（，3）或（4，5）或（4，-5）或（4，）或（-4，0）．

【点睛】本题主要考查了一次函数的应用，矩形的折叠，两直线的交点坐标，勾股定理，菱形的性质等等，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.
7．如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点、分别在轴、轴上，且，为直线上一动点，连，过作，交直线、直线于点、，连．

(1)求直线的解析式．
(2)当为中点时，求的长．
(3)在点的运动过程中，坐标平面内是否存在点，使得以、、、为顶点的四边形为菱形，若存在，求出点的横坐标，若不存在，请说明理由．
【答案】(1)直线解析式：
(2)
(3)存在，点横坐标为：或或

【分析】（1）根据矩形的性质，得出点A和点C的坐标，设直线的解析式：，将点A和点C的坐标代入即可；
（2）证明，根据勾股定理求解即可；
（3）根据菱形是性质和判定定理，进行分类讨论即可；以，为边，以，为边，，③以，为边，．
【详解】（1）∵矩形的顶点、分别在轴、轴上，且，
点，点，
设直线的解析式：，
代入点，坐标，
得，
解得，
直线解析式：；
（2）∵E为的中点，
，
在矩形中，，
，
在和中，

，
，，
，
为线段的垂直平分线，
，
设，则，
，
，
，
，
在中，根据勾股定理，
得，
解得，
；
（3）存在以、、、为顶点的四边形为菱形，分情况讨论：
以，为边，
则，
，
为的中点，
由可知点，点，
根据平移的性质，可得点的坐标为，
点的横坐标为；
如图，以，为边，，

延长至M，使，在的延长线上截取，连接，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
同理可得：，
，
，
，
，
，，
，
，
，
设，
在中，，
，
，
，，
，
点横坐标为：；
③如图，以，为边，，

作于，连接，作于，
可得，
平分，
，
设，
在中，，，，
，
，
，
，
综上所述：点横坐标为：或或．
【点睛】本题考查了矩形的性质，三角形全等的判定和性质，菱形的判定和性质，线段和最小，勾股定理，熟练掌握菱形的判定和性质，勾股定理，线段最短原理是解题的关键．
8．已知：在平面直角坐标系中，直线与x轴，y轴分别交于A、B两点，直线经过点A，与y轴交于点．

(1)求直线的解析式；
(2)如图1，点P为直线一个动点，若的面积等于10时，请求出点P的坐标；
(3)如图2，将沿着x轴平移，平移过程中的记为，请问在平面内是否存在点D，使得以为顶点的四边形是菱形？若存在，直接写出点D的坐标．
【答案】(1)
(2)，或，
(3)存在，，，

【分析】（1）设直线的解析式，求出点的坐标，把、的坐标代入解析式计算即可；
（2）设点的横坐标为，根据三角形的面积公式建立方程，求解即可．
（3）按为菱形边长和对角线两种情况讨论，最后根据菱形的性质求出点的坐标即可．
（1）
解：设直线的解析式，
直线与轴，轴分别交于、两点，
，，
直线经过点，与轴交于点，
，
，
直线的解析式：；
（2）
由题意可知，，
设点的横坐标为，
，
或．
，或，；
（3）
设将沿着轴平移个单位长度得到△，
，
，，
设点坐标为，
①当为以、、、为顶点的菱形边长时，有两种情况：
当时，即，
此时，即点在轴上，
且，
点与点重合，即．
当时，
，，
，
解得，
此时，即点在轴上，
且，
．
②当为以、、、为顶点的菱形对角线时，，即点在的垂直平分线上，且，关于对称，
当向左一移动，，，，
，
解得或（舍），
当向右移动时，，，，
，
解得（舍）或（舍），
，
．
综上所述，存在点，使得以、、、为顶点的四边形是菱形，点的坐标为，，．
【点睛】本题属于一次函数综合题，涉及考查待定系数法求函数解析式，三角形的面积公式，菱形的性质与判定等相关知识，分类讨论等数学思想，根据题意进行正确的分类讨论是解题关键．
9．如图1，在平面直角坐标系中，直线分别与x轴、y轴交于点A、B，且点A的坐标为(8，0)，四边形ABCD是正方形．

(1)求b的值和点D的坐标；
(2)点M是线段AB上的一个动点（点A、B除外）．
①如图2，将△BMC沿CM折叠，点B的对应点是点E，连接ME并延长交AD边于点F，问△AMF的周长是否发生变化？若不变，求出其值；若变化，请说明理由；
②点P是x轴上一个动点，Q是坐标平面内一点，探索是否存在一个点P，使得以A、B、P、Q为顶点的四边形是菱形？若不存在，请说明理由；若存在，请直接写出点Q的坐标．
【答案】(1)b的值为6，点D的坐标为(14，8)
(2)①△AMF的周长不变，△AMF的周长为20；②存在，点Q的坐标为或或或

【分析】（1）将点A(8，0)代入，即可求出b的值，从而即得出直线AB的解析式为，进而即得出A(0，6)．过点D作轴于点H，由正方形的性质结合题意利用“AAS”易证，得出，，即得出D(14，8)；
（2）①由折叠和正方形的性质可知BM=EM，CD=CE=4，，即易证(HL)，得出．再由△AMF的周长，结合勾股定理即可求出答案；②分类讨论ⅰ当AP为菱形的对角线时，ⅱ当AQ为菱形的对角线时和ⅲ当AB为菱形的对角线时，根据菱形的性质结合图形即可求出答案．
（1）
解：将点A(8，0)代入，得，
解得：，
∴直线AB的解析式为，
当x=0，时，
∴A(0，6)，
∴OB=6，OA=8．
如图，过点D作轴于点H，

∵四边形ABCD为正方形，
∴AB=AD，，
∴．
∵，
∴．
又∵，
∴(AAS)，
∴，，
∴，
∴D(14，8)；
（2）
解：①由折叠的性质可知BM=EM，BC=CE=4，，
∴CD=CE=4，，
又∵CF=CF，
∴(HL)
∴．
∵△AMF的周长，，
∴△AMF的周长．
∵OB=6，OA=8，
∴，
∴△AMF的周长，
故△AMF的周长不变，且为20；
②存在以A、B、P、Q为顶点的四边形是菱形，理由如下：
设P(t，0)，Q(x，y)．
分类讨论：ⅰ当AP为菱形的对角线时，如图菱形，此时．
∵，
即，
解得：（舍），；
即此时Q(0，-6)；
ⅱ当AQ为菱形的对角线时，如图菱形和，此时和．
同理可得：，
解得：，；
即此时Q(-10，6)或(10，6)；
ⅲ当AB为菱形的对角线时，如图菱形，此时．
同理可得，
解得：；
即此时Q(，6)；

综上可知点Q的坐标为或或或时，以A、B、P、Q为顶点的四边形是菱形．
【点睛】本题考查正方形的性质，三角形全等的判定和性质，折叠的性质，勾股定理以及菱形的判定和性质等知识．正确的作出辅助线并利用数形结合的思想是解题关键．