八年级数学下册专题10 一次函数中的平行四边形

这是一份八年级数学下册专题10 一次函数中的平行四边形，共42页。
专题10 一次函数中的平行四边形
【例题讲解】
如图，直线与轴、轴分别相交于点、，与直线相交于点．（1）求点坐标；
（2）在平面直角坐标系xOy中，是否存在一点M，使得以O，A，M，C为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，试写出所有符合条件的点M的坐标；如果不存在，请说明理由；

【分析】分三种情况：①当AC是对角线时，②当AO是对角线时，③当CO是对角线时，分别求解即可．
解：（1）解方程组：得：，点坐标是；
（2）存在；令y=0代入，得，解得：x=，
∴C（，0），
设M（x，y）如图所示：

①当AC是对角线时，x=2+-0=，y=3，∴点M坐标是（5.5，3）；
②当AO是对角线时，x=2+0-=-1.5，y=3，∴点M坐标是（-1.5，3）；
③当CO是对角线时，x=0+-2=1.5，y=-3，∴点M坐标是（1.5，-3），
综上所述：点M坐标是（5.5，3），（-1.5，3），（1.5，-3）．

【综合演练】
1．如图，直角坐标系中的网格由单位正方形构成，△ABC中，A点坐标为(2，3)，B点坐标为(﹣2，0)，C点坐标为(0，﹣1)．
(1)求证：AC⊥BC；
(2)若以A、B、C及点D为顶点的四边形组成平行四边形，画出符合条件的所有平行四边形，并写出D点的坐标　 　．

2．如图，直线l1：y=2x+2与x轴交于点A，与y轴交于点C；直线l2：y=kx+b与x轴交于点B（3，0），与直线l1交于点D，且点D的纵坐标为4．

(1)不等式kx+b＞2x+2的解集是 ；(2)求直线l2的解析式及△CDE的面积；
(3)点P在坐标平面内，若以A、B、D、P为顶点的四边形是平行四边形，求符合条件的所有点P的坐标．
3．如图，在平面直角坐标系中．一次函数y=-2x+ 12的图象分别交x轴、y轴于A、B两点，过点A的直线交y轴正半轴于点M．且点M为线段OB的中点．

(1)求直线AM的解析式；
(2)在直线AM上有一点P，且，求点P的坐标；
(3)在坐标平面内是否存在点C，使以A、B、M、C为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点C的坐标；若不存在，请说明理由．
4．如图1，在平面直角坐标系中，直线与y轴交于点A，过的直线与直线交于点．

(1)求直线的解析式；
(2)若点D是第一象限位于直线上的一动点，过点D作轴交于点H．当时，试在x轴上找一点E，在直线上找一点F，使得的周长最小，求出周长的最小值；
(3)如图2，直线与x轴交于点M，与y轴交于点N，将直线绕点O逆时针旋转得到直线，点P是直线上一点，且横坐标为．在平面内是否存在一点Q，使得以点M，C，P，Q为项点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．


5．已知矩形，，，以所在直线为轴，所在直线为轴，建立如图所示的平面直角坐标系，在边上取一点，将沿翻折，点恰好落在边上的点处．

(1)求线段长；
(2)如图，点与点重合时，在平面内找一点，使得以、、、为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点的坐标；
(3)如图，将图翻折后的矩形沿轴正半轴向上平移个单位，在平面内找一点，若以、、、为顶点的四边形为菱形，请求出的值并写出点的坐标．
6．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，矩形OABC的顶点A（16，0）、C（0，12），将矩形OABC的一个角沿直线BD折叠，使得点A落在对角线OB上的点E处，折痕与x轴交于点D．

(1)线段OB的长度为______；
(2)求直线BD所对应的函数表达式；
(3)若点Q在线段BD上，在线段BC上是否存在点P，使以D，E，P，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．





7．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝x+b交x轴负半轴于点A，交y轴正半轴于点B（0，5），点C在x轴正半轴上，OC＝4．

(1)求直线BC的解析式；
(2)若P为线段BC上一点，且△ABP的面积等于△AOB的面积，求点P的坐标；
(3)在（2）的条件下，E为直线AP上一动点，在x轴上是否存在点D，使以点D，E，B，C为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点D的坐标；若不存在，请说明理由．
8．如图1，平面直角坐标系中，一次函数的图象分别交x轴、y轴于点A，B，一次函数的图象经过点B，并与x轴交于点C，点P是直线上的一个动点．

(1)直线的表达式为___________，并直接写出点C的坐标___________；
(2)若点P在x轴上方，且的面积为18，求P点坐标；
(3)如图2，在（2）的条件下，过点P作x轴的垂线，交直线于点Q．M是x轴上一点，在直线上是否存在点N，使以P、Q、M，N为顶点的四边形是以为边的平行四边形？若存在，直接写出点N的坐标；若不存在，说明理由．




9．如图，在平面直角坐标系中，直线：与轴交于点，直线与直线、轴分别交于点、点．

(1)求直线的解析式；
(2)若点和点分别是直线和轴上的动点，是否存在点、，使得以点、、、为顶点、为一边的四边形是平行四边形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
10．如图，在平面直角坐标系中直线l1：与直线l2交于点A（﹣2，3），直线l2与x轴交于点C（4，0），与y轴交于点B，过BD中点E作直线l3⊥y轴．

(1)求直线l2的解析式和m的值；
(2)点P在直线l1上，当S△PBC＝6时，求点P坐标；
(3)点P是直线l1上一动点，点Q是直线l3上一动点，当以P、Q、B、C为顶点的四边形是平行四边形时，求Q点坐标．



11．如图1，在平面直角坐标系中，直角梯形OABC的顶点A的坐标为，直线经过顶点B，与y轴交于顶点C，．

(1)求顶点B的坐标．
(2)如图2，直线l经过点C，与直线AB交于点M，点与点O关于直线l对称，连接并延长交直线AB于第一象限的点D，当时，求直线l的解析式；
(3)在（2）条件下，点P在直线l上运动，点Q在直线OD上运动，当四边形PBCQ是平行四边形时，求点P的坐标．
12．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线经过点、．将直线向下平移m个单位得到直线，已知直线经过点，且与x轴交于点C．

(1)求直线的表达式及m的值；
(2)若点Q是x轴上一点，连接BQ，当面积等于4时，求点Q的坐标；
(3)点D为直线上一点，如果A、B、C、D四点能构成平行四边形，求点D的坐标．




13．如图，在平面直角坐标系中，过点和的直线与直线相交于点C，直线与x轴相交于点D，点E在线段AB上，连接DE，的面积为．

(1)求直线AB的解析式；
(2)求点E的坐标；
(3)点M是直线CD上的动点，点N在y轴上，是否存在点M、N，使得以点B、E、M、N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．


答案与解析
【例题讲解】
如图，直线与轴、轴分别相交于点、，与直线相交于点．（1）求点坐标；
（2）在平面直角坐标系xOy中，是否存在一点M，使得以O，A，M，C为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，试写出所有符合条件的点M的坐标；如果不存在，请说明理由；

【分析】分三种情况：①当AC是对角线时，②当AO是对角线时，③当CO是对角线时，分别求解即可．
解：（1）解方程组：得：，点坐标是；
（2）存在；令y=0代入，得，解得：x=，
∴C（，0），
设M（x，y）如图所示：

①当AC是对角线时，x=2+-0=，y=3，∴点M坐标是（5.5，3）；
②当AO是对角线时，x=2+0-=-1.5，y=3，∴点M坐标是（-1.5，3）；
③当CO是对角线时，x=0+-2=1.5，y=-3，∴点M坐标是（1.5，-3），
综上所述：点M坐标是（5.5，3），（-1.5，3），（1.5，-3）．

【综合演练】
1．如图，直角坐标系中的网格由单位正方形构成，△ABC中，A点坐标为(2，3)，B点坐标为(﹣2，0)，C点坐标为(0，﹣1)．
(1)求证：AC⊥BC；
(2)若以A、B、C及点D为顶点的四边形组成平行四边形，画出符合条件的所有平行四边形，并写出D点的坐标　 　．

【答案】（1）证明见解析；（2）作图见解析，点坐标为(0，4)或(4，2)或(-4，-4)．
【分析】（1）根据勾股定理求出，再根据勾股定理逆定理即可求证；
（2）过分别作的平行线，分别相交于，再根据平行四边形的性质即可求得D点的坐标．
【详解】解：（1）由勾股定理可得：、、，
又∵，即，
∴为直角三角形，，
∴AC⊥BC；
（2）过分别作的平行线，分别相交于，如下图：

①以为邻边时，
则、
又∵A点坐标为(2，3)，C点坐标为(0，﹣1)，
C点向右平移了2个单位，向上平移了4个单位，
∴点可以由点右平移了2个单位，向上平移了4个单位得到，
又∵B点坐标为(﹣2，0)
得到点坐标为(0，4)；
②以为邻边时，
则、
又∵A点坐标为(2，3)，B点坐标为(﹣2，0)
B点向右平移了4个单位，向上平移了3个单位
∴点可以由点C右平移了4个单位，向上平移了3个单位
又∵C点坐标为(0，﹣1)
得到点坐标为 (4，2)；
③以为邻边时，
则、
又∵A点坐标为(2，3)，B点坐标为(﹣2，0)
A点向左平移了4个单位，向下平移了3个单位
∴点可以由点C左平移了4个单位，向下平移了3个单位
又∵C点坐标为(0，﹣1)
得到点坐标为(-4，-4)．
综上所述，点坐标为(0，4)或(4，2)或(-4，-4)．
【点睛】此题主要考查了勾股定理以及逆定理的应用、平行四边形的性质，熟练掌握相关基本性质，利用平行四边形的性质求解点的坐标是解题的关键．
2．如图，直线l1：y=2x+2与x轴交于点A，与y轴交于点C；直线l2：y=kx+b与x轴交于点B（3，0），与直线l1交于点D，且点D的纵坐标为4．

(1)不等式kx+b＞2x+2的解集是 ；
(2)求直线l2的解析式及△CDE的面积；
(3)点P在坐标平面内，若以A、B、D、P为顶点的四边形是平行四边形，求符合条件的所有点P的坐标．
【答案】(1)x＜1
(2)2
(3)P（-3，4）或（5，4）或（1，-4）

【分析】（1）直线l1交于点D，且点D的纵坐标为4，则4=2x+2，解得：x=1，故点D（1，4），即可求解；
（2）将点B、D的坐标代入y=kx+b，再求出点E，点C的坐标，再由三角形面积公式即可求解；
（3）分AB是平行四边形的一条边、AB是平行四边形的对角线两种情况，分别求解．
（1）
对于直线l1：y=2x+2，交于点D，且点D的纵坐标为4，则
4=2x+2，
解得：x=1，
故点D（1，4），
从图象看，当x＜1时，kx+b＞2x+2，
故答案为：x＜1；
（2）
将点B（3，0）、D（1，4）代入y=kx+b得：
，
解得：，
故直线l2：y=-2x+6，
当x=0时，y=6,

对于直线l1：y=2x+2，当x=0时，y=2，
∴
∴
∴
（3）
分别过点A、B作l2、l1的平行线交于点P″，交过点D作x轴的平行线于点P、P′，

对于直线l1：y=2x+2，当y =0时，x =-1，
∴
∵B(3,0)

①当AB是平行四边形的一条边时，
此时符合条件的点为下图中点P和P′，
则AB=4=PA=P′D，
故点P的坐标为（-3，4）或（5，4）；
②当AB是平行四边形的对角线时，
此时符合条件的点为图中点P″，DA平行且等于BP“，由平移可知，点P″（1，-4）；
综上，点P（-3，4）或（5，4）或（1，-4）．
【点睛】本题为一次函数综合运用题，涉及到平行四边形的基本性质、求解不等式等知识点，其中（3）要注意分类求解，避免遗漏．
3．如图，在平面直角坐标系中．一次函数y=-2x+ 12的图象分别交x轴、y轴于A、B两点，过点A的直线交y轴正半轴于点M．且点M为线段OB的中点．

(1)求直线AM的解析式；
(2)在直线AM上有一点P，且，求点P的坐标；
(3)在坐标平面内是否存在点C，使以A、B、M、C为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点C的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)点P的坐标为(0，6)或(12，-6)
(3)存在，点C的坐标为(6，-6)或(6，6)或(-6，18)

【分析】（1）利用一次函数图象上点的坐标特征可求出点A，B的坐标，由点M为线段OB的中点可得出点M的坐标，根据点A，M的坐标，利用待定系数法即可求出直线AM的函数解析式；
（2）分两种情况：①由点M为线段OB的中点．可得，即可得出点P于点M重合，②根据，即可得答案；
（3）存在点C，使以A、B、M、C为顶点的四边形是平行四边形，分三种情况：①以AM，BC为对角线；②以AB，CM为对角线；③以AC，BM为对角线，根据平移的性质求解即可．
（1）
解：当x=0时，y=-2x+12=12，
∴点B的坐标为（0，12），
当y=0时，-2x+12=0，
解得：x=6，
∴点A的坐标为（6，0）．
∵点M为线段OB的中点，
∴点M的坐标为（0，6）．
设直线AM的函数解析式为y=kx+b（k≠0），
将A（6，0），M（0，6）代入y=kx+b，得
，解得：
∴直线AM的函数解析式为y=-x+6；
（2）
解：①∵点M为线段OB的中点．
∴，
∴点P于点M重合，
∴点P的坐标为（0，6）；
②如图，

∵点A的坐标为（6，0）．点M的坐标为（0，6）．
∴×6×6=18，
∵，
∴，
设点P的坐标为：（x， -x+6），
∴×6x-18=18，解得x=12，
∴点P的坐标为（12，-6）；
∴点P的坐标为（0，6）或（12，-6）；
（3）
解：分三种情况考虑（如图所示）：

存在点C，使以A、B、M、C为顶点的四边形是平行四边形，
∵A（6，0），B（0，12），M（0，6），
①以AM，BC为对角线，
根据平移的性质，得点C（6，-6），
②以AB，CM为对角线，
根据平移的性质，得点C（6，6），
③以AC，BM为对角线，
根据平移的性质，得点C（-6，18），
综上，点C的坐标为（6，-6）或（6，6）或（-6，18）．
【点睛】本题是一次函数综合题，考查了一次函数图象上点的坐标特征、待定系数法求一次函数解析式、三角形的面积以及平行四边形的性质，解题的关键是注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想、分类讨论思想与方程思想的应用．
4．如图1，在平面直角坐标系中，直线与y轴交于点A，过的直线与直线交于点．

(1)求直线的解析式；
(2)若点D是第一象限位于直线上的一动点，过点D作轴交于点H．当时，试在x轴上找一点E，在直线上找一点F，使得的周长最小，求出周长的最小值；
(3)如图2，直线与x轴交于点M，与y轴交于点N，将直线绕点O逆时针旋转得到直线，点P是直线上一点，且横坐标为．在平面内是否存在一点Q，使得以点M，C，P，Q为项点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)见解析，
(3)或或

【分析】（1）先求得点C的坐标，再利用待定系数法解答，即可；
（2）作点D关于x轴的对称点，关于的对称点，连接，分别交x轴于E，交于F，求出点的坐标和点，进而求得的最小值为的长；
（3）求出点M和点N旋转后的对应点的坐标，从而求出的解析式，进而求得点P的坐标，然后分三种情况，结合根据平行四边形的性质，求得点Q的坐标．
【详解】（1）解：把点代入，得：
，
∴，
∴，
设直线的解析式为∶，
把，代入得：
∴，解得：，
∴直线的解析式为；
（2）解∶如图，

设点D的坐标为，
∵轴，
∴点，
∵，
∴，解得：，
∴，，
作点D关于x轴的对称点，关于的对称点，连接，交x轴于E，交于F，则，，的周长最小，最小值为∶ ，
∵直线由直线沿y轴向上平移1个单位得到的，且直线为第一三象限的角平分线，
∴直线与坐标的夹角都为，
∴，
∴，
∵轴，
∴点的横坐标为，
∴点的坐标为，
∴，
∴的周长最小值为∶；
（3）如图，

∵点，
∴点M和点N旋转后的对应点，
∴直线的解析式为∶，
当时，，
∴，
当时，
∵，
∴，
当时，
∵，
∴，
当时，
∵，，
∴，
综上所述∶点或或．
【点睛】本题考查了用待定系数法求一次函数的解析式，平行四边形的分类，勾股定理等知识，解决问题的关键是作对称，确定点E，F的位置．
5．已知矩形，，，以所在直线为轴，所在直线为轴，建立如图所示的平面直角坐标系，在边上取一点，将沿翻折，点恰好落在边上的点处．

(1)求线段长；
(2)如图，点与点重合时，在平面内找一点，使得以、、、为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点的坐标；
(3)如图，将图翻折后的矩形沿轴正半轴向上平移个单位，在平面内找一点，若以、、、为顶点的四边形为菱形，请求出的值并写出点的坐标．
【答案】(1)
(2)点的坐标为或或
(3)，点的坐标为：或，点的坐标为或，点的坐标为

【分析】（1）由矩形的性质得AD=BC=OC=10，CD=AB=OA=6，∠AOC=∠ECF=90°，由折叠性质得EF=DE，AF=AD=10，则CE=6-EF，由勾股定理求出BF=OF=8，则FC=OC-OF=2在Rt△ECF中，由勾股定理得出方程，解方程即可；
（2）分三种情况，当AB为平行四边形的对角线时；当AF为平行四边形的对角线时；当BF为平行四边形的对角线时，分别去点G的坐标即可；
（3）分三种情况讨论，由菱形的性质得OA=AF=10，则矩形ABCD平移距离m=OA-AB=4，即OB=4，设FG交x轴于H，证出四边形OBFH是矩形，得FH=OB=4，OH=BF=8，则HG=6，即可得出答案．
（1）
四边形是矩形，
，，，
由折叠性质得：，，
，
由勾股定理得：，
，
在中，由勾股定理得：，
即：，
解得：；
（2）
如图所示：

当为平行四边形的对角线时，，，
点的坐标为：；
当为平行四边形的对角线时，，，
点的坐标为：；
当为平行四边形的对角线时，，，
点的坐标为：；
综上所述，点的坐标为或或；
（3）
如图，

当四边形为菱形，
，
矩形平移距离，
即，
设交轴于，如图所示：
，轴，
，
四边形是矩形，
，，
，
点的坐标为．
若四边形是菱形，
，
，
，
，
，
的坐标为，
当四边形是菱形，
，，，
，
点的坐标为，
综上所述：，点的坐标为：或，点的坐标为或，点的坐标为．
【点睛】本题考查了矩形的判定与性质，坐标与图形性质，平行四边形的性质，勾股定理，折叠变换的性质、平移的性质等知识；本题综合性强，熟练掌握矩形的性质和折叠的性质是解题的关键．
6．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，矩形OABC的顶点A（16，0）、C（0，12），将矩形OABC的一个角沿直线BD折叠，使得点A落在对角线OB上的点E处，折痕与x轴交于点D．

(1)线段OB的长度为______；
(2)求直线BD所对应的函数表达式；
(3)若点Q在线段BD上，在线段BC上是否存在点P，使以D，E，P，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)20
(2)直线BD所对应的函数表达式为
(3)存在，满足条件的点P的坐标是（10，12）

【分析】（1）由矩形的性质可得出点的坐标及，的长，利用勾股定理可求出的长；
（2）设，则，，，利用勾股定理可求出值，进而可得出点的坐标，再根据点，的坐标，利用待定系数法可求出直线所对应的函数表达式；
（3）过点作轴于点，由，可得出，利用面积法可求出的长，在中，利用勾股定理可求出的长，进而可得出点的坐标，根据，求出直线的解析式，根据点的纵坐标求出其横坐标即可．
（1）
解：由题意，得：点的坐标为，，，
，
故答案为：20；
（2）
解：设，则，，，
，即，
，
，
点的坐标为．
设直线所对应的函数表达式为，
将，代入，得：
，
解得：，
直线所对应的函数表达式为；
（3）
解：存在，理由：过点作轴于点，如图所示．

，

，
，
在中，，
点的坐标为，，
由，设直线的解析式为：，
把，代入得：，解得：，
直线的解析式为：，
令，则，解得：，
存在，点的坐标为．
【点睛】本题属于一次函数综合题，考查了矩形的性质、勾股定理、待定系数法求一次函数解析式、一次函数图象上点的坐标特征以及平行四边形的性质，解题的关键是灵活运用性质解决问题．
7．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝x+b交x轴负半轴于点A，交y轴正半轴于点B（0，5），点C在x轴正半轴上，OC＝4．

(1)求直线BC的解析式；
(2)若P为线段BC上一点，且△ABP的面积等于△AOB的面积，求点P的坐标；
(3)在（2）的条件下，E为直线AP上一动点，在x轴上是否存在点D，使以点D，E，B，C为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点D的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)y＝﹣x+5
(2)P（，）
(3)D的坐标为（1，0）或（﹣11，0）或（7，0）

【分析】（1）由点C在x轴正半轴上，OC＝4，得C（4，0），用待定系数法即得直线BC的解析式；
（2）过P作PH⊥AC于H，设P（n，﹣n+5），PH＝﹣n+5，将B（0，5）代入y＝x+b可得y＝x+5，A（﹣2，0），根据△ABP的面积等于△AOB的面积，列方程计算即可；
（3）由A（﹣2，0），P代入得直线AP解析式为y＝x+2，设E（p，p+2），D（q，0），又B（0，5），C（4，0），分3种情况：①若ED，BC为对角线，则ED，BC的中点重合，可得，即可解得D（1，0）；②若EB，DC为对角线，，D（﹣11，0）；③若EC，DB为对角线，，D（7，0）．
（1）
∵点C在x轴正半轴上，OC＝4，
∴C（4，0），
由B（0，5）设直线BC解析式为y＝mx+5，
将C（4，0）代入得：0＝4m+5，
解得m＝﹣，
∴直线BC的解析式为y＝﹣x+5；
（2）
过P作PH⊥AC于H，如图：
设P（n，﹣n+5），则PH＝﹣n+5，
将B（0，5）代入y＝x+b得：
b＝5，
∴y＝x+5，
在y＝x+5中，令y＝0得x＝﹣2，
∴A（﹣2，0），
∴AC＝6，
∴S△ABC＝AC•OB＝×6×5＝15，S△APC＝AC•PH＝×6×（﹣n+5）＝﹣n+15，
∵△ABP的面积等于△AOB的面积，
∴15﹣（﹣n+15）＝×2×5，
解得n＝，
∴P；

（3）
存在点D，使以点D，E，B，C为顶点的四边形为平行四边形，理由如下：
设直线AP解析式为y＝kx+t，将A（﹣2，0），P代入得：
，
解得，
∴直线AP解析式为y＝x+2，
设E（p，p+2），D（q，0），又B（0，5），C（4，0），
①若ED，BC为对角线，则ED，BC的中点重合，如图：
∴，
解得，
∴D（1，0）；

②若EB，DC为对角线，同理可得：
，
解得，
∴D（﹣11，0）；
③若EC，DB为对角线，
∴，
解得，
∴D（7，0），
综上所述，D的坐标为（1，0）或（﹣11，0）或（7，0）．
【点睛】本题考查一次函数的综合应用，涉及待定系数法，三角形面积，平行四边形的性质及应用等知识，解题的关键是利用平行四边形对角线互相平分列方程解决问题．
8．如图1，平面直角坐标系中，一次函数的图象分别交x轴、y轴于点A，B，一次函数的图象经过点B，并与x轴交于点C，点P是直线上的一个动点．

(1)直线的表达式为___________，并直接写出点C的坐标___________；
(2)若点P在x轴上方，且的面积为18，求P点坐标；
(3)如图2，在（2）的条件下，过点P作x轴的垂线，交直线于点Q．M是x轴上一点，在直线上是否存在点N，使以P、Q、M，N为顶点的四边形是以为边的平行四边形？若存在，直接写出点N的坐标；若不存在，说明理由．
【答案】(1)，（3，0）；
(2)P（2，4）；
(3)存在，点N的坐标为（0，3）或（－12，－3）．

【分析】（1）求出x＝0时，可得点B坐标，然后利用待定系数法求出直线的表达式，令y＝0，求出x的值，即可得到点C的坐标；
（2）求出点A坐标可得AC＝9，设P（x，），根据的面积为18构建方程求出x的值即可；
（3）求出点Q坐标，可得PQ＝3，根据平行四边形的性质可得PQ且PQ＝MN＝3，进而可得点N的纵坐标为3或－3，然后代入直线BC的解析式即可求出点N的坐标．
（1）
解：在一次函数中，当x＝0时，y＝3，
∴B（0，3），
∵一次函数的图象经过点B，并与x轴交于点C，
∴，
∴直线的表达式为，
当y＝0时，即，
解得：x＝3，
∴C（3，0），
故答案为：，（3，0）；
（2）
解：在一次函数中，当y＝0时，即，
解得：x＝－6，
∴A（－6，0），
∵C（3，0），
∴AC＝9，
设P（x，），
∵的面积为18，
∴，
解得：x＝2，
∴P（2，4）；
（3）
∵P（2，4），
∴点Q的横坐标为2，
当x＝2时，，
∴Q（2，1），
∴PQ＝3，
∵使以P、Q、M，N为顶点的四边形是以为边的平行四边形，
∴PQ且PQ＝MN＝3，
∴MN⊥x轴，点N的纵坐标为3或－3，
当时，解得：x＝0，
此时N（0，3），
当时，解得：x＝－12，
此时N（－12，－3），
综上，点N的坐标为（0，3）或（－12，－3）．
【点睛】本题考查了待定系数法的应用，一次函数图象上点的坐标特征，一次函数与几何综合以及平行四边形的性质等知识，熟练掌握一次函数图象与坐标轴交点的求法是解题的关键．
9．如图，在平面直角坐标系中，直线：与轴交于点，直线与直线、轴分别交于点、点．

(1)求直线的解析式；
(2)若点和点分别是直线和轴上的动点，是否存在点、，使得以点、、、为顶点、为一边的四边形是平行四边形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)存在，点坐标为或

【分析】（1）由待定系数法求直线的解析式即可；
（2）设，，再分两种情况讨论：当为平行四边形对角线时；当为平行四边形的对角线时；利用平行四边形对角线互相平分的性质求解即可．
（1）
解：设直线的解析式为，
直线与直线、轴分别交于点、点，
，解得，
直线的解析式为；
（2）
解：存在，
直线：与轴交于点，
，
设，，
当为平行四边形对角线时，

，，
，解得，
；
当为平行四边形的对角线时，

，，
，解得，
；
综上所述：存在，或 ．
【点睛】本题是一次函数综合题，考查待定系数法求函数的解析式，一次函数的图象及性质，平行四边形的性质，分类讨论是解题的关键．
10．如图，在平面直角坐标系中直线l1：与直线l2交于点A（﹣2，3），直线l2与x轴交于点C（4，0），与y轴交于点B，过BD中点E作直线l3⊥y轴．

(1)求直线l2的解析式和m的值；
(2)点P在直线l1上，当S△PBC＝6时，求点P坐标；
(3)点P是直线l1上一动点，点Q是直线l3上一动点，当以P、Q、B、C为顶点的四边形是平行四边形时，求Q点坐标．
【答案】(1)y=x+2；m=6；
(2)P点坐标为（，）或（，）；
(3)Q点坐标为（，4）或（，4）或（4，4）

【分析】（1）由待定系数法求直线的解析式即可；
（2）分点P在线段FA上和在线段DA上时，两种情况讨论，利用分割法和三角形面积公式列方程，再分别求P点坐标即可；
（3）设P（t，t+6），Q（m，4），再分三种情况讨论：①当PQ为平行四边形的对角线时；②当PB为平行四边形对角线时；③当PC为平行四边形的对角线时；利用平行四边形对角线互相平分的性质求解即可．
（1）
解：∵A（-2，3）在y=x+m上，
∴-3+m=3，
∴m=6，
∴y=x+6，
设直线l2的解析式为y=kx+b，
∴，
解得，
∴直线l2的解析式为y=x+2；
（2）
解：由（1）可得B（0，2），D（0，6），F（-4，0），
∵C（4，0），
∴S△DBC=×4×4=8>6，S△FBC=×8×2=8>6，

∴点P一定在线段FD上，
当点P在线段FA上时，连接PO，设点P的坐标为（a，a+6），

S△PBC=S△POB+S△COB-S△POC=×2+×2×4-×4×=6，
整理得=-a-1，
即=-a-1或=a+1，
解得：a=-或a=-5(舍去)，
∴点P的坐标为（-，）；
当点P在线段DA上时，连接PO，设点P的坐标为（a，a+6），

S△PBC= S△POC -S△POB-S△COB=×4×-×2-×2×4=6，
整理得=5-a，
即=5-a或=a-5，
解得：a=-或a=-11(舍去)，
∴点P的坐标为（-，）；
综上所述：P点坐标为（-，）或（-，）；
（3）
解：由（1）可得B（0，2），D（0，6），
∴E（0，4），
∴直线l3的解析式为y=4，
设P（t，t+6），Q（m，4），
①当PQ为平行四边形的对角线时，
，解得，
∴Q（，4）；
②当PB为平行四边形对角线时，
，解得，
∴Q（-，4）；
③当PC为平行四边形的对角线时，
，解得，
∴Q（4，4）；
综上所述：Q点坐标为（，4）或（-，4）或（4，4）．
【点睛】本题考查一次函数的图象及性质、平行四边形的性质、坐标与图形，熟练掌握一次函数的图象及性质，平行四边形的性质，分类讨论是解题的关键．
11．如图1，在平面直角坐标系中，直角梯形OABC的顶点A的坐标为，直线经过顶点B，与y轴交于顶点C，．

(1)求顶点B的坐标．
(2)如图2，直线l经过点C，与直线AB交于点M，点与点O关于直线l对称，连接并延长交直线AB于第一象限的点D，当时，求直线l的解析式；
(3)在（2）条件下，点P在直线l上运动，点Q在直线OD上运动，当四边形PBCQ是平行四边形时，求点P的坐标．
【答案】(1)
(2)
(3)

【分析】（1）根据，可得点B的横坐标为4，再代入，即可求解；
（2）过C点作于N，可得到，从而得到，再求出，DN=3，从而得到，继而得到AM=1，可得到点，即可求解；
（3）连接OD，先求出D点坐标为，可得直线OD解析式为，设P点坐标为，Q点坐标为，然后根据平行四边形对角线互相平分，即可求解．
（1）
解：∵，，
∴点B的横坐标为4，
把代入中，得，
∴．
（2）
解：如图，过C点作于N，

∵，
∴，
∵点为点O关于直线l的对称点，
∴，
∴，
∴，
∵，
当时，，
∴点C（0，3），
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
设直线l解析式把，代入得：
，解得，
∴直线l的解析式为：．
（3）
解：如图，连接OD，

∵，，A点坐标为，
∴D点坐标为，
设OD直线解析式为，将代入可得，解得，
∴直线OD解析式为，
∵点P在直线l上运动，点Q在直线OD上运动，
∴设P点坐标为，Q点坐标为，
∵四边形PBCQ是平行四边形，
∴平行四边形对角线互相平分，
，解得，
当时，，
∴P点坐标为．
【点睛】本题主要考查了一次函数与四边形的综合题，熟练掌握一次函数的图象和性质，平行四边形的性质是解题的关键．
12．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线经过点、．将直线向下平移m个单位得到直线，已知直线经过点，且与x轴交于点C．

(1)求直线的表达式及m的值；
(2)若点Q是x轴上一点，连接BQ，当面积等于4时，求点Q的坐标；
(3)点D为直线上一点，如果A、B、C、D四点能构成平行四边形，求点D的坐标．
【答案】(1)， 直线为
(2)或
(3)点D的坐标为（5，1）或（1，-1）．

【分析】（1）根据待定系数法先求解的解析式，再写出的解析式为，再利用待定系数法即可得到答案；
（2）由的解析式，令y=0，即可求得C的坐标，设 由 可得 再解方程可得答案；
（3）分两种情况，根据平行四边形的性质以及平移的规律即可求得D的坐标．
（1）
解：设直线的表达式为y=kx+b，
∵直线经过点A（0，1）、B（2，2），
∴，解得，
∴直线的表达式为；
将直线向下平移m个单位得到直线，则直线为，
∵直线经过点（-1，-2），
∴，解得，
∴直线为，
（2）
令y=0，则 解得x=3，
∴点C的坐标为（3，0）；

设
∵
∴
解得：或
∴或
（3）
由题意可知，
如图，当A、B、C、D四点构成平行四边形时，，

∵A（0，1）、B（2，2），C（3，0），
∴点A向右平移3个单位，再向下平移1个单位与C点重合，
∴点B向右平移3个单位，再向下平移1个单位与点重合，
此时的坐标为（5，1）；
∵， 当A、B、C、D四点构成平行四边形时，
∵A（0，1）、B（2，2），C（3，0），
∴点B向右平移1个单位，再向下平移2个单位与C点重合，
∴点A向右平移1个单位，再向下平移2个单位与点重合，此时的坐标为（1，-1）；
综上，如果A、B、C、D四点能构成平行四边形，点D的坐标为（5，1）或（1，-1）．
【点睛】本题考查了一次函数图象与几何变换，待定系数法求一次函数的解析式，平行四边形的判定和性质，解题的关键：（1）熟练掌握待定系数法，掌握平移的规律；（2）坐标与图形面积；（3）分类讨论思想．
13．如图，在平面直角坐标系中，过点和的直线与直线相交于点C，直线与x轴相交于点D，点E在线段AB上，连接DE，的面积为．

(1)求直线AB的解析式；
(2)求点E的坐标；
(3)点M是直线CD上的动点，点N在y轴上，是否存在点M、N，使得以点B、E、M、N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)直线AB的表达式为
(2)
(3)存在，或或

【分析】（1）用待定系数法求直线的解析式即可；
（2）联立方程组，求出C点坐标，设E（m，m+2），由，求出m的值即可求点E的坐标；
（3）设M（t，t+），N（0，y），利用平行四边形对角线互相平分分三种情况讨论即可．
（1）设直线AB的解析式为将，代入得.解得. 直线AB的表达式为
（2）当时， 联立得 设点..
（3）存在点M、N，使得以点B、E、M、N为顶点的四边形是平行四边形，理由如下：设M（t，t+），N（0，y），①当BE为平行四边形的对角线时，，解得，∴N（0，）；②当BM为平行四边形的对角线时，，解得，∴N（0，）；③当BN为平行四边形的对角线时，，解得，∴N（0，）；综上所述：N点坐标为（0，）或（0，）或（0，）．
【点睛】本题考查一次函数的图象及性质，熟练掌握一次函数的图象及性质，平行四边形的性质是解题的关键．

【点睛】本题是一次函数的几何综合题，考查了交点的求法，勾股定理的应用，平行四边形的性质，分类讨论思想的运用是解题的关键．