北师大版九年级下册1 圆第1课时教学设计

教学目标

1.理解圆周角的概念，会叙述并证明圆周角定理．

2.理解圆周角与圆心角的关系并能运用圆周角定理及推论解决简单的几何问题．

教学重难点

重点：理解圆周角与圆心角的关系．

难点：感悟圆周角定理证明过程中的分类、转化的数学思想．

教学过程

知识回顾

很多同学都喜欢看足球比赛，在射门的过程中也有数学问题.

如图，在射门游戏中，球员射中球门的难易程度与他所处的位置B对球门AC的张角（∠ABC）有关．当球员在B，D，E处射门时，他所处的位置对球门AC分别形成三个张角∠ABC，∠ADC，∠AEC．这三个角的大小有什么关系？由此来引出本节要研究的课题．

设计意图：通过大家喜欢的足球比赛，充分调动学生的听课热情和积极性，同时也让学生感受到生活或娱乐中处处都有数学，通过设疑激发学生的求知欲，培养学习兴趣．

探究新知

一、预习新知

对于前面提出的问题，给学生留出思考的时间，学生思考后并猜想，可能会有大部分的学生认为在D处进球的可能性大，也有学生认为一样大．

教师提出问题：图中的三个角∠ABC，∠ADC，∠AEC，以前见过这种类型的角吗？它们有什么共同特征？

学生先自主思考，然后与同伴交流自己的想法．教师组织学生说出自己的发现，引导学生与圆心角进行对比．

代表总结特征：(1)角的顶点在圆上；(2)角在圆的内部；(3)角的两边都与圆相交．

我们把具有这样特征的角称为圆周角．

圆周角的概念：顶点在圆上，两边分别与圆还有另一个交点，像这样的角叫做圆周角．

教师强调：理解圆周角的概念的两个特征：

(1)角的顶点在圆上；

(2)角的两边都与圆相交．

巩固练习

判断下列各图形中的角是不是圆周角．

（1）（2）（3）

（4）（5）

答案：只有图（3）中的角是圆周角.

设计意图：让学生学好基础知识、基本概念，识别其内容反映出来的数学思想和方法，培养学生的基本技能及分析问题和解决问题的能力，使学生通过自己的观察与探索，发现、理解并掌握圆周角的定义．

二、合作探究

多媒体展示

如图，∠AOB=80°．

师：请你画出几个弧AB所对的圆周角，这几个圆周角有什么关系？与同伴交流．

教师要求学生动手操作，教师巡视，发现学生出现的问题，及时纠正，学生独立完成并与同伴进行交流．

生：使用量角器进行测量可得弧AB所对的圆周角的度数都相等．

师：你能画出多少个这样的圆周角？

生：可以画出无数个相等的圆周角．

师：这些圆周角与圆心角∠AOB的大小有什么关系？你是怎么发现的？与同伴进行交流．

学生继续进行操作，教师参与其中，学生独立完成并与同伴进行交流，利用量角器得出弧AB所对的圆周角都等于40°，都等于弧AB所对的圆心角80°的一半．

如果改变图中的∠AOB的度数，上面的结论还成立吗？

让学生分组探究，分四组练习，得出结论，再结合各组的结论，总结出圆周角与圆心角之间的关系．

师生共同总结：圆周角定理：圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半．

归纳：圆周角与圆心的位置关系只有三种：

(1)圆心在圆周角的一边上(如图(1)所示)；

(2)圆心在圆周角的内部(如图(2)所示)；

(3)圆心在圆周角的外部(如图(3)所示)．

（1）（2）（3）

师：对于上面的结论能不能进行证明呢？

要求学生独立写出已知和求证，并利用图(1)进行证明．

学生代表展示解题过程.

教师引导学生思考下面的问题：

1.证明圆周角定理的主要思路是什么？

2.我们用推理论证的方法得到了第一种情况结论是成立的，对于第二、三种情况都可以转化成圆心在圆周角的一边上的情况去处理．

然后让学生独立完成其他两种情况的证明．

想一想

在射门游戏中，当球员在B，D，E处射门时，所形成的三个张角∠ABC，∠ADC，∠AEC的大小有什么关系？你能用圆周角定理证明你的结论吗？

生：它们都是所对的圆周角，根据圆周角定理，它们都等于∠AOC度数的一半，所以这三个角相等．

师：根据上述探究的结论，以及三个圆周角的共性，你还能得出什么样的结论？

师生共同总结：圆周角定理的推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等．

设计意图：通过测量和推理证明两种方式得出圆周角的判定定理，加深了学生对于圆周角定理的理解，为下面的运用奠定了良好的基础．

典型例题

【例】如图，在足球比赛中，球员射中球门的难易程度与他所处的位置的射门角度的大小有关．如果在一次比赛中，小华和小勇分别处在图中的A，B两点，球门的位置在线段CD，如果球在小华的脚下，此时他应该选择传给小勇还是自己射门较好？(不考虑其他因素)

【问题探索】要使球能射入球门，则所在位置射入球门的张角越大越好，即比较∠DBC与∠CAD的大小．

【解】如图，过A，C，D三点作圆，此时点B在圆外，连接CB，DB，CA，DA，设CB交圆于点E，连接DE，则∠CBD<∠CED.

而∠CAD＝∠CED，

所以∠DBC<∠CAD，

所以小华自己射门较好．

【总结】(1)解此类题时，构建数学模型，将实际问题转化为数学问题．

(2)当两点到球门的距离相差不大时，在对球门张角较大的点处射门较好．

课堂练习

1.如图，在⊙O中，OC∥AB，∠A＝20°，则∠1等于(　　)

A.40° B.45°

C.50° D.60°

2.如图，在直径为AB的半圆中，O为圆心，C, D为半圆上的两点，

∠CAD=25°，则∠COD 的度数为.

3.如图，点B，C在⊙O上，且BO＝BC，则圆周角∠BAC＝.

4.如图，△ABC的三个顶点都在⊙O上，直径AD＝6 cm，∠DAC＝

2∠B，求AC的长．

参考答案

1.D 　

2.50°   

3.30°

4.解：如图，连接OC.

∵∠AOC＝2∠B，∠DAC＝2∠B，

∴∠AOC＝∠DAC，

∴CO＝AC.

又∵OA＝OC，

∴AO＝AC＝OC，

∴△AOC是等边三角形，

∴AC＝AO＝AD＝3 cm.

课堂小结

(学生总结，老师点评)

1.圆周角的定义.

2.圆周角定理.

3.圆周角定理的推论1.

板书设计

第三章　圆

4　圆周角和圆心角的关系

第1课时　圆周角定理及其推论1

1.圆周角的定义：顶点在圆上，两边分别与圆还有另一个交点的角．

2.圆周角定理：圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半．

3.圆周角定理的推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等．

教学反思

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