八年级数学下册压轴题培优专题08 正方形的判定和性质

这是一份八年级数学下册压轴题培优专题08 正方形的判定和性质，共43页。
2022-2023学年苏科版八年级数学下册精选压轴题培优卷
专题08 正方形的判定和性质
姓名：___________班级：___________考号：___________
题号
一
二
三
总分
得分





评卷人
得 分


一．选择题（共10小题，满分20分，每小题2分）
1．（2分）（2021•云岩区模拟）数学老师用四根长度相等的木条首尾顺次相接制成一个图1所示的菱形教具，此时测得∠D＝60°，对角线AC长为16cm，改变教具的形状成为图2所示的正方形，则正方形的边长为（　　）

A．8cm B．4cm C．16cm D．16cm
2．（2分）（2021•东阿县三模）如图，正方形ABCD的边长为2，E为AB边的中点，点F在BC边上，点B关于直线EF的对称点记为B'，连接B'D，B'E，B'F．当点F在BC边上移动使得四边形BEB'F成为正方形时，B'D的长为（　　）

A． B． C．2 D．3
3．（2分）（2018春•慈溪市期末）如图，在给定的一张平行四边形纸片上按如下操作：连接AC，作AC的垂直平分线MN分别交AD、AC、BC于M、O、N，连接AN，CM，则四边形ANCM是（　　）

A．矩形 B．菱形 C．正方形 D．无法判断
4．（2分）（2019•博山区一模）在一次数学课上，张老师出示了一个题目：“如图，▱ABCD的对角线相交于点O，过点O作EF垂直于BD交AB，CD分别于点F，E，连接DF，BE．请根据上述条件，写出一个正确结论．”其中四位同学写出的结论如下：
小青：OE＝OF；小何：四边形DFBE是正方形；
小夏：S四边形AFED＝S四边形FBCE；小雨：∠ACE＝∠CAF．
这四位同学写出的结论中不正确的是（　　）

A．小青 B．小何 C．小夏 D．小雨
5．（2分）（2022•什邡市校级二模）如图，四边形ABCD是平行四边形，下列结论中错误的是（　　）

A．当▱ABCD是矩形时，∠ABC＝90°
B．当▱ABCD是菱形时，AC⊥BD
C．当▱ABCD是正方形时，AC＝BD
D．当▱ABCD是菱形时，AB＝AC
6．（2分）（2022春•无锡期末）在矩形ABCD中，E，F，G，H分别是边AB，BC，CD，DA上的点（不与端点重合），对于任意矩形ABCD，以下结论：
①存在且仅有一个四边形EFGH是菱形．
②存在无数个四边形EFGH是平行四边形．
③存在无数个四边形EFGH是矩形．
④除非矩形ABCD为正方形，否则不存在四边形EFGH是正方形．
其中正确的是（　　）
A．③④ B．①②③ C．②③④ D．①②④
7．（2分）（2022春•济南期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，P（4，4），A、B分别是x轴正半轴、y轴正半轴上的动点，且△ABO的周长是8，则P到直线AB的距离是（　　）

A．4 B．3 C．2.5 D．2
8．（2分）（2021春•永年区期末）如图，在正方形ABCD中，BD与AC相交于点O．嘉嘉作DP∥OC，CP∥OD，在正方形ABCD外，DP，CP交于点P；淇淇作DP＝OC，CP＝OD，在正方形ABCD外，DP，CP交于点P，两人的作法中，能使四边形OCPD是正方形的是（　　）

A．只有嘉嘉 B．只有淇淇
C．嘉嘉和淇淇 D．以上均不正确
9．（2分）（2020春•雨花区校级期末）如图，点P的坐标为（4，4），点A，B分别在x轴，y轴的正半轴上运动，且∠APB＝90°，连接AB，OP，下列结论：
①PA＝PB；
②若OP与AB的交点恰好是AB的中点，则四边形OAPB是正方形；
③四边形OAPB的面积与周长为定值；
④AB＞OP．
其中正确的结论是（　　）

A．①② B．①②③ C．①③④ D．①②④
10．（2分）（2022•大庆三模）如图，已知四边形ABCD为正方形AB＝2，点E为对角线AC上一点，连接DE，过点E作EF⊥DE，交BC延长线于点F，以DE、EF为邻边作矩形DEFG，连接CG．在下列结论中：①矩形DEFG是正方形； ②2CE+CG＝AD；③CG平分∠DCF；④CE＝CF．其中正确的结论有（　　）

A．①③ B．②④ C．①②③ D．①②③④
评卷人
得 分


二．填空题（共7小题，满分14分，每小题2分）
11．（2分）（2022春•鼓楼区校级期中）现有一张边长等于a（a＞16）的正方形纸片，从距离正方形的四个顶点8cm处，沿45°角画线，将正方形纸片分成5部分，则阴影部分是　 　（填写图形的形状）（如图），它的一边长是　 　．

12．（2分）（2021春•万山区期中）如图，AD是△ABC的角平分线，DE，DF分别是△BAD和△ACD的高，得到下列四个结论：①OA＝OD；②AD⊥EF；③当∠A＝90°时，四边形AEDF是正方形；④AE+DF＝AF+DE．其中正确的是　 　（填序号）．

13．（2分）（2022春•新泰市期中）如图，在正方形ABCD中，点O是对角线AC、BD的交点，过点O作射线OM、ON分别交BC、CD于点E、F，且∠EOF＝90°，OC、EF交于点G．给出下列结论：①△COE≌△DOF；②△OBE≌△OCF；③四边形CEOF的面积为正方形ABCD面积的；④DF2+CE2＝EF2.其中正确的为 　 　.（将正确的序号都填入）

14．（2分）（2019春•伊通县期末）小明用四根长度相同的木条制作了能够活动的菱形学具，他先把活动学具制作成图1所示菱形，并测得∠B＝60°，接着活动学具制作成图2所示正方形，并测得正方形的对角线AC＝acm，则图1中对角线AC的长为　 　cm．

15．（2分）（2022春•香坊区校级月考）如图，在四边形ABCD中，∠BAD＝45°，∠BCD＝90°，连接BD、CA，且CA平分∠BCD，若AC＝45，BC＝15，则BD＝　 　．

16．（2分）（2021•河南一模）正方形ABCD的边长为4，点M，N在对角线AC上（可与点A，C重合），MN＝2，点P，Q在正方形的边上．下面四个结论中，
①存在无数个四边形PMQN是平行四边形；
②存在无数个四边形PMQN是菱形；
③存在无数个四边形PMQN是矩形；
④至少存在一个四边形PMQN是正方形．
所有正确结论的序号是　 　．
17．（2分）（2022春•江岸区校级月考）如图，AD是△ABC的高，∠BAC＝45°，若AD＝18，DC＝6，则△ABC的面积是 　 　．

评卷人
得 分


三．解答题（共9小题，满分66分）
18．（6分）（2022春•江阴市期末）如图，正方形ABCD的边长为6，菱形EFGH的三个顶点E、G、H分别在正方形ABCD的边AB、CD、DA上，AH＝2．
（1）如图1，当DG＝2时，求证：菱形EFGH是正方形．
（2）如图2，连接CF，当△FCG的面积等于1时，求线段DG的长度．



19．（6分）（2021春•上城区校级期末）如图，在△ABC中，点O是边AC上一个动点，过O作直线MN∥BC，设MN交∠ACB的平分线于点E，交△ABC的外角∠ACD的平分线于点F．
（1）探究线段OE与OF的数量关系并说明理由．
（2）当点O运动到何处，且△ABC满足什么条件时，四边形AECF是正方形？请说明理由．
（3）当点O在边AC上运动时，四边形BCFE　 　是菱形（填“可能”或“不可能”）．请说明理由．




20．（6分）（2021春•梁山县期中）如图，已知在▱ABCD中，AE平分∠BAD，交DC于E，DF⊥BC，交AE于G，且DF＝AD．
（1）若∠C＝60°，AB＝2，求EC的长；
（2）求证：CD＝DG+FC．









21．（6分）（2022春•夏邑县期中）如图，正方形ABCD中，AB＝4，点E是对角线AC上的一点，连接DE，过点E作EF⊥ED，交AB于点F，以DE、EF为邻边作矩形DEFG，连接AG．
（1）求证：矩形DEFG是正方形；
（2）求AG+AE的值；
（3）若F恰为AB的中点，连接DF，求点E到DF的距离．





22．（8分）（2021春•怀化期末）如图，在Rt△ABC中，两锐角的平分线AD，BE相交于O，OF⊥AC于F，OG⊥BC于G．
（1）求证：四边形OGCF是正方形．
（2）若∠BAC＝60°，AC＝4，求正方形OGCF的边长．








23．（8分）（2022春•杭州期中）已知：如图，在正方形ABCD中，E，F分别是BC，CD上的点，AE、BF相交于点P，并且AE＝BF．
（1）如图1，判断AE和BF的位置关系？并说明理由；
（2）若AB＝8，BE＝6，求BP的长度；
（3）如图2，FM⊥DN，DN⊥AE，点F在线段CD上运动时（点F不与C、D重合），四边形FMNP是否能否成为正方形？请说明理由．





24．（8分）（2022春•沂水县期中）（1）将矩形纸片ABCD沿过点D的直线折叠，使点A落在CD上的点A'处，得到折痕DE，如图1．求证：四边形AEA'D是正方形；
（2）将图1中的矩形纸片ABCD沿过点E的直线折叠，点C恰好落在AD上的点C'处，点B落在点B'处，得到折痕EF，B'C'交AB于点M，如图2．线段MC'与ME是否相等？若相等，请给出证明；若不等，请说明理由．



25．（9分）（2022春•黄石期末）四边形ABCD为正方形，点E为线段AC上一点，连接DE，过点E作EF⊥DE，交射线BC于点F，以DE、EF为邻边作矩形DEFG，连接CG．
（1）如图1，求证：矩形DEFG是正方形；
（2）若AB＝2，CE＝，求CG的长度；
（3）当线段DE与正方形ABCD的某条边的夹角是30°时，直接写出∠EFC的度数．






26．（9分）（2020春•利州区期末）如图①，在正方形ABCD中，点E，F分别在AB、BC上，且AE＝BF．
（1）试探索线段AF、DE的数量关系，写出你的结论并说明理由；
（2）连接EF、DF，分别取AE、EF、FD、DA的中点H、I、J、K，则四边形HIJK是什么特殊平行四边形？请在图②中补全图形，并说明理由．


答案与解析
一．选择题（共10小题，满分20分，每小题2分）
1．（2分）（2021•云岩区模拟）数学老师用四根长度相等的木条首尾顺次相接制成一个图1所示的菱形教具，此时测得∠D＝60°，对角线AC长为16cm，改变教具的形状成为图2所示的正方形，则正方形的边长为（　　）

A．8cm B．4cm C．16cm D．16cm
解：如图1，图2中，连接AC．

图1中，∵四边形ABCD是菱形，
∴AD＝DC，
∵∠D＝60°，
∴△ADC是等边三角形，
∴AD＝DC＝AC＝16cm，
∴正方形ABCD的边长为16cm，
故选：C．
2．（2分）（2021•东阿县三模）如图，正方形ABCD的边长为2，E为AB边的中点，点F在BC边上，点B关于直线EF的对称点记为B'，连接B'D，B'E，B'F．当点F在BC边上移动使得四边形BEB'F成为正方形时，B'D的长为（　　）

A． B． C．2 D．3
解：如图，连接BB'，连接BD，

∵四边形ABCD是正方形，
∴BD＝AB＝2，BD平分∠ABC，
∵E为AB边的中点，
∴AE＝BE＝1，
∵四边形BEB'F是正方形，
∴BB'＝BE＝，BB'平分∠ABC，
∴点B，点B'，点D三点共线，
∴B'D＝BD﹣BB'＝，
故选：A．
3．（2分）（2018春•慈溪市期末）如图，在给定的一张平行四边形纸片上按如下操作：连接AC，作AC的垂直平分线MN分别交AD、AC、BC于M、O、N，连接AN，CM，则四边形ANCM是（　　）

A．矩形 B．菱形 C．正方形 D．无法判断
证明：∵MN垂直平分AC，
∴AO＝CO，∠AOM＝90°，
又∵AD∥BC，
∴∠MAC＝∠NCA，
在△AOPM和△CON中，
，
∴△AOPM≌△CON，
∴OM＝ON，
∴AC和MN互相垂直平分，
∴四边形ANCM是菱形；
故选：B．

4．（2分）（2019•博山区一模）在一次数学课上，张老师出示了一个题目：“如图，▱ABCD的对角线相交于点O，过点O作EF垂直于BD交AB，CD分别于点F，E，连接DF，BE．请根据上述条件，写出一个正确结论．”其中四位同学写出的结论如下：
小青：OE＝OF；小何：四边形DFBE是正方形；
小夏：S四边形AFED＝S四边形FBCE；小雨：∠ACE＝∠CAF．
这四位同学写出的结论中不正确的是（　　）

A．小青 B．小何 C．小夏 D．小雨
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，CD∥AB，
∴∠ECO＝∠FAO，（故小雨的结论正确），
在△EOC和△FOA中，
，
∴△EOC≌△FOA，
∴OE＝OF（故小青的结论正确），
∴S△EOC＝S△AOF，
∴S四边形AFED＝S△ADC＝S平行四边形ABCD，
∴S四边形AFED＝S四边形FBCE故小夏的结论正确，
∵△EOC≌△FOA，
∴EC＝AF，∵CD＝AB，
∴DE＝FB，DE∥FB，
∴四边形DFBE是平行四边形，
∵OD＝OB，EO⊥DB，
∴ED＝EB，
∴四边形DFBE是菱形，无法判断是正方形，故小何的结论错误，
故选：B．

5．（2分）（2022•什邡市校级二模）如图，四边形ABCD是平行四边形，下列结论中错误的是（　　）

A．当▱ABCD是矩形时，∠ABC＝90°
B．当▱ABCD是菱形时，AC⊥BD
C．当▱ABCD是正方形时，AC＝BD
D．当▱ABCD是菱形时，AB＝AC
解：因为矩形的四个角是直角，
故A正确，
因为菱形的对角线互相垂直，
故B正确，
因为正方形的对角线相等，
故C正确，
菱形的对角线和边长不一定相等，
例如：∠ABC＝80°，因为AB＝BC，所以∠BAC＝∠ACB＝50°，此时AC＞AB，
故选：D．
6．（2分）（2022春•无锡期末）在矩形ABCD中，E，F，G，H分别是边AB，BC，CD，DA上的点（不与端点重合），对于任意矩形ABCD，以下结论：
①存在且仅有一个四边形EFGH是菱形．
②存在无数个四边形EFGH是平行四边形．
③存在无数个四边形EFGH是矩形．
④除非矩形ABCD为正方形，否则不存在四边形EFGH是正方形．
其中正确的是（　　）
A．③④ B．①②③ C．②③④ D．①②④
解：如图，

∵四边形ABCD是矩形，连接AC，BD交于O，
过点O直线EG和HF，分别交AB，BC，CD，AD于E，F，G，H，
则四边形EFGH是平行四边形，
故存在无数个四边形EFGH是平行四边形；故②正确；
当EG＝HF时，四边形EFGH是矩形，故存在无数个四边形EFGH是矩形；故③正确；
当EG⊥HF时，存在无数个四边形EFGH是菱形；故①错误；
当四边形EFGH是正方形时，EH＝HG，
则△AEH≌△DHG，
∴AE＝HD，AH＝GD，
∵GD＝BE，
∴AB＝AD，
∴四边形ABCD是正方形，
当四边形ABCD为正方形时，四边形EFGH是正方形，故④正确；
故选：C．
7．（2分）（2022春•济南期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，P（4，4），A、B分别是x轴正半轴、y轴正半轴上的动点，且△ABO的周长是8，则P到直线AB的距离是（　　）

A．4 B．3 C．2.5 D．2
解：方法一：如图，过点P作PC⊥x轴，PD⊥y轴，垂直分别为C，D，
设OB＝a，OA＝b，AB＝c，P到直线AB的距离是h，

∵△ABO的周长是8，
∴a+b+c＝8，
∴a+b＝8﹣c，
∴a2+2ab+b2＝64﹣16c+c2
根据勾股定理得：a2+b2＝c2，
∴ab＝32﹣8c，
∵S△PAB＝4×4﹣ab﹣4（4﹣b）﹣4（4﹣a）
＝2（a+b）﹣ab
＝2（8﹣c）﹣（32﹣8c）
＝16﹣2c﹣16+4c
＝2c，
∵S△PAB＝×c•h，
∴2c＝×c•h，
∴h＝4．
∴P到直线AB的距离为4．
方法二：如图，过点P作PC⊥x轴，PD⊥y轴，垂直分别为C，D，
∵P（4，4），
∴四边形CODP是边长为4的正方形，
∴PC＝PD＝OC＝OD＝4，
∵A、B分别是x轴正半轴、y轴正半轴上的动点，
∴将△PA′D沿PA′折叠得到△PA′E，延长A′E交y轴于点B，
∴∠PA′D＝∠PA′E，PE＝PD，A′D＝A′E，∠PDA′＝∠PEA′＝90°，
∴PE＝PC，
在Rt△PEB和Rt△PCB中，
，
∴Rt△PEB≌Rt△PCB（HL），
∴BE＝BC，

∵△A′BO的周长是8，
∴A′O+BO+A′B＝A′O+BO+BE+A′E＝A′O+BO+BC+A′D＝CO+DO＝8，
∴△A′BO符合题意中的△ABO，
∴P到直线AB的距离PE＝4，
故选：A．
8．（2分）（2021春•永年区期末）如图，在正方形ABCD中，BD与AC相交于点O．嘉嘉作DP∥OC，CP∥OD，在正方形ABCD外，DP，CP交于点P；淇淇作DP＝OC，CP＝OD，在正方形ABCD外，DP，CP交于点P，两人的作法中，能使四边形OCPD是正方形的是（　　）

A．只有嘉嘉 B．只有淇淇
C．嘉嘉和淇淇 D．以上均不正确
解：∵四边形ABCD是正方形，
∴OD＝OC，OD⊥OC，
∵DP∥OC，CP∥OD，
∴四边形DOCP是平行四边形，
∴DP＝OC，CP＝OD，
∴DP＝OC＝CP＝OD，
∴平行四边形DOCP是正方形，故嘉嘉正确；
∵四边形ABCD是正方形，
∴OD＝OC，OD⊥OC，
∵DP＝OC，CP＝OD，
∴DP＝OC＝CP＝OD，
∴四边形DOCP是正方形，故淇淇正确；
故选：C．
9．（2分）（2020春•雨花区校级期末）如图，点P的坐标为（4，4），点A，B分别在x轴，y轴的正半轴上运动，且∠APB＝90°，连接AB，OP，下列结论：
①PA＝PB；
②若OP与AB的交点恰好是AB的中点，则四边形OAPB是正方形；
③四边形OAPB的面积与周长为定值；
④AB＞OP．
其中正确的结论是（　　）

A．①② B．①②③ C．①③④ D．①②④
解：过P作PM⊥y轴于M，PN⊥x轴于N，AB与OP交于点C，如图所示：
∵P（4，4），
∴PN＝PM＝4，
∵x轴⊥y轴，
∴∠MON＝∠PNO＝∠PMO＝90°，
∴∠MPN＝360°﹣90°﹣90°﹣90°＝90°，则四边形MONP是正方形，
∴OM＝ON＝PN＝PM＝4，
∵∠MPN＝∠APB＝90°，
∴∠MPB＝∠NPA，
在△MPB和△NPA中，，
∴△MPB≌△NPA（ASA），
∴PA＝PB，故①正确；
∵OP与AB的交点恰好是AB的中点，
∴BC＝AC，
在Rt△APB中，PC是斜边AB的中线，
∴PC＝BC，
在Rt△AOB中，OC是斜边AB的中线，
∴OC＝BC，
∴BC＝AC＝PC＝OC，
∴四边形OAPB是矩形，
∵PA＝PB，
∴四边形OAPB是正方形，故②正确；
∵△MPB≌△NPA，
∴四边形OAPB的面积＝四边形BONP的面积+△PNA的面积＝四边形BONP的面积+△PMB的面积＝正方形PMON的面积＝4×4＝16，
∵△MPB≌△NPA，
∴BM＝AN，
∴OA+OB＝ON+AN+OB＝ON+OM＝4+4＝8，
PA＝PB，且PA和PB的长度会不断的变化，故周长不是定值，故③错误；
∵若OP与AB的交点恰好是AB的中点，则四边形OAPB是正方形，
∴AB＝OP，故④错误；
故选：A．

10．（2分）（2022•大庆三模）如图，已知四边形ABCD为正方形AB＝2，点E为对角线AC上一点，连接DE，过点E作EF⊥DE，交BC延长线于点F，以DE、EF为邻边作矩形DEFG，连接CG．在下列结论中：①矩形DEFG是正方形； ②2CE+CG＝AD；③CG平分∠DCF；④CE＝CF．其中正确的结论有（　　）

A．①③ B．②④ C．①②③ D．①②③④
解：过E作EM⊥BC于M点，过E作EN⊥CD于N点，如图所示：
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BCD＝90°，∠ECN＝45°，
∴∠EMC＝∠ENC＝∠BCD＝90°，
∴NE＝NC，
∴四边形EMCN为正方形，
∵四边形DEFG是矩形，
∴EM＝EN，∠DEN+∠NEF＝∠MEF+∠NEF＝90°，
∴∠DEN＝∠MEF，
又∠DNE＝∠FME＝90°，
在△DEN和△FEM中，
，
∴△DEN≌△FEM（ASA），
∴ED＝EF，
∴矩形DEFG为正方形；故①正确；
∴DE＝DG，∠EDC+∠CDG＝90°，
∵四边形ABCD是正方形，
∵AD＝DC，∠ADE+∠EDC＝90°，
∴∠ADE＝∠CDG，
在△ADE和△CDG中，
，
∴△ADE≌△CDG（SAS），
∴AE＝CG，∠DAE＝∠DCG＝45°，
∵∠DCF＝90°，
∴CG平分∠DCF，故③正确；
∴AC＝AE+CE＝CE+CG＝AD，故②错误；
当DE⊥AC时，点C与点F重合，
∴CE不一定等于CF，故④错误，
故选：A．


二．填空题（共7小题，满分14分，每小题2分）
11．（2分）（2022春•鼓楼区校级期中）现有一张边长等于a（a＞16）的正方形纸片，从距离正方形的四个顶点8cm处，沿45°角画线，将正方形纸片分成5部分，则阴影部分是　正方形　（填写图形的形状）（如图），它的一边长是　cm　．

解：如图，作AB平行于小正方形的一边，延长小正方形的另一边与大正方形的一边交于B点，
∴△ABC为直角边长为8cm的等腰直角三角形，
∴AB＝AC＝8，
∴阴影正方形的边长＝AB＝8 cm．
故答案为：正方形，cm．

12．（2分）（2021春•万山区期中）如图，AD是△ABC的角平分线，DE，DF分别是△BAD和△ACD的高，得到下列四个结论：①OA＝OD；②AD⊥EF；③当∠A＝90°时，四边形AEDF是正方形；④AE+DF＝AF+DE．其中正确的是　②③④　（填序号）．

解：如果OA＝OD，则四边形AEDF是矩形，没有说∠A＝90°，不符合题意，故①错误；
∵AD是△ABC的角平分线，
∴∠EAD＝∠FAD，
在△AED和△AFD中，

∴△AED≌△AFD（AAS），
∴AE＝AF，DE＝DF，
∴AE+DF＝AF+DE，故④正确；
∵在△AEO和△AFO中，
，
∴△AEO≌△AFO（SAS），
∴EO＝FO，
又∵AE＝AF，
∴AO是EF的中垂线，
∴AD⊥EF，故②正确；
∵当∠A＝90°时，四边形AEDF的四个角都是直角，
∴四边形AEDF是矩形，
又∵DE＝DF，
∴四边形AEDF是正方形，故③正确．
综上可得：正确的是：②③④，
故答案为：②③④．
13．（2分）（2022春•新泰市期中）如图，在正方形ABCD中，点O是对角线AC、BD的交点，过点O作射线OM、ON分别交BC、CD于点E、F，且∠EOF＝90°，OC、EF交于点G．给出下列结论：①△COE≌△DOF；②△OBE≌△OCF；③四边形CEOF的面积为正方形ABCD面积的；④DF2+CE2＝EF2.其中正确的为 　①②③　.（将正确的序号都填入）

解：①在正方形ABCD中，OC＝OD，∠COD＝90°，∠ODC＝∠OCB＝45°，
∵∠EOF＝90°，
∴∠COE＝∠EOF﹣∠COF＝90°﹣∠COF，
∴∠COE＝∠DOF，
∴△COE≌△DOF（ASA），故①正确；
②在正方形ABCD中，OC＝OB，∠COB＝90°，∠OBC＝∠OCB＝45°，
∵∠EOF＝90°，
∴∠BOE＝∠COF，
∴△OBE≌△OCF（ASA）；故②正确；
③由①全等可得四边形CEOF的面积与△OCD面积相等，
∴四边形CEOF的面积为正方形ABCD面积的，故③正确；
④∵△COE≌△DOF，
∴CE＝DF，
∵四边形ABCD为正方形，
∴BC＝CD，
∴BE＝CF，
在Rt△ECF中，CE2+CF2＝EF2，
∴DF2+BE2＝EF2，故④错误；
综上所述，正确的是①②③，
故选：①②③．

14．（2分）（2019春•伊通县期末）小明用四根长度相同的木条制作了能够活动的菱形学具，他先把活动学具制作成图1所示菱形，并测得∠B＝60°，接着活动学具制作成图2所示正方形，并测得正方形的对角线AC＝acm，则图1中对角线AC的长为　a　cm．

解：如图1，2中，连接AC．

在图2中，∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC，∠B＝90°，
∵AC＝a，
∴AB＝BC＝a，
在图1中，∵∠B＝60°，BA＝BC，
∴△ABC是等边三角形，
∴AC＝BC＝a，
故答案为：a，
15．（2分）（2022春•香坊区校级月考）如图，在四边形ABCD中，∠BAD＝45°，∠BCD＝90°，连接BD、CA，且CA平分∠BCD，若AC＝45，BC＝15，则BD＝　39　．

解：将△ADC绕点A逆时针旋转90°到△AC'D'，连接C'C，过点A作AH⊥CC′于H．

则△AC'C是等腰直角三角形，AC＝AC′＝45，CC′＝90，
∵∠BCD＝90°，且CA平分∠BCD，
∴∠C'＝∠ACB＝45°，
∴C'，D'，B，C均在同一直线上，
在△DAB与△D'AB中，
，
∴△DAB≌△D'AB（SAS），
∴DB＝D'B，
设DB＝D'B＝x，
在Rt△BCD中，BD2﹣CD2＝BC2，
∴x2﹣CD2＝152①，
∵BC+BD'+C'D'＝CC'＝90，
∴15+x+CD＝90，即x+CD＝75②，
由①②可得：x＝39，
∴BD＝39．
故答案为：39．
16．（2分）（2021•河南一模）正方形ABCD的边长为4，点M，N在对角线AC上（可与点A，C重合），MN＝2，点P，Q在正方形的边上．下面四个结论中，
①存在无数个四边形PMQN是平行四边形；
②存在无数个四边形PMQN是菱形；
③存在无数个四边形PMQN是矩形；
④至少存在一个四边形PMQN是正方形．
所有正确结论的序号是　①②④　．
解：如图，作线段MN的垂直平分线交AD于P，交AB于Q．

∵PQ垂直平分线段MN，
∴PM＝PN，QM＝QN，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠PAN＝∠QAN＝45°，
∴∠APQ＝∠AQP＝45°，
∴AP＝AQ，
∴AC垂直平分线段PQ，
∴MP＝MQ，
∴四边形PMQN是菱形，
在MN运动过程中，这样的菱形有无数个，当点M与A或C重合时，四边形PMQN是正方形，
∴至少存在一个四边形PMQN是正方形，∵当点M与A或C重合时，四边形PMQN是正方形（即是矩形），且MN＝2，∴不可能存在无数个矩形，∴①②④正确，
故答案为①②④．
17．（2分）（2022春•江岸区校级月考）如图，AD是△ABC的高，∠BAC＝45°，若AD＝18，DC＝6，则△ABC的面积是 　135　．

解：以AD为边作正方形ADEF，在EF上截取FQ＝BD，
在△ABD和△AQF中，
，
∴△ABD≌△AQF（SAS），
∴AB＝AQ，∠BAD＝∠FAQ，
∵∠BAC＝45°，
∴∠BAD+∠DAC＝45°，
∴∠DAC+∠FAQ＝45°，
即∠CAQ＝45°，
∴∠BAC＝∠CAQ．
在△BAC和△QAC中，
，
∴△BAC≌△QAC（SAS），
∴BC＝CQ＝BD+6，
设BD＝x，
则FQ＝x，
∴QE＝EF﹣FQ＝18﹣x，CE＝DE﹣CD＝AD﹣CD＝18﹣6＝12．
在Rt△CQE中，∠E＝90°，CQ＝BD+6＝x+6，
∵CE2+QE2＝CQ2，
∴122+（18﹣x）2＝（x+6）2，
解得：x＝9，
∴BD＝9，
∴BC＝BD+DC＝9+6＝15，
∴△ABC的面积＝AD•BC＝18×15＝135．
故答案为：135．

三．解答题（共9小题，满分66分）
18．（6分）（2022春•江阴市期末）如图，正方形ABCD的边长为6，菱形EFGH的三个顶点E、G、H分别在正方形ABCD的边AB、CD、DA上，AH＝2．
（1）如图1，当DG＝2时，求证：菱形EFGH是正方形．
（2）如图2，连接CF，当△FCG的面积等于1时，求线段DG的长度．


（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠D＝∠A＝90°，
∵四边形EFGH是菱形，
∴HG＝HE，
在Rt△HDG和Rt△EAH中，
，
∴Rt△HDG≌Rt△EAH（HL），
∴∠DHG＝∠AEH，
∴∠DHG+∠AHE＝90°
∴∠GHE＝90°，
∴菱形EFGH为正方形；

（2）解：过F作FM⊥CD，交DC的延长线于点M，连接GE，
∵CD∥AB，
∴∠AEG＝∠MGE，
∵GF∥HE，
∴∠HEG＝∠FGE，
∴∠AEH＝∠FGM；
在△EHA和△GFM中，
，
∴△EHA≌△GFM（AAS），
∴MF＝AH＝2，
设DG＝x，
∴CG＝6﹣x，
∴S△FCG＝CG•FM＝6﹣x＝1，
∴x＝5，
即DG＝5．
故线段DG的长度为5．

19．（6分）（2021春•上城区校级期末）如图，在△ABC中，点O是边AC上一个动点，过O作直线MN∥BC，设MN交∠ACB的平分线于点E，交△ABC的外角∠ACD的平分线于点F．
（1）探究线段OE与OF的数量关系并说明理由．
（2）当点O运动到何处，且△ABC满足什么条件时，四边形AECF是正方形？请说明理由．
（3）当点O在边AC上运动时，四边形BCFE　不可能　是菱形（填“可能”或“不可能”）．请说明理由．

解：（1）OE＝OF．理由如下：
∵CE是∠ACB的角平分线，
∴∠ACE＝∠BCE，
又∵MN∥BC，
∴∠NEC＝∠ECB，
∴∠NEC＝∠ACE，
∴OE＝OC，
∵CF是∠BCA的外角平分线，
∴∠OCF＝∠FCD，
又∵MN∥BC，
∴∠OFC＝∠FCD，
∴∠OFC＝∠OCF，
∴OF＝OC，
∴OE＝OF；
（2）当点O运动到AC的中点，且△ABC满足∠ACB为直角的直角三角形时，四边形AECF是正方形．理由如下：
∵当点O运动到AC的中点时，AO＝CO，
又∵EO＝FO，
∴四边形AECF是平行四边形，
∵FO＝CO，
∴AO＝CO＝EO＝FO，
∴AO+CO＝EO+FO，即AC＝EF，
∴四边形AECF是矩形．
已知MN∥BC，当∠ACB＝90°，则
∠AOF＝∠COE＝∠COF＝∠AOE＝90°，
∴AC⊥EF，
∴四边形AECF是正方形；
（3）不可能．理由如下：

如图，∵CE平分∠ACB，CF平分∠ACD，
∴∠ECF＝∠ACB+∠ACD＝（∠ACB+∠ACD）＝90°，
若四边形BCFE是菱形，则BF⊥EC，
但在△GFC中，不可能存在两个角为90°，所以不存在其为菱形．
故答案为不可能．
20．（6分）（2021春•梁山县期中）如图，已知在▱ABCD中，AE平分∠BAD，交DC于E，DF⊥BC，交AE于G，且DF＝AD．
（1）若∠C＝60°，AB＝2，求EC的长；
（2）求证：CD＝DG+FC．

（1）解：∵在▱ABCD中，AB＝DC＝2，∠C＝60°，DF⊥BC，
∴DF＝DC•sin60°＝2×＝，
∵DF＝AD．
∴AD＝DF＝，
∵AB∥CDAE平分∠BAD，
∴∠DAE＝∠BAE＝∠AED，
∴AD＝DE＝
∴EC＝DC﹣DE＝2﹣．

（2）证明：延长FD至M，使DM＝FC，
在△ADM和△DFC中

∴△ADM≌△DFC（SAS），
∴∠DAM＝∠FDC，AM＝DC，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥DC，
∴∠BAE＝∠AED，
∵∠BAE＝∠DAE，
∴∠DAE＝∠AED，
∴∠DAE+∠DAM＝∠AED+∠FDC，即∠MAG＝∠MGA，
∴AM＝MG，
∴DC＝DG+FC．

21．（6分）（2022春•夏邑县期中）如图，正方形ABCD中，AB＝4，点E是对角线AC上的一点，连接DE，过点E作EF⊥ED，交AB于点F，以DE、EF为邻边作矩形DEFG，连接AG．
（1）求证：矩形DEFG是正方形；
（2）求AG+AE的值；
（3）若F恰为AB的中点，连接DF，求点E到DF的距离．

（1）证明：如图，作EM⊥AD于M，EN⊥AB于N．

∵四边形ABCD是正方形，
∴∠EAD＝∠EAB，
∵EM⊥AD于M，EN⊥AB于N，
∴EM＝EN，
∵∠EMA＝∠ENA＝∠DAB＝90°，
∴四边形ANEM是矩形，
∵EF⊥DE，
∴∠MEN＝∠DEF＝90°，
∴∠DEM＝∠FEN，
∵∠EMD＝∠ENF＝90°，
∴△EMD≌△ENF，
∴ED＝EF，
∵四边形DEFG是矩形，
∴四边形DEFG是正方形．

（2）解：∵四边形DEFG是正方形，四边形ABCD是正方形，
∴DG＝DE，DC＝DA＝AB＝4，∠GDE＝∠ADC＝90°，
∴∠ADG＝∠CDE，
∴△ADG≌△CDE（SAS），
∴AG＝CE，
∴AE+AG＝AE+EC＝AC＝AD＝4．

（3）解：连接DF，

∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD＝4，AB∥CD，
∵F是AB中点，
∴AF＝FB，
∴DF＝＝2，
∴点E到DF的距离＝DF＝．
22．（8分）（2021春•怀化期末）如图，在Rt△ABC中，两锐角的平分线AD，BE相交于O，OF⊥AC于F，OG⊥BC于G．
（1）求证：四边形OGCF是正方形．
（2）若∠BAC＝60°，AC＝4，求正方形OGCF的边长．

（1）证明：过O作OH⊥AB于H点，
∵OF⊥AC于点F，OG⊥BC于点G，
∴∠OGC＝∠OFC＝90°．
∵∠C＝90°，
∴四边形OGCF是矩形．
∵AD，BE分别是∠BAC，∠ABC的角平分线，OF⊥AC，OG⊥BC，
∴OG＝OH＝OF，
又四边形OGCF是矩形，
∴四边形OGCF是正方形；
（2）解：在Rt△ABC中，
∵∠BAC＝60°，
∴∠ABC＝90°﹣∠BAC＝90°﹣60°＝30°，
∴AC＝AB，
∵AC＝4，
∴AB＝2AC＝2×4＝8，
∵AC2+BC2＝AB2，
∴BC＝＝4，
在Rt△AOH和Rt△AOF中，
，
∴Rt△AOH≌Rt△AOF（HL），
∴AH＝AF，
设正方形OGCF的边长为x，
则AH＝AF＝4﹣x，BH＝BG＝4﹣x，
∴4﹣x+4﹣x＝8，
∴x＝2﹣2，
即正方形OGCF的边长为2﹣2．

23．（8分）（2022春•杭州期中）已知：如图，在正方形ABCD中，E，F分别是BC，CD上的点，AE、BF相交于点P，并且AE＝BF．
（1）如图1，判断AE和BF的位置关系？并说明理由；
（2）若AB＝8，BE＝6，求BP的长度；
（3）如图2，FM⊥DN，DN⊥AE，点F在线段CD上运动时（点F不与C、D重合），四边形FMNP是否能否成为正方形？请说明理由．


解：（1）AE⊥BF，理由如下：
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC，∠ABC＝∠C＝90°，
在Rt△ABE和Rt△BCF中，
，
∴Rt△ABE≌Rt△BCF（HL），
∴∠BAE＝∠CBF，
∵∠BAE+∠BEA＝90°，
∴∠CBF+∠BEA＝90°，
∴AE⊥BF；
（2）在Rt△ABE中，AB＝8，BE＝6，
根据勾股定理得：AE＝＝10，
∵S△ABE＝AB•BE＝AE•BP，
∴8×6＝10BP，
∴BP＝4.8，
∴BP的长度为4.8；
（3）四边形FMNP不能成为正方形，理由如下：
由（1）知：AE⊥BF，
∴∠APF＝90°，
∵FM⊥DN，DN⊥AE，
∴∠FMN＝∠MNP＝90°，
∴四边形FMNP是矩形，
∵∠BAP+∠NAD＝∠NAD+∠ADN＝90°，
∴∠BAP＝∠ADN，
在△BAP和△ADN中，
，
∴△BAP≌△ADN（ASA），
∴AN＝BP，AP＝DN，
∵AE＝BF，
∴AE﹣AN＝BF﹣BP，
∴EN＝PF，
∵点F在线段CD上运动时（点F不与C、D重合），
∴P、E不重合，
∴PN≠PF，
∴四边形FMNP不能成为正方形．
24．（8分）（2022春•沂水县期中）（1）将矩形纸片ABCD沿过点D的直线折叠，使点A落在CD上的点A'处，得到折痕DE，如图1．求证：四边形AEA'D是正方形；
（2）将图1中的矩形纸片ABCD沿过点E的直线折叠，点C恰好落在AD上的点C'处，点B落在点B'处，得到折痕EF，B'C'交AB于点M，如图2．线段MC'与ME是否相等？若相等，请给出证明；若不等，请说明理由．

（1）证明：∵ABCD是矩形，
∴∠A＝∠ADC＝90°，
∵将矩形纸片ABCD沿过点D的直线折叠，使点A落在CD上的点A'处，得到折痕DE，
∴AD＝A′D，AE＝A′E，∠ADE＝∠A′DE＝45°，
∵AB∥CD，
∴∠AED＝∠A′DE＝∠ADE，
∴AD＝AE，
∴AD＝AE＝A′E＝A′D，
∴四边形AEA′D是菱形，
∵∠A＝90°，
∴四边形AEA′D是正方形；
（2）解：MC′＝ME．
证明：如图1，连接C′E，由（1）知，AD＝AE，

∵四边形ABCD是矩形，
∴AD＝BC，∠EAC′＝∠B＝90°，
由折叠知，B′C′＝BC，∠B＝∠B′，
∴AE＝B′C′，∠EAC′＝∠B′，
又EC′＝C′E，
在Rt△EC′A和Rt△C′EB′中，
，
∴Rt△EC′A≌Rt△C′EB′（HL），
∴∠C′EA＝∠EC′B′，
∴MC′＝ME．
25．（9分）（2022春•黄石期末）四边形ABCD为正方形，点E为线段AC上一点，连接DE，过点E作EF⊥DE，交射线BC于点F，以DE、EF为邻边作矩形DEFG，连接CG．
（1）如图1，求证：矩形DEFG是正方形；
（2）若AB＝2，CE＝，求CG的长度；
（3）当线段DE与正方形ABCD的某条边的夹角是30°时，直接写出∠EFC的度数．

（1）证明：作EP⊥CD于P，EQ⊥BC于Q，
∵∠DCA＝∠BCA，
∴EQ＝EP，
∵∠QEF+∠FEC＝45°，∠PED+∠FEC＝45°，
∴∠QEF＝∠PED，
在Rt△EQF和Rt△EPD中，
，
∴Rt△EQF≌Rt△EPD（ASA），
∴EF＝ED，
∴矩形DEFG是正方形；

（2）如图2中，在Rt△ABC中．AC＝AB＝2，
∵EC＝，
∴AE＝CE，
∴点F与C重合，此时△DCG是等腰直角三角形，易知CG＝．



（3）①当DE与AD的夹角为30°时，点F在BC边上，∠ADE＝30°，
则∠CDE＝90°﹣30°＝60°，
在四边形CDEF中，由四边形内角和定理得：∠EFC＝360°﹣90°﹣90°﹣60°＝120°，
②当DE与DC的夹角为30°时，点F在BC的延长线上，∠CDE＝30°，如图3所示：

∵∠HCF＝∠DEF＝90°，∠CHF＝∠EHD，
∴∠EFC＝∠CDE＝30°，
综上所述，∠EFC＝120°或30°．

26．（9分）（2020春•利州区期末）如图①，在正方形ABCD中，点E，F分别在AB、BC上，且AE＝BF．
（1）试探索线段AF、DE的数量关系，写出你的结论并说明理由；
（2）连接EF、DF，分别取AE、EF、FD、DA的中点H、I、J、K，则四边形HIJK是什么特殊平行四边形？请在图②中补全图形，并说明理由．

解：（1）AF＝DE．
∵ABCD是正方形，
∴AB＝AD，∠DAB＝∠ABC＝90°，
∵AE＝BF，
∴△DAE≌△ABF，
∴AF＝DE．

（2）四边形HIJK是正方形．
如下图，H、I、J、K分别是AE、EF、FD、DA的中点，
∴HI＝KJ＝AF，HK＝IJ＝ED，
∵AF＝DE，
∴HI＝KJ＝HK＝IJ，
∴四边形HIJK是菱形，
∵△DAE≌△ABF，
∴∠ADE＝∠BAF，
∵∠ADE+∠AED＝90°，
∴∠BAF+∠AED＝90°，
∴∠AOE＝90°
∴∠KHI＝90°，
∴四边形HIJK是正方形．