八年级数学下册专题11 一次函数中的矩形

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专题11 一次函数中的矩形
【模型讲解】
阅读下列两段材料，回答问题：
材料一：点，的中点坐标为．例如，点，的中点坐标为，即
材料二：如图1，正比例函数和的图象相互垂直，分别在和上取点、使得分别过点作轴的垂线，垂足分别为点．显然，，设，，则，．．于是，所以的值为一个常数，一般地，一次函数，可分别由正比例函数平移得到.
所以，我们经过探索得到的结论是：任意两个一次函数，的图象相互垂直，则的值为一个常数.

（1）在材料二中，=______（写出这个常数具体的值）
（2）如图2，在矩形中，点是中点，用两段材料的结论，求点的坐标和的垂直平分线的解析式;
（3）若点与点关于对称，用两段材料的结论，求点的坐标.
【详解】（1）∵=-,=,∴k1•k2=-•=-1.故答案为-1.
（2）∵点O的坐标为（0，0），点A的坐标为（4，2），点D是OA中点，
∴点D的坐标为（2，1）．∵点A的坐标为（4，2），∴直线OA的解析式为y=x．
∵直线l⊥直线OA，∴设直线l的解析式为y=-2x+m．∵直线l过点D（2，1），
∴1=-4+m，解得：m=5，∴OA的垂直平分线的解析式为y=-2x+5．
（3）∵点A的坐标为（4，2），四边形OBAC为矩形，∴点C的坐标为（0，2）．
设直线CC′的解析式为y=-2x+n，∵直线CC′过点C（0，2），
∴n=2，即直线CC′的解析式为y=-2x+2．
联立直线CC′和OA的解析式成方程组，得：，
解得：∴点E的坐标为（ ）∵点E为线段CC′的中点，
∴点C′的坐标为（ ），即（-）.
故答案为(1)-1；(2) ， ；（3）
【综合演练】
1．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，且与正比例函数的图象交于点.
      
（1）求一次函数的解析式；
（2）点在轴上，当最小时，求出点的坐标；
（3）若点是直线上一点，点是平面内一点，以、、、四点为顶点的四边形是矩形，请直接写出点的坐标.


2．如图，在平面直角坐标系中，直线：与轴，轴分别交于点，，直线：与轴，轴分别交于点，，连接，直线，交于点．

(1)求点的坐标，并直接写出不等式的解集．
(2)求的面积．
(3)若点在直线上，为坐标平面内任意一点，试探究：是否存在以点，，，为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
3．如图，在平面直角坐标系中，直线AB：y＝x＋m与x轴交于点A，与y轴交于点B（0，2），直线AC经过y轴负半轴上的点C，且OA＝OC．
（1）求直线AC的函数表达式；
（2）直线AC向上平移9个单位，平移后的直线与直线AB交于点D，连结DC，求△ACD面积；
（3）在（2）的条件下，平移后的直线与x轴交于点E，点M为直线AB上的一点，在平面直角坐标系中是否存在点N，使以点E，D，M，N为顶点的四边形是矩形，若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．



4．如图1，在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别交x轴，y轴于A，B两点，将绕点O顺时针旋转90°得（点A与点C对应，点B与点D对应）．

(1)直接写出直线CD的解析式；
(2)点E为线段CD上一点，过点E作轴交直线AB于点F，作轴交直线AB于点G，当时，求点E的坐标；
(3)如图2，若点M为线段AB的中点，点N为直线CD上一点，点P为坐标系内一点，且以O，M，N，P为顶点的四边形为矩形，请直接写出所有符合条件的点N的坐标，并写出其中一种求解点N坐标的过程．












5．如图，四边形是菱形，以点为坐标原点建立平面直角坐标系，射线为轴的正半轴，点的坐标为．

(1)菱形的边长是_______，直线的解析式为__________；
(2)若为直线上一动点，的横坐标为，设的面积为，求与之间的函数关系式；
(3)点在直线上运动过程中，以、、、为顶点的四边形是矩形，请直接写出点的坐标．
6．如图，平面直角坐标系xOy中，直线l的函数解析式为，点P在直线l上，直线l与直线AB相交于点，且，．

（1）求a的值及直线l的解析式；
（2）如图1，已知，若，求点P的坐标；
（3）在坐标平面内是否存在一点Q，使得以P、A、Q、B为顶点的四边形为矩形，若存在，直接写出点Q的坐标，若不存在，请说明理由．

7．如图1，□ABCD在平面直角坐标系xOy中，已知点、、、，点G是对角线AC的中点，过点G的直线分别与边AB、CD交于点E、F，点P是直线EF上的动点．
（1）求点D的坐标和的值；
（2）如图2，当直线EF交x轴于点，且时，求点P的坐标；
（3）如图3，当直线EF交x轴于点时，在坐标平面内是否存在一点Q，使得以P、A、Q、C为顶点的四边形是矩形？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
        
图1                         图2                             图3
答案与解析
【模型讲解】
阅读下列两段材料，回答问题：
材料一：点，的中点坐标为．例如，点，的中点坐标为，即
材料二：如图1，正比例函数和的图象相互垂直，分别在和上取点、使得分别过点作轴的垂线，垂足分别为点．显然，，设，，则，．．于是，所以的值为一个常数，一般地，一次函数，可分别由正比例函数平移得到.
所以，我们经过探索得到的结论是：任意两个一次函数，的图象相互垂直，则的值为一个常数.

（1）在材料二中，=______（写出这个常数具体的值）
（2）如图2，在矩形中，点是中点，用两段材料的结论，求点的坐标和的垂直平分线的解析式;
（3）若点与点关于对称，用两段材料的结论，求点的坐标.
【详解】（1）∵=-,=,∴k1•k2=-•=-1.故答案为-1.
（2）∵点O的坐标为（0，0），点A的坐标为（4，2），点D是OA中点，
∴点D的坐标为（2，1）．∵点A的坐标为（4，2），∴直线OA的解析式为y=x．
∵直线l⊥直线OA，∴设直线l的解析式为y=-2x+m．∵直线l过点D（2，1），
∴1=-4+m，解得：m=5，∴OA的垂直平分线的解析式为y=-2x+5．
（3）∵点A的坐标为（4，2），四边形OBAC为矩形，∴点C的坐标为（0，2）．
设直线CC′的解析式为y=-2x+n，∵直线CC′过点C（0，2），
∴n=2，即直线CC′的解析式为y=-2x+2．
联立直线CC′和OA的解析式成方程组，得：，
解得：∴点E的坐标为（ ）∵点E为线段CC′的中点，
∴点C′的坐标为（ ），即（-）.
故答案为(1)-1；(2) ， ；（3）
【综合演练】
1．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，且与正比例函数的图象交于点.
      
（1）求一次函数的解析式；
（2）点在轴上，当最小时，求出点的坐标；
（3）若点是直线上一点，点是平面内一点，以、、、四点为顶点的四边形是矩形，请直接写出点的坐标.
【答案】（1）；（2）；（3）或（，）.
【分析】（1）由A、C坐标，利用待定系数法可求得答案；
（2）由一次函数解析式可求得B点坐标，可求得B点关于x轴的对称点B′的坐标，连接B′C与x轴的交点即为所求的P点，由B′、C坐标可求得直线B′C的解析式，则可求得P点坐标；
（3）分两种情形分别讨论：①当OC为边时，四边形OCFE是矩形，此时EO⊥OC；②当OC为对角线时，四边形OE′CF′是矩形，此时OE′⊥AC；分别求出E和E’的坐标，然后根据矩形的性质和坐标间的位置关系即可得到点的坐标.
【详解】解：（1）∵一次函数y＝mx＋n（m≠0）的图象经过点A（−3，0），点C（3，6），
∴，解得，
∴一次函数的解析式为y＝x＋3；
（2）如图，作点B关于x轴的对称点B′，连接CB′交x轴于P，此时PB＋PC的值最小．

∵B（0，3），C（3，6）
∴B′（0，-3），
设直线CB′的解析式为y=kx+b（k≠0），
则，解得：，
∴直线CB′的解析式为y＝3x−3，
令y＝0，得x＝1，
∴P（1，0）；
（3）如图，

①当OC为边时，四边形OCFE是矩形，此时EO⊥OC，
∵直线OC的解析式为y＝2x，
∴直线OE的解析式为y＝x，
联立，解得，
∴E（−2，1），
∵EO＝CF，OE∥CF，
根据坐标之间的位置关系易得：F（1，7）；
②当OC为对角线时，四边形OE′CF′是矩形，此时OE′⊥AC，
∴直线OE′的解析式为y＝−x，
由，解得，
∴E′（，），
∵OE′＝CF′，OE′∥CF′，
根据坐标之间的位置关系易得：F′（，），
综上所述，满足条件的点F的坐标为（1，7）或（，）．
【点睛】本题考查一次函数综合题、轴对称最短问题、矩形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用对称解决最短路径问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．
2．如图，在平面直角坐标系中，直线：与轴，轴分别交于点，，直线：与轴，轴分别交于点，，连接，直线，交于点．

(1)求点的坐标，并直接写出不等式的解集．
(2)求的面积．
(3)若点在直线上，为坐标平面内任意一点，试探究：是否存在以点，，，为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)，
(2)
(3)存在，的坐标为或

【分析】（1）联立直线：与直线：即可求得D的坐标，根据图象交点的横坐标即可写出不等式的解集；
（2）分别求得的坐标，结合（1）中的坐标，根据即可求解；
（3）根据矩形的性质，分为边和对角线两种情况讨论，结合图象即可求解．
（1）
联立
解得

根据函数图象可知，的解集为；
（2）
由，令，解得，则，
令，解得，则，
由，令，解得，则，
令，解得，则，
∴，
；
（3）
存在，的坐标为或，
①当为矩形的边时，如图，

四边形是矩形，
则
轴，轴
，
设，点在直线：上，

解得

；
②如图，当为矩形的对角线时，

，是对角线的交点，，
，
，
是直角三角形，且
当为矩形的对角线时，两点重合，
也是的中点，
由中心对称可得
综上所述，的坐标为或．
【点睛】本题考查了两直线交点问题，直线与坐标轴交点问题，矩形的性质与判定，勾股定理与勾股定理的逆定理，综合运用以上知识是解题的关键．
3．如图，在平面直角坐标系中，直线AB：y＝x＋m与x轴交于点A，与y轴交于点B（0，2），直线AC经过y轴负半轴上的点C，且OA＝OC．
（1）求直线AC的函数表达式；
（2）直线AC向上平移9个单位，平移后的直线与直线AB交于点D，连结DC，求△ACD面积；
（3）在（2）的条件下，平移后的直线与x轴交于点E，点M为直线AB上的一点，在平面直角坐标系中是否存在点N，使以点E，D，M，N为顶点的四边形是矩形，若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．

【答案】(1)；（2）18；（3）或．
【分析】（1）根据点B在直线上，可求得直线AB的解析式，进而可求得点A的坐标；由OA=OC ，可得点C的坐标，用待定系数法则可求得直线AC的表达式；
（2）根据题意，可求得直线AC向上平移9个单位后的直线解析式，联立此解析式与直线AB 解析式，可求得点D的坐标；过点D作DF⊥y轴于点F，则根据，即可求得结果；
（3）分三种情况讨论：分别以ED、EM、EN为矩形的对角线这三种情况；利用两直线垂直，函数解析式中一次项系数之积为-1，以及矩形对角线互相平分的性质，可得方程组，可求得点N的坐标．
【详解】（1）∵B(0，2)在直线AB：上
∴m=2
即直线的解析式为：
令，得
∴A(-4，0)，且OA=4
∴OC=OA=4
∵点C在y轴负半轴上
∴C(0，-4)
设直线AC的表达式为：，其中
把A、C两点的坐标分别代入中，得：
解得：
∴直线的表达式为：
（2）把直线AC向上平移9个单位后的表达式为： ，即
解方程组： ，消去y，得
∴x=2
把x=2代入中，得y=3
故方程组的解为：
即点D的坐标为(2，3)
过点D作DF⊥y轴于点F，如图
则DF=2
∵B(0，2)
∴OB=2
∴BC=OB +OC=2+4=6
∴


=18

（3）令，得x=5
∴E(5，0)
∵点M在直线上
∴设点M的坐标为
①当点E、D、M、N是以ED为对角线的矩形时，则ME⊥MD
∴
即：
解得：或
∵矩形的对角线相互平分
故有：
∴
当t=2时，点M坐标为(2，3)，故点M与点D重合，不合题意
当时，，
即点N的坐标为
②当点E、D、M、N是以EM为对角线的矩形时，则DE⊥DM
则
即
解得t=2，即点M与点D重合，不合题意
③当点D、E、M、N是以EN为对角线的矩形时，则ME⊥ED
则
即
解得：t=14
∴M(14，9)
∵矩形的对角线相互平分
∴
即
∴，
即点N的坐标为(11，12)
综上所述，满足条件的点N的坐标为或
【点睛】本题是一次函数的综合题，考查了一次函数的图象，待定系数法求一次函数解析式，一次函数图象的平移，平面直角坐标系中求图形的面积，求两直线交点坐标，矩形的性质等知识，涉及分类讨论，数形结合等数学思想，其中第（3）小题比较难，探索以四点为顶点的矩形的存在问题，是中考常考的压轴题型．
4．如图1，在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别交x轴，y轴于A，B两点，将绕点O顺时针旋转90°得（点A与点C对应，点B与点D对应）．

(1)直接写出直线CD的解析式；
(2)点E为线段CD上一点，过点E作轴交直线AB于点F，作轴交直线AB于点G，当时，求点E的坐标；
(3)如图2，若点M为线段AB的中点，点N为直线CD上一点，点P为坐标系内一点，且以O，M，N，P为顶点的四边形为矩形，请直接写出所有符合条件的点N的坐标，并写出其中一种求解点N坐标的过程．
【答案】(1)；
(2)点的坐标为，；
(3)点的坐标为或，或．

【分析】（1）依题意求出点，坐标，求出，，求出点，的坐标，用待定系数法求解析式；
（2）设，则，由轴可得点的纵坐标为，代入一次函数可得点的横坐标为，表示出、，求出，根据，可得的值，即可得点的坐标；
（3）分两种情况：①为矩形的边时，②为矩形的对角线时，根据矩形的判定和性质即可求解．
（1）
解：一次函数，令，则，令，则，
，，即，，
将绕点顺时针旋转得，
，，
，，
设直线的解析式为，
则，解得，
直线的解析式为；
（2）
解：设，则，
轴，
点的纵坐标为，
将代入一次函数得：，
，即点的横坐标为，
，，
，，
，
，
，
，
点的坐标为，；
（3）
解：①为矩形的边时，如图，分别过点、作交直线于，作交直线于，在分别过点、作交直线于，作交直线于，则四边形、四边形均为矩形，

，，点为线段的中点，
，，
将绕点顺时针旋转得，
，
，，，
，
，
，
，
，
，，
，
点为线段的中点，
，，
；
设直线的解析式为，则，
，
直线的解析式为，
，，
，
可设直线的解析式为，
将代入得，，
，
直线的解析式为，
联立直线得，
解得，
，；
综上，为矩形的边时，点的坐标为或，；
②为矩形的对角线时，如图，

，，
轴，
四边形为矩形，
轴，
点与点重合，
．
综上，以，，，为顶点的四边形为矩形时，点的坐标为或，或．
【点睛】本题是一次函数综合题，待定系数法求一次函数的解析式，中点坐标公式的运用，一次函数图象上点的坐标的特征，全等三角形的判定与性质，图形的旋转的性质，矩形的性质，解题的关键是利用点的坐标表示出相应线段的长度．
5．如图，四边形是菱形，以点为坐标原点建立平面直角坐标系，射线为轴的正半轴，点的坐标为．

(1)菱形的边长是_______，直线的解析式为__________；
(2)若为直线上一动点，的横坐标为，设的面积为，求与之间的函数关系式；
(3)点在直线上运动过程中，以、、、为顶点的四边形是矩形，请直接写出点的坐标．
【答案】(1)10；
(2)S=
(3)点F的坐标为或

【分析】（1）先求出OA的长，再根据菱形的性质可得OC的长，设直线AC的解析式：y=kx+b（k≠0），待定系数法求解析式即可；
（2）根据题意，先表示出点P纵坐标，当x＜6时，S=S△COP-S△COA，当6＜x≤10时，S=S△AOC-S△COP，当x＞10时，S=S△AOC+S△COP，即可表示出S与x的函数关系式；
（3）分情况讨论：①当∠OP1C=90°时，②当∠P2OC=90°时，③当∠OCP=90°时，分别先求出点P坐标，根据矩形的性质即可求出点F坐标．
（1）解：∵点A坐标为（6，8），∴OA==10，∴菱形OABC的边长为10，在菱形OABC中，OA=OC，∴OC=10，∵射线OC为x轴的正半轴，∴C点坐标为（10，0），设直线AC的解析式：y=kx+b（k≠0），将点A（6，8），点C（10，0）代入解析式，得，解得:，∴直线AC的解析式：y=-2x+20，故答案为：10，y=-2x+20；
（2）解：∵P为直线AC上一动点，P的横坐标为x，∴点P的纵坐标为-2x+20，∵S≠0，∴x≠6，当x＜6时，S=S△COP-S△COA=×10(−2x+20)-×10×8=-10x+60，当6＜x≤10时，S=S△AOC-S△COP=×10×8−×10(−2x+20)=10x-60，当x＞10时，S=S△AOC+S△COP=×10×8+×10×(2x−20)
=10x-60，
综上，S=；
（3）解：以O、P、C、F为顶点的四边形是矩形，分情况讨论，如下图所示：①当∠OP1C=90°时，∵OA=OC，∴P1为AC的中点，∵A（6，8），C（10，0），∴P1坐标为（8，4），∵四边形OP1CF1为矩形，∴点F1坐标为（2，-4）；②当∠P2OC=90°时，此时点P2坐标为（0，20），∵四边形OP2F2C是矩形，∴点F2坐标为（10，20），
③当∠OCP=90°时，不存在满足条件的点F，综上，点F坐标为（2，-4）或（10，20）．
【点睛】本题考查了一次函数综合应用，涉及待定系数求解析式，菱形的性质，矩形的性质，分段函数等，熟练掌握以上性质是解题的关键，本题综合性较强，难度较大．
6．如图，平面直角坐标系xOy中，直线l的函数解析式为，点P在直线l上，直线l与直线AB相交于点，且，．

（1）求a的值及直线l的解析式；
（2）如图1，已知，若，求点P的坐标；
（3）在坐标平面内是否存在一点Q，使得以P、A、Q、B为顶点的四边形为矩形，若存在，直接写出点Q的坐标，若不存在，请说明理由．
【答案】（1），；（2）或；（3）存在，，，，
【分析】（1）先用待定系数法求出直线AB的解析式，再求出C点坐标，把C点坐标代入直线l的函数解析式求出b的值；
（2）先用水平宽乘铅垂高除以2的方法求出的面积，再设P点为，用同样的方法表示出的面积，列式求出p的值得到点P坐标；
（3）根据题意分析出以P，A，B为顶点的三角形是直角三角形，然后分三种情况进行讨论，利用两直线垂直，一次项系数乘积为-1，列式求出点P的坐标，再根据矩形的性质对角线互相平分求出点Q的坐标．
【详解】解：（1）设AB直线为，
把，代入得，解得，
直线AB为：，
把代入AB解析式，解得，
，C为，
把代入，得，
l解析式为；
（2）记直线AB与y轴交于点E，
由AB为可知E为，
，
设P点为，过点P作x轴，交AB于M点，

则M为，
则，
，解得或-4，
则P点为或；
（3）以P，A，Q，B为顶点的四边形为矩形，即以P，A，B为顶点的三角形是直角三角形，
设P点为，，，
，
，


①当A为直角顶点，即，
，即，
解得：，，
根据A，Q中点即为，B中点，
依据中点坐标公式可写出Q为；
②当B为直角顶点，即，
，即，
解得：，，
同理写出Q为；
③当P为直角顶点，即，
，即，
解得：或，
当为时，Q为，
当为时，Q为，
综上所述，Q点为，，，．
【点睛】本题考查一次函数的综合题，解题的关键是掌握一次函数的图象和性质以及解析式的求法，掌握解一元二次方程的方法，还需要结合三角形面积、矩形的性质等几何定理，运用数形结合的思想进行求解．
7．如图1，□ABCD在平面直角坐标系xOy中，已知点、、、，点G是对角线AC的中点，过点G的直线分别与边AB、CD交于点E、F，点P是直线EF上的动点．
（1）求点D的坐标和的值；
（2）如图2，当直线EF交x轴于点，且时，求点P的坐标；
（3）如图3，当直线EF交x轴于点时，在坐标平面内是否存在一点Q，使得以P、A、Q、C为顶点的四边形是矩形？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
        
图1                        图2                            图3
【答案】（1）（2，−2），7；（2）点P的坐标为（，−）或（−，）；（3）点P的坐标为（3，0）或（−1，2）或（，−）或（−，）．
【分析】（1）根据平行线的性质可求点D的坐标，根据重心的定义可得S四边形BEFC＝S▱ABCD从而求解；
（2）分两种情况：①点P在AC左边，②点P在AC右边，进行讨论即可求解；
（3）先作出图形，再根据矩形的性质即可求解．
【详解】解：（1）∵▱ABCD在平面直角坐标系xOy中，点A（−1，0）、B（0，4）、C（3，2），
∴点D的坐标为（2，−2），
∴S▱ABCD＝6×4−×1×4−×3×2−×1×4−×3×2＝14，
∵点G是对角线AC的中点，
∴S四边形BEFC＝S▱ABCD＝7；
（2）∵点G是对角线AC的中点，
∴G（1，1），
设直线GH的解析式为y＝kx＋b，
则，
解得，
∴直线GH的解析式为y＝−x＋；
①点P在AC右边，
S△ACH＝×6×2＝6，
∵S△PAC＝S四边形BEFC，
1＋4×＝，
当x＝时，y＝−×＋＝−，
∴P（，−）；
②点P在AC左边，
由中点坐标公式可得P（−，）；
综上所述，点P的坐标为（，−）或（−，）；
（3）如图，

设直线GK的解析式为y＝kx＋b，则，
解得，
则直线GK的解析式为y＝−x＋，
CP⊥AP时，点P的坐标为（3，0）或（−1，2）；
CP⊥AC时，直线AC的解析式为y＝x＋，
直线CP的解析式为y＝−2x＋8，
故点P的坐标为（，−）；
AP⊥AC时，
同理可得点P的坐标为（−，）；
综上所述，点P的坐标为（3，0）或（−1，2）或（，−）或（−，）．
【点睛】本题考查四边形的综合题、矩形的性质、三角形和四边形的面积等知识，解题的关键是熟练掌握待定系数法确定函数解析式，学会用方程的思想思考问题，属于中考压轴题．