八年级数学下册压轴题培优专题04 平行四边形的判定和性质

这是一份八年级数学下册压轴题培优专题04 平行四边形的判定和性质，共40页。
2022-2023学年苏科版八年级数学下册精选压轴题培优卷
专题04 平行四边形的判定和性质
姓名：___________班级：___________考号：___________
题号
一
二
三
总分
得分





评卷人
得 分


一．选择题（共10小题，满分20分，每小题2分）
1．（2分）（2022春•胶州市期中）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠ACB＝30°，AB＝2．将△ABC沿BC方向向右平移得到△DEF，若四边形ACFD的周长为10，则△ABC平移的距离为（　　）

A．1 B．2 C． D．4
2．（2分）（2022春•五华县期末）如图，E、F分别是平行四边形ABCD的边AD、BC上的点，且BE∥DF，AC分别交BE、DF于点G、H．下列结论：①四边形BFDE是平行四边形； ②△ABG≌△CDH；③GE＝HF；④S△AGE：S△CDH＝AE：DH，其中正确的个数是（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．（2分）（2022春•洋县期末）如图，分别以Rt△ABC的斜边AB、直角边AC为边向外作等边△ABD和等边△ACE，F为AB的中点，连接DF、EF，DE与AB相交于点G，若∠BAC＝30°，下列结论：
①EF⊥AC；
②四边形ADFE为平行四边形；
③AD＝4AG；
④△DBF≌△EFA．
其中正确结论有（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4．（2分）（2022春•清苑区期末）如图，已知△ABC是边长为6的等边三角形，点D是线段BC上的一个动点（点D不与点B，C重合），△ADE是以AD为边的等边三角形，过点E作BC的平行线，分别交线段AB，AC于点F，G，连接BE和CF．则下列结论中：①BE＝CD；②∠BDE＝∠CAD；③四边形BCGE是平行四边形；④当CD＝2时，S△AEF＝23，其中正确的有（　　）

A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
5．（2分）（2022春•永年区期末）已知：如图，在平行四边形ABCD中，E，F分别是AB，CD的中点．求证：四边形EBFD是平行四边形．以下是排乱的证明过程：①∴EB＝FD；②∴AB＝CD，EB∥FD；③∴四边形EBFD是平行四边形；④又EB＝AB，FD＝CD；⑤∵四边形ABCD是平行四边形．证明步骤正确的顺序是（　　）

A．④→①→②→③→⑤ B．⑤→③→①→②→④ C．⑤→②→④→①→③ D．⑤→②→①→④→③
6．（2分）（2022春•漳州期末）如图，剪两张对边平行的纸条，随意交叉叠放在一起，转动其中一张纸条，重合的部分构成了一个四边形ABCD，对角线AC与BD相交于点O，则下列结论一定成立的是（　　）

A．AD＝AB B．AD＝BC C．∠DAC＝∠ACD D．AO＝AB
7．（2分）（2022春•秦都区期末）如图，分别以Rt△ABC的直角边AC，斜边AB为边向外作等边△ACD和等边△ABE，F为AB的中点，连接DF、EF，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°．则以下结论：①AC⊥DF；②四边形BCDF为平行四边形；③DA+DF＝BE，其中正确的有（　　）

A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
8．（2分）（2022春•卧龙区期末）如图，在△ABC中，点D，E，F分别为边BC，AB，AC上的点，连接FD并延长到点G，已知FG∥AB，则添加下列条件，可以使线段AG，DE互相平分的是（　　）

A．AD＝EG B．DF＝DG C．DE∥AC D．DG＝AE
9．（2分）（2022秋•张店区校级期末）如图，在平行四边形ABCD中，点E，F在对角线BD上，连接AE，EC，CF，FA，点E，F满足以下条件中的一个：①BF＝DE；②AE＝AF；③AE＝CF；④∠AEB＝∠CFD；⑤AE⊥BD，CF⊥BD．其中，能使四边形AECF为平行四边形的条件个数为（　　）

A．2 B．3 C．4 D．5
10．（2分）（2017春•南开区校级期中）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，E、F是对角线AC上的两点，给出下列五个条件：①∠ADB＝∠CBD②DE＝BF③∠EDF＝∠EBF④∠DEB＝∠DFB⑤AE＝CF．其中不能判定四边形DEBF是平行四边形的有（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
评卷人
得 分


二．填空题（共10小题，满分20分，每小题2分）
11．（2分）（2022春•河北区校级月考）如图，在平行四边形ABCD中，EF∥AD，GH∥AB，EF与GH交于点O，则图中平行四边形的个数是 　 　．

12．（2分）（2022春•海陵区校级期末）定义：作▱ABCD的一组邻角的角平分线，设交点为P，P与这组邻角的公共边组成的三角形为▱ABCD的“伴侣三角形”，△PBC为平行四边形的伴侣三角形．AB＝m，BC＝4，连接AP并延长交直线CD于点Q，若Q点落在线段CD上（包括端点C、D），则m的取值范围 　 　．

13．（2分）（2022春•抚州期末）如图所示，在平行四边形ABCD中，AB＝5cm，AD＝9cm．点P在AD边上以1cm/s的速度从点A向点D运动，点Q在BC边上以4cm/s的速度从点C出发，在CB间往返运动，两个点同时出发，当点P到达点D时，P、Q同时停止运动，设运动时间为t（s）且t＞0，当以P，D，Q，B为顶点的四边形是平行四边形时，则t的所有可能值为 　 　．

14．（2分）（2022春•宛城区期末）如图，平行四边形ABCD中，AB＞AD，∠ABC为锐角，点O是对角线BD的中点．某数学学习小组要在BD上找两点E、F，使四边形AECF为平行四边形，现总结出如下甲、乙、丙三种方案，其中所有正确的方案是 　 　．



甲：分别取DO、BO的中点E、F
乙：作AE、CF分别平分∠DAB、∠BCD
丙：分别作AE、CF垂直BD于点E、F



15．（2分）（2022春•越秀区期中）如图，分别以Rt△ABC的直角边AC，斜边AB为边向外作等边△ACD和△ABE，F为AB的中点，连接DF、EF，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，则以下4个结论：①AC⊥DF；②四边形BCDF为平行四边形；③DA+DF＝BE；④S△ACD：S四边形BCDE＝1：7，其中正确的是 　 　．

16．（2分）（2022春•泰和县期末）如图，在▱ABCD中，AB＝8cm，AD＝12cm，点P在AD边上以1cm/s的速度从点A向点D运动，点Q在BC边上以4cm/s的速度从点C出发，在CB间往返运动，两个点同时出发，当点P到达点D时停止（同时点Q也停止运动）．设运动t（s）（其中t＞0）时，以P、D、Q、B四点组成的四边形是平行四边形，则t的所有可能取值为 　 　．

17．（2分）（2022春•海安市校级月考）如图，已知△ABC是边长为3的等边三角形，点D是边BC上的一点，且BD＝1，以AD为边作等边△ADE，过点E作EF∥BC，交AC于点F，连接BF，则下列结论中：①△ABD≌△BCF；②四边形BDEF是平行四边形；③S四边形BDEF＝；④S△AEF＝．其中正确的有　 　．

18．（2分）（2022春•铜仁市期末）如图，平行四边形ABCD中，AB＝8cm，AD＝12cm，点P在AD边上以每秒1cm的速度从点A向点D运动，点Q在BC边上，以每秒4cm的速度从点C出发，在CB间往返运动，两个点同时出发，当点P到达点D时停止（同时点Q也停止）．在运动以后，当t＝　 　时以P、D、Q、B四点组成的四边形为平行四边形．

19．（2分）（2021春•朝阳期中）如图，在平面直角坐标系中，已知点A的坐标为（9，0），点C的坐标为（3，3），四边形OABC是平行四边形，点D、E份别在边OA、BC上，且OD＝OA，CE＝4．动点P、Q在平行四边形OABC的一组邻边上，以点D、E、P、Q为顶点的四边形是平行四边形时，其面积为 　 　．

20．（2分）（2018•武汉模拟）如图，在平行四边形ABCD中，AC与BD交于点M，点F在AD上，AF＝6cm，BF＝12cm，∠FBM＝∠CBM，点E是BC的中点，若点P以1cm/秒的速度从点A出发，沿AD向点F运动；点Q同时以2cm/秒的速度从点C出发，沿CB向点B运动．点P运动到F点时停止运动，点Q也同时停止运动．当点P运动　 　秒时，以点P、Q、E、F为顶点的四边形是平行四边形．

评卷人
得 分


三．解答题（共8小题，满分60分）
21．（6分）（2022春•温州校级月考）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是斜边AB上的一点，作DE⊥BC，垂足为E，延长DE到F，连结CF，使∠A＝∠F．
（1）求证：四边形ADFC是平行四边形．
（2）连接CD，若CD平分∠ADE，CF＝10，CD＝12，求四边形ADFC的面积．




22．（6分）（2022春•南湖区校级期中）如图，在平行四边形ABCD中，BD是它的一条对角线，过A、C两点分别作AE⊥BD，CF⊥BD，E、F为垂足．
（1）求证：四边形AFCE是平行四边形．
（2）若AD＝13cm，AE＝12cm，AB＝20cm，求四边形AFCE的面积．





23．（6分）（2022春•江油市期中）如图：在四边形ABCD中，∠ACB＝∠CAD＝90°，点E在BC上，AE∥DC，EF⊥AB，垂足为F．
（1）求证：四边形AECD为平行四边形；
（2）若AE平分∠BAC且BE＝5，EF＝BF，求BF和AD的长．








24．（7分）（2022春•唐山期末）已知：如图，四边形ABCD是平行四边形，DE∥AC，交BC的延长线于点E，EF⊥AB，交AB的延长线于点F．
求证：（1）四边形ADEC是平行四边形；
（2）CB＝CF．




25．（8分）（2022春•信都区期末）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于O点．
（1）若AC＝12，BD＝14，求AD的取值范围；
（2）若∠ACB＝40°，AC＝BC，求∠ADC的度数；
（3）点E在CA的延长线上，点F在AC的延长线上，且AE＝CF，点G、H均在线段BD上，且BG＝DH，求证：四边形EGFH是平行四边形．








26．（8分）（2022秋•泰山区期末）已知：如图，在四边形ABCD中，DE⊥AC，BF⊥AC，垂足分别为E，F，延长DE、BF，分别交AB于点H，交BC于点G，若AD∥BC，AE＝CF．
（1）求证：四边形ABCD为平行四边形；
（2）若∠DAH＝∠GBA，GF＝2，CF＝4，求AD的长．





27．（9分）（2022春•丹东期末）如图，E、F是▱ABCD对角线AC上两点，且AE＝CF．
（1）求证：四边形BFDE是平行四边形．
（2）如果把条件AE＝CF改为BE⊥AC，DF⊥AC，试问四边形BFDE是平行四边形吗？为什么？
（3）如果把条件AE＝CF改为BE＝DF，试问四边形BFDE还是平行四边形吗？为什么？









28．（10分）（2020秋•招远市期末）在△ABC中，AB＝AC，点D在边BC所在的直线上，过点D作DE∥AC交直线AB于点E，DF∥AB交直线AC于点F．

（1）当点D在边BC上时，如图①，求证：DE+DF＝AC；
（2）当点D在边BC的延长线上时，如图②；当点D在边BC的反向延长线上时，如图③请分别写出图②、图③中DE、DF、AC之间的等量关系式（不需要证明）；
（3）若AC＝10，DE＝7，问：DF的长为多少？

答案与解析
一．选择题（共10小题，满分20分，每小题2分）
1．（2分）（2022春•胶州市期中）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠ACB＝30°，AB＝2．将△ABC沿BC方向向右平移得到△DEF，若四边形ACFD的周长为10，则△ABC平移的距离为（　　）

A．1 B．2 C． D．4
解：∵∠B＝90°，∠ACB＝30°，AB＝2，
∴AC＝2AB＝4，
由平移得：AC∥DF，AC＝DF，
∴四边形ACFD是平行四边形，
∴AC＝DF＝4，AD＝CF，
∵四边形ACFD的周长为10，
∴AD＝CF＝1，
∴ABC平移的距离为1，
故选：A．
2．（2分）（2022春•五华县期末）如图，E、F分别是平行四边形ABCD的边AD、BC上的点，且BE∥DF，AC分别交BE、DF于点G、H．下列结论：①四边形BFDE是平行四边形； ②△ABG≌△CDH；③GE＝HF；④S△AGE：S△CDH＝AE：DH，其中正确的个数是（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
解：①∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AB∥CD，AD＝BC，
∵BE∥DF，
∴四边形BFDE是平行四边形，故①正确；
②∵四边形BFDE是平行四边形，
∴BF＝DE，DF＝BE，
∴AE＝FC，
∵AB∥CD，BE∥DF，
∴∠BAG＝∠DCH，∠AGB＝∠AHF，
∵∠CHD＝∠AHF，
∴∠AGB＝∠CHD，
在△ABG和△CDH中，
，
∴△ABG≌△CDH（AAS），故②正确；
③∵△ABG≌△CDH，
∴BG＝DH，
∵BE＝DF，
∴GE＝HF，故③正确；
④∵△ABG≌△CDH，
∴S△ABG＝S△CDH，
同理得△AGE≌△CHF（AAS），
∴S△AGE＝S△CHF，
∵S△CHF：S△CDH＝FH：DH，
∴S△AGE：S△CDH＝GE：DH，故④不正确；
其中正确的个数是3个，
故选：C．
3．（2分）（2022春•洋县期末）如图，分别以Rt△ABC的斜边AB、直角边AC为边向外作等边△ABD和等边△ACE，F为AB的中点，连接DF、EF，DE与AB相交于点G，若∠BAC＝30°，下列结论：
①EF⊥AC；
②四边形ADFE为平行四边形；
③AD＝4AG；
④△DBF≌△EFA．
其中正确结论有（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
解：如图，

连接CF，
∵∠ACB＝90°，点F是AB的中点，
∴CF＝AF，
∵△ACE是等边三角形，
∴AE＝CE，
∴EF⊥AC，
故①正确；
∵△ABD是等边三角形，△ACE是等边三角形，
∴∠AD＝BD，DAB＝60°，∠CAE＝60°，
∴∠BAE＝∠BAC+∠CAE＝90°，
∵点F是AB的中点，
∴DF⊥AB，
∴∠DFA＝∠BAE＝90°，
∴DF∥AE，
∵∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，
∴∠ABC＝∠ADC＝60°，
∴AD∥BC，
由①知：AC⊥EF，BC⊥AC，
∴EF∥BC，
∴AD∥EF，
∴四边形ADFE是平行四边形，
故②正确；
∵四边形ADFE是平行四边形，
∴AF＝2AG，
∵AD＝AB，AB＝2AF，
∴AD＝B＝4AG，
故③正确；
∵EF∥BC，
∴∠AFE＝∠ABC＝60°，
∵△ABD是等边三角形，
∴∠DBF＝60°，
∴∠DBF＝∠AFE，
∵四边形ADFE是平行四边形，
∴DF＝AE，
∵∠DFB＝∠EAF＝90°，
∴△DBF≌△EFA（AAS），
故④正确，
综上所述：①②③④均正确，故答案为：D．
4．（2分）（2022春•清苑区期末）如图，已知△ABC是边长为6的等边三角形，点D是线段BC上的一个动点（点D不与点B，C重合），△ADE是以AD为边的等边三角形，过点E作BC的平行线，分别交线段AB，AC于点F，G，连接BE和CF．则下列结论中：①BE＝CD；②∠BDE＝∠CAD；③四边形BCGE是平行四边形；④当CD＝2时，S△AEF＝23，其中正确的有（　　）

A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
解：①∵△ABC和△ADE都是等边三角形，
∴AE＝AD，AB＝AC，∠EAD＝∠BAC＝60°，
又∵∠EAB＝∠EAD﹣∠BAD，∠DAC＝∠BAC﹣∠BAD，
∴∠EAB＝∠DAC，
在△AEB和△ADC中，
，
∴△AEB≌△ADC（SAS），
∴BE＝CD，故①正确；
∵∠BDE+∠ADE+∠ADC＝180°，∠ACD+∠ADC+∠CAD＝180°，∠ADE＝∠ACD＝60°，
∴∠BDE＝∠CAD，故②正确；
由①得△AEB≌△ADC，
∴∠ABE＝∠ACB＝60°．
又∵∠ABC＝∠C＝60°，∠EBC＝120°，
∴∠EBC+∠ACB＝180°，
∴EB∥GC．
又∵EG∥BC，
∴四边形BCGE是平行四边形，故③正确；
∵AC＝BC＝6，CD＝2，
∴BD＝4＝2CD，
∴S△ACD＝S△ABC＝62＝3，
∵EG∥BC，
∴∠BFE＝∠ABC＝60°＝∠ABE，
∴△BEF是等边三角形，
∴BF＝BE，
∴BF＝CD＝2，
∴AF＝4＝2BF，
∴S△AEF＝S△AEB＝S△ACD＝2，故④错误．
故选：B．
5．（2分）（2022春•永年区期末）已知：如图，在平行四边形ABCD中，E，F分别是AB，CD的中点．求证：四边形EBFD是平行四边形．以下是排乱的证明过程：①∴EB＝FD；②∴AB＝CD，EB∥FD；③∴四边形EBFD是平行四边形；④又EB＝AB，FD＝CD；⑤∵四边形ABCD是平行四边形．证明步骤正确的顺序是（　　）

A．④→①→②→③→⑤ B．⑤→③→①→②→④ C．⑤→②→④→①→③ D．⑤→②→①→④→③
解：四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，EB∥FD，
∵E，F分别是AB，CD的中点，
∴EB＝AB，FD＝CD，
∴EB＝FD，
∴四边形EBFD是平行四边形，
即证明步骤正确的顺序是⑤→②→④→①→③，
故选：C．
6．（2分）（2022春•漳州期末）如图，剪两张对边平行的纸条，随意交叉叠放在一起，转动其中一张纸条，重合的部分构成了一个四边形ABCD，对角线AC与BD相交于点O，则下列结论一定成立的是（　　）

A．AD＝AB B．AD＝BC C．∠DAC＝∠ACD D．AO＝AB
解：由题意可知：AB∥CD，AD∥BC，
∴四边形ABCD为平行四边形，
∴AD＝BC，
故选：B．
7．（2分）（2022春•秦都区期末）如图，分别以Rt△ABC的直角边AC，斜边AB为边向外作等边△ACD和等边△ABE，F为AB的中点，连接DF、EF，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°．则以下结论：①AC⊥DF；②四边形BCDF为平行四边形；③DA+DF＝BE，其中正确的有（　　）

A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
解：∵∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，
∴∠BAC＝60°，AC＝AB，
∵△ACD是等边三角形，
∴∠ACD＝60°，
∴∠ACD＝∠BAC，
∴CD∥AB，
∵F为AB的中点，
∴BF＝AB，
∴CD＝BF，
∵CD∥AB，
∴四边形BCDF为平行四边形，故②正确；
∵四边形BCDF为平行四边形，
∴DF∥BC，
又∵∠ACB＝90°，
∴AC⊥DF，故①正确；
∵△ACD和△ABE都是等边三角形，
∴DA＝AC，DF＝BC，AB＝BE，
∵BC+AC＞AB，
∴DA+DF＞BE，故③错误；
其中正确的有2个，
故选：C．
8．（2分）（2022春•卧龙区期末）如图，在△ABC中，点D，E，F分别为边BC，AB，AC上的点，连接FD并延长到点G，已知FG∥AB，则添加下列条件，可以使线段AG，DE互相平分的是（　　）

A．AD＝EG B．DF＝DG C．DE∥AC D．DG＝AE
解：添加DG＝AE，可以使线段AG，DE互相平分，理由如下：
∵FG∥AB，DG＝AE，
∴四边形ADGE是平行四边形，
∴线段AG，DE互相平分，
故选：D．
9．（2分）（2022秋•张店区校级期末）如图，在平行四边形ABCD中，点E，F在对角线BD上，连接AE，EC，CF，FA，点E，F满足以下条件中的一个：①BF＝DE；②AE＝AF；③AE＝CF；④∠AEB＝∠CFD；⑤AE⊥BD，CF⊥BD．其中，能使四边形AECF为平行四边形的条件个数为（　　）

A．2 B．3 C．4 D．5
解：①如图，连接AC交BD于点O，

∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB＝CD，OB＝OD，OA＝OC，
∵BF＝DE，
∴BF﹣OB＝DE﹣OD，
即OF＝OE，
∴四边形AECF是平行四边形；故①正确；
②∵AE＝AF，不能判定△ABE≌△ADF，
∴不能判定四边形AECF是平行四边形；
③∵AE＝CF，不能判定△ABE≌△CDF，
∴不能判定四边形AECF是平行四边形；
④∵AB∥CD，
∴∠ABE＝∠CDF，
∵∠AEB＝∠CFD
在△ABE和△CDF中，
，
∴△ABE≌△CDF（AAS），
∴BE＝DF，
∵AO＝CO，BO＝DO，
∴OE＝OF，
∴四边形AECF是平行四边形，故④正确；
⑤AE⊥BD，CF⊥BD，
∴AE∥CF，
∴∠AED＝∠CFB，
在△AED和△CBF中，
，
∴△AED≌△CBF（AAS），
∴BF＝DE，
∴BF﹣OB＝DE﹣OD，
∴OF＝OE，
∵OA＝OC，
∴四边形AECF是平行四边形；故⑤正确；
∴一定能判定四边形AECF是平行四边形的是①④⑤，共3个，
故选：B．
10．（2分）（2017春•南开区校级期中）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，E、F是对角线AC上的两点，给出下列五个条件：①∠ADB＝∠CBD②DE＝BF③∠EDF＝∠EBF④∠DEB＝∠DFB⑤AE＝CF．其中不能判定四边形DEBF是平行四边形的有（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
解：④可以判断四边形DEBF是平行四边形．
理由：在OA上取一点E′，使得OE′＝OF，连接DE′，BE′．

∵OD＝OB，OF＝OE′，
∴四边形DE′BF是平行四边形，
∴∠DFB＝∠DE′B，
∵∠DEB＝∠DFB，
∴∠DEB＝∠DE′B，
∴点E与点E′重合，
∴四边形DEBF是平行四边形．

⑤可以判断四边形DEBF是平行四边形．
理由：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OD＝OB，OA＝OC，
∵AE＝CF，
∴OE＝OF，
∴四边形DEBF是平行四边形，
故选：C．
二．填空题（共10小题，满分20分，每小题2分）
11．（2分）（2022春•河北区校级月考）如图，在平行四边形ABCD中，EF∥AD，GH∥AB，EF与GH交于点O，则图中平行四边形的个数是 　9　．

解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AD∥BC，
∵AD∥EF，CD∥GH，
∴AB∥GH∥CD，AD∥EF∥BC，
∴图中平行四边形有：▱ABCD，▱ABHG，▱CDGH，▱BCFE，▱ADFE，▱AGOE，▱BEOH，▱OFCH，▱OGDF共9个．
即共有9个平行四边形．
故答案为：9．
12．（2分）（2022春•海陵区校级期末）定义：作▱ABCD的一组邻角的角平分线，设交点为P，P与这组邻角的公共边组成的三角形为▱ABCD的“伴侣三角形”，△PBC为平行四边形的伴侣三角形．AB＝m，BC＝4，连接AP并延长交直线CD于点Q，若Q点落在线段CD上（包括端点C、D），则m的取值范围 　2≤m≤4　．

解：在平行四边形ABCD中，∠ABC+∠BCD＝180°，
∵BP平分∠ABC，PC平分∠BCD，
∴∠PBC＝∠ABC，∠PCB＝∠BCD，
∴∠PBC+∠PCB＝（∠ABC+∠BCD）＝90°，
∴∠BPC＝90°，
当点Q与点C重合时，如图所示：

∵BP平分∠ABC，
∴∠ABP＝∠CBP，
∵∠BPC＝90°，
∴∠APB＝∠BPC＝90°，
∵BP＝BP，
∴△ABP≌△CBP（ASA），
∴AB＝BC，
∵BC＝4，
∴m＝4，
当点Q与点D重合时，如图所示：

延长CP交BA的延长线于点K，
∵BP平分∠ABC，
∴∠ABP＝∠CBP，
∵∠BPC＝90°，
∴∠KPB＝∠BPC＝90°，
∵BP＝BP，
∴△KBP≌△CBP（ASA），
∴BK＝BC，KP＝CP，
∵AB∥CD，
∴∠K＝∠DCP，
又∵∠KPA＝∠CPD，
∴△KPA≌△CPD（ASA），
∴CD＝AK，
∵AB＝CD，
∴BC＝2AB＝4，
∴AB＝2，
∴m＝2，
综上所述：当点Q落在线段CD上时，m的取值范围是2≤m≤4，
故答案为：2≤m≤4．
13．（2分）（2022春•抚州期末）如图所示，在平行四边形ABCD中，AB＝5cm，AD＝9cm．点P在AD边上以1cm/s的速度从点A向点D运动，点Q在BC边上以4cm/s的速度从点C出发，在CB间往返运动，两个点同时出发，当点P到达点D时，P、Q同时停止运动，设运动时间为t（s）且t＞0，当以P，D，Q，B为顶点的四边形是平行四边形时，则t的所有可能值为 　3.6或6或7.2　．

解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC＝AD＝9cm，AD∥BC，
∴当DP＝BQ时，以点P、D、Q、B为顶点组成平行四边形，
①点Q的运动路线是C﹣B，
则9﹣4t＝9﹣t，
解得：t＝0，不符合题意；
②点Q的运动路线是C﹣B﹣C，
则4t﹣9＝9﹣t，
解得：t＝3.6；
③点Q的运动路线是C﹣B﹣C﹣B，
则9﹣（4t﹣2×9）＝9﹣t，
解得：t＝6；
④点Q的运动路线是C﹣B﹣C﹣B﹣C，
则4t﹣3×9＝9﹣t，
解得：t＝7.2；
综上所述，t＝3.6或6或7.2时，以P、D、Q、B四点组成的四边形为平行四边形，
故答案为：3.6或6或7.2．
14．（2分）（2022春•宛城区期末）如图，平行四边形ABCD中，AB＞AD，∠ABC为锐角，点O是对角线BD的中点．某数学学习小组要在BD上找两点E、F，使四边形AECF为平行四边形，现总结出如下甲、乙、丙三种方案，其中所有正确的方案是 　甲、乙、丙　．



甲：分别取DO、BO的中点E、F
乙：作AE、CF分别平分∠DAB、∠BCD
丙：分别作AE、CF垂直BD于点E、F



解：方案甲，连接AC，如图，
∵四边形ABCD是平行四边形，O为BD的中点，
∴OB＝OD，OA＝OC，
∵E、F分别为DO、BO的中点，
∴OE＝DE，OF＝BF，
∴OE＝OF，
∴四边形AECF为平行四边形，故方案甲正确；
方案乙，∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠BAD＝∠BCD，AD＝CB，AD∥CB，
∴∠ADE＝∠CBF，
∵AE平分∠BAD，CF平分∠BCD，
∴∠DAE＝∠BCF，
在△DAE和△BCF中，
，
∴△DAE≌△BCF（ASA），
∴AE＝CF，∠AED＝∠CFB，
∴∠AEF＝∠CFE，
∴AE∥CF，
∴四边形AECF为平行四边形，故方案乙正确；
方案丙，∵AE⊥BD，CF⊥BD，
∴AE∥CF，∠AED＝∠CFB＝90°，
在△DAE和△BCF中，
，
∴△DAE≌△BCF（AAS），
∴AE＝CF，
∴四边形AECF是平行四边形，故方案丙正确；
故答案为：甲、乙、丙．

15．（2分）（2022春•越秀区期中）如图，分别以Rt△ABC的直角边AC，斜边AB为边向外作等边△ACD和△ABE，F为AB的中点，连接DF、EF，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，则以下4个结论：①AC⊥DF；②四边形BCDF为平行四边形；③DA+DF＝BE；④S△ACD：S四边形BCDE＝1：7，其中正确的是 　①②④　．

解：∵∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，
∴∠BAC＝60°，AC＝AB，
∵△ACD是等边三角形，
∴∠ACD＝60°，
∴∠ACD＝∠BAC，
∴CD∥AB，
∵F为AB的中点，
∴BF＝AB，
∴BF∥AB，CD＝BF，
∴四边形BCDF为平行四边形，故②正确；
∵四边形BCDF为平行四边形，
∴DF∥BC，
又∵∠ACB＝90°，
∴AC⊥DF，故①正确；
∵DA＝CA，DF＝BC，AB＝BE，BC+AC＞AB，
∴DA+DF＞BE，故③错误；
设AC＝x，则CD＝AC＝x，AB＝2x，
如图，过A作AG⊥CD于G，
则CG＝DG＝CD＝x，
∴AG＝＝＝x，
∴S△ACD＝CD•AG＝xx＝x2，
同理S△ABE＝x2，
∵BC＝＝＝x，
∴S△ACB＝AC•BC＝x•x＝x2，
∴＝＝，故④正确；
故答案为：①②④．

16．（2分）（2022春•泰和县期末）如图，在▱ABCD中，AB＝8cm，AD＝12cm，点P在AD边上以1cm/s的速度从点A向点D运动，点Q在BC边上以4cm/s的速度从点C出发，在CB间往返运动，两个点同时出发，当点P到达点D时停止（同时点Q也停止运动）．设运动t（s）（其中t＞0）时，以P、D、Q、B四点组成的四边形是平行四边形，则t的所有可能取值为 　4.8或8或9.6　．

解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC＝AD＝12cm，AD∥BC，
∵以点P、D、Q、B为顶点组成平行四边形，
∴DP＝BQ，
①点Q的运动路线是C﹣B，
则12﹣4t＝12﹣t，
解得：t＝0，不符合题意；
②点Q的运动路线是C﹣B﹣C，
则4t﹣12＝12﹣t，
解得：t＝4.8；
③点Q的运动路线是C﹣B﹣C﹣B，
则12﹣（4t﹣24）＝12﹣t，
解得：t＝8；
④点Q的运动路线是C﹣B﹣C﹣B﹣C，
则4t﹣36＝12﹣t，
解得：t＝9.6；
综上所述，t＝4.8s或8s或9.6s时，以P、D、Q、B四点组成的四边形为平行四边形，
故答案为：4.8或8或9.6．
17．（2分）（2022春•海安市校级月考）如图，已知△ABC是边长为3的等边三角形，点D是边BC上的一点，且BD＝1，以AD为边作等边△ADE，过点E作EF∥BC，交AC于点F，连接BF，则下列结论中：①△ABD≌△BCF；②四边形BDEF是平行四边形；③S四边形BDEF＝；④S△AEF＝．其中正确的有　①②③　．

解：连接EC，作CH⊥EF于H．
∵△ABC，△ADE都是等边三角形，
∴AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝∠ABC＝∠ACB＝60°，
∴∠BAD＝∠CAE，
在△BAD与△CAE中，
，
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴BD＝EC＝1，∠ACE＝∠ABD＝60°，
∵EF∥BC，
∴∠EFC＝∠ACB＝60°，
∴△EFC是等边三角形，
∴CH＝，EF＝EC＝BD，
∵EF∥BD，
∴四边形BDEF是平行四边形，
故②正确，
∵BD＝CF＝1，BA＝BC，∠ABD＝∠BCF，
∴△ABD≌△BCF（SAS），
故①正确，
∵S平行四边形BDEF＝BD•CH＝，
故③正确，
∵AC＝BC＝3，BD＝CF＝1，
∴CD＝2BD，AF＝2CF，
∵S△ABD＝×1×＝，
∴S△AEF＝•S△AEC＝•S△ABD＝，
故④错误，
∴①②③都正确，
故答案为：①②③．

18．（2分）（2022春•铜仁市期末）如图，平行四边形ABCD中，AB＝8cm，AD＝12cm，点P在AD边上以每秒1cm的速度从点A向点D运动，点Q在BC边上，以每秒4cm的速度从点C出发，在CB间往返运动，两个点同时出发，当点P到达点D时停止（同时点Q也停止）．在运动以后，当t＝　4.8s或8s或9.6s　时以P、D、Q、B四点组成的四边形为平行四边形．

解：设经过t秒，以点P、D、Q、B为顶点组成平行四边形，
∵以点P、D、Q、B为顶点组成平行四边形，
∴DP＝BQ，
分为以下情况：①点Q的运动路线是C﹣B，方程为12﹣4t＝12﹣t，
此时方程t＝0，此时不符合题意；
②点Q的运动路线是C﹣B﹣C，方程为4t﹣12＝12﹣t，
解得：t＝4.8；
③点Q的运动路线是C﹣B﹣C﹣B，方程为12﹣（4t﹣24）＝12﹣t，
解得：t＝8；
④点Q的运动路线是C﹣B﹣C﹣B﹣C，方程为4t﹣36＝12﹣t，
解得：t＝9.6；
综上所述，t＝4.8s或8s或9.6s时，以P、D、Q、B四点组成的四边形为平行四边形，
故答案为：4.8s或8s或9.6s．

19．（2分）（2021春•朝阳期中）如图，在平面直角坐标系中，已知点A的坐标为（9，0），点C的坐标为（3，3），四边形OABC是平行四边形，点D、E份别在边OA、BC上，且OD＝OA，CE＝4．动点P、Q在平行四边形OABC的一组邻边上，以点D、E、P、Q为顶点的四边形是平行四边形时，其面积为 　或或　．

解：如图，过点C作CH⊥OA于点H，

∵A的坐标为（9，0），
∴OA＝9，
∵OD＝OA，
∴OD＝3，
∵点C的坐标为（3，3），
∴OH＝3，CH＝3，
∴D，H重合，
∵CE＝4．
∴BE＝BC﹣CE＝OA﹣CE＝9﹣4＝5，AD＝OA﹣AD＝9﹣3＝6，
动点P、Q在平行四边形OABC的一组邻边上，以点D、E、P、Q为顶点的四边形是平行四边形时，则可分以下情况：
①点P在OC上，点Q在BC上，如图，

当点P与点O重合，
∴S平行四边形PDEQ＝PD•CH＝3×3＝9；
当DE是对角线时，如图，
∴S平行四边形PDQE＝PD•CD＝3×3＝9；

②点Q在OC上，点P在OA上，如图，点C与Q重合，

∴S平行四边形QDPE＝PD•CD＝4×3＝12；
③点Q在OC上，点P在AB上，如图，点P与B重合，

∴S平行四边形DQPE＝PE•CD＝5×3＝15；
综上所述：平行四边形面积为或或．
故答案为：或或．
20．（2分）（2018•武汉模拟）如图，在平行四边形ABCD中，AC与BD交于点M，点F在AD上，AF＝6cm，BF＝12cm，∠FBM＝∠CBM，点E是BC的中点，若点P以1cm/秒的速度从点A出发，沿AD向点F运动；点Q同时以2cm/秒的速度从点C出发，沿CB向点B运动．点P运动到F点时停止运动，点Q也同时停止运动．当点P运动　3或5　秒时，以点P、Q、E、F为顶点的四边形是平行四边形．

解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC，
∴∠ADB＝∠CBD，
∵∠FBM＝∠CBM，
∴∠FBD＝∠FDB，
∴FB＝FD＝12cm，
∵AF＝6cm，
∴AD＝18cm，
∵点E是BC的中点，
∴CE＝BC＝AD＝9cm，
要使点P、Q、E、F为顶点的四边形是平行四边形，则PF＝EQ即可，
设当点P运动t秒时，点P、Q、E、F为顶点的四边形是平行四边形，
根据题意得：6﹣t＝9﹣2t或6﹣t＝2t﹣9，
解得：t＝3或t＝5．
故答案为：3或5．
三．解答题（共8小题，满分60分）
21．（6分）（2022春•温州校级月考）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是斜边AB上的一点，作DE⊥BC，垂足为E，延长DE到F，连结CF，使∠A＝∠F．
（1）求证：四边形ADFC是平行四边形．
（2）连接CD，若CD平分∠ADE，CF＝10，CD＝12，求四边形ADFC的面积．

（1）证明：∵∠ACB＝90°，
∴AC⊥BC，
∵DE⊥BC，延长DE到F，
∴AC∥DF，
∴∠A＝∠BDF，
∵∠A＝∠F，
∴∠BDF＝∠F，
∴CF∥AB，
又∵AC∥DF，
∴四边形ADFC是平行四边形；
（2）解：∵CD平分∠ADE，
∴∠ADC＝∠FDC，
在△ADC和△FDC中，
，
∴△ADC≌△FDC（AAS），
∴AD＝DF，
由（1）得：四边形ADFC是平行四边形，
∴S四边形ADFC＝2S△CDF，AD＝CF＝DF＝10，
设EF＝x，则DE＝10﹣x，
在Rt△CED中，由勾股定理得：CE2＝CD2﹣DE2，
在Rt△CEF中，由勾股定理得：CE2＝CF2﹣EF2，
∴122﹣（10﹣x）2＝102﹣x2，
解得：x＝，
∴CE＝＝＝，
∴S四边形ADFC＝2S△CDF＝2×DF•CE＝2××10×＝96．
22．（6分）（2022春•南湖区校级期中）如图，在平行四边形ABCD中，BD是它的一条对角线，过A、C两点分别作AE⊥BD，CF⊥BD，E、F为垂足．
（1）求证：四边形AFCE是平行四边形．
（2）若AD＝13cm，AE＝12cm，AB＝20cm，求四边形AFCE的面积．

（1）证明：如图，连接AC交BD于点O，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴OA＝OC，OD＝OB，AD∥BC，AD＝BC，
∴∠ADE＝∠CBF，
∵AE⊥BD，CF⊥BD，
∴∠AED＝∠CFB＝90°，
在△AED和△CFB中，
，
∴△AED≌△CFB（AAS），
∴DE＝BF，
∴OD﹣DE＝OB﹣BF，
∴OE＝OF，
∵OA＝OC，
∴四边形AFCE是平行四边形；

（2）解：∵四边形AECF是平行四边形，
∴AE＝CF＝12cm，
∵AD＝BC＝13cm，
∵AE⊥BD，CF⊥BD，AB＝20cm，
∴BF＝＝5cm，
BE＝＝16cm，
∴EF＝BE﹣BF＝11cm，
∵S四边形AFCE＝AE•EF＝11×12＝132cm2，
∴四边形AFCE的面积为132cm2．
23．（6分）（2022春•江油市期中）如图：在四边形ABCD中，∠ACB＝∠CAD＝90°，点E在BC上，AE∥DC，EF⊥AB，垂足为F．
（1）求证：四边形AECD为平行四边形；
（2）若AE平分∠BAC且BE＝5，EF＝BF，求BF和AD的长．

（1）证明：∵∠ACB＝∠CAD＝90°，
∴AD∥CE，
∵AE∥DC，
∴四边形AECD是平行四边形；
（2）解：∵EF⊥AB，
∴∠BFE＝90°，
∵BE＝5，EF＝BF，
设EF＝3x，则BF＝4x，
根据勾股定理得：BF2+EF2＝BE2，
∴（4x）2+（3x）2＝52，
解得x＝1，
∴BF＝4，EF＝3，
∵AE平分∠BAC，EF⊥AB，∠ACE＝90°，
∴EC＝EF＝3，
由（1）得：四边形AECD是平行四边形，
∴AD＝EC＝3．
∴BF和AD的长分别为4和3．
24．（7分）（2022春•唐山期末）已知：如图，四边形ABCD是平行四边形，DE∥AC，交BC的延长线于点E，EF⊥AB，交AB的延长线于点F．
求证：（1）四边形ADEC是平行四边形；
（2）CB＝CF．

证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∵DE∥AC，
∴四边形ADEC是平行四边形；
（2）由（1）可知，四边形ADEC是平行四边形，
∴AD＝CE，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，
∴BC＝CE＝BE，
∵EF⊥AB，
∴∠EFB＝90°，
∴CF＝BE＝BC，
即CB＝CF．
25．（8分）（2022春•信都区期末）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于O点．
（1）若AC＝12，BD＝14，求AD的取值范围；
（2）若∠ACB＝40°，AC＝BC，求∠ADC的度数；
（3）点E在CA的延长线上，点F在AC的延长线上，且AE＝CF，点G、H均在线段BD上，且BG＝DH，求证：四边形EGFH是平行四边形．

（1）解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴，，
在△AOD中，OD﹣OA＜AD＜OD+OA，
即7﹣6＜AD＜7+6，
∴1＜AD＜13；
（2）解：∵AC＝BC，∠ACB＝40°，
∴∠CAB＝∠ABC＝（180°﹣∠ACB）＝70°，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠ADC＝∠ABC＝70°；
（3）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，OB＝OD，
∵点E在CA的延长线上，点F在AC的延长线上，且AE＝CF，点G、H均在线段BD上，且BG＝DH，
∴OE＝OF，OG＝OH，
∴四边形EGFH是平行四边形．
26．（8分）（2022秋•泰山区期末）已知：如图，在四边形ABCD中，DE⊥AC，BF⊥AC，垂足分别为E，F，延长DE、BF，分别交AB于点H，交BC于点G，若AD∥BC，AE＝CF．
（1）求证：四边形ABCD为平行四边形；
（2）若∠DAH＝∠GBA，GF＝2，CF＝4，求AD的长．

（1）证明：∵DE⊥AC，BF⊥AC，
∴∠AED＝∠CFB＝90°，
∵AD∥BC，
∴∠DAE＝∠BCF，
在△DAE和△BCF中，
，
∴△DAE≌△BCF（ASA），
∴AD＝CB，
∵AD∥BC，
∴四边形ABCD为平行四边形；
（2）解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴∠DAH＝∠BCG，
AB∥CD，
∴∠CGB＝∠GBA，
∵∠DAH＝∠GBA，
∴∠CGB＝∠BCG，
∴BG＝BC，
在Rt△CFB中，
∵BF＝BG﹣FG＝BC﹣2，CF＝4，
∴BC2＝BF2+CF2，
∴BC2＝（BC﹣2）2+42，
∴BC＝5．
∴AD＝BC＝5．
27．（9分）（2022春•丹东期末）如图，E、F是▱ABCD对角线AC上两点，且AE＝CF．
（1）求证：四边形BFDE是平行四边形．
（2）如果把条件AE＝CF改为BE⊥AC，DF⊥AC，试问四边形BFDE是平行四边形吗？为什么？
（3）如果把条件AE＝CF改为BE＝DF，试问四边形BFDE还是平行四边形吗？为什么？

（1）证法一：∵ABCD是平行四边形
∴AB＝CD 且AB∥CD（平行四边形的对边平行且相等）
∴∠BAE＝∠DCF
又∵AE＝CF
∴△BAE≌△DCF（SAS）
∴BE＝DF，∠AEB＝∠CFD
∴∠BEF＝180°﹣∠AEB∠DFE＝180°﹣∠CFD
即：∠BEF＝∠DFE
∴BE∥DF，而BE＝DF
∴四边形BFDE是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）
证法二：连接BD，交AC于点O．

∵ABCD是平行四边形
∴OA＝OC OB＝OD（平行四边形的对角线互相平分）
又∵AE＝CF
∴OA﹣AE＝OC﹣CF，即OE＝OF
∴四边形BFDE是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）

（2）四边形BFDE是平行四边形
∵ABCD是平行四边形
∴AB＝CD 且AB∥CD（平行四边形的对边平行且相等）
∴∠BAE＝∠DCF
∵BE⊥AC，DF⊥AC
∴∠BEA＝∠DFC＝90°，BE∥DF
∴△BAE≌△DCF（AAS）
∴BE＝DF
∴四边形BFDE是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）

（3）四边形BFDE不是平行四边形
因为把条件AE＝CF改为BE＝DF后，不能证明△BAE与△DCF全等．
28．（10分）（2020秋•招远市期末）在△ABC中，AB＝AC，点D在边BC所在的直线上，过点D作DE∥AC交直线AB于点E，DF∥AB交直线AC于点F．

（1）当点D在边BC上时，如图①，求证：DE+DF＝AC；
（2）当点D在边BC的延长线上时，如图②；当点D在边BC的反向延长线上时，如图③请分别写出图②、图③中DE、DF、AC之间的等量关系式（不需要证明）；
（3）若AC＝10，DE＝7，问：DF的长为多少？
解：（1）∵DE∥AC，DF∥AB，
∴四边形AEDF是平行四边形，
∴DE＝AF，∠FDC＝∠B，
又∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C
∴∠FDC＝∠C，
∴DF＝FC，
∴DE+DF＝AF+FC＝AC；
（2）当点D在边BC的延长线上时，在图②，DE﹣DF＝AC；
当点D在边BC的反向延长线上时，在图③，DF﹣DE＝AC．
（3）当在图①的情况，DF＝AC﹣DE＝10﹣7＝3；
当在图③的情况，DF＝AC+DE＝10+7＝17